Геометрия. 9 класс: контрольные измерительные материалы [Андрей Рафаилович Рязановский] (pdf) читать постранично, страница - 14

и 2 х - у + 1 =0. Определите коор­
динаты вершины С, если А ( 1; - 2 ).
2 6 . Через вершины А и В треугольника АВС проходит окруж­
ность, пересекающая стороны АС и ВС соответственно в точ­
ках Р и Q так, что длина Q C = 2. Найдите радиус окружности,
проходящей через точки Р, Q, С, если АВ = 9, ВС = 15, СА = 8.
2 7 . В равнобочную трапецию, одно основание которой равно
8 см, а средняя линия — 9 см, вписана окружность. Определи­
те расстояние от вершины тупого угла трапеции до ближай­
шей к ней точки вписанной окружности.
2 8 . Из точки А проведены две секущие окружности радиуса R
так, что расстояние от центра окружности до каждой из се­
кущих составляет

V2 *

Определите площадь той части круга,

которая ограничена данной окружностью и расположена ме­
жду секущими.
63

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

29. Произведение неравных высот параллелограмма равно 12, а
величина его тупого угла не больше 135° и не меньше 120°.
Определите наибольшее и наименьшее значение площади
этого параллелограмма.
30. Высота и медиана, проходящие через вершину А треугольни­
ка АВС, лежат на прямых, заданных соответственно уравне­
ниями х - 2 у + 1 = 0 и 2х - у - 1 = 0 . Определите координаты
вершины В, если С (-4; 4).
31. В четырехугольнике ABCD на сторонах ВС и AD взяли точки Р
и Т соответственно так, что ZBPT + ZBAD = ZCDT + ZCPT = 180 °.
Докажите, что АВ параллельна CD.
32. Через вершину С треугольника АВС параллельно АВ прове­
дена прямая. На этой прямой выбрана точка М так, что пря­
мая, проходящая через точку М параллельно АС, пересекает
продолжение стороны ВС за точку С в точке Р. Докажите, что уг­
лы треугольника АВС равны углам треугольника МСР: ZA = ZM,

ZB = Z C ,Z C = Z P .
33. КМ — средняя линия треугольника АВС и РТЕ, причем точка Е
лежит на АС. Докажите, что:
а) вершина В принадлежит отрезку РТ;
б) АР параллельно СТ.
34. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О,
причем АО = ОС. Точка К — середина AD. Отрезок, соеди­
няющий середины отрезков ВК и ВО, равен 5 см. Найдите
сторону CD.
35. Точка М — середина стороны CD параллелограмма ABCD. В
каком отношении, пересекаясь, делятся отрезки АС и ВЛ4?
36. В трапеции ABCD отношение оснований ВС : AD = а : Ь. На
сторонах АВ и CD соответственно выбраны точки М и N так,
что AM : МВ = DN : CN = m : п. В каком отношении диагональ
BD делит отрезок A4N?
64

Диагностические контрольные задачи

37. Прямая а пересекает стороны АВ, ВС треугольника АВС и
продолжение стороны АС за точку С в точках М, N и Р соотu „
AM BN
АР
ветственно. паидите отношения ----- , ----- и — , если расМВ NC
PC
К
стояния от вершин треугольника до прямой а равны соответ­
ственно с/17 d2 и cf3.
38. На сторонах АВ, ВС, CD и AD четырехугольника ABCD вы­
браны точки М, N, К, L соответственно так, что AM : МВ =
= AL: LD = CN : NB = СК: KD = т : п. Определите периметр че­
тырехугольника MNKL, АС = a, BD = Ь.
39. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол В — тупой,
ВС = а, АС = Ь, диаметр окружности равен с/. Определите
расстояние от вершины С до прямой АВ.
40. Точки М и N лежат на сторонах AD и DC параллелограмма
ABCD так, что AM : MD = т : п, DN : NC = р : q. В каком отно­
шении, считая от точки В, отрезок MN делит диагональ BD?
41. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты А А } и
ВВ}. Известно, что АВ = с, ZABC = 60°. Найдите длину А }В}.
42. Диагональ трапеции делит ее на два равнобедренных тре­
угольника. Угол при основании одного из этих треугольников
равен 40°. Найдите углы трапеции.
4 3. Через точку пересечения диагоналей трапеции ABCD и сере­
дину боковой стороны CD проведена прямая, пересекающая
другую боковую сторону трапеции в точке F. Найдите отно­
шение A F : FB, если отношение оснований трапеции равно X,
причем 0 < X < 1.
4 4. В окружность вписаны трапеции ABCD и МВСК, причем
AD = МК, ZBAD = 40°, ZABM = 30°.
Найдите:
а) углы трапеций; б) гол между BD и МС; в) угол между ВК и МС.
65

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 9 класс

45 . В трапецию ABCD с основаниями AD = 10, ВС = 5 вписана
окружность с центром в точке 0 }. Точка касания этой окруж­
ности со стороной АВ делит ее на отрезки AF = 4 и FB = 3.
Окружность с центром 0 2 касается отрезка CD и продолже­
ний сторон ВС и AD за точки С и D. Найдите расстояние меж­
ду точками касания этих окружностей со стороной CD.

46 . Основания трапеции равны 1 см и 4 см, а одна из ее диаго­
налей 6 см. Какой может быть длина второй диагонали этой
трапеции?

47 . Отношение углов А и В, прилежащих к боковой стороне АВ
трапеции ABCD, равно 2 : 3. Диагональ АС делит трапецию
на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапе­
ции.

48 . Определите радиус окружности, вписанной в ромб, если сто­
рона ромба 17 см, а одна из его диагоналей 30 см.

49 . Две окружности радиусов г, и г2 [г} < г2) расположены так, что
расстояние между их центрами равно d. Определите длины
их внешней и внутренних касательных, рассмотрев случаи:
а) d >г} +г2;
б) d = r1+r2;
в) r1- r 2