Определение перемещений в упругих системах в программных продуктах MathCAD, SCAD и MSC.Patran-Nastran-2005: методические указания [Виталий Афанасьевич Жилкин] (pdf) читать онлайн

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ
И ОБРАЗОВАНИЯ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АГРОИНЖЕНЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра сопротивления материалов

Утверждаю.
Проректор по УР
А.Патрушев

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
В УПРУГИХ СИСТЕМАХ
в программных продуктах
MathCAD, SCAD и MSC.Patran-Nastran-2005
Методические указания

Челябинск 2008

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Методические указания предназначены для студентов 2-го курса специальности
190206 - «Сельскохозяйственные машины и оборудование» направления
190200 - «Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы» изучающих курс «Сопротивление материалов».
На примере программ MathCAD, SCAD и MSC.Patran-Nastran-2005
реализуется идея использования уже на младших курсах на факультетах сельскохозяйственного машиностроения современных проектно-вычислительных комплексов, применяемых в инженерной практике для расчетов и проектирования строительных и машиностроительных конструкций. Приведена инструкция по использованию программ
при решении задач прочности пространственного бруса при сложном сопротивлении.
Методические указания могут быть полезны студентам всех курсов специальности 190206 «Сельскохозяйственные машины и оборудование», аспирантам и инженерно-техническим работникам АПК.

Составитель
Жилкин В.А. - докт. техн. наук, профессор (ЧГАУ)

Рецензенты
Сапожников С.Б. - докт. техн. наук, проф. (ЮУрГУ)
Рахимов P.С. - докт. техн. наук, проф. (ЧГАУ)

Печатается по решению редакционно-издательского совета ЧГАУ

© ФГОУ ВПО "Челябинский государственный агроинженерный университет", 2008.

2

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
В УПРУГИХ СИСТЕМАХ

1. СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ
Дано:
1)
2)
3)
4)

схемы балок и плоской рамы;
длины участков;
материал участков упругих систем (Ст. 3; [σ ] = 160 МПа).
загружения участков упругих систем.

Требуется:
1. Построить необходимые для расчетов на прочность и жесткость
брусьев упругих систем эпюры внутренних силовых факторов
(табл.1, 2, 3).
2. Определить опасное сечение.
3. Подобрать размеры поперечных сечений бруса из условия прочности
на изгиб

таблицы 1, 3 – кольцевое поперечное сечение с внешним D и
внутренним d диаметрами ( d / D = 0.8 );

таблица 2 – подобрать номер двутавра.
4. Определить прогиб и угол поворота сечения упругой системы методами:

аналитическим;

Верещагина;

Симпсона;

матричным,
в точке приложения сосредоточенной силы (таблица 1);
в шарнире и на свободном конце консоли (таблица 2);
в сечении, обозначенном точкой A (таблица 3).
Примечание
Вычисления выполнить в системах MathCAD, SCAD и
MSC.Patran. Результаты решения, полученные в системах SCAD и
MSC.Patran, использовать как контрольные для проверки правильности
решения задачи в системе MathCAD.
Все расчетные схемы выполнить в масштабе в одном из доступных графических редакторов.

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Варианты заданий
Таблица 1

4

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1

2

3

4

5

Схема

Размеры, м

Нагрузки

Вариант

№ п/п

Таблица 2

L1

L2

a1

a2

P
т

а

3

5

1

1

10

4

16

б

4

4

3

1

8

2

10

в

3

5

1

1

5

2

8

а

4

4

2

2

2

4

8

б

3

4

1

1

3

2

10

в

4

4

2

2

1

2

4

а

4

2

1

1

10

1

8

б

3

5

3

2

10

2

12

в

5

6

1

2

6

2

4

а

4

5

1

3

4

2

14

б

4

3

1

1

3

2

10

в

4

4

1

1

4

2

10

а

4

3

1

2

1

2

6

5

q
M
т/м т/м

6

7

8

9

10

Схема

Размеры, м

Нагрузки

Вариант

№ п/п

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

L1

L2

a1

a2

P
т

б

4

5

1

2

2

1

10

в

5

4

2

2

3

2

12

а

5

3

1

2

1

4

8

б

6

3

1

1

4

2

6

в

4

3

1

1

2

4

8

а

6

3

1

1

2

4

10

б

5

4

1

1

24

1

8

в

4

3

1

2

4

2

8

а

4

3

1

1

8

4

9

б

4

5

2

1

2

1

8

в

4

3

1

1

2

4

2

а

2

3

1

2

2

1

6

б

3

4

I

2

5

2

10

в

2

4

1

2

12

2

24

а

6

4

2

2

1

2

6

б

4

3

2

1

2

4

8

в

3

2

1

1

4

2

4

6

q
M
т/м т/м

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Таблица 3

7

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Таблица 3 (продолжение)

8

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Таблица 3 (продолжение)

9

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
2.1. ФОРМУЛА МАКСВЕЛЛА-МОРА1

Метод Максвелла-Мора представляет собой универсальный способ
для определения линейных и угловых
перемещений в любых плоских и пространственных системах, состоящих
из шарнирно или жестко соединенных
прямых или кривых брусьев малой
кривизны2.
Для практического применения
формулы Максвелла-Мора при вычислении перемещений необходимо
уметь вычислять интегралы от произведения двух функций.
Если на упругую статически
определимую систему действуют
Рис.1
внешние силы P , тепловое воздействие (температура стержней изменилась на величину t i по сравнению с начальной) и
еще задано смещение c каких-либо связей (рис.1), то перемещение произвольной точки К по заданному направлению I − II может быть вычислено по универсальной формуле, которая называется формулой Максвелла-Мора (иногда просто интегралом Мора) и записывается следующим образом:
M K MP
N K NP
Q Q
ds + ∑ ∫
ds + ∑ ∫ β K P ds +
EI
EF
GF
(1)
∆t
+ ∑ ∫ αt N K ds + ∑ ∫ α M K
ds − ∑ R K c
d
Здесь ∆ KP - искомое перемещение (линейное или угловое). Первый индекс
K указывает точку и направление, в котором определяется перемещение, а второй индекс - причину, вызывающую это перемещение. Индекс P означает, что определяется
перемещение от заданных нагрузок. Первые три слагаемые в этой формуле представляют перемещение от действия внешней нагрузки P . При этом первым слагаемым
учитывается влияние изгибающих моментов, вторым и третьим слагаемыми - влияние
соответственно продольных и поперечных сил. Четвертый и пятый члены формулы соответствуют перемещениям от изменения температуры t (четвертый - от действия равномерного нагрева всех волокон на величину t , пятый - от неравномерного нагрева
или разности температур ∆t = t 1 − t 2 ). Наконец, последний член представляет перемещение от заданного смещения связей c .
В формуле (1) обозначено: M K , Q K , N K , R K - соответственно эпюры моментов, поперечных и продольных сил и реакции в смещаемых связях от действия единичной силы PK = 1 или единичного момента MK = 1, приложенных в точке K , пере-

∆ KP = ∑ ∫

1

Ицкович Г.М., Винокуров А.И., Минин Л.С. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов. - М.: Высш. шк., 1970. – 540 с.; Руководство к практическим занятиям по курсу строительной
механики (статика стержневых систем) /Г. К. Клейн, Н. Н. Леонтьев, М. Г. Ванюшенков и др. - М.:
Высш. шк., 1980. - 384 с.
2
Брусьями малой кривизны при вычислении перемещений считают такие, для которых отношение радиуса кривизны ( ρ ) их оси к высоте ( h ) поперечного сечения не менее двух ( ρ / h ≥ 2 ).

10

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

мещение которой ищется по направлению единичных силовых факторов; MP , QP ,
N P - эпюры моментов, поперечных и продольных сил от действия заданной нагрузки;
EJ , EF ,GF - жесткости соответственно при изгибе, растяжении - сжатии и сдвиге;
β - коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения элемента и отражающий
неравномерность распределения касательных напряжений по поперечному сечению,
например, для прямоугольника β = 1,2 , для круга β = 10 / 9 ; d - высота поперечного
сечения элемента; α - коэффициент теплового линейного расширения материала; t температура нейтрального волокна, равная (t 1 + t 2 ) / 2 для стержня, центр тяжести поперечного сечения которого находится посредине высоты сечения; ∆t = t 1 − t 2 - разность температур; t 1 , t 2 - приращение температур крайних волокон стержня.
Знаки суммы в формуле (1) указывают на то обстоятельство, что в общем случае, когда уравнения «грузового» MP , QP , N P и «единичного» M K , Q K , N K состояний для отдельных участков системы различны, интегралы вычисляется по участкам и результаты суммируются.
В этой формуле подынтегральное произведение M K MP для элемента ds положительно, если оба момента изгибают этот элемент в одну сторону, то есть если
эпюры M K и MP расположены по одну сторону от оси (напомним, что эпюры изгибающих моментов строятся на сжатых волокнах). Произведения Q K QP и N K N P положительны, если усилия имеют одинаковый знак. Произведение M K ∆t положительно, если момент M K и тепловое воздействие ∆t искривляют элемент в одном направлении (эпюра моментов M K расположена со стороны более нагретых волокон). Произведение N K t положительно, если нормальная сила и температура нейтрального волокна t одного знака; произведение R K c положительно, если реакция R K от единичного силового фактора направлена в сторону заданного смещения связи c .
Для вычисления перемещений по формуле Максвелла-Мора вначале нужно построить грузовые эпюры внутренних усилий MP , QP , N P , затем в точке, перемещение которой ищется, приложить единичный силовой фактор по направлению искомого
перемещения и от его действия вычислить реакции R K в связях, перемещение c которых задано, и построить единичные эпюры M K , Q K , N K . Наконец, вычислить соответствующие интегралы и суммы произведений. Если перемещение, вычисленное по
формуле (1) положительно, то точка перемещается в сторону действия приложенного
единичного силового фактора, если перемещение отрицательно, то точка перемещается
в обратную сторону.
В качестве единичных силовых факторов прикладываются при вычислении:
• линейного перемещения точки сосредоточенная единичная сила P = 1 в
направлении искомого перемещения;
• угла поворота сосредоточенный единичный момент m = 1 ;
• взаимного линейного перемещения двух точек (изменения расстояния между ними) две сосредоточенные самоуравновешенные единичные силы
P = 1 по прямой, соединяющей данные точки;
• взаимного угла поворота двух сечений два сосредоточенных самоуравновешенных единичных момента m = 1 в обоих сечениях.
При вычислении перемещений в пространственных стержневых системах в
формулу (1) нужно добавить члены, содержащие изгибающие моменты и поперечные
силы, которые действуют во второй плоскости изгиба, а также крутящие моменты.
Если перемещения вычисляются только от силового внешнего воздействия, то
формула Максвелла-Мора принимает вид
11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

∆ KP = ∑ ∫
+ ∑∫

M y 1M yP
M x 1M xP
M M
ds + ∑ ∫
ds + ∑ ∫ z1 zP ds +
EI x
EJ y
EJ z

(2)

Qy 1QyP
N z1N zP
Q Q
ds + ∑ ∫ β x x 1 xP ds + ∑ ∫ β y
ds ,
EF
GF
GF

где M xP , Q xP , N xP и т. д. - аналитические выражения внутренних силовых факторов
от заданной нагрузки; M x 1 , Q x 1 , N x 1 и т. д. - аналитические выражения внутренних
силовых факторов от единичной силы (момента).
В большинстве случаев можно ограничиваться первыми тремя членами формулы
(2), пренебрегая влиянием продольной и поперечных сил.
Как правило, перемещения от различных воздействий определяются раздельно.
Поэтому рассмотрим далее отдельные виды внешних воздействий.
2.1.1. Перемещения от внешнего силового воздействия

В формуле (1) следует оставить только первые три слагаемые:

∆ KP = ∑ ∫

M K MP
N K NP
Q Q
ds + ∑ ∫
ds + ∑ ∫ β K P ds .
EI
EF
GF

(3)

Для вычисления перемещений по формуле (3) необходимо:
A. Определить аналитические выражения внутренних усилий MP , QP , N P от действия заданной внешней нагрузки и построить при необходимости их эпюры.
B. Определить аналитические выражения внутренних усилий M K , Q K , N K от единичного силового фактора и при необходимости построить их эпюры.
C. Вычислить интегралы в формуле (3) одним из приведённых ниже способов.
Таким образом, при определении перемещений рассматриваются два напряжённо-деформированных состояния:

действительное от заданной нагрузки;

вспомогательное от единичного силового фактора.
В большинстве случаев для определения перемещений от силового воздействия
вместо формулы (3) используются упрощённые формулы, которые получаются из (3)
путём отбрасывания членов, незначительно влияющих на конечный результат. Эти
формулы имеют следующий вид:
– для балок и рам
M M
∆ KP = ∑ ∫ K P ds ;
(4)
EI
– для идеальных шарнирных ферм
N N
∆ KP = ∑ Ki Pi Li ;
(5)
(EF )i
– для комбинированных систем
Li

∆ KP = ∑ ∫

i 0

M Ki MPi
N Ki NPi
ds + ∑
Li .
(EI )i
(
EF
)
i
i

Комбинированной системой называют такую, в которой имеются элементы, работающие преимущественно на изгиб (балка), и элементы, работающие преимущественно на растяжение-сжатие (стержни, соединённые шарнирами) (рис.2).
12

(6)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис.2
2.1.2. Перемещения от изменения температуры

Перемещения в упругих плоских статически определимых стержневых системах
определяются по формуле
∆t
∆ Kt = ∑ ∫ αto N K ds + ∑ ∫ α M K
ds ,
(7)
d
где t o – температура на оси стержня; ∆t = t 1 − t 2 – изменение температуры по толщине стержня.
Первый член формулы соответствует перемещению от действия равномерного
нагрева по толщине стержня на величину t o , второй – перемещение от неравномерного нагрева на разность температур ∆t = t 1 − t 2 , где t 1 и t 2 – температура на поверхности стержня. При вычислении перемещения ∆Kt интегрирование распространяется
только на те элементы системы, температурный режим которых изменяется.
Для случая прямолинейных и ломаных стержней постоянного сечения интегралы
могут быть подсчитаны как площади единичных эпюр M K , N K , и формула (7) примет простой вид:
∆t
∆ Kt = ∑ αto Ω N + ∑ α Ω M ,
(8)
K
K
d
где Ω N , Ω M – площади единичных эпюр N K , M K .
K

K

Знак первого слагаемого формулы (8) получается «автоматически», если площадь
эпюры Ω N брать со знаком соответствующей эпюры N K , а за знак температурного
K

слагаемого принимать тот, который получается при расчёте. Для второго слагаемого
формулы (8) принимается знак (+) плюс, если положение растянутых волокон от температуры и изгиба, вызванного единичным силовым фактором, совпадает.
Величина ∆t принимается по абсолютному значению, т.е. ∆t = t1 − t 2 .
Порядок определения перемещения по формуле (8):
а) прикладывается единичная сила или единичный момент в точке, в которой ищется
перемещение;
б) строятся эпюры M K , N K от единичной нагрузки;
в) по эпюрам M K , N K определяются площади Ω M , Ω N ;
K

K

г) вычисляются величины ∆t , t o ;
д) по формуле (8) определяется перемещение, при этом соблюдаются указанные выше
правила знаков.

13

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2.1.3. Перемещения от смещения опор

Перемещение от смещения опорных связей определяется по формуле

∆ Kc = − ∑ RKi ∆i ,

(9)

i

где RKi – реакция i -й связи от действия единичного силового фактора, приложенного
в точке K , в которой ищется перемещение; ∆i – заданное перемещение i -й связи.
Для определения перемещений по формуле (9) нужно рассмотреть два состояния
системы:

действительное, в которой заданы смещения опорных связей (рис.3,а);

вспомогательное от действия единичной обобщённой силы, приложенной в точке K (рис.3,б).

Рис.3
Далее необходимо:
а) для вспомогательного состояния определить реакции тех связей Ri , смещение которых задано в действительном состоянии;
б) составить сумму работ с обратным знаком реакций Ri вспомогательного состояния
на соответствующих смещениях ∆i действительного состояния.
Знак произведения Ri ⋅ ∆i принимается положительным, если направление реакции Ri и перемещения ∆i совпадают. При этом нужно помнить, что силы Ri умножаются на соответствующие линейные перемещения, а моменты Mi - на углы поворота.
Горизонтальное перемещение точки K для рамы, показанной на рис.4:

∆ Kc = − (−R B ⋅∆B ) =

14

h
∆B .
L

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2.2. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ В ФОРМУЛАХ
МАКСВЕЛЛА-МОРА
2.2.1. Аналитический метод

В этом случае находятся аналитические выражения внутренних сил в действительном и вспомогательном состоянии, а затем аналитически, если это возможно, или с
помощью системы MathCAD вычисляются интегралы.
При непосредственном (аналитическом) вычислении интегралов Максвелла-Мора
протяженность каждого участка при постоянной жесткости сечения EJ определяется
областью, в пределах которой закон изменения как «грузового», так и «единичного»
моментов остается постоянным.
Пример.
Требуется определить вертикальное перемещение в точке K для балки, показанной на рис.4, а ( L = 6 м, q = 2 кН/м).

Рис.4
Для определения вертикального перемещения точки K прикладываем единичную
силу P = 1 и используем формулу (4) (рис.4, б). Так как в данном случае имеем два
участка интегрирования, то
L/3

∆ KP =

∫
0

MP MK
dx +
EJ

L

∫
L/3

MP MK
dx
EJ

Определяем аналитические выражения усилий MP , MK :
на участке AK

qL
qx 2
MP ( x ) =
x−
= Lx − x 2 ;
2
2
2
MK (x ) = RA x = x .
3
на участке KB

MP (x ) = 6 x − x 2 ;
L L− x

.
MK (x ) = RA x − 1⋅  x −  =
3
3

Используя символьный процессор MathCAD, получим:






К недостаткам этого метода следует отнести:
значительную трудоёмкость по сравнению с другими методами;
ограниченную возможность вычисления интегралов в явном виде.
К его достоинству следует отнести точность вычислений.
15

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2.2.2. Метод Верещагина

Способ перемножения эпюр предложен в 1925 г. студентом Московского института инженеров железнодорожного транспорта А. К. Верещагиным, а потому он называется методом (или способом) Верещагина.
При применении метода Верещагина участком интегрирования является часть
балки (элемента рамы), в пределах которой хотя бы одна из эпюр изменяется по монотонному линейному закону и EJK = const . Практически всегда есть возможность
разбить прямой брус на такие участки, в пределах каждого из которых одна из эпюр (чаще «единичная») линейна. Линейность эпюры должна пониматься в строго математическом смысле. В частности, эпюра, состоящая
из двух прямолинейных отрезков («ломаная»
эпюра), должна рассматриваться как состоящая из двух отдельных линейных эпюр
(рис.5).
Рис.5
В этом случае можно пользоваться формулой А. Н. Верещагина
LK

Ω K yCK
MP MK
dx
=
,
∫ EJ
(
EJ )K
0
которая формулируется следующим образом:
определенный интеграл от произведения двух эпюр, одна из которых прямолинейна,
равен произведению площади криволинейной эпюры Ω на ординату yC , вычисленную
в прямолинейной эпюре под центром тяжести (ц. т.) криволинейной (рис.7).
∆ KP =

Здесь Ω K – площадь произвольной или ломаной
эпюры MP ; yCK - ордината линейной эпюры MK под
центром тяжести эпюры MP (рис.6).
Очень важно отметить, что ордината yCK должна
быть взята обязательно из прямолинейной эпюры. Если
обе эпюры прямолинейны, то ординату можно взять из
любой эпюры. Так, если требуется перемножить прямолинейные эпюры MP и MK (рис.7, а), то не имеет значения, что взять: произведение Ω P yCK площади Ω P ,
эпюры MP на ординату yCK под ее центром тяжести из
эпюры MK или произведение Ω K yCP площади Ω K
Рис.6

эпюры MK на ординату yCP под (или над) ее центром
тяжести из эпюры MP .

Правило знаков
Если центр тяжести площади эпюры Ω K и ордината yCP расположены с одной стороны от оси стержня, то принимается знак плюс (+).
При использовании формулы Верещагина приходится вычислять площади различных геометрических фигур и определять положение их центра тяжести. Для этого
сложные геометрические фигуры разбивают на простые. Значения площадей некоторых эпюр и координат их центров тяжести приведены в табл.4.
16

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Площадь
эпюры Ω

Вид эпюры

17

Таблица 4
Координата
центра тяжести xC

ab
2

a
3

ab
3

a
4

ab
4

a
5

1
ab
2

a+l
3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Вид эпюры

Площадь
эпюры Ω

Координата
центра тяжести xC

2
ab
3

a
2

2
ab
3

3
a
8

Рис.7
Когда перемножаются две эпюры, имеющие вид трапеции, то не надо находить
положение центра тяжести площади одной из них. Следует одну из эпюр разбить на
два треугольника и умножить площадь каждого из них на ординату под его центром
тяжести из другой эпюры. Например, в случае, приведенном на рис.7,б, получим
aL  2
1  bL  1
2  L
 c + d+
 c + d  = (2ac + 2bd + ad + bc ) .
2 3
3  2 3
3  6

(10)

В этой формуле произведение ac левых ординат обеих эпюр и произведение
bd правых ординат берутся с коэффициентом, равным двум, а произведения ad и bc
ординат, расположенных с разных сторон, - с коэффициентом, равным единице. С помощью формулы (10) можно перемножать эпюры, имеющие вид «перекрученных»
трапеций; при этом произведения ординат, имеющих одинаковые знаки, берутся со
знаком плюс, а имеющие разные знаки - со знаком минус.

18

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Когда одна из эпюр (рис.8) очерчена по квадратной параболе (от равномерно
распределенной нагрузки q ), то ее для перемножения с другой эпюрой рассматривают
как сумму (рис.8, а) или разность (рис.8, б) трапецеидальной и параболической эпюр.

Рис.8
При использовании формулы Верещагина сложные геометрические фигуры разбивают на простые, для которых приходится вычислять площади и определять положение их центров тяжести. Всё это усложняет применение метода Верещагина в сравнении, например, с методом Симпсона. Поэтому применение формулы Верещагина целесообразно в том случае, когда площади геометрических фигур и положение их центров тяжести определяются просто, а также просто вычисляются ординаты других фигур, под центром тяжести первых.
2.2.3. Метод Симпсона

Приближенное значение интеграла Максвелла-Мора можно определить с помощью формулы Симпсона3
b

∫ f (x )dx =

a

5
h
(y 0 + 4 y1 + 2y 2 + 4 y 3 + ... + 4 y 2N −1+ y 2N ) − h f (4 ) (ξ ) ,
3
90

(11)

b−a
, a