Теоретическая физика в 10т. Т.4. Квантовая электродинамика [Евгений Михайлович Лифшиц] (pdf) читать постранично, страница - 24

Позитроны
уходят на бесконечность, унося кинетическую энергию 2 (|£i| —
—га), а два электрона заполняют уровень Е \ . В результате обра­
зуется «ион» с заполненной i f -оболочкой и зарядом Z 3ф = Z —2
(С. С. Герштейн,Я. Б. Зельдович, 1969). Эта система устойчива
при Z > Z c, вплоть до значений Z, когда границы —га достигнет
следующий уровень : ) .
Так, если заряд ядра равномерно распределен в сфере радиуса го =
= 1,2 • И Г 12 см, критическое значение Zc = 170, а следующий уровень до­
стигает границы —т при Z = 185 (В. С. Попов, 1970). Подробное изложение
количественной теории — см. обзорную статью Я. Б. Зельдовича и В. С. По­
пова (УФН.— 1971. - Т. 105. - С. 403).

161

ДВ И Ж ЕН И Е В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ

Наконец отметим, что даже в случае точечного заряда ход
потенциала на малых расстояниях искажается за счет радиаци­
онных поправок. Их учет приводит, однако, лишь к поправкам
~ а к значению Z ca.
Обратимся теперь к точному решению волнового уравнения
(G. Darwin, 1928; W. Gordon, 1928).
Д искретны й спектр ( е < т ) . Будем искать функции / и
g в виде
/ = V m + ee“p/V _1(Qi + Q 2),
g = - л / т - ee~p/2p1~1(Qi - Q2),
где введены обозначения
р = 2Аг,

А = у / т 2 —£2,

7

= д /х 2 —Z 2a 2.

(36.4)

Такая форма представляется естественной ввиду известного уже
нам поведения функций при р —>►0 (36.2) и их экспоненциального
затухания (~ е~р/ 2) при р —>►оо. Поскольку при р —>►оо первое
равенство (35.9) должно выполняться и в случае кулонова поля,
следует ожидать, что при р —>►оо будет Qi
Q2 Подставив (36.3) в (35.4), получим уравнения

p (Q i+ $ 2 / + (т + x )(Qi + Q 2 ) —PQ2 + Z a \у[ -ш—^
—(Qi — Q 2 ) = 0 ,
+ s
p(Qi — £?2)7+ (7 — x )(Qi ~ Q2) + PQ2 — Z a \ f —

у m —£

( Qi + Q2) — 0

(штрих означает дифференцирование по р ). Их сумма и разность
дают
p Q\

+

(7

-

Qi + ( * -

Q2 = о,
(36.5)

р►оо как ер, а с ними будет возрастать — как ер/ 2 — и вся вол­
новая функция). Функция F(a,f3,z) сводится к полиному, если
параметр а равен целому отрицательному числу или нулю. Обо­
значим
7

—Z a e / А = —п г.

(36.8)

Если п г = 1 , 2 , . . . , то обе гипергеометрические функции сводят­
ся к полиномам. Если же п г = 0, то сводится к полиному лишь
одна из них. Но равенство п г = 0 означает, что 7 = Z a e / А, и
тогда, как легко проверить, Z a m / X = \н\. Если к < 0, то коэф­
фициент В (36.7) обращается в нуль, так что Q 2 = 0, и требуемое
условие не нарушается. Если же ус > 0, то i? = —А, и Q 2 остается
при п г = 0 расходящейся функцией. Таким образом, допустимы
следующие значения квантового числа п г \
_ ( 0 , 1 , 2 , .. .
Пг “ \ 1 , 2 , 3, . ..

при
при

х <
х >

0;
0.

, , fi qx

Из определения (36.8) находим теперь следующее выражение
для дискретных уровней энергии:
-

1/2

£

(36.10)

(^/х 2 - (Z ol) 2 + пг)

т

В частности, энергия основного уровня ls y 2 (|х | = 1, п г = 0):
£1

= Т1Пу / 1 — (Z a )2.

При Z a е~Лг(2Лг)7+11г- 1.

Г(пг

+ 2 7

+

1)

Сравнив эту формулу с выражением (36.22), которое будет най­
дено ниже, определим А. Собрав затем полученные формулы,
выпишем окончательные выражения для нормированных волно­
вых функций:
+ (2 А)3/2
(ш + s)T(27 + nr + 1)
Г(27 + 1) 4т (Z a m / X ) (Z a m / X — к) пг \

/1

ё J
|

^

^ ( _ Пг5 2 7

1/2

(2Лг)7 _ 1 е_Аг х

+ 1, 2Ar) =F n rF( 1 - n r, 2 7 + 1, 22 ;A r)|
(36.11)

(верхние знаки относятся к / , нижние — к g).
Н епреры вны й спектр ( е > т ) . Нет необходимости заново
решать волновое уравнение для состояний непрерывного спек­
тра. Волновые функции этого случая получаются из функций
дискретного спектра заменой :)
у/т — е

—i y/ e — га,

А —>►—ф ,

(36.12)
Р
(о выборе знака при аналитическом продолжении корня у/т — е
см. т. III, § 128). Заново, однако, должна быть произведена нор­
мировка функций.
1) Ниже в этом параграфе р обозначает
6*

—п г —>►7 —

|р| = у/е2 —т2.

164

Ч А С Т И Ц А ВО В Н Е Ш Н Е М П О Л Е

Г Л . IV

Проделав в (36.11) указанную замену, представим функции /
и g в виде
Д
g J

= y e + rn 1
*л/е — т J

^ , ефг(

)7_i х

х [егИ 7 —«V, 2 7 + 1 , —2ipr) =F е Z^ F (7 + 1 —«V, 2 7 + 1 , —2 фг)],
где А 7 — новая нормировочная постоянная и введены обозначе­
ния
Zas
—2г£
7 -гУ
(36.13)
р

к —i v m / s

(величина £ вещественна, поскольку 7 2 + (Z a e / p ) 2 =
+ (Z a m / p )2).
Согласно известной формуле
F ( a , /3, 2:) = ezF(f3 — а , /3, —2 )
(см. Ill, (d. 10)) имеем

х2 +

F ( 7 + 1 - гг/, 2 7 + 1, - 2 i p r ) = e ~ 2 i p r F {7 + «V, 2 7 + I, 2 ф г ) =

_ е~ 2 г р г р ^ 2^у +

1 5 —2 ф г),

поэтому
g |

— 2 i A 1у/е

± ш (2]9г)7 - 1 ^

| e ^ pr+ ^ F (7 —

«V, 2 7 +

1 , —2 ф г ) | .

(36.14)
Нормировочный коэффициент А 7 определяется сравнением
асимптотического выражения для этой функции с общей фор­
мулой (35.7) для нормированной сферической волны. Выпишем
сразу получающееся таким образом выражение для волновых
функций непрерывного спектра (и затем проверим его) : ) :
/1