Такая нужная геометрия [Александр Викторович Фарков] (pdf) читать онлайн

-  Такая нужная геометрия  [Пособие для учащихся 7-9 классов] 9.86 Мб, 83с. скачать: (pdf) - (pdf+fbd)  читать: (полностью) - (постранично) - Александр Викторович Фарков

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


 [Настройки текста]  [Cбросить фильтры]

А.В.Ф арков

ТАКАЯ НУЖ Н/
" ГЕОМЕТРИЯ
Пособие для учащ ихся
7-9 классов

А.В. Фарков

ТАКАЯ НУЖНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Пособие для учащихся 7-9 классов

Москва
ИЛЕКСА
2021

УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я72
Ф24

Ф24

Фарков А.В.
Такая нужная геометрия: пособие для учащихся 7 -9 классов. —
М.: Илекса, 2021. 81 с.
ISBN 978-5-89237-684-6
В предлагаемом пособии рассмотрены основные практические примене­
ния геометрии в повседневной жизни: дома и вне дома, а также приведены за­
нимательные факты, способствующие становлению познавательной мотива­
ции учебной деятельности. Приведена большая подборка задач для развития
мышления учащихся.
Пособие предназначено для учащихся 7-9 классов, оно также будет инте­
ресно учителям математики и полезно родителям учащихся.

УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я72

Подписано в печать 29.07.2020. Формат 60x88/16.
Усл.-печ. л. 4,89. Тираж 1500 экз. Заказ № 11811.
ООО «Илекса», 107553, г. Москва, ул. Амурская, д. 2, стр. 2,
сайт: www.ilexa.ru, E-mail: real@ ilexa.ru,
телефон: +7 (964) 534-80-01
Отпечатано в ООО "Типография "Миттель Пресс",
г. Москва, ул. Руставели, д. 14, стр. 6.
Тел./факс +7 (495) 619-08-30, 647-01-89.
E-mail: m ittelpress@ m ail.ru

ISBN 978- 5- 89237- 684-6

© Фарков А.В., 2020
© ИЛЕКСА, 2020

От автора
Уважаемые читатели!
Если вы недавно начали изучать новый предмет — геометрию, то,
возможно, некоторым из вас она показалась неинтересной, скучной.
Вы, наверное, не раз задумывались: зачем она нужна, где может при­
годиться?
Геометрия — одна из самых древних наук. В переводе с греческо­
го слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» — земля, «метрео» — мерить). Такое название объясняется тем, что зарождение
геометрии было связано с различными измерительными работами, ко­
торые приходилось выполнять при разметке земельных участков, про­
ведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В резуль­
тате постепенно накапливались знания и вырабатывались различные
правила проведения геометрических измерений и построений. Чтобы
измерить свои участки, людям нужно было проводить математические
вычисления — это и были первые геометрические расчеты. При строи­
тельстве египетских пирамид также проводились различные расчеты,
которые со временем стали основой геометрии. Таким образом, геоме­
трия возникла на основе хозяйственной деятельности людей и в начале
своего развития служила преимущественно практическим целям.
В Египте, в городе Александрия, жил ученый Евклид, который
в 280 году до н. э. написал книгу «Начала» о геометрии. На протя­
жении более двух тысячелетий все, кто изучал геометрию, пользова­
лись этим учебником. И сегодня в школе вы знакомитесь с основами
евклидовой геометрии, а также с другими фактами из этой области
математики.
Геометрия тесно связана с такими науками, как физика, астроно­
мия, технические науки. Это дает возможность совершать новые от­
крытия в различных областях знаний и разрабатывать перспективные
проекты. Все инженерные расчеты, необходимые, казалось бы, даже
для такого простого дела, как, например, установка уличных фонарей,
производятся на основе геометрических знаний. Ведь для этого нужно
рассчитать угол падения луча света на землю, чтобы он мог макси­
мально осветить территорию. Геометрия также нужна в строительстве.
Архитекторы должны точно рассчитать все детали строительной кон­
струкции. Законам геометрии подчиняются траектория транспортного
средства и его габариты, потому водители должны учитывать их для
обеспечения безопасности движения.
Можно привести еще много примеров из жизни, где геометрия
играет не последнюю роль. Посмотрите вокруг — всюду геометриче­
ские фигуры! Здания и разнообразные технические сооружения, кос­
мические станции и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая
техника — всё имеет геометрическую форму. Поэтому знание геоме­
трии сегодня необходимо для овладения многими современными про­
фессиями: в них нуждаются и дизайнеры, и ученые, и конструкторы,
и рабочие разных специальностей.
3

А кто и когда решил сделать геометрию частью моды? Это неиз­
вестно. Геометрические узоры давно стали элементом национального
костюма многих народов, и не удивительно, что они плавно перешли
в мир современной моды. Стремясь придать особую выразительность
новым образцам одежды, модельеры часто используют изображения
геометрических фигур — прямоугольников, треугольников, трапеций
и пр. Наверняка они вспоминают при этом школьные уроки геометрии.
Полагаю, что приведенных примеров вполне достаточно, чтобы на
вопрос: «Нужна ли нам геометрия?» ответить утвердительно.
Отметим, что в учебном курсе геометрии все же большую часть за­
нимают задачи. Возможно, у многих из вас возникал вопрос: а зачем
нужны задачи вообще, в том числе и геометрические? Решая задачи,
человек проявляет или не проявляет некоторые важнейшие свои каче­
ства, особенности мышления. Умение решать задачи — это результат
наличия у учащегося хорошего уровня обученности.
Задач в математике, и в геометрии в частности, существует мно­
го. Систематическое изложение различных подходов к решению задач,
различные типологии и классификации задач изложены в ряде книг,
с которыми можно ознакомиться самостоятельно.
В данной книге автор попытался показать важность геометрии для
человека, в первую очередь познакомить читателя с некоторыми при­
менениями геометрии в реальной жизни. Материал пособия распреде­
лен по классам, в каждом выделено несколько тем, соответствующих
учебной программе по математике. Некоторые темы, не обладающие
практической значимостью, не вошли в эту книгу. В каждой же вклю­
ченной в пособие теме выделено четыре группы задач. В первой показа­
но, какие практические задачи в быту помогает решить школьная гео­
метрия. В некоторых темах таких задач автор не приводит. Во второй
группе, которая называется «Геометрия вне дома», помещены задачи,
в которых знание геометрии придется использовать при поездке на
дачу, в походе, на прогулках в лесу, городе, деревне и т. п. В третьей
группе, названной «Это интересно», помещены задачи, способствую­
щие повышению интереса к геометрии. Четвертая группа задач под
названием «Подумай!» предназначена для развития мышления. Разу­
меется, подобных задач существует очень много, есть множество книг
по данной тематике. Здесь помещены лишь некоторые из таких задач,
большая часть которых взята из книги автора «Учимся решать олимпиадные задачи по геометрии. 5-11 классы».
Часть предлагаемых в книге задач составлена автором, часть пере­
работана, а часть взята из литературы, неполный список которой дан
в конце пособия.
Автор приводит решения всех предложенных задач. Возможно, вы
найдете другие решения, тоже правильные. Не торопитесь сразу смо­
треть готовые решения, а попытайтесь сначала сами решить предло­
женные задачи.
Успехов вам в изучении геометрии!
4

Часть 1. У С Л О В И Я З А Д А Ч
7 КЛАСС
ТЕМА 1. Начальные геометрические
сведения
Геометрия дома
7-1-1. Василий живет на третьем этаже многоквартирного дома.
Поднимаясь с улицы в свою квартиру, он насчитал 56 сту­
пенек, каждая высотой 14 см. На какой высоте (в метрах)
находится третий этаж?
7-1-2. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая
стрелки часов в 1 ч?
7-1-3. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая
стрелки в 8 ч?

Геометрия вне дома
7-1-4. Дмитрий насчитал в колесе велосипеда 36 спиц. Какой
угол образуют две соседние спицы? А если спиц в колесе 32?
7-1-5. На дачу можно привезти бревна длиной 3 м или 3 м
60 см, но одинакового диаметра. Бревна надо распилить на
чурки длиной 60 см. Какие бревна выгоднее привезти, если
кубатура бревен одна и та же?
7-1-6. На даче имеется очень тонкая проволока. Как узнать ее
диаметр с помощью линейки?

Это интересно
7-1-7. Различные меры, длины. Измерения любых величин про­
изводят в каких-то единицах. Вы знаете, что длина изме­
ряется в метрах, сантиметрах, миллиметрах, километрах.
Но это не единственные единицы измерения длины. За свою
историю человечество придумало множество единиц длины,
причем каждый народ имел свои. На Руси в старину мера­
ми длины были пядь (расстояние между концами большо­
го и указательного пальцев, растянутых в плоскости), шаг,
локоть. Несколько позже появились такие единицы длины,
как аршин (расстояние от плеча до конца вытянутой руки
взрослого человека, примерно 0,711 м), сажень (три арши­
на), верста (500 саженей) и др.
5

-► около
Фут
71 см
30,48 см

В Англии в качестве единицы длины использовали ярд (рас­
стояние от кончика носа короля Генриха I до кончика среднего
пальца вытянутой в сторону руки) и фут (длина ступни средне­
го англичанина).
Понятно, что эти и другие единицы длины не обладали по­
стоянством. С развитием ремесел и торговли появилась потреб­
ность в постоянной единице длины. Такой величиной стал метр
(первоначально его определили как одну сорокамиллионную
часть парижского меридиана). Был изготовлен и эталон ме­
тра — металлический брус из сплава платины и иридия, на нем
были нанесены два штриха, расстояние между которыми и со­
ставило 1 метр.
Однако в некоторых странах (США, Великобритания и др.)
до сих пор применяют свои меры длины, такие как дюйм., фут,
ярд, миля.

6

Если перевести эти меры длины в метры, то получим!
1 дюйм = 2,54 см;
1 фут = 0,3048 м;
1 ярд = 3 футам = 36 дюймам = 0,9144 м;
1 миля морская = 1,8532 км (в Великобритании) =
= 1,852 км (международная);
1 сухопутная миля = 1,609 км.
Известно старинное пожелание морякам: «Семь футов под
килем». А сколько это в аршинах, в метрах?
7-1-8. Приближенное нахождение длины шага. Часто для изме­
рения расстояний на местности используют длину шага, ко­
торую приближенно можно определить следующим образом:
разделить рост человека на 4 и прибавить 37 см.
Например, рост человека 172 см. Тогда длина его шага будет
равна:
172 : 4 + 37 = 43 + 37 = 80 (см).
Допустимая погрешность измерения — в пределах 5 % . Мо­
жете проверить!
Учтите, что при спуске длина шага меньше, чем на горизон­
тальном участке, а при подъеме — меньше, чем при спуске.
7-1-9. Вы сота некоторых предметов. Ее можно оценить, зная
высоту (в метрах) наиболее часто встречающихся предметов:
— телеграфный столб — 6,4 м;
— пассажирские железнодорожные вагоны — 4,3 м;
— легковые автомобили — 1,5 м;
— грузовые автомобили — 3 м;
— одноэтажные жилые дома в сельской местности — 4-5 м.
7-1-10. Расстояния, с которых различаются предметы, и их де­
тали. При приближенном определении расстояний до пред­
метов необходимо учитывать, что ошибка может достигать
50 % . Ярко освещенные предметы кажутся нам расположен­
ными ближе, чем слабо освещенные, а расстояния в туман­
ную погоду — больше истинных. Предметы, окрашенные
в яркие цвета (белый, желтый, красный), кажутся ближе,
чем предметы, окрашенные в темные цвета (черный, синий,
коричневый). Крупные предметы кажутся ближе располо­
женными, чем мелкие предметы.
Для повышения точности глазомера может оказаться полез­
ной таблица (см. табл, на с. 8), составленная по многочислен­
ным наблюдениям В. Н. Ганыпиным [1].
7

Наблюдаемые предметы
Колокольни и башни
Деревни и большие дома

Расстояние,
км
16-21
9

Отдельные домики

5

Окна в домах

4

Трубы на крышах

3

Отдельные деревья и одиночные люди

2

Верстовые и другие столбы
Движение ног идущего человека

1
0,7

Переплеты в окнах

0,5

Цвета и части одежды

0,25

Черепица и шифер на крышах

0,2

7-1-11. Расстояние до молнии. Многие люди боятся молнии.
А как узнать расстояние до нее? Для этой цели можно вос­
пользоваться таким приближенным методом:
1) посчитать, сколько секунд прошло между вспышкой мол­
нии и соответствующим ударом грома;
2) разделить полученное число на 3 — это и будет расстоя­
ние до молнии (в километрах).
Поясним суть этого метода. Скорость v звука в воздухе равна
330 м/с, а скорость света — 300 000 000 м/с, что во мно­
го раз превышает скорость звука. Расстояние s, пройденное
звуком за время (, равно:
s = vt, s = 330 м/с •f с = 0,33 км/с •t с = — км.
3
7-1-12. Поверхность стола. Как с помощью нитки проверить,
является ли поверхность стола плоской?
7-1-13. Углы в строительстве. Раньше в средней полосе России
были приняты следующие размеры угла между стропильны­
ми ногами АС и АВ (см. рисунок) при строительстве домов
[4, с. 14]:
— для железных крыш — 120°;
— для толевых крыш — 145°;
— для черепичных крыш — 100°;
— для тесовых крыш — 90°.
8

Подумай!
7-1-14. Геометрический ребус. Здесь зашифровано одно из
основных понятий геометрии. Отгадайте его.

7-1-15. Можно ли расположить на плоскости 8 отрезков так,
чтобы каждый из них пересекался ровно с тремя другими?
7-1-16. Могут ли три стрелки часов (минутная, часовая и для
будильника) образовывать равные смежные углы?
7-1-17. Будильник отстает на 3 мин в час. Сейчас он показы­
вает 11 ч 41 мин. Через сколько минут будильник пока­
жет 12 ч?
7-1-18. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов
в 15 ч 30 мин?
7-1-19. Найдите угол между часовой и минутной стрелками ча­
сов в 12 ч 20 мин.
7-1-20. Найдите угол между часовой и минутной стрелками,
если часы показывают 12 ч 35 мин.
7-1-21. Найдите угол между часовой и минутной стрелками ча­
сов в 7 ч 38 мин.
7-1-22. Узнайте, через сколько минут, после того как часы по­
казали ровно 4 ч, минутная стрелка догонит часовую.
7-1-23. Стрелки часов только что совпали. Через сколько минут
они будут направлены в противоположные стороны?
7-1-24. В данный момент угол между часовой и минутной стрел­
ками настенных часов прямой. Чему может быть равен угол
между этими стрелками через полчаса?

ТЕМА 2. Треугольники

Геометрия вне дома
7-2-1. Отец отправился на лодке в море рыбачить и отплыл не­
далеко от берега. Как его сыну Дмитрию узнать расстояние
до отцовской лодки?
7-2-2. Отец с детьми, Димой и Ирой, летом поехали на рыбал­
ку. На реке, где они собирались рыбачить, располагалось два
острова Л и В. На одном из них рыбаки планировали отдохнуть,
9

а другой — посетить. Как, отправившись от острова Л, по­
пасть на остров В, побывав поочередно на обоих берегах реки?
Примечание. Проложенный маршрут плавания на лодке должен
иметь наименьшую длину, берега реки считать прямыми линиями,
а острова А и В — точками.
7-2-3. Отец с сыном подошли к небольшой речке. Как узнать ее
ширину, если через речку не перейти?

Это интересно
7-2-4. Нахождение середины отрезка. На листе бумаги отмече­
ны две точки А а В. Сможете ли вы, используя только пере­
гибания листа, найти середину отрезка Ай?

Подумай!
7-2-5. Можно ли двумя прямыми разбить треугольник на:
а) 5 треугольников;
б) 8 треугольников?
7-2-6. Одним и тем же способом можно разделить четырех­
угольник на 4 треугольника, пятиугольник — на 5 треуголь­
ников, а любой п-угольник — на п треугольников. Что это
за способ?
7-2-7. Можно ли 7 точек на плоскости расположить на 5 пря­
мых так, чтобы на каждой прямой было по 3 точки?
7-2-8. Можно ли какой-нибудь треугольник разрезать на два
треугольника:
а) прямоугольных;
б) остроугольных;
в) тупоугольных?
7-2-9. Существует ли треугольник, сумма любых двух углов ко­
торого меньше 120°?
7-2-10. Сколько треугольников изображено на рисунке?
7-2-11. Найдите в изображенной фигуре 47 треугольников.

10

7-2-12. На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольни­
ка АВС взяты соответственно точки D, Е, F так, что AD =
= BE = CF. Каков вид треугольника DEF1 Докажите.
7-2-13. Через точку В проведены четыре прямые так, что
АВ -1 BD, BE ± ВС. Прямая АС пересекает данные прямые
так, что АВ = ВС, при этом прямую BD она пересекает в точ­
ке D, а прямую BE — в точке Е. Докажите, что ДАBE = ABCD.

ТЕМА 3. Соотношения между сторонами
и углами треугольника
Г еом ет рия вне дома
7-3-1. Жители трех дач, расположенных в вершинах равнобед­
ренного прямоугольного треугольника (см. рисунок), реши­
ли построить общую беседку, чтобы встречаться на досуге.
Беседка должна быть равноудалена от всех трех домов. Они
попросили Сергея, ученика 7 класса, помочь им выбрать
место для строительства. Сергей быстро решил эту задачу.
А вы?

7-3-2. Через две пересекающиеся дороги проходит железная до­
рога. В каком месте надо построить железнодорожную стан­
цию, чтобы расстояния от нее до этих дорог были одинако­
выми?
7-3-3. Население поселка живет в основном
в двух многоквартирных домах, располо­
женных по разные стороны от шоссе. Где
следует построить автобусную остановку,
чтобы она располагалась на одинаковых
расстояниях от обоих домов?
11

7-3-4. Отец, решив развлечь детей на даче, спрятал клад и ска­
зал детям, что он находится в точке, которая равноудалена
от двух тропинок, ведущих к различным постройкам на дач­
ном участке, и от двух деревьев, растущих на нем. Детям
долго не удавалось найти клад, пока Сергей, хорошо успе­
вающий по геометрии в школе, не помог им. А можете ли вы
по этим ориентирам найти клад?

А (дерево)

Это интересно
7-3-5. Сумма углов треугольника. Теорему о сумме углов тре­
угольника можно доказать, используя перегибание листа бу­
маги. Для этого проведем из вершины большего угла тре­
угольника АВС (пусть это будет угол А) высоту AD. Теперь
загнем все три угла треугольника таким образом, чтобы их
вершины совместились с точкой D. Тогда все утлы треуголь­
ника составят вместе развернутый угол с вершиной в точ­
ке D, то есть 180°.
Доказательство следует из того, что отрезок M N, являясь
линией сгиба, будет серединным перпендикуляром к высоте
AD, а значит, и средней линией треугольника АВС. Так как
ВМ = DM = МА, DN = СA = AN, то треугольники BMD
и DNC будут равнобедренными, поэтому ZMBD = AMDB,
ZNCD = ZNDC, /.M AN = ZM DN (это следует из того, что
треугольники DMA и AND также равнобедренные). Следова­
тельно, все перегибания листа бумаги приведут к искомому
результату.
А

В

12

(А)
(В) D (С)

С

П од у м ай !
7-3-6. Вася и Коля поспорили. Вася сказал Коле, что он нарису­
ет треугольник, у которого биссектрисы будут перпендику­
лярны, Коля же уверен, что такого треугольника не суще­
ствует. Кто из них прав?
7-3-7. Квадрат ABCD разрезали на четыре
части (точки N, М, К, Н — середины
сторон квадрата, точка L — середина
отрезка КМ). Сложите из них равнобед­
ренный остроугольный треугольник.
7-3-8. Дан угол 13°. Как получить угол

А

N

В

11 ° ?

7-3-9. Дан угол 37°. Постройте циркулем
угол 3°.
7-3-10. Как с помощью циркуля и линейки разделить угол вели­
чиной 19° на 19 равных частей?
7-3-11. Из точки О на плоскости выходят два луча. Как, используя
только циркуль, проверить, равен ли угол между ними 108°?
7-3-12. Разделите треугольник с углами 15°, 105° и 60° на три
равнобедренных треугольника.
7-3-13. Какой треугольник надо взять, чтобы после проведения
в нем одного отрезка получить треугольники всех известных
видов: равносторонний, равнобедренный, разносторонний,
прямоугольный, остроугольный, тупоугольный?
7-3-14. Какие треугольники можно разрезать на два равнобед­
ренных треугольника?
7-3-15. Угол между двумя высотами остроугольного треугольни­
ка АВС равен 60°, а точка пересечения высот делит одну из
них в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника. До­
кажите, что треугольник АВС равносторонний.
7-3-16. Разделите угол 90° на три равные части с помощью цир­
куля и линейки.
7-3-17. Разделите угол 63° на три равные части; на семь равных
частей.
7-3-18. Постройте равносторонний треугольник, три вершины
которого лежат на трех данных параллельных прямых.

13

8 КЛАСС

.

ТЕМА 1 Четырехугольники
Геометрия дома
8-1-1. Мать попросила сына Сергея, который учится в 8 классе,
проверить, является ли кусок отрезанной ею материи квад­
ратом. Сергей легко справился с этой задачей. А вы можете
решить ее?

Геометрия вне дома
8-1-2. Вы вышли из своего дома по направлению на юг и про­
шли 400 м, затем повернули на восток и прошли 300 м. По­
сле этого повернули на север и прошли еще 400 м. На каком
расстоянии от дома (в метрах) вы оказались?
8-1-3. Отец вместе с сыном решили заменить забор длиной 126 м
на своем дачном участке. Для этого отец поручил сыну по­
считать, сколько штакетника необходимо закупить для ново­
го забора, если штакетины следует прибивать на расстоянии
5 см друг от друга, ширина штакетины также равна 5 см.
Сын справился быстро с этой задачей. А можете ли вы опре­
делить, сколько штакетин потребуется закупить?
8-1-4. Отцу на даче попалась пластина четырехугольной формы.
Он обратился к сыну Денису с просьбой определить, явля­
ется ли она прямоугольником. Тот с помощью одного толь­
ко циркуля выяснил, какую форму имел четырехугольник.
А можете ли вы сделать это?

Это интересно
8-1-5. Золотое сечение. Вырежьте из листа бумаги прямоуголь­
ник со сторонами 10 см и 16 см. Отрежьте от него квадрат
со стороной 10 см. Тогда останется прямоугольник со сторо­
нами 6 см и 10 см. Затем отрежьте от этого прямоугольни­
ка квадрат со стороной 6 см. Обратите внимание, что у всех
трех прямоугольников отношение большей стороны к мень­
шей примерно равно 1,6. Данный процесс можно продол­
жить и далее.
На прямоугольники, у которых стороны относятся прибли­
зительно как 1,6 : 1, обратили внимание очень давно. Если по­
смотреть на изображение храма Парфенон в Афинах (см. ри14

сунок ниже) и описать вокруг его фасада прямоугольник, то
длина прямоугольника окажется больше его ширины примерно
в 1,6 раза. Этот храм был построен в эпоху расцвета древнегре­
ческой математики, и его красота основана на строгих матема­
тических законах.
Прямоугольники, у которых одна сторона больше другой
примерно в 1,6 раза, получили название «золотые прямоуголь­
ники». Их стороны образуют «золотое сечение».

Золотое сечение — это такое деление целого на две неравные
части, при котором большая часть относится к целому как мень­
шая к большей. Если обозначить меньшую часть отрезка а ,
а большую — Ь, то в случае золотого сечения получим отношеЬ

а

а+Ь

Ь

ние -----= —.
Заметим, что в правильной пятиконечной звезде каждый из
пяти отрезков, составляющих эту фигуру,
делит другой отрезок в отношении золотого
сечения (см. рисунок).
АС
_ СВ
АС + СВ ~ АС

Размеры костей человека также выдер­
жаны в пропорции, близкой к золотому се­
чению. И чем ближе пропорции к формуле
золотого сечения, тем более идеальной вы­
глядит фигура человека.
Если расстояние между ступней человека и точкой пупа принять за 1, то рост человека составит 1,618.
Отношение расстояния от точки пупа до макушки головы к
расстоянию от уровня плеча до макушки головы равно 1 : 1,618.
Отношение расстояния от точки пупа до коленей к расстоя­
нию от коленей до ступней равно 1 : 1,618.
15

Отношение расстояния от кончика подбородка до кончика
верхней губы к расстоянию от кончика верхней губы до ноздрей
равно 1 : 1,618.
Отношение расстояния от кончика подбородка до верхней
линии бровей к расстоянию от верхней линии бровей до макуш­
ки равно 1 : 1,618.
Отношение расстояния от кончика подбородка до верхней
линии бровей к расстоянию от верхней линии бровей до макуш­
ки равно 1 : 1,618.
Принципы золотого сечения широко используются в искус­
стве (архитектуре, музыке, живописи, поэзии и прозе). Они ле­
жат в основе архитектурных пропорций многих замечательных
произведений мирового зодчества, главным образом античности
и Возрождения.
В живописи: картины многих знаменитых художников — ти­
танов эпохи Возрождения: Леонардо да Винчи, Микеланджело,
16

Рафаэля, Боттичелли и др., написаны согласно принципам зо­
лотого сечения. Его использовали в своих работах и замечатель­
ные русские живописцы Шишкин, Суриков и др.
В поэзии: в стихотворениях, как в музыкальных произведени­
ях, существуют кульминационные пункты, которые делят общее
количество строк в пропорции золотого сечения. Например, сти­
хотворение А. С. Пушкина «Сапожник», состоящее из 13 строк,
делится на две смысловые части — 8 и 5 строк (8 : 5 = 1,6).
В VIII главе «Евгения Онегина» кульминационная строка объяс­
нения Евгения в любви к Татьяне — «Бледнеть и гаснуть... вот
блаженство!» — делит главу на две части: в первой — 477 строк,
а во второй — 295 строк. Их отношение равно 1,617!
Поэзия замечательных Шота Руставели и Михаила Лермон­
това и многих других великих мастеров слова подчиняется за­
конам золотого сечения.
В скульптуре: статуи Аполлона Бельведерского, Зевса Олим­
пийского, прекрасной Афины, грациозной Нефертити и другие
выполнены с учетом оптимальных соотношений золотого сечения.
В фотографии используется «правило третей»: композиция
делится на три равные части по вертикали и по горизонтали,
важные части композиции должны располагаться либо вдоль
линий разделения (линии горизонта), либо в точках пересече­
ний (основной объект съемки).
Любопытно, а на прогулке в парке куда вы сядете на скамье:
на край, посередине или на любое место? Большинство ответит,
что чуть дальше от середины. Отношение длины скамьи к рас­
стоянию от вашего тела до края скамьи будет приближенно
равно 1,62. Так и в кинотеатре, и в библиотеке, везде.
Попытайтесь построить золотой прямоугольник с помощью
циркуля и линейки по следующим указаниям:
— нарисуйте квадрат и разделите его на две равные части;

— проведите диагональ в одном из квадратов;
/
/
/
/

/

17

_циркулем проведите дугу окружности радиуса АВ с цен­
тром в точке -А;


\

\
\

I

— продолжите основание квадрата до пересечения с дугой.
Достройте полученную фигуру до прямоугольника. Итак,
MNKF — золотой прямоугольник. Получилось?

.

F

В

-------- 1-------- 1
/
1 /
1 /
|/

М

А

К
ч

\
\
\

N

П одум ай!

8-1-6. Можно ли из фигурок, изображенных на ри- |—|—|
сунке, сложить квадрат? Фигурки можно брать '—1— ----в неограниченном количестве.

8-1-7. На клетчатой бумаге нарисован квадрат размером 5x5.
Как разрезать его по сторонам клеток на 7 различных пря­
моугольников ?
8-1-8. Как квадрат размером 13x13 разрезать по сторонам кле­
ток на 5 прямоугольников, чтобы все 10 чисел, выражающих
длины сторон этих прямоугольников, были различными це­
лыми числами?
8-1-9. В четырехугольнике диагонали равны и взаимно перпен­
дикулярны. Всегда ли этот четырехугольник является ква­
дратом?
8-1-10. В четырехугольнике диагонали взаимно перпендикуляр­
ны и имеют общую середину. Обязательно ли этот четыреху­
гольник будет квадратом?
8-1-11. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD равны.
Является ли этот четырехугольник прямоугольником?
18

Квадрат можно легко разрезать на 2 равных треугольни­
ка или 2 равных четырехугольника. А можно ли разрезать
квадрат на 2 равных пятиугольника или 2 равных шести­
угольника?
8-1-13. На доске был нарисован параллелограмм ABCD и отме­
чены середина Е стороны АВ и середина F стороны CD. Де­
журный стер параллелограмм, но оставил точки А, Е, F. Как
по этим точкам восстановить параллелограмм?
8-1-14. Прямоугольник ABCD разделили прямыми M N и KS на
части. Сколько всего прямоугольников получилось?
8-1-15. Сколько четырехугольников на этом рисунке?

А

К В
О

D

S

С

К задаче 8-1-14

К задаче 8-1-15

К задаче 8-1-19

8-1-16. В треугольнике АВС точка D делит сторону ВС в отно­
шении BD : DC = 1 : 3, а точка О делит отрезок AD в отно­
шении АО : OD = 5 : 2. В каком отношении прямая ВО делит
сторону АС?
8-1-17. Докажите, что медиана треугольника меньше полусум­
мы сторон, выходящих из той же вершины.
8-1-18. В результате измерения четырех сторон и одной из диа­
гоналей некоторого четырехугольника получились числа 2;
4; 5,5; 10; 15. Чему равна длина измеренной диагонали?
8-1-19. Квадрат ABCD со стороной 2 см и квадрат DEFK со
стороной 1 см стоят рядом на верхней стороне АК квадрата
A K L M со стороной 3 см. Между парами точек А и Е, В и F, С
и К, D и L натянуты паутинки. Паук поднимается по марш­
руту AEFB и спускается по маршруту CKDL (см. рисунок).
Какой маршрут короче?
19

К задаче 8-1-20

К задаче 8-1-21

К задаче 8-1-25

8-1-20. В квадрате ABCD проведены отрезки СЕ и CF, где точ­
ка Е — середина стороны АВ, точка F — середина сторо­
ны AD. Докажите, что отрезки СЕ и CF делят диагональ BD
на три равные части.
8-1-21. Фигура, изображенная на рисунке, состоит только из
квадратов. Найдите сторону левого нижнего квадрата, если
сторона самого маленького квадрата равна 1.
8-1-22. Докажите, что в трапеции разность боковых сторон
меньше разности оснований.
8-1-23. Вершина А квадрата ABCD соединена прямой с некото­
рой точкой М, лежащей на стороне CD, при этом AM = 5 см.
Биссектриса АЕ угла ВАМ пересекает сторону ВС в точке Е.
Определите сумму отрезков DM и BE.
8-1-24. Равнобокая трапеция ABCD разбивается диагональю АС
на два равнобедренных треугольника. Определите углы тра­
пеции.
8-1-25. Равнобокая трапеция с основаниями длиной 1 см и 2 см
и боковой стороной длиной 1 см разбита на четыре одинако­
вые фигуры (см. рисунок). В результате этого верхнее осно­
вание разделилось на четыре отрезка. Найдите отношение
длины большего отрезка к меньшему.
8-1-26. Разделите треугольник на два треугольника, четырех­
угольник и пятиугольник, разрезав его по двум прямым ли­
ниям.
8-1-27. На медиане ВМ треугольника АВС взята произвольная
точка D. Через точку D проведена прямая, параллельная
стороне АВ, а через вершину С — прямая, параллельная ме­
диане ВМ. Две полученные прямые пересекаются в точке Е.
Докажите, что АВ = DE.
8-1-28. Выпуклый бумажный четырехугольник разрезали на
четыре части по отрезкам, соединяющим середины противо­
положных сторон. Докажите, что из этих частей можно сло­
жить параллелограмм.
20

ТЕМА 2. Площади.
Теорема Пифагора
Геометрия дома
8-2-1. Мать решила сделать дома ремонт и покрыть пол в одной
из комнат паркетом. Она попросила дочь посчитать, сколь­
ко потребуется дощечек прямоугольной формы со сторонами
10 см и 20 см для комнаты, имеющей форму прямоугольни­
ка со сторонами 3 м и 5 м. Дочь быстро определила коли­
чество нужных дощечек. А сможете ли вы найти, сколько
потребуется таких дощечек для покрытия пола?
8-2-2. Мама решила покрыть в ванной комнате одну из стен раз­
мером 2,5x2 м кафельной плиткой. Она попросила сына
подсчитать, сколько кафельных плиток квадратной формы
со стороной 25 см потребуется закупить. Сын быстро спра­
вился с этой задачей. А сможете ли вы узнать, сколько та­
ких кафельных плиток потребуется для ремонта?

Геометрия вне дома
8-2-3. Вы вышли из своего дома по направлению на север
и прошли 450 м, затем повернули на восток и прошли еще
600 м. На каком расстоянии от дома (в метрах) вы оказались?
8-2-4. Две ели растут на расстоянии 48 м друг от друга. Высота
большей из них равна 41 м, а меньшей — всего 5 м. Каково
расстояние между верхушками елей?
8-2-5. Сергей измерил размеры дачного участка — тот имел
прямоугольную форму со сторонами 35 м и 22 м. Какова
площадь участка в сотках? (1 сотка = 100 м2.)
8-2-6. Отец попросил сына Сергея измерить размеры дачного
участка, имеющего форму четырехугольника, и найти пло­
щадь участка в сотках. Две стороны участка длиной 28 м
и 22 м оказались параллельными, а другие две имели длину
32 м и 32 м. Сергей смог найти площадь участка, и отец по­
хвалил его за хорошее знание геометрии. А можете ли вы
найти площадь данного дачного участка? (1 сотка = 100 м2.)
8-2-7. Отец поставил перед сыном задачу: определить размеры
их дачного участка прямоугольной формы, если его площадь
составляет 12 соток, при этом длина забора вокруг участка
равна 140 м. Сын легко решил эту задачу. А вы справитесь
с ней?
21

К задаче 8-2-8
8-2-8. Отец имел квадратное поле, четверть которого он решил
оставить себе (см. рисунок), а оставшуюся часть отдать сво­
им четверым детям при условии, что те сумеют разделить
поле на равные по площади и одинаковые по форме участки.
Смогли ли дети выполнить условие отца?
8-2-9. Новым дачникам предоставили участок треугольной фор­
мы, на котором располагались 4 родника с прекрасной во­
дой. Как им разделить этот участок на 4 таких участка, что­
бы они были одинаковы по форме, равны по площади и на
каждом участке был бы родник?
8-2-10. Отцу на даче потребовалось заменить старую лестницу,
ведущую на крышу веранды. Высота веранды 3 м. Отец по­
просил сына Сергея сделать новую лестницу. Какой длины
должна быть лестница, если для обеспечения безопасного
передвижения ее нижний край должен отстоять от стены ве­
ранды на расстоянии не менее 1 м?
8-2-11. Отец с сыном отправились рыбачить на озеро, заросшее
у берега тростником, а рыба как раз клевала около него. Как
определить глубину озера, если под руками нет никаких из­
мерительных инструментов?

Это интересно
8-2-12. Построение квадрата, втрое превосходящего по площа­
ди данный. Рассмотрим, как в древности арабы решали такую
задачу: построить квадрат, втрое превосходящий данный.
Возьмем три равных данному квадрата и два из них раз­
делим диагоналями пополам (см. рисунок). Полученные
равнобедренные прямоугольные треугольники приложим
гипотенузами к сторонам третьего квадрата так, чтобы каж ­
дая вершина последнего совпадала с вершиной не более чем
одного треугольника. Если соединить вершины треугольни­
ков, то получим искомый квадрат, площадь которого будет
в три раза больше площади исходного.
22

К задаче 8-2-12
8-2-13. Пифагоровы числа. Иногда в жизни возникает необходи­
мость построить такой прямоугольный треугольник, у которо­
го оба катета и гипотенуза являются целыми числами. Целые
числа, пригодные для этой цели, называют пифагоровыми, так
как они должны удовлетворять теореме Пифагора: а2 + Ь2 - с2,
где а и 6 — катеты, а с — гипотенуза прямоугольного тре­
угольника. Выбрав длины катетов а и 6 наугад, гипотенузу с
легко найти по формуле с = -Ja2 + Ь2, но трудно подобрать такие
целые значения а и 6, чтобы число с также было целым. На­
пример, при а = 3 и Ь = 4 получим, что число с = л/32 + 4 2 = 5 —
целое, а при а = 2, 6 = 5 число с = V22 + 52 = V29 — нецелое.
Тем не менее пифагоровых чисел существует бесчисленное
множество. Рассмотрим способы их получения.
I способ. Для этого введем новое понятие.
Числа вида г = х + iy, где х и у — действительные числа,
а 1! = -1, называют комплексными.
Заметим, что z 2 = (х + iy)2 = х 2 + 2xyi + (iy)2 = (х2 - у2) + 2xyi =
= а + Ы является также комплексным числом.
Любое комплексное число х + yi с целыми х н у называют
числом, производящим пифагоровы числа.
Рассмотрим пример:
(3 + 2i f = З2 + 2 • 3 • 2/ + (2i)2 = 9 + 1 2 £ -4 = 5 + 12/.
Так как л/б2 + 122 = л/169 = 13, то получим пифагоровы числа
5, 12 и 13.
В общем случае при любом производящем комплексном числе
х + yi с целыми х н у пифагоровыми будут числа а,Ъ и х2 + у~.
Найдем несколько пифагоровых чисел указанным способом.
1. Пусть х = 2, у = 1, тогда (2 + И)2 = 22 + 2 *2 • li + (i)“ = 3 + 4i.
Отсюда пифагоровыми будут числа 3, 4 и 5.
23

2. Пусть х = 4, у = 3, тогда
(4 + 3i)2 = 42 + 2 - 4 • 3t + (3i) = 16 + 24i - 9 = 7 + 24i.
Следовательно, пифагоровыми будут числа 7, 24 и 2о.
3. Пусть х = 5, у = 1, тогда
(5 + 1£)2 = 52 + 2 • 5 • i + (i)2 = 25 + 10i - 1 = 24 + 10i.
Здесь пифагоровыми будут числа 24, 10 и 26.
Если эти вычисления производить в буквенной форме, то
можно получить следующие формулы для подбора пифаго­
ровых чисел а, 6, с:
(х + iy f = х2 + 2xyi + (iy)2 = (Хг - у2) + 2XJ/I,
отсюда
а = х2- у 2, Ъ= 2ху, с = х2 + у .
Например, при х —4, у = 1 пифагоровыми числами будут.
а = х2- у 2 = 1 6 - 1 = 15, 6 = 2-4-1 = 8,
с = х2 + у 2 = 42 +12 =17.
Проверим: 152 + 82 = 172.
II способ. Пусть от и л — любые натуральные числа, причем
т > п. Тогда
( т 2 + л2)2 = т 4 + 2т 2п2 + л4 =
= (Л14 - 2 т гп2 + л4) + 4 лгV = (лг2 - л2)2 + (2лгл)2.
Таким образом, числа 2тп, т 2 —л2, т 2 + л2, где т и п — любые натуральные числа, причем т > пуявляются пифагоровы­
ми. Если же все эти три числа умножить на произвольное
натуральное число fe, то мы вновь получим пифагоровы числа.
III способу приписываемый Пифагору, основан на тождестве
(2л + 1)2 + (2 л2 + 2л)2 = (2 л2 + 2л + 1)2.
Действительно, например, при л = 2 получаем: 52 +122 = 132.
Проверьте справедливость данного правила при других
значениях л.
IV способ, т а к называемое «правило П латона». Если при­
нять один из катетов за четное число 2р, то другой катет бу­
дет р2 - 1 , а гипотенуза — р2 + 1 . При р = 2 получаем катеты
4 и 3, а гипотенузу 5.
Вычислите стороны прямоугольного треугольника при дру­
гих значениях р.
8-2-14. Построение углов на местности. Часто на местности
приходится строить прямой угол. Он может быть легко по­
строен с помощью египетского треугольника со сторонами
3 м, 4 м, 5 м или соответственно с размерами, в два раза
меньшими, а уж рулетка дома или на даче найдется.
24

Рассмотрим, как можно построить прямой угол с помощью
веревки. Надо отложить на веревке сначала 3 одинаковых
расстояния, а затем 4 и 5 одинаковых расстояний. Потом
зафиксировать все метки узелками, в том числе и начало ве­
ревки. Затем соединить первый и четвертый узелки, а вто­
рой и третий узелки оттянуть. Получится прямоугольный
треугольник.
А вот для приближенного построения угла 45° можно ис­
пользовать треугольники со сторонами 4 м, 5 м и 7 м или
5 м, 6 м и 7 м (угол 45° будет лежать напротив стороны дли­
ной 5 м).
8-2-15. Определение площади произвольного четырехугольника.
Интересно, что в древнем Вавилоне для приближенного
определения площади S произвольного четырехугольника
брали произведение полусумм противоположных сторон,
то есть применяли формулу S =

где а, Ъ, с, d —

стороны четырехугольника.

Подумай!
8-2-16. Можно ли разбить произвольный треугольник на 2, 3,
..., п равновеликих треугольников? Как это сделать?
8-2-17. Можно ли все стороны прямоугольного треугольника
выразить четными числами? А нечетными числами?
8-2-18. Могут ли два неравных треугольника, имеющих по две
соответственно равные стороны, иметь равные площади?
8-2-19. Докажите, что для прямоугольного треугольника спра,
1 1 1
ведлива формула —г = —? + -г , где h — высота прямоугольh2 а2 Ь2
ного треугольника, проведенная из вершины прямого угла,
а и Ъ — катеты прямоугольного треугольника.
8-2-20. На диагонали прямоугольника выбрали точку и провели
через нее прямые, параллельные сторонам. По разные сторо­
ны от диагонали образовались два прямоугольника. Докажи­
те, что их площади равны.
8-2-21. Когда у прямоугольника площадью 144 см2 одну из сторон
удлинили на 1 см, а другую — укоротили на 1 см, его площадь
уменьшилась на 1 см2. Какими могли быть стороны исходного
прямоугольника? Укажите все возможные значения.
8-2-22. Точка М внутри выпуклого четырехугольника ABCD та­
кова, что площади треугольников ABM , ВСМ, CDM и DMA
25

равны. Верно ли, что ABCD — параллелограмм, а М
точ­
ка пересечения его диагоналей?
8-2-23. Парус имеет вид четырехугольника
ABCD, углы А, С и D которого равны
45°. Найдите площадь паруса, если
BD = 4 м.
8-2-24. Каждая сторона одного треугольни­
ка больше каждой стороны другого треугольника. Верно ли,
что площадь первого обязательно больше площади второго?
8-2-25. Прямоугольный лист бумаги разрезали на три треуголь­
ных куска. Площадь одного из них равна половине суммы
площадей других кусков. Как относятся площади получен­
ных кусков?
8-2-26. Пусть а и Ъ — катеты прямоугольного треугольника,
а с — гипотенуза. Что больше: а3 +Ь3 или с3?
8-2-27. Вершину А прямоугольника ABCD соединили с середи­
нами сторон ВС и CD. Может ли один из этих отрезков ока­
заться вдвое длиннее другого?
8-2-28. Можно ли равносторонний треугольник со стороной 9 см
разрезать на два треугольника, периметры которых равны
20 см и 23 см?

ТЕМА 3. Подобные треугольники
Геометрия вне дома
8-3-1. Сергей с отцом решили поехать на рыбалку на море. По­
дойдя к морю, они заметили вдалеке ряд лодок с рыбаками.
Отец спросил Сергея, сможет ли он определить примерно,
на каком расстоянии от берега находятся эти лодки. Сер­
гей выполнил на берегу некоторые измерения и назвал отцу
примерное расстояние до рыбаков. А сможете ли вы рассчи­
тать расстояние до рыбаков от конкретной точки на берегу
моря, имея под рукой в качестве измерительного инструмен­
та только спичечный коробок?
8-3-2. На выходные дни вы поехали на дачу помочь родителям.
Вечером вышли погулять и заметили, что ваша тень от фонаря,
который висит на столбе, равна 3 вашим шагам. Вы измерили
расстояние до столба. Оно оказалось равным 9 шагам. На ка­
кой высоте установлен фонарь, если ваш рост составляет 1,6 м?
8-3-3. Для ремонта на даче отцу потребовалось дерево опреде­
ленной длины. Он попросил сына помочь ему найти в лесу
26

подходящее дерево. Как определить в лесу высоту дерева, не
забираясь на него?
8-3-4. Семья решила поехать летом к морю. По пути отец заметил
вдалеке гору и попросил Сергея, окончившего 8 классов, при­
ближенно узнать ее высоту. Сергей, проделав необходимые
расчеты, сказал отцу высоту горы. А вы сможете это сделать?

Это интересно
8-3-5. Обозначение синуса и косинуса в древности. В старой
тригонометрии, где синусы и косинусы были реальными ли­
ниями, их обозначали следующим образом:
синус угла
косинус угла
8-3-6. Определение высоты предметов методом Фалеса. Суще­
ствует множество различных способов измерения высоты
предметов. В частности, можно определить высоту дерева, не
срубая его и не взбираясь на верхушку, при помощи весьма
незамысловатых приборов и даже без всяких приспособлений.
Самый легкий и самый древний способ изобрел Фалес, кото­
рый за 6 веков до н. э. определил в Египте высоту пирамиды.
Для этого он воспользовался тенью пирамиды и знанием не­
которых фактов из геометрии. Фалес, как гласит предание,
выбрал день и час, когда длина собственной тени равнялась
его росту. В этот момент высота пирамиды должна была так­
же равняться длине отбрасываемой ею тени.
Примечание. Способ Фалеса в указанном виде применим не всег­
да, так как Солнце в России стоит низко над горизонтом и тени
бывают равны высоте отбрасывающих их предметов лишь в околополуденные часы летних месяцев.

Подумай!
8-3-7. Являются ли подобными два равнобедренных тре­
угольника, которые имеют по одному равному острому углу?
А по одному тупому углу?
8-3-8. Являются ли подобными два прямо­
угольных треугольника, если острый угол в
М С
одного из них равен острому углу другого?
8-3-9. На рисунке ABCD — прямоугольник,
A B M N — квадрат, MCDN — прямоуголь­
ник, подобный прямоугольникуABCD.
Найдите отношение сторон AD : АВ.
А
N
D
27

8-3-10. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит
его площадь пополам. В каком отношении она делит боковые
стороны треугольника?
8-3-11. В квадрате ABCD каждую верши­
ну соединили отрезком с серединой
стороны, лежащей между двумя сле­
дующими вершинами (считая вершины
в определенном порядке, например дви­
гаясь по часовой стрелке). Проведенные
прямые образовали при своем пересече­
нии квадрат MNKP (см. рисунок). До­
кажите, что площадь данного квадрата
в пять раз меньше площади исходного
квадрата.

А

X

В

8-3-12. Геометрический парадокс. Петя нарисовал на бумаге
квадрат со стороной 8 см и разрезал его на четыре части,
как показано на рисунке а. Затем он сложил из этих частей
прямоугольник (см. рисунок б). Найдя площадь полученного
прямоугольника, Петя обнаружил, что она равна 65 см2, в то
время как площадь квадрата была 64 см2. Почему? Помогите
Петру разобраться в обнаруженном различии.
5 см
с

в

А

D

А

/

f
а

б

8-3-13. Дан разносторонний прямоугольный треугольник АВС.
Сколько треугольников, подобных треугольнику АВС, мож­
но получить, проводя различные прямые внутри треугольни­
ка через точку Е, лежащую на меньшем катете?
28

8-3-14. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС
проведена биссектриса острого утла В, которая пересекла
катет АС в точке L. На отрезках CL и LA как на сторонах
построили два квадрата. Найдите отношение площадей этих
квадратов.
8-3-15. Площадь равностороннего треугольника, построенного
на гипотенузе прямоугольного треугольника, в два раза боль­
ше площади прямоугольного треугольника. Найдите острые
углы прямоугольного треугольника.
8-3-16. В прямоугольник со сторонами 3 м
и 4 м вписан прямоугольник, стороны ко­
торого относятся как 1 : 3 (см. рисунок).
Найдите стороны вписанного прямоуголь­
ника.
8-3-17. Две противоположные вершины пря­
моугольника с длинами сторон а и Ь со­
вмещены. Найдите длину сгиба.
8-3-18. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются
в точке М. Известно, что AM = 1, ВМ = 2, СМ = 4. При ка­
ких значениях DM четырехугольник ABCD является трапе­
цией?
8-3-19. Из трех разных вершин треугольника проведены биссек­
триса, медиана и высота соответственно. Могут ли медиана
и биссектриса разделить высоту на три равные части?

ТЕМА 4. Окружность

Геометрия вне дома
8-4-1. Если вы проживаете в городе, то наверняка заметили, что
все канализационные люки сделаны круглыми, а не квадрат­
ными. А почему?
8-4-2. Жители трех дачных домов решили вырыть общий коло­
дец так, чтобы от каждого дома до колодца было одинаковое
расстояние. Они обратились к соседу Вик­
тору, который перешел в 9 класс, с прось- ^
^ .
бой помочь им определить место. Виктор
легко справился с задачей, которую зада­
ли ему соседи. А можете ли вы решить эту
_
задачу? Покажите на рисунке, где нужно
Ж'
расположить колодец.
29

8-4-3. Петя вместе с родителями поехал отдыхать на дачу, во­
круг которой располагались три озера: большое, средних раз­
меров и маленькое. В озерах было много рыбы. Отец очень
любил рыбалку и каждое утро вместе с сыном ходил на одно
из озер. Но вот что удивительно: если они двигались по пря­
мой, то всегда попадали на одно из озер. Почему? Как рас­
полагались озера относительно местоположения дачи?
8-4-4. Летом отец с сыном Сергеем оказались на берегу круглого
озера диаметром около 100 м. В середине озера был неболь­
шой остров, на котором они заметили одинокое дерево. Сер­
гею захотелось перебраться на остров, однако вплавь преодо­
леть расстояние 50 м было рискованно — лодки с собой не
было. Но в рюкзаке оказалась веревка длиной немногим более
100 м, а на берегу озера росло одинокое дерево. Используя эти
два дерева и веревку, Сергей перебрался на остров, а затем
благополучно вернулся обратно к отцу. Как он это сделал?

Это интересно
8-4-5. Изображение окружности на клетчатой бумаге без цирку­
ля. Как изобразить окружность с помощью циркуля, вы знае­
те. А как быть, если нет циркуля и надо
изобразить окружность от руки? Для это­
го можно применить следующее правило.
Возьмем лист клетчатой бумаги. Первую
точку окружности поставим в узле (пере­
сечении линий) клетчатой бумаги. Затем,
отступив на три клетки вправо и на одну
клетку вниз, поставим вторую точку. От­
ступим от второй точки на одну клетку вправо и вниз, полу­
чим третью точку. Четвертая точка получится, если отступить
от третьей точки на одну клетку вправо и на три клетки вниз.
Соединив эти четыре точки плавной линией, получим четверть
окружности. Это правило для запоминания можно записать:
3 -1 ,1 —1,1-3. Оставшуюся часть окружности легко дорисовать.
Радиус получившейся окружности будет равен 5 клеткам. Если
необходимо изобразить окружность с радиусом 2,5 клетки, то
делаем все аналогично, но отступы уменьшаем в 2 раза. А если
нужно изобразить окружность с радиусом, равным 10 клеткам,
то отступы соответственно увеличиваем в 2 раза.
8-4-6. Фигуры в архитектуре. Фигуру, состоящую из полу­
окружности и двух параллельных прямых (см. рисунок),
в архитектуре называют «валиком», если диаметр полу­
окружности вертикален, и «аркой», если горизонтален.
30

)

Валик

Арка

8-4-7. Появление терм ина «радиус». В древности не было тако­
го термина, как радиус. Его впервые ввел в XVII веке фран­
цузский математик Франсуа Виет. В переводе с латинского
этот термин означал «спица колеса».
П одум ай!
8-4-8. Брат и сестра разделили круглый торт двумя перпендику­
лярными разрезами на четыре части. Сестра взяла себе две
части — наименьшую и наибольшую, а две остальные отдала
брату. Кому из них досталось не меньше половины торта?
8-4-9. Хорда удалена от центра окружности на расстояние ft.
В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хор­
дой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин ле­
ж ит на хорде, а другая пара соседних вершин — на соответ­
ствующей дуге окружности. Найдите разность длин сторон
квадратов.
8-4-10. На окружности выбраны диаметрально противополож­
ные точки А и В и отличная от них точка С. Касательная
к окружности в точке А и прямая ВС пересекаются в точ­
ке D. Докажите, что прямая, касающаяся окружности в точ­
ке С, делит отрезок AD пополам.
8-4-11. Могут ли биссектрисы двух внешних углов треуголь­
ника пересечься в точке, лежащей на описанной около тре­
угольника окружности?
8-4-12. Докажите, что в неравнобедренном прямоугольном тре­
угольнике высота, опущенная на гипотенузу, меньше поло­
вины гипотенузы.
8-4-13. В прямоугольной трапеции на боковой стороне, не
перпендикулярной основанию, как на диаметре описана
окружность. Оказалось, что она касается противоположной
стороны трапеции. Докажите, что квадрат стороны трапеции
в 4 раза больше произведения оснований трапеции, то есть
А В 2 = 4ВС • AD.
8-4-14. Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Докажи­
те, что если АВ || DE и AF || ВС, то и ВС || EF.
31

9 КЛАСС
ТЕМА 1. Длина окружности и площадь круга.
Правильные многоугольники
Геометрия дома
9-1-1. Мама нашла дома 21 упаковку паркетных плиток в форме
правильного шестиугольника со стороной 24 см. Она попро­
сила сына Диму, ученика 9 класса, рассчитать, хватит ли
этих упаковок для покрытия пола комнаты размером
7,48x3,25 м, если в каждой упаковке 8 плиток.

Геометрия вне дома
9-1-2. Отец решил просверлить отверстие в центре пластины,
имеющей форму круга. Для этого необходимо было найти
центр окружности. Рядом находился сын Дима. Отец попро­
сил Диму помочь ему найти центр круга. Дима легко спра­
вился с поставленной задачей, имея в своем распоряжении
всего лишь прямоугольный треугольник и карандаш. А вы
сможете решить эту задачу?
9-1-3. Летом Сергей приехал в деревню к бабушке, у которой со­
хранился старый колодец. Бабушка решила проверить, как
внук знает геометрию, и поручила ему решить такую задачу:
определить глубину колодца, если ничего, кроме обычной
школьной линейки, у Сергея нет. Сергей легко справился
с этой задачей. А вы можете решить?
9-1-4. Отец решил соорудить на даче мансарду. Простейшее
в изготовлении перекрытие мансарды представляет собой
в вертикальном сечении половину правильного восьми­
угольника (см. рисунок). Отец попросил сына, окончившего
9 классов, найти ширину перекрытия BD, сторону восьми­
угольника АВ, высоту мансардной комнаты М К , если длина
А Е равна 6 м. Сын справился с этой задачей. А вы сможете?
С

К
32

9-1-5. Отец нашел на даче лист фанеры размером 150x150 см
и попросил сына Дмитрия определить приближенно диаметр
бревна, из которого он был изготовлен. Дмитрий справился
с этой задачей. А вы?

9-1-6. Отец попросил сына Сергея вычислить площадь голов­
ки шестигранного болта со стороной 1 см. Сергей справился
с этой задачей. А вы сможете ее решить?
9-1-7. Отец попросил сына Сергея выпилить из квадратного ку­
ска доски круг наибольшего диаметра для бочки, в которой
предполагалось засолить грибы. Какой процент отходов ма­
териала получился?
Это интересно
9-1-8. Интересные числа. Многие из необычных чисел носят
имена великих математиков. Например, число жназывают
числом Архимеда, а число е ~ 2,718281 — неперовым чис­
лом. Оно было названо в честь Джона Непера — шотландско­
го математика, изобретателя логарифмов. А какое число
иногда называют числом Шехерезады?
9-1-9. Приближенное вычисление площади круга. В Древнем
Египте для нахождения площади круга пользовались форму­
лой S
■ф

= ( - d I , где d — диаметр круга. При этом получа\ а

64 • 4

приближенное значение л = [ —] • 4 = ^

256
81

= 3,16

что было близко к более точному значению числа л.
9-1-10. Приближенное вычисление длины, окружности. В древ­
нем Вавилоне приближенно находили длину окружности,
принимая за нее периметр правильного вписанного в окруж­
ность шестиугольника. Пользуясь данным приемом, можно
33

приближенно найти значение л. Так как длина окружности С
равна 2nR, периметр шестиугольника равен 6Б, то к = 3.
9-1-11. Изготовление дна бочки. Раньше для изготовления
цельного дна бочки из одного куска доски бондари часто по­
ступали следующим образом: измеряли охват бочки у дна,
брали доску шириной, равной трети найденной длины, из
которой и делали цельное дно бочки. Дайте геометрическое
обоснование этого способа.
9-1-12. Выпрямление окружности. Раньше для приближенного
выпрямления окружности столяр откладывал три раза ее
диаметр и один раз высоту меньшего сегмента, отсеченного
стороной вписанного в окружность квадрата. Какова была
при этом погрешность вычисления длины окружности по
сравнению с формулой С = nd?

Подумай !
9-1-13. Перерисуйте на плотную бумагу изображенный на ри­
сунке правильный восьмиугольник и в центре вырежьте
отверстие, также в форме правильного
восьмиугольника. Образовавшуюся фигуру разрежьте на 8 равных частей и,
перекладывая их, составьте восьмико­
нечную звезду, которая также имела бы
восьмиугольное отверстие.
9-1-14. Дети на даче решили сыграть в та­
кую игру: по очереди проводить в пра­
вильном двадцатиугольнике диагонали,
которые при этом не должны пересекаться. Победителем бу­
дет признан тот, кто последним проведет диагональ. Первой
начинала игру сестра и всегда побеждала. Какой стратегии
она придерживалась?
9-1-15. На стороне АВ правильного треугольника АВС взяли
точку М и на отрезке МС по ту сторону от него, что и точ­
ка Б, построили правильный треугольник МКС. Докажите,
что прямые АС и ВК параллельны.
9-1-16. Треугольник обладает следующим свойством: сумма рас­
стояний от любой точки внутри него (включая точки на гра­
нице) до прямых, содержащих его стороны, постоянна и не
зависит от выбора точки. Докажите, что данный треуголь­
ник правильный.
34

9-1-17. Хулиган Вася вырезал из школьной стенгазеты, имею­
щей форму квадрата, все то, что ему не понравилось. В итоге
остался кусок в форме правильного восьмиугольника. Мож­
но ли по этому восьмиугольнику узнать размеры школьной
стенгазеты, если количество отрезанных кусков было пять
и каждый из них имел форму многоугольника?
9-1-18. Разбейте правильный шестиугольник на 12 равных че­
тырехугольников.
9-1-19. В правильном выпуклом восьмиугольнике провели две
параллельные диагонали. Докажите, что
площадь закрашенной части равна пло­
щади незакрашенной части.
9-1-20. На катетах прямоугольного треуголь­
ника площадью 10 см2 как на диаметрах
построены полуокружности, расположен­
ные вне треугольника. Найдите суммар­
ную площадь частей полукругов, распо­
ложенных вне круга, описанного вокруг
этого треугольника.

ТЕМА 2. Элементы стереометрии

Геометрия дома
9-2-1. Мама предложила Сергею почистить картофель для пюре.
Какой картофель выгоднее Сергею почистить: мелкий или
крупный и почему?
9-2-2. В бутылку с круглым (или прямоугольным)
дном налита жидкость. Мама попросила Сергея
узнать объем всей бутылки в миллилитрах. Сергей
сделал это, имея в руках только масштабную ли­
нейку. А сможете ли вы сделать это? Выливать или
доливать жидкость не разрешается. Дно бутылки
считать плоским.
9-2-3. Мама покрасила пол в квартире и попросила
дочь приблизительно узнать толщину получивше­
гося слоя краски. Дочь легко справилась с задачей.
А вы сможете?

Геометрия вне дома
9-2-4. Отец пришел с сыном в магазин выбрать гвозди для ре­
монта на даче. В магазине им предложили на выбор три вида
гвоздей. 5 р и этом гвозди всех трех видов были одинаковой
оо

длины и массы, но разного сечения: круглого, квадратного
и треугольного. Отец хотел выбрать такие гвозди, чтобы они
держались в бревнах и досках как можно крепче. Он попро­
сил сына определиться с выбором гвоздей. Сын помог отцу.
А вы смогли бы сделать правильный выбор?
9-2-5. Мама послала дочь на рынок купить мандарины. Дочь на
рынке нашла два сорта мандаринов: крупные и мелкие. При
этом толщина корки у мандаринов обоих сортов была одина­
ковой. Какие мандарины выгоднее купить дочери?
9-2-6. Мама послала сына купить на рынке арбузы. Сын выбрал
на вид два арбуза. Первый из них был в обхвате на четверть
больше второго арбуза и стоил в полтора раза дороже второ­
го. Какой арбуз выгоднее было купить?

Это интересно
9-2-7. Жилища некоторых народов. Жилища некоторых наро­
дов имеют форму полусферы, цилиндра, конуса, пирамиды
или комбинации их.
Вигвам — жилище индейцев Северной Америки, представ­
ляет собой шалаш на каркасе из тонких гибких стволов и по­
крытый циновкой, корой или ветками. Имеет полусфериче­
скую форму.
Типи — традиционное переносное жилище кочевых ин­
дейцев Великих равнин с очагом, расположенным внутри
(в центре). Данный тип жилища использовался также гор­
скими племенами Дальнего Запада. Иногда его применяли
и в соседних регионах. Часто типи путают с вигвамом. Но
отличие типи от вигвама в том, что типи имеет форму прямо­
го или слегка наклоненного назад конуса или пирамиды на
каркасе из шестов, с покрышкой, сшитой из обработанных
шкур бизонов или оленей. Позднее, с развитием торговли
с европейцами, чаще использовалась более легкая паруси­
на. Сверху находится дымовое отверстие с двумя лопастя­
ми — дымовыми клапанами, которыми регулировали тягу
дыма очага с помощью особых шестов. В нижней части по­
мещения обычно имелась дополнительная подкладка, созда­
ющая больший комфорт, изолируя находящихся внутри от
потока наружного воздуха. В разных племенах имеются свои
особенности конструкции этого жилища.
Чум — конический шалаш из жердей, покрываемый берё­
стой, войлоком или оленьими шкурами; форма жилища,
36

распространенная по всей Сибири. Диаметр чума в нижней
части обычно составляет от 3 до 8 метров.
Ю рта
переносное каркасное жилище кочевников (ци­
линдрической формы с куполообразной крышей или крышей
в форме усеченного конуса), покрытое войлоком. Юрта пол­
ностью удовлетворяет потребностям кочевника в силу свое­
го удобства и практичности. Она быстро собирается и легко
разбирается членами одной семьи в течение часа, легко пере­
возится на верблюдах, лошадях или автомашине. Войлоч­
ное покрытие юрты защищает от дождя, ветра и холода. От­
верстие на вершине купола служит для дневного освещения
и позволяет легко пользоваться очагом. Юрта и поныне ис­
пользуется во многих случаях животноводами Казахстана,
Кыргызстана и Монголии.
Я р ан га — переносное жилище некоторых кочевых народов
(чукчей, коряков, эвенов, юкагиров) Севера России. В осно­
вании обычно представляет собой круг. Каркас и конический
купол яранги собираются из легких деревянных шестов, по­
сле чего покрываются оленьими шкурами. В среднем на по­
крытие яранги обычного размера требуется около 50 шкур.
Внутри яранга делится на жилое отапливаемое помещение
и кладовую, разделенные вертикальным пологом, образую­
щим в плане квадрат.
П одум ай!
9-2-8. Одна цилиндрическая кружка втрое выше другой, но вто­
рая в два раза шире первой. В какую из кружек поместится
жидкости больше и во сколько раз?
9-2-9. Три боковых ребра четырехугольной пирамиды равны
1 см, 6 см и 11 см. Может ли основанием пирамиды быть
квадрат? Ответ обоснуйте.
9-2-10. Существует ли многогранник с нечетным числом граней,
каж дая из которых является многоугольником с нечетным
числом сторон?
9-2-11. Найдите сечение наименьшей площади, проходящее че­
рез диагональ куба.
9-2-12. Можно ли завернуть кубик с ребром 1 в квадратный ли­
сток бумаги со стороной 3?

37

Часть 2. О ТВЕТЫ И Р Е Ш Е Н И Я
7 КЛАСС
ТЕМА 1. Начальные геометрические сведения
7 - 1 -1 . 7,84 м. Решение. Так как высота каждой ступени равна

14 см, а всего было 56 ступенек, то высота, на которую под­
нялся Василий, равна:
14 -56 = 784 (см) = 7,84 (м).
7-1-2. 30°. Решение. Так как полный угол составляет два раз­
вернутых угла, то есть 360°, а угол, который образуют ми­
нутная и часовая стрелки в 1 ч, меньше полного угла в 12 раз,
то он равен 30°.
7-1-3. 120°. Решение. Полный угол составляет два развернутых
угла, то есть 360°, а угол между минутной и часовой стрел­
ками в 8 ч будет больше угла между минутной и часовой
стрелками в 1 ч в 4 раза. Поэтому искомый угол равен 120°.
7-1-4. 11°15'. Решение. Так как углы между спицами равны,
углов всего 36, а полный угол составляет 360°, то угол меж­
ду двумя соседними спицами равен: 360°: 36 = 10°. Если
спиц в колесе 32, то угол между соседними спицами будет
равен: 360°: 32 = 11,25° = 11°15'.
Примечание. Данное решение является приближенным, по­
скольку в современных велосипедах продолжения спиц часто идут
не через центр колеса, а пересекаются.

7-1-5. Короткие бревна. Решение. Выгоднее привезти более ко­
роткие бревна, так как при распиловке их на чурки число
распилов будет меньше. Например, если привезти 12 трех­
метровых бревен, то количество распилов будет 48, а если
привезти 10 бревен длиной 3 м 60 см (кубатура совпадает),
то распилов будет 50.
7-1-6. Решение. Намотаем тонкую проволоку в один слой на
линейку так, чтобы соседние витки проволоки были плотно
прижаты друг к другу. Разделив ширину полученного слоя
на число витков, найдем толщину одного витка проволоки,
которая совпадает с диаметром проволоки.
7-1-7. ~ 3 аршина, я 2,13 м. Решение. 7 футов = 7 • 0,3048 м =
= 2,1336 м « 2,13 м. Так как 1 аршин равен 0,711 м, то 7 фу­
тов будут равны 2,13336 : 0,711 « 3 (аршинам).
38

7-1-12. Решение. Для этого надо натянуть нитку и, приклады­
вая ее к разным точкам стола, убедиться в том, что между
ниткой и поверхностью нет просветов. Тогда можно сделать
вывод, что на поверхности нет впадин. Также надо ино­
гда приподнимать один из концов нити, чтобы проверить,
не является ли поверхность выпуклой. Если нить касается
поверхности только в одной точке, то поверхность стола не
выпуклая, а если касается поверхности еще в какой-то про­
межуточной точке, то поверхность выпуклая.
7-1-14. Плоскость.
7-1-15. Можно, см. рисунок.

7-1-16. Могут, если в 18 ч установить бой часов на 3 ч утра.
7-1-17. Через 19 мин. Решение. Так как будильник отстает на
3 мин в час, то каждые 20 мин он будет отставать на 1 мин.
Поэтому 12 ч он покажет через 20 - 1 = 19 (мин).
7-1-18. 75°. Решение. В 15 ч стрелки часов образовали прямой
угол. За 30 мин минутная стрелка повернулась на 180°, а ча­
совая — на 15°. Тогда угол между ними стал равен:
1 8 0 ° - 9 0 ° - 1 5 ° = 75°.
7-1-19 110° Решение. В 12 ч стрелки часов сходятся вместе.
1

После этого за 20 мин минутная стрелка проходит - окруж­
ности, то есть описывает угол 120°. Часовая стрелка движет­
ся в 12 раз медленнее минутной (так как описывает круг за
12 ч). Поэтому за 20 мин она опишет угол 120° :12 = 10°
и образует с минутной стрелкой угол 1 2 0 °-1 0 ° = 110 .
7-1-20. 167,5°. Решение. Изобразим модель
циферблата часов:
Имеем:
АСОВ = АЛОВ + ААОС;
АЛОВ = 180° -

6

= 150°;

ААОС = 3° ° — - = 17,5°; поэтому
60

АСОВ = 167,5°.
39

7-1-21. 1°. Решение. За 1 час минутная стрелка проходит полный круг (угол 360°), а часовая стрелка — угол, в 12 раз
меньший, то есть 30°. Значит, в 7 ч минутная стрелка будет
отставать от часовой на 210°. Через 38 мин минутная стрел­
ка повернется на угол 360° • — = 228°, а часовая

на угол,

в 12 раз меньший, то есть на 19°. Тогда в 7 ч 38 мин угол
между стрелками составит: 210° +19° - 228° = 1°.
о

7-1-22 Через 21— мин. Решение. В момент, когда часы пока11

зывали 4 ч, между часовой и минутной стрелками было
20 минутных делений циферблата. Чтобы стрелки совпа­
ли, минутная стрелка должна пройти х минутных делений,
а часовая — — минутных делений. Составим уравнение
12

9
20-1—х = х, откуда получим х = 21—.
Таким образом, ми12

11

9
нутная стрелка догонит часовую через 21— мин.
g

7-1-23. Через 32— мин. Решение. Обозначим через х мин про11

межуток времени, который пройдет до того момента, когда
часовая и минутная стрелки будут направлены в разные сто­
роны. Минутная стрелка за это время пройдет х минутных
X

делений циферблата, а часовая-------минутных делений.

и

12

В момент, когда стрелки часов будут направлены в противо­
положные стороны, их разделят 30 минутных делений циX

ферблата. Поэтому имеем уравнение х -----= 30,
8

8

12

откуда

х = 32—. Следовательно, через 32— мин после того, как
минутная и часовая стрелки совпадут, они будут «смотреть»
в противоположные стороны.
7-1-24. 105° или 75°. Решение. За полчаса минутная стрелка
повернется на 180°, а часовая — на 15°. Рассмотрим два
случая.
• Если минутная стрелка опережает часовую, то через пол­
часа между ними будет угол 180°-15° +90° = 255°. Так
как угол между прямыми (лучами) берем меньший, по­
лучаем следующий ответ: 360° - 255° = 105°.
40

Если же часовая стрелка опережает минутную, то угол
между ними через полчаса составит: 180° - 15° - 90° = 75°
Таким образом, в зависимости от того, какая из стрелок
била впереди, угол между ними через полчаса будет 105°
или 75 .

ТЕМА 2. Треугольники
7-2-1. Сделаем чертеж.
Пусть точка А — местоположение палы на лодке, отре­
зок АС — расстояние, которое требуется найти. Выберем на
берегу моря точку В и отмерим расстояние DB = ВС. Затем из
точки D проведем перпендикуляр DN
к прямой DC. На прямой DN найдем
такую точку К , чтобы точки А, В и К
располагались на одной прямой. Так
как треугольники АВС и KBD равны
по стороне и двум прилежащим к ней
углам, то АС = KD.
Примечание. Расстояния можно измерить шагами, а прямой угол построить
способом, указанным в задаче 8-2-14.

7-2-2. По ломаной ACDB. Решение. Обо­
значим точками А и В острова, а прямыми а и Ь — берега
реки (см. рисунок).

Построим точки А1 и В г, симметричные точкам А и В от­
носительно прямых а и Ь. Проведем прямую А Д . Точки С
и В — точки пересечения этой прямой соответственно с пря­
мыми а и Ь — соединим отрезками с точками А к В.
Кратчайший путь — ломаная ACDB, то есть сначала с остро­
ва А рыбаки доплывут до ближайшего берега реки (до точ­
ки С), затем переплывут на противоположный берег реки
(в точку D) и наконец прибудут на остров В.
41

7-2-3. Решение. Рассмотрим возможный вариант. Обозначим
буквами А и В точки соответственно на этом и противопо­
ложном берегу речки (см. рисунок).

Вырубим несколько колышков и вобьем один из них в точ­
ке В — на этом берегу реки. На некотором расстоянии от него
вобьем второй колышек в точке Е, которая будет лежать на
одной прямой с точками А и В. Затем от точки Е отложим два
равных расстояния — отрезки ED и DC так, чтобы точка D ле­
жала на прямой ЕС. От точек В и С отложим равные расстоя­
ния ЕМ и CN. Отложим также расстояния NL = ВМ , CL = ЕВ
и таким образом определим положение точки L. Найдем на
прямой CL точку К, лежащую на одной прямой с точками А
и D. Так как треугольники ВЕМ и LCN равны по трем сторо­
нам, то равны и углы BED и LCE. Углы EDA и KDC равны
как вертикальные. Тогда соответственно будут равны и тре­
угольники AED и KCD (по стороне и двум прилежащим к ней
углам). Поэтому будут равны отрезки АЕ и КС, тогда АВ = LK.
7-2-4. Решение. Перегнем лист бумаги по прямой линии, про­
ходящей через точки А и В так, чтобы сами точки остались
на видимой стороне листа после перегибания. Затем при­
жмем точки А и В неразвернутого листа таким образом, что­
бы они совместились. Разгладив лист бумаги, получим точ­
ку С — середину отрезка АВ.
7-2-5. Можно, а) См. рисунок: это треугольники АВС, КВМ,
КВС, KMC, АКС.
В

42

б) См. рисунок: это треугольники ABN, МВС ANC АМС
АОС, АОМ, NOC, АВС.
В

7-2-6. Решение. Надо взять точку внутри четырехугольника (пя­
тиугольника, ..., re-угольника) и соединить ее с вершинами
четырехугольника (пятиугольника, ..., л-угольника).
7-2-7. Можно. См. рисунок.

7-2-8. а) Можно разрезать любой треугольник;
б) нельзя разрезать ни один треугольник;
• • •
в) можно разрезать любой тупоугольный тре­
угольник.



7-2-9. Не существует, так как в этом случае удвоенная сумма
углов треугольника будет меньше 360°.
7-2-10. Всего 13 треугольников: маленьких — 9; состоящих из
четырех маленьких треугольников — 3; один большой, со­
стоящий из девяти маленьких.
7-2-11. Решение.
Выделим для подсчета несколько групп треугольников:
• не содержат внутри себя треугольников: АМК, AKN, ОМК,
OKN, MOP, ONS, OSH, ОРН, NSC,
А
HSC, НРВ, РМВ — всего 12 тре­
угольников;
• состоят из 2 треугольников:
AMN, ВМН, HNC, OHN, OMN,
ОМН, OAN, ОМА, ОМВ, ОВН,
ОНС — всего 12 треугольников;
• состоят из 3 треугольников:
HKN, НКМ, HPN, MNP, MNS,
M H S — всего 6 треугольников;
• состоят из 4 треугольников: ВОС, ВОА, АОС, BMN, MNC,
АМН, AHN, СМН, BHN — всего 9 треугольников;
• состоят из 6 треугольников: ABN, CBN, САМ, CBM, АВН,
АСН, MNH — всего 7 треугольников;
• состоят из 12 треугольников: АВС — всего 1 треугольник.

7-2-12. Равносторонний.
Решение. Так как ДDBE = AECF = ДFAD (по двум сторонам
и углу между ними), то D E = E F = FD. Поэтому треугольник
D EF — равносторонний.
7-2-13. Решение. Так как АВ = ВС, то
ZBAC = ZBCA,
ZABE = 90° - ZEBD,
ZCBD = 90° - ZEBD.
Отсюда ZABE —ZCBD. Имеем: АВ = ВС
(по условию), ZBAC = ZBCA,
ZABE =
= ZCBD. Значит, ДABE = ABCD.

ТЕМА 3. Соотношения между сторонами
и углами треугольника
7-3-1. Беседку надо построить в точке Н. Решение. Так как тре­
угольник АВС — равнобедренный, то СН будет его высотой,
медианой и биссектрисой. Тогда треугольники АНС и ВН С —
прямоугольные равнобедренные, поэтому А Н = СН = ВН .

7-3-2. В точке Н . Решение. Биссектриса угла является местом
точек, равноудаленных от сторон угла ВАС, поэтому стан­
цию надо построить в месте пересечения биссектрисы угла
и железной дороги — в точке Н.
7-3-3. В точке О. Решение. Местом, равноудаленным от концов
отрезка АВ, является серединный перпендикуляр СН к дан­
ному отрезку, поэтому остановку надо построить в месте пе­
ресечения серединного перпендикуляра с шоссе — в точке О.
7-3-4. В точке А. Решение. Местом, равноудаленным от двух
сторон угла, является биссектриса угла ОР, а местом, рав­
ноудаленным от концов отрезка M N , — серединный перпен44

дикуляр к отрезку M N, поэтому клад надо искать в точке
пересечения биссектрисы угла ОР и серединного перпенди­
куляра ВС — в точке А.
L

О

L
К задаче 7-3-4

М

К

L

К задаче 7-3-7

7-3-6. Прав Коля. Решение. Если в треугольнике биссектрисы
будут перпендикулярны, то сумма двух углов, из которых
проведены биссектрисы, будет равна 180°, и тогда сумма
трех углов будет больше 180°. Поэтому такого треугольника
не существует.
7-3-7. См. рисунок (точки А, В, С, D совпадают).
7-3-8. Решение. Один из возможных вариантов: отложим 13 раз
угол 13°, тогда разность углов — развернутого и угла
169° — даст искомый угол: 180° - 13 • 13° = 11°. Найдите са­
мостоятельно другие способы решения задачи.
7-3-9. Решение. Возможные варианты:
1) 10-37°-360° = 10°, 10°-3 = 30°, 37°-30° = 7°,
10°-7° = 3°.
2) 2-37° = 74°, 75°-74° = 1°, 3°-1 = 3°.
7-3-10. Решение. Построим окружность с центром в вершине
угла, отложим 19 раз угол 19°. В результате получим угол
1° = 19° • 19 - 360°. С помощью этого угла делим данный угол
на 19 частей. Найдите и другие способы решения задачи.
7-3-11. Решение. Так как 108° • 10 = 360° • 3, то десять углов по
108° должны составить три полных угла. Циркулем чертим
окружность с центром в вершине угла 108°. Окружность пе­
ресечет угол в двух точках А а В, углу 108° будет соответ-

45

ствовать дуга окружности АВ. Отложим на окружности эту
дугу от точки В девять раз. Если после этого конец послед­
ней дуги попадет в точку А, то данный угол будет равен 108°,
в противном случае он не равен 108°.
7-3-12. Решение. Разделим угол треугольника величиной 105°
на три угла: 15°, 30°, 60° (см. рисунок). Тогда в полученныхтреугольниках ZACB = ZK BC = 15°, /.BAD = ZDBA = 60°,
Z D BK = ZBK D = 30°. Следовательно, треугольники DBA,
D BK и КВС — равнобедренные.

7-3-13. Треугольник с углами 60°, 30°, 90° :
• ААВС — прямоугольный;
• ДАЙГС — остроугольный;
• АКВС — тупоугольный;
• ААКС — равносторонний;
• ДСКВ — равнобедренный;
• ААСВ — разносторонний.
7-3-14. Возможные случаи равнобедренных треугольников, по­
лученные путем разрезания большего угла треугольника:

46

Решение
а) Пусть ZABD = ZBAD = a, ZCBD = ZBCD = р. Тогда, учи­
тывая, что ZA + Z B + ZC = 180°, ZABD + ZCBD = ZB,
имеем: а + р = 90°. А это означает, что ZB = 90°, то есть
прямоугольный треугольник можно разрезать на два рав­
нобедренных треугольника.
б) Пусть ZBAD = ZBDA = a,
ZCBD = ZBCD = р. Тогда
ZABD = 180° —2а. Учитывая, что сумма углов треуголь­
ника равна 180°, имеем: а +180° - 2а + 2р = 180° или
а = 2р. Таким образом, получаем, что если в треугольни­
ке средний угол больше меньшего в 2 раза, то такой тре­
угольник можно разрезать на два равнобедренных.
в) Обозначив ZBDA = ZABD = a, ZDBC = ZDCB = р, анало­
гично получим, что а = 2р. Тогда ZB = Зр = 3 ZC, то есть
если в треугольнике больший угол в три раза больше
какого-либо из углов треугольника, то такой треугольник
можно разрезать на два равнобедренных.
г) Обозначив ZBAD = ZABD —a, ZBDC = ZCBD - р, анало­
гично получим: р = 2а, то есть приходим к такому же
выводу, что и в случае в).
Таким образом, если треугольник прямоугольный или в нем
средний угол больше меньшего в два раза либо больший угол
больше какого-либо угла треугольника в три раза, то такой
треугольник можно разрезать на два равнобедренных тре­
угольника.
7-3-15. Решение. Пусть AD и СЕ — высоты треугольника,
О — точка их пересечения. Так как в прямоугольном тре­
угольнике АОЕ ZAOE = 60°, то 0 £ = i АО. По условию за­
дачи OD = -A O , отсюда OD = ОЕ. Значит, прямоугольные
2

треугольники ОЕВ и ODB равны по ги­
потенузе и катету.
Тогда B E = BD, откуда следует, что
AABD = ДСВЕ, поэтому АВ = ВС.
В то же время
ZABC = 90° - ZBAD = ZAOE = 60°,
а значит, треугольник АВС равносто­
ронний.

В

47

7-3-16. Решение. Построим равносторонний треугольник АКБ
так, чтобы одна из его сторон АБ лежала на стороне прямого
угла, а одна из вершин А была в вершине прямого угла
(см. рисунок). Разделив пополам угол КАВ, в результате раз­
делим угол 90° на три равные части.

К задаче 7-3-16

К задаче 7-3-17

7-3-17. Решение. Пусть /АВС = 63°. Для того чтобы разделить
его на требуемое число частей, построим равносторонний
треугольник произвольных размеров, но такой, чтобы одна
из его вершин совпала с точкой В, а одна из сторон лежала
на стороне угла ВС (см. рисунок). В результате получим
ZABD = 3°. Построив в точке В перпендикуляр к лучу ВС
и отложив от луча ВА два раза угол 3°, получим /К В М = 21°.
Так как угол 21° составляет треть угла 63°, то, отложив от
каждой из сторон угла АВС внутрь по углу 21°, в результате
разделим угол 63° на три части.
Поскольку /M B D = 9°, то, откладывая его шесть раз от сто­
роны ВС угла АВС, разделим таким образом угол 63° на
семь равных частей.
7-3-18. Решение. На средней из трех данных параллельных пря­
мых возьмем произвольную точку А, повернем верхнюю пря­
мую на 60° вокруг точки А. Повернутая прямая пересечет
нижнюю прямую в точке, которую обозначим В, тогда точ­
ки А и В — вершины искомого треугольника, АВ — его сто­
рона. Из точки А проведем дугу радиуса АВ до пересечения
с верхней прямой, получим точку С — третью вершину тре­
угольника.

48

8 КЛАСС
ТЕМА 1. Четырехугольники
8-1-1- Решение. Для проверки, является ли кусок материи квадратом, можно воспользоваться следующим способом:
1) надо перегнуть пополам кусок материи таким образом,
чтобы противоположные стороны со­
вместились (по прямой MN); тем са- ^ -------------fB
мым мы докажем, что ABCD — прямо­
угольник;
м
N
2) перегнуть кусок материи по диагонали
DB так, чтобы совместились соседние
стороны куска; этим мы докажем, что Р
ABCD — ромб.
8-1-2. 300 м. Решение. Изобразим маршрут вашего движения
(см. рисунок). Тогда четырехугольник ABCD будет прямо­
угольником (отрезки АВ и CD равны и параллельны), зна­
чит, AD = ВС = 300 м, поэтому вы окажетесь на расстоянии
300 м от дома.
8-1-3. 1260 штакетин. Решение. Так как пространство между дву­
мя штакетинами равно ширине штакетины, то на 1 м забора
потребуется 10 штакетин, а на 126 мзабора — 1260штакетин.
8-1-4. Необходимо измерить циркулем: 1) длины противополож­
ных сторон четырехугольника; 2) диагонали четырехуголь­
ника. В случае равенства противоположных сторон четырех­
угольника он является параллелограммом, а в случае равенства
диагоналей параллелограмм является прямоугольником.
8-1-6. Можно. Решение. Из данных фигурок можно сложить
прямоугольник размером 2 x 5 , а из 10 прямоугольников
размером 2 x 5 можно получить квадрат размером 10x1 0 .

300 м
К задаче 8-1-2

К задаче 8-1-6
49

8-1-7. Решение. Способ разрезания квадрата показан на рисунке.

10

8-1-9. Нет. Решение. См., например, рисунок.
8-1-10. Нет, может быть ромбом.
8-1-11. Не всегда. Решение. См., например, рисунок.

К задаче 8-1-9

20187DftR-3Q

3

l l l l l l l l l l l IIIIIIIIIIIIII

8-1-8. Решение. Способ разрезания квадрата показан на рисунке.

К задаче 8-1-11

&1-12. Можно. Решение. Возможные варианты показаны на ри­
сунках.

50

8-1-13. Решение. План построения:
1) соединяем отрезком точки А и Е;
2) отложим на прямой АЕ отрезок ЕВ = ЕА\
3) через точку F проведем прямую, параллельную прямой АВ;
4) отложим на этой прямой отрезки FC = АЕ и FD =АЕ•
5) точки А , В , С, D соединяем отрезками.
Полученный четырехугольник ABCD - искомый параллело­
грамм.
А

К В

О

D

S

С

К задаче 8-1-14
8-1-14. Девять прямоугольников: ABCD, AKSD, KBCS, ABNM,
MNCD, АКОМ, KONB, ONCS, MOSD.
8-1-15. Всего на рисунке восемь четырехугольников: BCNM, CDKN, MBDK,
MACN, CDFN, BDFM, ADKM, ADFM.

A

B

C

D

8-1-16. 5 : 8. Решение. Пусть прямая ВО
пересекает сторону АС в точке Е. Прове- М
дем DM || BE до пересечения с АС в точ­
ке М. По теореме Фалеса АЕ : ЕМ = 5 : 2 ,
Е М : МС = 1 : 3 . Пусть АЕ = 5ft, ЕМ = 2ft, тогда МС = 3ЕМ =
= 6ft, следовательно, АЕ : ЕС = 5 : 8 .
8-1-17. Решение. Достроим треугольник до параллелограмма
так, чтобы медиана стала половиной диагонали. Из неравен­
ства треугольника следует, что диагональ (равная удвоенной
медиане) меньше суммы двух соседних сторон параллело­
грамма. А поэтому медиана будет меньше полусуммы сторон
треугольника, выходящих из той же вершины.
8-1-18. 5,5 см. Решение. Воспользуемся неравенством треуголь­
ника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух дру­
гих, но больше их разности. Если длина диагонали равна 15,
то из оставшихся чисел (длин сторон) надо бы составить две
пары, дающие в сумме больше чем 15. Однако это не так,
поэтому длина диагонали не может быть равна 15.
51

Аналогично не подходит и число 10.
Если длина диагонали равна 2, то из оставшихся чисел мож­
но было бы составить две пары, разность которых должна
быть меньше 2. Однако это не так. Таким образом, не под­
ходит и число 2.
Если длину диагонали принять равной 4, то из оставшихся
чисел можно составить только одну пару, разность которых
5,5 - 2 < 4, следовательно, число 4 также не подходит.
Тогда диагональю будет отрезок длиной 5,5, который удо­
влетворяет неравенству треугольника.
8-1-19. Одинаковой длины. Решение. Прямоугольные тре­
угольники с гипотенузами АЕ и СК, FB и DL равны по двум
катетам, значит, АЕ = СК и FB —DL. Так как EF —KD как
стороны квадрата, то АЕ + EF + FB = СК + KD + DL. Следо­
вательно, оба маршрута одинаковы.

8-1-20. Решение. Точки пересечения отрезков СЕ и CF с диа­
гональю BD являются точками пересечения медиан тре­
угольников АВС и АВС. Поскольку медианы треугольника
делятся в точке пересечения в отношении 2 : 1 , считая от
вершины, а треугольники АВС и АВС равны, то расстояние
между точками пересечения медиан равно расстояниям от
них до вершин В и В.
8-1-21. 4. Решение. Обозначим сторону самого большого квадра­
та через х. Тогда, двигаясь от большого квадрата по часовой
стрелке, последовательно выразим через х стороны других
квадратов: х - 1, х - 2, х - 3. Обозначив сторону искомого
квадрата через у, получим два выражения для длины верх­
ней стороны фигуры: х + х - 1 = у + х - 2 + х - 3 . Из этого
равенства находим у = 4.
52

В

К задаче 8-1-21

С

К задаче 8-1-22

8-1-22. Решение. Выполним дополнительное построение: прове­
дем прямую СЕ, параллельную большей боковой стороне АВ
трапеции. Тогда DE = AD - АЕ = А В - ВС. В треугольнике
CDE выполняется неравенство СЕ - СВ < BE. Так как B E =
= А В - ВС, СЕ = АВ, то АВ - СВ < А В - ВС.
8-1-23. 5 см. Решение.
Выполним дополнительное построение:
продолжим отрезок М В на отрезок DN,
равный B E , и соединим точки N и А.
Обозначим угол ВАЕ через а. Треуголь­
ники А ВЕ и A BN равны по двум кате­
там, поэтому /.BA N = а,
Z MAN = 90° - 2 а + а = 90° - а = /M N A .
Значит, треугольник AM N будет равно­
бедренным. Тогда M N = AM = 5 см, то
есть M B + B E = 5 см.

В

Е

С

8-1-24. 72°, 108°, 108°, 72°. Решение. Выполним чертеж. Так как
треугольник АВС равнобедренный и / В > 90°, то Z l —Z2.
Но ВС || АВ, диагональ АС — секущая, значит, /C A B = Z2.
Поскольку Z3 * Z2 (иначе ZA = /С , чего не может быть),
то Z3 = / В . Однако / В = /А , поэтому Z3 = Z1 + Z2, тогда
Z3 = 2 Z l = 2 Z2. В результате имеем: Z2 + Z3 + Z3 = 180°;
Z2 + 2 Z2 + 2 Z2 = 180°; 5Z 2 = 180°; отсюда Z2 = 36°. Тогда
углы трапеции равны 72°, 108°, 108°, 72°.

53

8-1-25. 5 : 1 . Решение. Обозначим через х длину меньшего от­
резка. На верхнем основании трапеции укладывается три
маленьких и один большой отрезок, поэтому длина большого
отрезка будет равна 1 - Зх. На нижнем основании трапеции,
имеющем длину 2 см, укладывается три больших и один ма­
ленький отрезок. В итоге имеем уравнение 3 (1 - Зх) + х = 2,
1
5
Тогда 1 -З х = - . Так как
решив которое получим х
8

8

—: —= 5, то больший отрезок в пять раз длиннее меньшего.
8-1-26. См. рисунок.
8-1-27. Решение. Проведем через точку М прямую параллельно
стороне АВ, обозначим точку F ее пересечения с прямой СЕ.
Треугольники АВМ и MFC равны по стороне и прилежащим
к ней углам, поэтому АВ = MF. Кроме того, MD || FE,
a MF || DE, поэтому четырехугольник MDEF — параллело­
грамм и M F = DE. Так как АВ = M F (из равенства треуголь­
ников АВМ и MFC) и M F = DE, то АВ = DE, что и требова­
лось доказать.

К задаче 8-1-26

К задаче 8-1-28

8-1-28. Решение. Переложим части данного четырехугольника
так, чтобы их вершины А, В, С, D оказались в одной точке
и совпали отрезки АК и ВК, ВР и СР и т. д. При этом по­
лучится четырехугольник, у которого противоположные сто­
роны попарно равны.

ТЕМА 2. Площади. Теорема Пифагора
8-2-1. 750 дощечек. Решение. Найдем площадь комнаты:
15 м2. Найдем площадь одной дощечки: 200 см2. Так как
1 м2 = 10 000 см2, то 15 м2 = 150 000 см2. Разделив 150 000
на 200, получим 750. Таким образом, для ремонта пола по­
требуется 750 дощечек.
54

8-2-2. 80 плиток. Решение. Так как размеры прямоугольника
2 ,5 x 2 м, то вдоль его большей стороны можно уложить
10 квадратных кафельных плиток со стороной 25 см, а вдоль
меньшей — 8 таких плиток. Тогда потребуется всего 80 пли­
ток указанного размера.
8-2-3. В 750 м. Решение. Применим теорему Пифагора. Так как
угол между направлениями на север и восток равен 90°, то
расстояния 450 м и 600 м будут катетами. Тогда гипотенуза
равна: л/4502 + 6002 = 750 (м).
8-2-4. 60 м. Решение. Сделаем чертеж: здесь CD = 41 м (высо­
та большей ели), АВ = 5 м (высота меньшей ели), АС = 48 м
(расстояние между елями), a BD (расстояние между верхуш­
ками елей) надо найти.
Выполним дополнительное построение: проведем ВК перпен­
дикулярно прямой CD, тогда треугольник BKD — прямо­
угольный и из него (по теореме Пифагора) BD = ~Jd K 2 + К В2.
Так как В К = А С = 48 м, то KD = CD - КС - CD - АВ = 41 - 5 =
= 36 (м). Четырехугольник АСКВ — прямоугольник, тогда
DB = %/362 + 482 = л/1296 + 2304 = V3600 = 60 (м). ,
8-2-5. 7,7 сотки. Решение. Площадь S прямоугольника находят
по формуле S —аЪ, где а и b — его стороны, тогда площадь
участка равна: 35 • 22 = 770 (м2) = 7,7 (сотки).
8-2-6. 7,96 сотки. Решение. Так как две стороны четырехуголь­
ника параллельны, а другие две — не параллельны, то дан­
ный четырехугольник является трапецией. Площадь трапе­
ции находят по формуле S =

• h. Высоты трапеции мы

не знаем. Поскольку две другие стороны равны, то трапеция
будет равнобедренной. Сделаем чертеж.

К задаче 8-2-4

55

Выполним дополнительное построение: проведем в трапеции
высоты В Н и СК. Тогда ВС = Н К = 22 м и А Н = KD = 3 м.
Треугольники АВ Н и CKD — прямоугольные, по теореме
Пифагора найдем в треугольнике АВ Н катет:
ВН = у1а В 2~ А Н 2 = n/1 0 2 4 -9 = n/1015 = 31,86.
Тогда
S = — • h = -2 +- - 8 • 31,86 = 796,5 (кв. м) = 7,965 (сотки).
2

2

8-2-7. 30x40 м. Решение. Задачу можно легко решить подб о ­
ром. Так как площадь S прямоугольника со сторонами а и 6
находят по формуле S = аЬ, а периметр Р прямоугольни­
ка — по формуле Р = 2а + 26, то полупериметр будет равен
70 м. Двумя числами, которые в сумме дают 70, а в произ­
ведении — 1200, будут 30 и 40. Таким образом, размер дач­
ного участка — 30 х 40 м.
Задачу можно решить и с помощью у р ав н ен и я .Обозначим
одну из сторон участка через х м, тогда другая будет равна
(70 - х ) м. Так как их произведение равно 1200, то получаем
квадратное уравнение
ж (70 - х) = 1200,
корни которого равны 30 и 40.
8-2-8. Да. Решение. Так как оставшаяся часть поля составляет
3
— всего поля, то каждому из детей должно достаться
4

3 : 4, =3— площади поля. Возможный вариант деления остав—
4
16
шейся части поля показан на рисунке (цифрами показаны
участки поля, которые достанутся каждому из детей, а бук­
вой О — часть поля отца).
8-2-9. Решение. Возможный вариант показан на рисунке (точки
М , N, К — середины сторон треугольника АВС).
В

3

3

2

2

3

4

4

2

о

О

4

1

о

о

1

1

К задаче 8-2-8
56

л

К задаче 8-2-10

с

к задаче 8-2-11

8-2-10. 3,5 4 м. Решение. Для наглядности выполним чертеж.
Далее воспользуемся теоремой Пифагора: АВ2 = АС2 + СВ2.
Тогда АВ —VAC2 -ь ВС2 —\ 9 1 1 = \ 1 0 ■3,16 (м). Учитывая,
что лестница должна выступать над крышей веранды и от­
ступ от стены веранды может быть более 1 м, желательно
лестницу сделать длиной 3,5-4 м.
8-2-11. 1,5 м. Решение. В соответствии с условием задачи сдела­
ем чертеж. Оттянем стебель тростника в сторону так, чтобы
его верхушка касалась воды (точка D). Точка С — верхушка
тростника при его вертикальном положении, а точка В —
место, где его стебель выходит из воды.
Измерим расстояния СВ и BD. Это можно сделать с помощью
спичечного коробка или кисти руки (расстояние между ука­
зательным и большим пальцами приближенно равно 20 см).
Точка А — основание стебля тростника. Треугольник ACD —
равнобедренный, так как АС = AD. Тогда по теореме Пифаго­
ра AD2 = АВ2 + BD2, откуда легко найдем примерную глуби­
ну озера в данном месте.
Обозначив глубину озера через х, BD = а, СВ = Ь, из тре­
угольника ABD получим уравнение (х + Ь)2 = х 2 + а2, откуда
а2 - Ь2
802 - 202
х = --------. Пусть а = 80 см, Ь = 20 см, тогда х = ---- —----=

40
_ 6400-400 _ 6000 _ 150 ^см) _ 1>5 (м)4 Хаким образом, глу.
40
40
бина озера в данном месте равна 1,5 м.
8-2-16. Можно. Решение. Разделим основание треугольника на
2, 3, ..., п одинаковых отрезков.
8-2-17. Четными числами — можно, нечетными — нельзя. Ре­
шение. Все стороны прямоугольного треугольника м ож но
выразить четными числами, так как сумма двух четных
57

чисел будет всегда числом четным, например, а = 6, Ь = 8,
с = 10. Нечетными числами стороны выражены быть не
м огут, так как квадрат нечетного числа есть число нечет­
ное, а сумма двух нечетных чисел всегда является четным
числом.
8-2-18. Могут. Решение. Например, треугольники АВС и M N K,
у которых АВ = M N - 5 см, ВС = N K = 5 см, не равны, одна­
ко имеют равные площади по 12 см2. В треугольнике АВС
основание АС = 6 см, высота BD = 4 см, а в треугольнике
M N K основание М К = 8 см, а высота NE = 3 см.

8-2-20. Решение. Диагональ делит исходный прямоугольник
и два внутренних прямоугольника на равные треугольники.
Отняв от равных треугольников равные, получим фигуры
равной площади.
8-2-21. Квадрат со стороной 12 см. Решение. Обозначим стороны
исходного прямоугольника через а и 6. Тогда его площадь
будет равна аЬ, а площадь нового прямоугольника — (а - 1) х
х (b + 1) = ab + а - b - 1. Вычитая из площади первоначаль­
ного (исходного) прямоугольника площадь нового, получа­
ем, что Ь - а + 1 = 1, откуда а = Ь. Таким образом, исходный
прямоугольник — квадрат, а так как его площадь равна
144 см2 = 122 см2, то обе стороны равны 12 см.
8-2-22. Утверждение неверно. Решение. Для выяснения истин­
ности утверждения рассмотрим произвольный треугольник
АВС, у которого АВ Ф ВС, а углы А и С — острые. Построим
треугольник ADC, симметричный данному относительно
прямой АС. Середину общей стороны АС отметим точкой М.
58

Из того, что медиана делит треугольник на две равновеликие
части, следует, что четырехугольник ABCD и точка М удо­
влетворяют условию задачи. Но четырехугольник ABCD не
является параллелограммом, поэтому рассматриваемое
утверждение неверно.
8-2-23. 8 м2. Решение. Пусть прямые АВ и CD пересекаются
D
L ЛАV
IISAX.
'ZA
' * = ZD = 45°,
в точке
К. В xyv/J
треугольнике XADK
поэтому
CD X АВ, а треугольники ADK и СВК —
прямоугольные равнобедренные. Обо­
значим А К = D K = а, В К = СК = Ь. Пло­
щадь четырехугольника ABCD равна
сумме площадей треугольников ADK
а2 Ь2
и СВК , то есть —
+—
. Из прямоугольО
О
ного треугольника DKB имеем:
DB2 = D K2 + К В 2 = а 2 +Ь2,
iX O

q

2

поэтому площадь четырехугольника равна —— , то есть » м .
8-2-24. Нет, не верно. Соответствующий пример приведен на
рисунке.

8-2-25. 1 : 2 : 3 . Решение. Рассмотрим три возможных случая
получения указанных треугольников, а также докажем,
какой из треугольников имеет наибольшую площадь, а какой — наименьшую.

59

Обозначив S 2 = х и выразив из системы S 1 и S 3, получим:
S, = 2х, S 3 = Зх. Тогда S 2 :
: S 3 = 1 : 2 : 3.
8-2-26. с3 > а 3 +Ь3. Решение. Обе части равенства а2+Ь2 = с 2
умножим на с:
а2с + Ь2с = с3.
Так как с > а и с > Ь, то a2c > a 3, Ь2с > Ь 3. Тогда а 2с + Ь2с >
> а 3+Ь3. Но а2с + 62с = с3, значит, с3 > а 3+Ь3.
8-2-27. Не может. Решение. Допустим, что AM = 2АК. Тогда, по­
скольку

J

АК = а 2 + ~ -

и

AM =

получим, что

АВ = a = 0, чего быть не может.

8-2-28. Нельзя. Решение. Так как треугольник разрезается на
два треугольника, то линия разреза должна проходить через
одну из его вершин. Пусть этой вершиной будет вершина В
треугольника АВС, а прямой, которая делит треугольник на
два треугольника, — прямая BD. Обозначим BD = х, АВ = у,
тогда DC = 9 - у. Пусть периметр треугольника ABD равен
20 см, а периметр треугольника BDC — 23 см. Тогда полу­
чим систему уравнений
J9 + X + у = 20,
[9 + х + 9 - у = 23,
решив которую найдем х = 8, у = 3. Тогда АВ = 3 см,
DC = 6 см.
Выполним дополнительное построение: проведем высоту
треугольника ВМ. Так как в равностороннем треугольнике
высота ВМ будет и медианой треугольника, то ВМ = 4,5 см.
Из прямоугольных треугольников по теореме Пифагора най­
дем ВМ 2. Из треугольника АВМ получим:
ВМ 2= 92- 4,52= 60,75.
60

Из треугольника DBM имеем: В М г= 82-1 ,5 г= 61,75. Так
как 60,75 * 61,75, то получаем противоречие. Это означает,
что равносторонний треугольник разрезать таким образом
нельзя.

ТЕМА 3. Подобные треугольники
8-3-1. 350 м. Решение. Можно воспользоваться признаками по­
добия треугольников. Для этого выполним рисунок, обозна­
чив местоположение рыбачьих лодок точкой А, местополо­
жение Сергея на берегу — точкой С.
Прямоугольные треугольники АСВ и К Н В по­
добны (по двум углам), поэтому:
АС

НК

В С -Н К

— = ---- => АС = ----------.
ВС
НВ
НВ
Расстояния можно определить по числу шагов,
длину ш ага — по наибольшей длине спичечно­
го коробка (равна 5 см). Построить точки, ле­
жащие на одной прямой, легко, используя про­
вешивание.
Прямые углы определим, применив теорему,
обратную теореме Пифагора.
Приведем примерный расчет. Отмерим расстоя­
ния: ВС = 20 шагам, Н В = 1 шагу, Н К = 25 ш а­
гам. Тогда АС =

20 - 2 5

= 500 (шагам). Если шаг

составляет 70 см, то искомое расстояние равно:
0,7-500 = 350 (м).
8-3-2. 6,4 м. Решение. Сделаем чертеж:
здесь D K = 1,6 м (ваш рост), AD = 9
ш агам (расстояние от вас до столба),
DC = 3 ш агам (по условию), АВ — ис­
комая высота, на которой висит фо­
нарь.
Так как треугольники САВ и CDK по­
добны (по двум углам: ZВАС = ZKDC = 90°, ZBCA — об­
щий), то
KD

= — => АВ = KD ■— .
DC
DC
61

Тогда
АВ = 1,6 • AD + DC = 1,6 • —
DC

= 1,6 • 4 = 6,4 (м).

3

Таким образом, фонарь висит на высоте 6,4 м от поверхности
земли.
8-3-3. 17,7 м. Решение. Поступить можно
следующим образом. Вырубить в лесу
палку длиной, превышающей рост че­
ловека (2-3 м). Воткнуть палку в зем­
лю на некотором расстоянии от дерева
так, чтобы она закрывала ствол, а ее
верхний конец совпадал с верхушкой
дерева. Дальнейшее решение данной за­
дачи сопроводим чертежом, на котором
показаны отрезки:
AM — высота дерева; ND — высота
палки; KD — высота палки над уровнем
глаз; NK — рост человека; ВС — рас­
стояние от человека до дерева.
Обозначим AM = х, KN = у, КВ = Ь, DK = а, СВ s. Так как
АС

DK

СВ

кв

треугольники АСВ и DKB подобны, то — = ---х-у
а Л
а
-----= —. Отсюда х = у + s —.
s
b
Ъ

или

Рассмотрим пример. Пусть рост ученика — 170 см, длина
палки — 250 см, расстояние до дерева — 10 м, а КВ = 50 см,
DK = 250 - 170 = 80 (см) = 0,8 (м).
Тогда * = 1,7 + 10- — = 17,7 (м).
0,5
Примечание. Если подобрать а = Ь, то формула упростится: х = у + s,
то есть для нахождения длины дерева надо сложить рост человека
с расстоянием от дерева до человека.

8-3-4. 4,5 км. Решение. Вид горы вдали можно сравнить с фото­
графией. Если зафиксировать положение глаз относительно
окна, то можно проделать необходимые измерения и найти
высоту горы. Для этого придется узнать скорость поезда (ее
можно определить по часам и мелькающим километровым
столбам), расстояние, которое за некоторое время пройдет
поезд, и провести измерения на стекле.
Выполним чертеж, на котором показаны отрезки:
СН — высота горы; АВ — расстояние, которое пройдет поезд
за определенное время; MN и KL — соответствующие им
62

размеры на стекле (фотографии). Так как построенные тре
угольники подобны, то ~
^

= ~ , отсюда СН = АБ • I L
MN
M N-

Рассмотрим пример. Пусть скорость поезда равна 90 км/ч,
а время, за которое фиксированная точка на стекле, совпада­
ющая с точкой А, переместится в точку В, будет равно 2 мин.
Соответствующие длины отрезков на стекле: M N = 40 см,
KL = 60 см. Теперь найдем расстояние АВ = 90 • — = 3 (км)
60
тогда СН = 3 • — = 4,5 (км). Таким образом, примерная вы­
сота горы — 4,5 км.
8"3-7. Решение. Не всегда. Если / А / В., то остроугольные
треугольники АВС и А1В1С1 не являются подобными.

А вот если в треугольниках равны тупые углы, которые мо­
гут быть только при вершине равнобедренного треугольни­
ка, то и остальные углы обоих треугольников будут равны
между собой. А значит, треугольники будут подобны.
8-3-8. Такие треугольники будут подобны по двум углам.
63

8-3-9. [ Д + l) :2. Решение.
Обозначим АВ = а, ВС = Ъ. Пусть Ь > а. Тогда МС = Ь - а. Так
как ABCD™ MCDN, то —= -—- , откуда —= —- 1 . ОбознаЪ

а

Ъ

а

1

Ъ

х

чив —= х, получим уравнение х = — 1.

а

в

м

с

А

N

D

Умножим обе части уравнения на л: и пере­
несем все слагаемые в левую часть:
-1 ± Д

х2 + х - 1 = О, найдем корни х12 = ------Таким образом,

Тб-1

а

-----------

Ъ

ИЛИ

2

АВ : АВ = —
а

2

Д+1

2(Vi + l)

■Д - 1

( Д- 1 К Д +1)

2

8-3-10. (n/2 —l ) : 1. Решение. Так как прямая MN параллельна
основанию АС, то треугольники АВС и MBN будут подобны
(см. рисунок).

Учитывая, что SiABC = 2SiWBV, получим:
— = Д => АВ = Д М В ,
МВ

AM = АВ - МВ = Д м В - МВ = (л/2 - \)М В.
Поэтому

MB

= ( Д - 1 ) , следовательно,

MB

=

NB

= [ Д - 1).

8-3-11. Решение. Обозначим сторону квадрата буквой а. Рассмо­
трим следующие пары треугольников: АМХ и ANB; ANB
и ABY. Все эти треугольники подобны (по двум углам). Из
подобия первой пары треугольников имеем AM = MN. Из по,



АВ

AY

AN

АВ

добия второй пары треугольников следует: ----= ---- .
По теореме Пифагора

AY = \1а В 2 + BY2 = . а2 + — - -—
V
4
2

Тогда AN

. Соответственно сторона получившего2
1

ся квадрата M N = -A N : M N = ~
бовалось доказать.

А

X

2

Vs

и ч
* * * * *



2

= !Г ’ что и тре'

В

К задаче 8-3-11
8-3-12. Петя слишком доверился собственным глазам и не под­
крепил своих действий никакими доказательствами, что
и привело его к кажущемуся противоречию. На самом деле
из частей квадрата сплошной прямоугольник не получает­
ся: обязательно получаются щели, которые и дадут дополни­
тельный 1 см2 к площади.
Решение. Складывая треугольник А с трапецией С и треуголь­
ник В с трапецией D (см. рисунок), мы не можем получить
слияния линий E F K и Е Н К в одну диагональ Е К прямоуголь­
ника, так как линии E F K и ЕН К — не прямые, а ломаные
с небольшим изломом в точках F и Н. Докажем это. Пусть
М — точка, в которой пересекается сторона прямоугольника
K L с продолжением стороны E F треугольника EFN.
Если линия E F K — прямая, а не ломаная, то точка М совпа­
дет с точкой К . Проверим расчетом, совпадают ли эти точки.
Из подобия треугольников E F N и EM L имеем: M L : FN =
= E L : E N или M L : 3 = 1 3 : 8 . Отсюда M L =

8

= 4,875 (см),

в то время как K L = 5 см. Тогда точка М , как видите, не совпадает с вершиной К , значит, линии E F K и Е Н К — ломаные.
65

Площадь прямоугольника KLEG действительно равна 65 см2,
но в этой фигуре есть ромбовидная щель EFKH , площадь ко­
торой и составляет 1 см2.
8-3-13. 5. Решение. Проведем прямую ЕМ, параллельную пря­
мой АС; прямую ЕК, параллельную прямой АВ, и прямую
ED , перпендикулярную прямой АВ. Построим угол СЕР,
равный углу САВ. Тогда получим пять треугольников: МВЕ,
КЕС, MED, EBD, ЕРС, подобных треугольнику АВС.
D

8-3-14. 2 : 1 . Решение. Применяя свойство биссектрисы тре­
угольника и учитывая, что треугольник является равнобед­
ренным прямоугольным, имеем:
LA
АВ
АВ
2АС
= 2.
АС
LC 2
АС2 АС2
8-3-15. 60°, 30°. Решение.
Выполним дополнительное построение: проведем в прямо­
угольном треугольнике высоту СЕ. Обозначим для удобства:
АС = Ь, ВС = а, АВ = с, СЕ = h, BE = х. Учитывая, что

2Уз
С

_ ch
Л » ТО

АВС ~

6

2Уз
о

, получим:

=

2Уз
8

. Так как

ch
cV3
= — и h = — Треугольники СЕВ и АЕС
2

4

BE СЕ
х
h

подобны, тогда --- = ---- или —= -----. Подставляя в эту
СЕ АЕ
h с-х
сУз
пропорцию значение h получим квадратное уравне­
ние 16л:2 - 1 6 сх + Зс2 = 0 , корни которого
Рассмотрим треугольник ВСЕ.

66

с

Х 1 = ~ >

4

Х 2 ~

Зс


4



Если ж = - , то t g АВ = — = - - ^ ' 4
4
BE
А-с

= 7з,

и в этом случае



ZJ3 = 60°, ZA = 30°. Если х = — , то ZA = 60°, ZB = 30°.
__

4

. , . .
s / m з71об „
o-o-lb. —-—, — -— . Решение. Треугольники AAlDl и DD,C,
подобны, поэтому соответствующие стороны этих треуголь­
ников пропорциональны, то есть
A1Di

А 4,

АД,

з

(*)
Л, С, DC,
Обозначая AD1 = у, C,D = 2 , найдем DD, = 4 —1/, CCt = 3 - 2 =
= ААj. Подставляя вместо AAj, DI)., AD1( С,Л соответственно
DD1

27

9

3 - 2 , 4 - у, у, г из равенств (*), находим: у = — , 2 = —.
m
^
>Яоё
0

з>Яоб
Тогда Д С. = * = ------, соответственно ох = А Д = ------- .
8

8-3-17.

8

ал^а + ^~.

Решение. Пусть в прямоугольнике ABCD соb
вмещены вершины А и С. Тогда точки А и С будут симметрич­
ны относительно прямой F E , которая перпендикулярна диа­
гонали АС. Так как точки А и С совмещены, то АО = СО.
Треугольники АОЕ и ADC подобны (по двум углам), поэтому
—-=
CD

AD

Обозначим АВ = а, ВС = Ъ, тогда АО ——siа 2 + Ь2.
______ 2

ОЕ АО
asla2 +Ь2
Учитывая, что — = ----, находим: ОЕ —-----------. 1ак как
CD

AD

2b

треугольники АОЕ и COF равны (по катету и острому углу),
то ОЕ = OF, поэтому
asla2 + Ь2
E F = 2ОЕ =
С

К задаче 8-3-17
67

8-3-18. 8 или 0,5. Решение. Возможны следующие варианты
трапеции.
В а р и а н т I. Основаниями являются стороны АВ и CD.
AM
МС

ВМ
DM

МС-ВМ
AM

Тогда AAM B^ACM D, откуда ---- = ----- и DM = --------- ,
DM = —

1

= 8.

В а р и а н т II. Основаниями являются стороны AD и ВС.

AM МС
Тогда треугольники AMD и ВМ С будут подобны, и ---- = -----,
DM МВ
__ АМ -М В
1-2
DM = ----------, откуда DM = ----= 0,5.
МС
4
Таким образом, четырехугольник ABCD является трапецией,
если отрезок DM равен 8 или 0,5.

8-3-19. Не могут. Решение.
Допустим, что в треугольнике АВС проведены биссектри­
са AL, медиана В М и высота СН, причем AL и СН пересека­
ются в точке D, а ВМ и СН — в точке Е , и точки D и Е делят
высоту СН на три равные части.
С

Отрезок Е Н будет равен трети высоты СН. Тогда отрезок
D H должен составлять две трети высоты СН. Опустим из
точки D перпендикуляр D F на сторону АС. По свойству бис­
сектрисы угла D F - DH. Но это невозможно, ибо в таком
случае катет D F прямоугольного треугольника CDF оказыва­
ется вдвое длиннее его гипотенузы CD, составляющей треть
высоты СН. Значит, медиана и биссектриса треугольни­
ка разделить высоту треугольника на три равные части
не могут.

68

ТЕМА 4. Окружность
8-4-1. Решение. При устранении аварий рабочие часто спуска­
ются в канализацию, отодвигая люки. Если бы люки были
квадратные, то они могли бы свалиться внутрь, ведь сторона
квадрата меньше его диагонали. Когда отодвигают круглые
люки, они свалиться внутрь не могут.
8-4-2. Колодец надо вырыть в центре
окружности, проходящей через три ука­
занные точки А, В , С. Решение. С этой
целью проводим серединные перпенди­
куляры к сторонам треугольника АВС.
Тогда точка О пересечения перпендику­
ляров — это точка, в которой и надо ко­
пать колодец.
8-4-3. Решение. Обозначим местоположение дачи буквой А. Про­
ведем из точки А три луча, между которыми будут углы по
120°. Построим три окружности разных радиусов, вписан­
ные в каждый из трех получившихся углов.

Таким образом, двигаясь по любой прямой, проходящей че­
рез точку А, мы обязательно попадем на одно из озер.
8-4-4. Решение. Сергей привязал один конец веревки к дереву
на берегу озера и обошел озеро вокруг. При обходе веревка
обязательно зацепится за дерево, растущее на острове. Вер­
нувшись обратно, Сергей закрепил другой конец веревки на
дереве, стоящем на берегу. При этом веревка оказалась ко­
роче в два раза (как бы сложилась вдвое). Плывя вдоль на­
тянутых веревок, Сергей благополучно перебрался на остров,
а затем и обратно.
69

8-4-8. Сестре. Решение. Проведем два разреза (штриховые ли­
нии на рисунке), центрально-симметричные уже сделанным.
Куски 1, 2, 6, 9-й достались брату, а симметричные им 7, 8,
4, 3-й — сестре, которой отошел еще и средний, 5-й кусок.
Поэтому сестре досталось не менее половины торта.

В

К задаче 8-4-8
8-4-9. -h . Решение. Обозначим длины сторон большого и мало5
го квадратов через 2х и 2у соответственно, радиус окружно­
сти — через R. Тогда расстояния от центра окружности до
вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности,
дают уравнения (2x - h f + х2 = R2, (2у + h)2 + у2 = R 2. Отсюда
4
получим: x - y = -h . Тогда разность длин сторон квадратов
будет равна -h.
5
8-4-10. Решение. Пусть прямая МС пересекается с касательной
AD в точке Е. Тогда АЕ = СЕ как отрезки касательных, про­
веденных к окружности из одной точки. Выполним дополни­
тельное построение: проведем диаметр АВ и радиус ОС. Так
как ОБ = ОС, то ZOBC = ZOCB. Прямые ОС и СЕ перпенди­
кулярны, поэтому ZECD = ZBCM = 90° - ZOCB = 90° - ZOBC.
В треугольнике ABD имеем: ZBDA = 90° - ZOBC, значит,
ZBDA = ZECD, а следовательно, треугольник ECD равнобед­
ренный, поэтому СЕ - DE. Но так как АЕ = СЕ, то АЕ = DE.
8-4-11. Не могут. Решение. Допустим, что биссектрисы внешних
углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекутся
в точке D, лежащей на описанной окружности. Тогда, с одной
стороны, сумма вписанных углов ВАС и BDC равна 180°.
180° - ZCBA
180° - ZBCA
С другой стороны, ZCBD
и ZBCD =
70

откуда ZBDC = 180° - ZCBD - ZBCD = £ CBA + ZBCA
2

Получим:

ZBAC + ZBDC = ZBAC + ZCBA + ZBCA _ igQ°

Ho

2

из треугольника ABC получаем также, что ZBAC + ZCBA +
+ ZBCA = 180°. Значит, ZCBA + ZBCA = 0°, что невозможно,
то есть биссектрисы внешних углов при вершинах В и С пе­
ресечься в точке, лежащей на описанной около треугольника
окружности, не могут.
8-4-12. Решение. Выполним дополнительное построение: прове­
дем медиану СО, СО = -АВ. Так как в прямоугольном тре­
угольнике CDO катет CD короче гипотенузы СО, то h < СО,
а значит, h < -А В .
2

8-4-13. Решение. Задача имеет множество решений. Рассмотрим
одно из наиболее простых.
Выполним дополнительное построение: соединим точку М
касания окружности и прямой АВ с центром О окружности
и проведем прямую СЕ, параллельную боковой стороне АВ
трапеции ABCD. Точку Е соединим с центром О окружности.
Так как треугольники ОСК и ОЕК будут равны по гипотену­
зе и катету, то СК - ЕК, а значит, ВМ —AM, то есть
А М = -А В .
2

В прямоугольнике АВСЕ имеем: ВС = АЕ. Так как прямая
AM — касательная к окружности, а прямая AD — секущая,
то A M Z= A D -A E . Учитывая, что А М = -А В , получаем:
АВ2 = 4ВС • AD.
71

8-4-14. Решение. Выполним дополнительное построение: про­
должим стороны АВ и CD, AF и DE. Тогда фигура KDLA
является параллелограммом.
Противоположные углы параллело­
грамма BAF и CDE равны. Оба угла
вписаны в окружность, поэтому дуги
BDF и CAF, на которые они опирают­
ся, тоже равны. Значит, равны и до­
полнительные к ним дуги BAF и CDE,
а вместе с ними и опирающиеся на них
вписанные углы BEF и СBE. Но по­
следние два угла являются внутренни­
ми накрест лежащими углами при прямых ВС и EF и секу­
щей BE, поэтому ВС || EF.

9 КЛАСС
ТЕМА 1. Длина окружности и площадь круга.
Правильные многоугольники
9-1-1. Хватит. Решение. Вычислим площадь комнаты:
7,48 ■3,25 = 24,31 (м2). Найдем площадь одной плитки:
= 6 • Sr = 6 • - ■0,24 • 0,24 ■sin 60° = 0,14965 (м2).
Тогда требуемое количество плиток составит: 24,31 : 0,14965 =
= 163 (плитки). В одной упаковке 8 плиток, значит, 21 упа­
ковки хватит.
9-1-2. Решение. Накладываем прямоугольный треугольник на
пластину таким образом, чтобы вершина прямого угла С
была на окружности, и отмечаем ка­
рандашом точки пересечения катетов
с окружностью — точки D и К. Отре­
зок DK будет диаметром окружности.
Затем изменяем положение угольника
и, выполнив эту процедуру еще раз, по­
лучаем, что M N — диаметр окружности.
Точка пересечения диаметров DK и M N
будет центром круга.
9-1-3. Около 8 м. Решение. Так как воду из колодца поднимают
с помощью веревки (цепи), которая накручивается на вал, то
надо измерить диаметр вала и посчитать количество оборо72

тов, которое сделает вал при подъеме ведра (бадьи) из колод­
ца. Например, вал диаметра 28 см сделал 9 оборотов. Тогда
глубина колодца равна: 3,14 • 0,28 • 9 = 7,9128 (м), то есть око­
ло 8 м.
9-1-4. Ширина перекрытия 2,3 м; сторона восьмиугольника 4,25 м;
высота 2,1 м. Решение. Найдем сторону правильного восьми­
угольника АВ из треугольника АВК по теореме косинусов:
АВ2= А К 2+ ВК 2- 2АК ■ВК ■cos /А К Б .
Так как А К = ВК = R, a ZAKB = —

8

= 45°, то

АВ2= 32+ 32- 2 • 3 • 3cos Z450 = 1 8 - 9 #
а значит, АВ - \]l8 - 9л/2 = 2,3 (м).
Ширину перекрытия BD также найдем по теореме косинусов:
BD2= ВС2+ CD2-2В С - CD- cosZBCD,
а угол правильного восьмиугольни­
ка — по формуле
п- 2
•180°.
а.
Тогда
ZBCZ) = —

8

-180= = 135°

BD2= 2,32+ 2,32- 2 • 2,3 • 2,3 • cos 135° =
= 10,58-10,58

= 18,06,
2

откуда BD = 4,25 м.
Высоту мансарды М К находим из прямоугольного треуголь­
________
ника ВМК:
М К = \1вК2- ВМ 2 = # - 2 , 1 2 5 2 = 2,1 (м).
9-1-5 32 см. Решение. Если внимательно посмотреть на рису­
нок, то можно заметить, что на нем есть два одинаковых
сучка, расстояние между которыми приблизительно равно
£ ширины листа фанеры, то есть 100 см. А это и есть длина
окружности бревна. Так как длину окружности находят по
формуле С = ltd, то диаметр бревна будет приближенно равен
100

9-1-6. 2,6 см2. Решение. Головка шестигранного болта является
правильным шестиугольником. Поэтому применим формулу
S = i Рг, где Р
периметр шестиугольника, г — радиус
2

180°

вписанной окружности. По формуле г = R cos----- найдем

искомый радиус: г = 1 • cos 30° = — .
2

Тогда S = —■6 - - = ^ ^ = 2,6 (см2).
2

2

2

9-1-7. 21,5 %. Решение. Пусть сторона квадрата равна а. Тогда
2

2

1-1

TCCZ

площадь квадрата 6КВ= а , 60кр = ---- , а площадь отходов оу-

114,2. Следовательно,

Sm = а 2-----часть отходов

дет равна:

4

(в процентах) составит:
-----• 100 % = ^1 ——J -100 % = 21,5 % .
9-1-8. 1001.
9-1-11. Способ основан на том, что длина окружности больше
диаметра приблизительно в 3 раза.
9-1-12. 0,3 %. Решение. Сделаем чертеж, где Сх — искомая дли­
на окружности; d — диаметр данной
окружности; h — высота меньшего сегмен­
та; а — сторона квадрата. Тогда C1 =3d + h,
h = ———. Так как о, = Д%/2 = 3^3. то
2

2

dС, = 3d + -

d j2
=d| 8 , 5 - ^ 1 .

Теперь вычислим относительную погрешность измерения:
Iп

г.1

d f 3,5 —

•100% =

яj
■100 % =

xd

Vi

3 ,5 - - ----к
_____ 4

•100%
0,01

3,14

74

| 3 ,5 - 0 ,3 5 - 3 ,1 4 I
3,14

100% = 0,3%.

100 % =

9-1-13. Решение. См. рисунок.

9-1-14. Решение. Правильный двадцатиугольник имеет центр
симметрии. Можно заметить, что центрально-симметричные
диагонали не пересекаются. Поэтому правильная стратегия
сестры такова: она первым ходом проводит диагональ, про­
ходящую через центр, а затем на каждый ход брата отвечает
проведением диагонали, симметричной относительно центра
той диагонали, которую провел брат.
9-1-15. Решение. Так как ZMBC = ZMKC =
= 60°, то через точки М, К, В, С можно
провести окружность. Тогда ZKBC =
= ZKM C = 60° (как вписанные, опираю­
щиеся на одну и ту же дугу КС). Поэтому ZBAC + ZABK = 60° + (60° + 60°) = 180°,
а значит, прямые В К и АС будут парал­
лельны.

м

9-1-16. Решение. По условию точку можно выбрать в любом
месте треугольника АВС, в частности в его вершинах, от­
куда следует, что высоты треугольника равны между собой.
Пусть AD и СЕ — высоты, опущенные из вершин А и С
соответственно, тогда прямоугольные
треугольники ADC и АСЕ равны по ги­
потенузе и катету, поэтому величины
углов ВАС и ВС А равны.
Аналогично докажем равенство прямо­
угольных треугольников АВК и ABD,
откуда следует, что равны и величи­
ны углов АВС и ВАС. Таким образом,
в треугольнике все углы равны, а зна­
чит, треугольник АВС будет равносто­
ронним, то есть правильным.

75

9-1-17. Решение. Так как оставшийся кусок имеет форму пра­
вильного восьмиугольника, а количество отрезанных ку­
сков — пять, то они могут иметь не больше одной стороны,
общей со стороной восьмиугольника. Значит, минимум три
стороны восьмиугольника принадлежат квадрату. Поэтому
формой искомой стенгазеты будет квадрат со стороной, рав­
ной расстоянию между противоположными сторонами вось­
миугольника.
Вырезанными могли быть следующие многоугольники: пять
треугольников или четыре треугольника и один четырех­
угольник, причем два треугольника (или один треугольник
и четырехугольник) будут в сумме составлять один из остав­
шихся трех треугольников.
9-1-18. Решение. Проводим параллельно двум сторонам шести­
угольника прямые, точку их пересечения соединяем с одной
из вершин шестиугольника (см. рисунок). Получили три па­
раллелограмма, каждый из которых делим на четыре равные
части. В результате получаем требуемое разбиение.
9-1-19. Решение. На рисунке показано, как можно разбить пра­
вильный восьмиугольник на 12 многоугольников (шесть из
закрашенной области и шесть из незакрашенной части).
Многоугольники с одинаковой площадью обозначены одни­
ми и теми же числами. Поэтому площади закрашенной и не­
закрашенной частей многоугольника равны.
9-1-20. 10 см2. Решение. Обозначим радиусы полуокружностей,
построенных на катетах АС и СВ, соответственно через Ъи а,
а радиус круга, построенного на гипотенузе, — через с. Ис­
комую площадь (на рисунке она закрашена) находим сле­
дующим образом:

К задаче 9-1-18
76

К задаче 9-1-19

К задаче 9-1-20

ТЕМА 2. Элементы стереометрии
9-2-1. Выгоднее чистить крупный. Решение. Так как суммарная
площадь поверхности у 1 кг крупного картофеля меньше, чем
у такого же количества мелкого, то крупный картофель
чистить и выгоднее, и экономнее (меньше отходов). Может,
поэтому крупный картофель в магазинах и стоит часто
дороже.
9-2-2. ^ = 5 ( /^ + h2). Решение. Так как дно бутылки имеет фор­
му круга или прямоугольника, то его площадь легко найти,
измерив диаметр или стороны прямоугольника и воспользо­
вавшись формулой S = kR 2 (зная диаметр, легко найти ради­
ус круга) или S = аЬ. Пусть пло­
щадь дна бутылки равна S.
Измерим высоту /;. жидкости
в бутылке. Тогда ее объем будет
равен V1 = S \ . Опрокинем бутыл­
ку вверх дном и измерим высоту
h2 от уровня жидкости до дна бу­
тылки. Объем этой части бутыл­
ки будет равен V2 = Sh2. Осталь­
ную часть бутылки занимает
жидкость, объем которой уже был определен: V1 = SA,. Та­
ким образом, объем бутылки будет равен:
V = Vl +V2 =Sh1+Sh2 = S ( \ + h 2).
Например, диаметр дна бутылки d = 6,6 см, /¾ = 14 см;
h2 = 8 см.
Тогда V = S ( \ + h2) = kR 2( \ +h2)~ 3,14-3,32 • 22 = 753 (см3) =
= 753 (мл) = 0,753 (л).
9-2-3. Решение. Чтобы узнать толщину слоя краски, необхо­
димо объем использованной краски разделить на площадь
окрашенной поверхности.
9-2-4. Треугольные гвозди. Решение. Папа купил треугольные
гвозди, так как они держатся в древесине крепче всего. Объяс­
няется это тем, что треугольный гвоздь соприкасается с окру­
жающей его древесиной по наибольшей поверхности: при
равных площадях сечения периметр будет наибольшим у тре­
угольника и наименьшим у круга. Поэтому круглый гвоздь
держится слабее любых других гвоздей. Жаль только, что гвоз­
ди с треугольным сечением в магазинах встречаются редко.
77

9-2-5. Решение. Выгоднее покупать крупные мандарины, так
как при увеличении радиуса мандарина площадь его поверх­
ности (пропорциональная квадрату радиуса) увеличивается
не так значительно, как объем мандарина (пропорциональ­
ный кубу радиуса).
9-2-6. Большой арбуз. Решение. Выгоднее купить первый арбуз,
--- = 2 раза больше объема второтак как его объем в
64
го арбуза.
9-2-8. Во вторую кружку жидкости поместится больше
в 1— раза. Решение. Так как объем пропорционален квадра­
ту радиуса основания и высоте кружки, то объем более ши­
рокой кружки больше объема более высокой.
9-2-9. Не может. Решение. Предположим, что такое возможно.
А) Пусть ребра длиной 1 см и 11 см опираются на концы
одной стороны квадрата. Тогда сторона квадрата будет
больше 10 см. В этом же случае ребра длиной 1 см и 6 см
будут опираться на концы другой стороны квадрата или
на концы его диагонали. Но сторона квадрата и диаго­
наль будут меньше 7 см, а это невозможно.
Б) Пусть ребра длиной 1 см и 11 см опираются на концы
диагонали квадрата, тогда его диагональ должна быть
больше 10 см, а сторона — меньше 7 см, что опять же не­
возможно (7ч/2 = -У98 < 10).
Таким образом, основанием пирамиды не является квадрат.
9-2-10. Не существует. Решение. Пусть такой многогранник су­
ществует. Обозначим через
k2, k3, ..., kn число ребер на
гранях, тогда ftj+ft2+ ¾ + ... + &„= 21 — это удвоенная сумма
всех ребер многогранника, то есть она четная. А в левой ча­
сти равенства стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из
которых — нечетное число. Получили противоречие, а зна­
чит, такого многогранника не существует.
9-2-11. S

= а2



Решение. Площадь сечения получается мини-

мальной, если точка М является серединой ребра DC. Длины
диагоналей ромба BMD1N равны: -ВД = а V3, MN = о V2. Тогда
находим площадь сечения как площадь ромба: S „ , = а 2
78

9-2-12. Можно. Решение. Расположим центр основания кубика
в центре О квадрата так, чтобы ребро основания куба было
параллельно диагонали квадрата (см. рисунок). Пусть отре­
зок M N содержит ребро куба.
С одной стороны, так как треугольники АВС и MNB подобMN ВО-0,5

АС Зл/2
ны, то ---- = ---------- , а с другой стороны, ВО = — = -----.
АС
ВО
2
2
Тогда M N = 2(В О -0 ,5 ) = Зл/2 - 1 > 3. Заворачивая куб по
диагонали квадрата, закроем нижнее основание и боковые
грани куба. При этом в каждом углу квадрата останется по
треугольнику, которым можно закрыть больше четверти
верхнего основания куба.

79

С ^ Ы к - 10и«3»0>»внной литературы
1. Ганъшин В. Я . Простейшие измерения на местности / В. Н. Ганьшин. — М. 4»Н ед№ ,В9в^д—у.Ц§| с.
2. Карпуш ина Н. М . Развивающие задачи по геометрии. 7 класс /
Н. М. Карпушина. — М. : Школьная пресса, 2004. — 80 с.
3. Кордемский Б. А. Математическая смекалка / Б. А. Кордемский. — М. : Оникс : Мир и образование, 2005. — 576 с.
4. П оп ов Г. Н. Сборник исторических задач по элементарной матема­
тике / Г. Н. Попов. — М. : КомКнига, 2006. — 216 с.
5. Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. Часть I. Планиметрия
для 6 -9 классов семилетней и средней школы / Н. А. Рыбкин. —
Москва — Ленинград : Госучпедгиз, 1954. — 120 с.
6. С ергеев И. Н., Олехник С. Н., Г аш к ов С. Б. Примени математику /
И. Н. Сергеев, С. Н. Олехник, С. Б. Гашков. — М. : Наука,
1989. — 240 с.
7. Фарков А. В. Внеклассная работа по математике. 5 -1 1 к л а ссы /
А. В. Фарков. — 4-е изд. — М. : Айрис-пресс, 2009. — 288 с.
8. Фарков А. В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия.
5 -1 1 классы / А. В. Фарков.— 4-е изд. — М. : Айрис-пресс,
2009. — 128 с.
9. Фарков А. В. Математические олимпиады : муниципальный этап.
5 -1 1 классы / А. В. Фарков.— М. : ИЛЕКСА, 2012. — 192 с.
10. Ш апиро А. Д . Зачем надо решать задачи? : Кн. для учащихся
/ А. Д. Шапиро. — М. : Просвещение, 1996. — 96 с.
11. Ш арыгин И. Ф., Е рганж иева Л . Н. Наглядная геометрия : Учеб, посо­
бие для V-VT классов / И. Ф . Шарыгин, Л. Н. Ерганжиева. — М. :
МИРОС, КПЦ «МАРТА», 1992. — 208 с.
12. Я щ енко И. В. ОГЭ (ГИА) : 3000 задач с ответами по математике.
Все задания части 1 / И. В. Ященко, Л. О. Рослова, Л. В. Куз­
нецова и др. ; под ред. И. В. Ященко. — М. : Экзамен, МЦНМО,
2015. — 463 с.

80

СОДЕРЖАНИЕ
От г

р а ............................................................................................................ ...

Час

1. УСЛОВИЯ ЗА Д А Ч.......................................................................... ..
. КЛАСС ................................................................................................. ...
Тема 1. Начальные геометрические сведения.............................. 5
Тема 2. Треугольники.........................................................................
Тема 3. Соотношения между сторонами
и углами треугольника................................................... Ц
8 КЛАСС.................................................................................................. 14
Тема
Тема
Тема
Тема

1.
2.
3.
4.

Четырехугольники...........................................................14
Площади. Теорема Пифагора.........................................21
Подобные треугольники................................................. 26
Окружность........................................................................29

9 КЛАСС .................................................................................................32
Тема 1. Длина окружности и площадькруга.
Правильные многоугольники.........................................32
Тема 2. Элементы стереометрии ..................................................35
Часть 2. ОТВЕТЫ И РЕШ ЕНИЯ...............................................................38
7 КЛАСС ................................................................................................ 38
Тема 1. Начальные геометрические
сведения.............................................................................. 38
Тема 2. Треугольники ....................................................................41
Тема 3. Соотношения между сторонами
и углами треугольника................................................... 44
8 КЛАСС .................................................................................................49
Тема 1. Четырехугольники...........................................................49
Тема 2. Площади. Теорема Пифагора......................................... 54
Тема 3. Подобные треугольники.................................................. 61
Тема 4. Окружность........................................................................ 69
9 КЛАСС .................................................................................................72
Тема 1. Длина окружности и площадькруга.
Правильные многоугольники......................................... 72
Тема 2. Элементы стереометрии .................................................. 77
Список использованной литературы .........................................................80

81

жизни: дома и вне дома, а также приведены
занимательные факты, способствующие становлению
познавательной мотивации учебной деятельности.
Приведена большая подборка задач для развития
мышления учащихся.
Пособие предназначено для учащихся 7-9 классов,
оно также будет интересно учителям математики
и полезно родителям учащихся.

5230
ISBN 978-5-89237-684-6

9 785892

376846