Гаусс. Биографическое исследование [Вальтер Кауфман Бюлер] (pdf) читать постранично, страница - 31

дифференциальной геометрии прочно коре­
нится в его геодезической работе, хотя по степени общности она намного
превзошла свой источник.
Рассмотрим здесь же работу Гаусса в родственной области математи­
ки, вариационном исчислении. Это направление начало развиваться в во­
семнадцатом веке в связи с решением экстремальных проблем математи­
ческой физики; по физическим, так же как и по математическим и фи­
лософским причинам, вариационное исчисление было центральной темой
математики восемнадцатого века.
Средства решения экстремальных задач — это интегрирование по частям
и интегральные преобразования. Трудности при этом двоякие. Во-первых,
математическая формулировка экстремальной задачи часто неясна, и может
быть неочевидно, какой из нескольких возможных подходов приведет к
решению. Особенно трудно подобрать правильные или наилучшие гранич­
ные условия. Вторая из основных проблем состоит в разработке, в рамках
дифференциального и интегрального исчисления, адекватного и математи­
чески корректного метода для определения вариаций и работы с ними.
Исторически, было два принципиально различных подхода: вариация обла­
сти интегрирования и вариация независимой переменной. Первый метод
математически проще, но бесполезен, если нужно решать геометрическую
задачу. Лагранж нашел основную формулу для вариации независимой
переменной; проблема состоит в варьировании выражения
j = Я V(x, у, z , p , q , . . . ) d x d y ,
где z - функция независимых переменных л:, у, &р, q> . . . — частные про­
изводные .
При некоторых упрощающих предположениях Лагранж вывел формулу
/ Э(А + V8x)
Э(В + Уду) \
8 J = JJSlcodxdy + f f [ ----- ---------+ ----------------J d x d y ,
\
Ъх
оу
/
где
8 f z = J8zt
112

b d x = dbx,

8 d 2x = d 28 x

(формальное дифференцирование по х, у , 2, dx, d y , dz, — ) и
oj = Sz

- p b x - pby,

A = Po) + . . . ,

dp
bQ
£ l = N ------------ — ,
Эх
by

B= Qco + . . . ,

где
ЭК

ЭК

ЭК

э?

Эр

Э