Теория тяготения и эволюции звезд [Игорь Дмитриевич Новиков] (pdf) читать постранично, страница - 12

опускание значков производится с помощью
ковариантных компонент gikl «то их поднятие — с помощью
контрвариантных компонент glk.
Смешанный тензор gx равен символу Кронекера gl = б£.
Образуем величину A xB it Она является скалярным произведе­
нием векторов и не изменяется при преобразовании координат,
В частности, квадрат длины вектора есть
А 2 = A lA h

(1.5.11)

Аналогично можно составить скаляр из двух тензоров.
A * B ik = А \В \ = A ikB ik.
Все три записи эквивалентны. В частности, если второй тензор —
фундаментальный, то A zKgi}( = А\ называют следом тензора.
Подобным же способом из ‫׳‬тензоров высшего ранга можно об­
разовывать тензоры более низкого ранга. Например,
A^lmSi = А\ц = A ki.
Такая операция называется свертыванием тензоров.
В криволинейных координатах обобщается также понятие
дифференцирования векторов и тензоров. Ковариантной произ­
водной (обозначается точкой с запятой) контрвариантного вектора
и ковариантного вектора
называются величины (тензоры)

соответственно
B U = ^ r + TimB l ,

(1.5.12)

5 *‫־ = *־‬Э

( 1 ,5 Л З )

‫ ־ ־‬Г« * » •

Здесь Т1тп — символы Кристофеля (не тензоры!), определяемые
выражениями
V1

1тп

I ^

^

‫־‬2 ‫ ־‬£

km

kn

.

\

(\

с;

4/\

В декартовых координатах, очевидно, все ТтП = 0, и ковариантное дифференцирование сводится к обычному.
Аналогично дифференцируются тензоры:
В ?1 = ~ г +

гhB™*

+ ГK
n lB im,

(1.5.15)

dB*

4 ; г= —f - T Ä

,

(1.5.16)

Вш; г = — г ‫ — ־‬I Ä K - № т .

(1.5.17)

oxL

+

д*

Полезно заметить, что из (1.5.12), (1.5.14) и выражения для
ds 2 можно получить следующую формулу для ковариантной рас­
ходимости вектора:
,

,
/ - *

а ,'

Наконец, приведем уравнение в криволинейных координатах,
которое определяет геодезическую линию, соединяющую в 4-мер­
ном пространстве две точки (в плоском пространстве это прямая):
d • 5 •19)
Движение тела по инерции в пространстве Минковского, как из­
вестно из СТО, изображается прямой (и к тому же времениподобной) линией. Следовательно, (1.5.19) есть уравнения движения
тела по инерции, записанные в криволинейных координатах
неинерциальной системы отсчета. Дифференциальное уравнение
для геодезической в искривленном пространстве — времени имеет
точно такую же форму, что и уравнения (1.5.19) для прямой
линии в плоском пространстве — времени в криволинейных ко­
ординатах.

§ 6. Динамические и кинематические величины
Величины gik в (1.4.7) составляются из производных пре­
образования (1.4.4), определяющего движение системы отсчета
относительно исходной инерциальной системы. В частности, в
gm входят

? т.

е. скорости.

Поэтому

естественно, что gile

содержит информацию не только о течении времени и геометрии
системы, но и о ее ускорениях и деформации. Приведем здесь
окончательные формулы для вычисления динамических и кине­
матических величин, отсылая за подробностями к работам Зельманова (1944; 1959Ь). Трехмерный вектор ускорения, котороо ис­
пытывает относительно системы отсчета свободное покоящееся
в данный момент в этой системе тело, определяется, как будет
показано ниже, выражением
^.а = _ ^ £

00_

(а =

goo

1

2 , 3 ).

(1 -6 . 1 )

7

v

Величины Гоо определены в предыдущем параграфе [см. (1.5.14)],
F* образует в системе отсчета поле инерциальных сил. Вектор
F а является трехмерным и для операций с ним надо использо­
вать тензор /г*ар (см. § 4 этой главы). Напомним, что для вычис­
ления величины вектора F a (в данном случае 3‫־‬мерного), т. е.
величины ускорения, необходимо образовать скаляр [см.( 1 .5 . 1 1 )]:
F = У F aF a = Y F aF&ht’а|3•
Например, на вращающемся диске из (1.4.6) находим
f1 i :

__Sl02
L__
рг—м
F s — О 1F —
»2 9
У м
Q2r2
~ >
‫“־‬
‫ ־‬75“

Q2r__
022г»2
2 ‫״‬
Q
1 — ‫־‬т ‫־‬

Вращение системы отсчета, т. е. поле кориолисовых сил,
определяется 3-мерным тензором угловой скорости вращения
С помощью этого тензора можно вычислить 3-мерный век­
тор угловой скорости вращения *) й а:
6 6‫״‬

=

4 ‫־‬

^

Рт•

(1 -6 .2 )

Здесь еар-, определяется следующим образом: 8 123 = ( —
’
любая перестановка индексов меняет только знак компоненты;
если хотя бы два значка совпадают, то еа^ = 0. Тензор угловой
*) Мы обозначаем здесь вектор
тцвистской теории,

чтобы не путать с вектором й нереля-

скорости

вращения

определяется

л“ = т^

(

4
-

^

с
+

*

помощью
*

*

#

выражений


Скаляр Q = Y й айр/г*а^ есть угловая скорость поворота за
единицу собственного времени Ах — У £оо dt.
Д ля вращающегося диска в цилиндрической системе коорди­
нат имеем
Л!» = - А 21 =

Q2r2

»2

Остальные А а& = 0. Вектор угловой скорости имеет компо­
ненты
О. ==

9

“

^2

^1

~

0*

1- 1 Г

В системе отсчета, в которой все g0a = 0, все А а$ = 0. Если
в некоторой области А а $ 0 =/=‫׳‬, т.