Теория тяготения и эволюции звезд [Игорь Дмитриевич Новиков] (pdf) читать постранично, страница - 13

е. система отсчета вращается,
то в этой области нельзя синхронизовать часы. Д ля вращаю­
щегося диска это было показано выше. Если же А а$ = 0, то это
означает, что система не вращается и преобразованием коорди­
наты времени х° =
(я0, я1, х2, Xs) можно обратить все g0i в
нули, т. е. синхронизовать часы.
Пусть в некоторый момент тело покоится в данной системе
отсчета. Тогда ds2 = £0о (dx0)2 и его 4-скорость имеет компоненты
п

dx о

- 1/,

u° = - ^ - = goo,

‫״‬

г,

Ua = 0 .

Из формулы (1.5.19) находим для пространственных компонент а :

ds*

£оо
goо

Подставляя выражение ds2 = c2dx2 и используя символ F a для
инерциальной силы, получаем

с£т2

Мы получили уравнение (1.6.1).

goo

(1.6.1а)

В частном случае стационарности метрики, т. е. при

= О

выражение (1 .6 . 1 ) переписывается в виде *)

Наконец, деформация координатной системы определяется 3 мер­
ным тензором Daß'•
1

С

D aß==~ ^ v i ^ ^ 4

1)

‫)׳‬

Скаляр D = Da = D aßh*afi — скорость относительного
объем­
ного расширения элемента объема системы dV. Если система с
течением времени не деформируется, как, например, равномерно
вращающийся диск, то D aß = 0 .
Заметим, что F а, А а&, £2а, D a&, не зависят от выбора коорди­
наты времени. Если мы будем преобразовывать координату вре­
мени [иными словами, по-разному выбирать единицу измерения
времени (масштаб); кроме того, берется разное начало отсчета
времени в разных точках системы отсчета]:
х° = х ° (£°, х 1, х 2, #3),

(1 . 6 . 5 )

то перечисленные величины вообще не меняются. Так и должно
быть для величин, описывающих состояние движения системы
отсчета, ибо преобразование (1.6.5) это состояние не меняет.
Такие величины были названы A. JI. Зельмановым (1956) хроно­
метрическими инвариантами. Далее, если менять только простран­
ственные координаты, т. е. по-разному чертить координатную
сетку системы отсчета:
х а = х а (я1, х 2, х 3),

(1.6.6)

то компоненты вектора Fa, например, меняются, аналогично
изменениям компонент вектора при повороте декартовых коор­
динат, но сам вектор неизменен, неизменна его длина — с к а л я р ^ .
То же относится к скалярам Q, D.
Лишь при переходе‫ ״‬к другой системе отсчета, т. е. к другому
состоянию движения: tra = х а (£°, Д?1, £ 2 £3), доР/дх0 =£= 0 ме­
няются и величины, его характеризующие, скаляры F, Q, D .
*)

Точнее,

для

справедливости

(1.6.1Ь)

требуется

только, чтобы

§ 7. Кривизна пространства — времени
В предыдущих параграфах коротко перечислены геометри­
ческие и физические свойства неинерциальных систем в плоском
пространстве — времени Минковского.
Согласно ОТО вблизи массивных тел пространство — время
искривлено и является 4-мерным римановым пространством (точ­
нее, псевдоримановым) *). В конечной (не малой) области этого
4‫־‬мерного пространства уже нельзя ввести галилееву систему
координат, в которой интервал имел бы вид (1 .2 . 1 )
= (ей()2, — Ах2 — йу2 — йъ2,
но это можно сделать в малой области, введя в данном месте
свободно движущуюся (свободно падающую в поле тяготения)
систему отсчета. Такая система отсчета называется локально
галилеевой**). В локально галилеевой системе поле тяготенияне
проявляется — имеет место невесомость. Математически воз­
можность выбрать такую систему, очевидно, связана с тем, что
малый участок кривого пространства совпадает с плоским каса­
тельным пространством.
По отношению к локально галилеевой системе другие системы,
в которых уже проявляется действие тяготения, движутся ус­
коренно, и переход от галилеевой в данный точке системы к этим
системам есть просто переход в малой области от инерциальной
системы к неинерциальным. Силы инерции и силы тяготения
локально неразличимы. Следовательно, как мы уже отмечали,
все формулы для геометрических, динамических и кинематических
величин, приведенные в предыдущих параграфах и имеющие
локальный характер, т. е. описывающие свойства системы в малой
области в данный момент времени, будут справедливы и в общем
случае кривого пространства — времени. Вычисление длин, про­
межутков времени гравитационно-инерциальных сил, вращения
и т. д. производится в ОТО по приведенным выше формулам.
Подчеркнем только, что теперь уравнения (1.5.19) определяют
в произвольных координатах не прямую, а экстремальную в
кривом пространстве — времени геодезическую линию (в искрив­
*) Кривизна пространства — времени в ОТО не обязательно связана
с присутствием вещества или (негравитационного) поля. Как будет видно из
дальнейшего, ОТО предсказывает существование !гравитационных волн, несу­
щ их энергию и вызывающих искривление пространства. С другой стороны,
возможны нестационарные решения для пустого искривленного пространства—
времени, описывающие анизотропную деформацию пространства и нигде не
содержащ ие вещество. Эти решения, так ж е как и решения для гравитацион­
ных волн,