У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте. [Густаво Эрнесто Пиньейро] (fb2) читать постранично, страница - 2
- У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте. (и.с. Наука. Величайшие теории-17) 2.78 Мб, 126с. скачать: (fb2) - (исправленную) читать: (полностью) - (постранично) - Густаво Эрнесто Пиньейро
[Настройки текста] [Cбросить фильтры]
- 1
- 2
- 3
- 4
- . . .
- последняя (48) »
на 2. Но это невозможно, поскольку оно простое, то есть может делиться только на единицу и само на себя. Оно не может быть кратным двум, то есть четным; следовательно, оно нечетное.
Мы можем понимать доказательство как рассуждение, которое потенциально включает в себя бесконечное число частных случаев. Все сложные математические проблемы потенциально включают в себя бесконечное количество объектов, будь то числа, уравнения или другие объекты. По этой причине вычисление суммы всех чисел от единицы до миллиона, при всей своей трудоемкости, не является сложной проблемой в том смысле, который придают этому слову математики, поскольку вычисление предполагает вполне определенное количество операций, и их можно совершить за некоторый промежуток времени, имеющий начало и конец. Решение проблемы, сформулированной в гипотезе Гольдбаха (или любой другой гипотезе), состоит в том, чтобы найти опровергающий контрпример или доказательство, подтверждающее ее истинность. Если предложено рассуждение, предположительно доказывающее гипотезу, как мы убедимся в том, что оно верно? Если кто-то не убежден в справедливости рассуждения, каковы критерии, позволяющие устранить его сомнения? Прежде чем ответить на эти вопросы, рассмотрим еще один исторический пример. В 1909 году французский математик Эмиль Борель дал определение понятию нормального числа. Нет необходимости вникать во все сложности этого определения, достаточно сказать, что число нормальное, когда после запятой его знаки ведут себя так, как если бы выбирались наугад, и это происходит при записи в десятичном (как это принято), двоичном, шестнадцатеричном или любом другом виде. Например, ясно, что 0, 101010101... не является нормальным числом (его знаки после запятой ведут себя слишком закономерно для того, чтобы быть похожими на случайные). И напротив, считается, что π = 3,1415926... и √2 = 1,4142135... являются нормальными числами, хотя эта гипотеза еще не доказана и не опровергнута. Борель, помимо того что дал определение нормальным числам, доказал: их количество бесконечно, то есть ряд нормальных чисел никогда не заканчивается. Однако в его доказательстве были использованы очень косвенные методы; можно сказать, он также доказал, что этого бесконечного количества чисел не может не существовать. Главное в этой истории то, что Борель, как и никто другой, не был способен в 1909 году привести ни одного примера нормального числа. Некоторые числа (включая приведенные выше) подходили под определение нормальных, но нельзя было утверждать это точно. То есть Борель доказал, что существует бесконечное количество чисел определенного типа, но не смог привести ни одного из них. Допустима ли такая ситуация? Можем ли мы вести разговор о числах, ни имея ни одного их примера? В начале XX века многие математики начали выказывать недоверие доказательствам, включавшим ряды, образованные бесконечным количеством чисел (такими как ряд нормальных чисел). Они сомневались, допустимо ли работать с ними, пользуясь теми же правилами, что и для конечных рядов (то есть не расширяющихся до неопределенности). Это недоверие было подкреплено тем, что в 1902 году британский философ и математик Бертран Рассел нашел логические противоречия, связанные с рассуждениями такого типа. В начале XX века вопрос о том, как определить справедливость математического рассуждения, был совершенно неясен. Среди математиков бурлили споры и дискуссии. И только почти через четверть века, в 1930 году, ученые пришли к соглашению о четких и конкретных критериях, которым должно соответствовать доказательство, чтобы его приняли как верное. Эти критерии, установленные объективно, состояли в том, чтобы рассуждения были проверены компьютером — беспристрастным судьей, который ограничивается вычислениями, не оперируя лингвистическими конструкциями. Естественно, это современный вариант соглашения, раньше он формулировался по-другому, поскольку в 1930 году еще не было компьютеров. Но именно в том месте и в то время, когда математики собрались, чтобы прийти к согласию о надежных методах рассуждений, Курт Гёдель поднял руку и попросил слова, чтобы рассказать о своей теореме о неполноте: если даже придерживаться методов, исключающих ошибку, всегда будут существовать истинные гипотезы, которые нельзя доказать, и математические проблемы, которые невозможно решить с помощью самых надежных методов. Мы можем иметь потенциальную способность решать проблемы (без уверенности в том, что решение правильное), но никогда не сможем одновременно иметь уверенность в своих методах и возможность решить все проблемы. Гёдель представил две теоремы о неполноте, первая из которых также известна как теорема Гёделя, а вторая получила название второй теоремы Гёделя. Эта книга — об истории открытия Гёделя и его следствиях для философии математики. В главе 1 описаны исторический процесс, приведший к полемике о методах доказательства в математике, и роль, которую сыграла в
Мы можем понимать доказательство как рассуждение, которое потенциально включает в себя бесконечное число частных случаев. Все сложные математические проблемы потенциально включают в себя бесконечное количество объектов, будь то числа, уравнения или другие объекты. По этой причине вычисление суммы всех чисел от единицы до миллиона, при всей своей трудоемкости, не является сложной проблемой в том смысле, который придают этому слову математики, поскольку вычисление предполагает вполне определенное количество операций, и их можно совершить за некоторый промежуток времени, имеющий начало и конец. Решение проблемы, сформулированной в гипотезе Гольдбаха (или любой другой гипотезе), состоит в том, чтобы найти опровергающий контрпример или доказательство, подтверждающее ее истинность. Если предложено рассуждение, предположительно доказывающее гипотезу, как мы убедимся в том, что оно верно? Если кто-то не убежден в справедливости рассуждения, каковы критерии, позволяющие устранить его сомнения? Прежде чем ответить на эти вопросы, рассмотрим еще один исторический пример. В 1909 году французский математик Эмиль Борель дал определение понятию нормального числа. Нет необходимости вникать во все сложности этого определения, достаточно сказать, что число нормальное, когда после запятой его знаки ведут себя так, как если бы выбирались наугад, и это происходит при записи в десятичном (как это принято), двоичном, шестнадцатеричном или любом другом виде. Например, ясно, что 0, 101010101... не является нормальным числом (его знаки после запятой ведут себя слишком закономерно для того, чтобы быть похожими на случайные). И напротив, считается, что π = 3,1415926... и √2 = 1,4142135... являются нормальными числами, хотя эта гипотеза еще не доказана и не опровергнута. Борель, помимо того что дал определение нормальным числам, доказал: их количество бесконечно, то есть ряд нормальных чисел никогда не заканчивается. Однако в его доказательстве были использованы очень косвенные методы; можно сказать, он также доказал, что этого бесконечного количества чисел не может не существовать. Главное в этой истории то, что Борель, как и никто другой, не был способен в 1909 году привести ни одного примера нормального числа. Некоторые числа (включая приведенные выше) подходили под определение нормальных, но нельзя было утверждать это точно. То есть Борель доказал, что существует бесконечное количество чисел определенного типа, но не смог привести ни одного из них. Допустима ли такая ситуация? Можем ли мы вести разговор о числах, ни имея ни одного их примера? В начале XX века многие математики начали выказывать недоверие доказательствам, включавшим ряды, образованные бесконечным количеством чисел (такими как ряд нормальных чисел). Они сомневались, допустимо ли работать с ними, пользуясь теми же правилами, что и для конечных рядов (то есть не расширяющихся до неопределенности). Это недоверие было подкреплено тем, что в 1902 году британский философ и математик Бертран Рассел нашел логические противоречия, связанные с рассуждениями такого типа. В начале XX века вопрос о том, как определить справедливость математического рассуждения, был совершенно неясен. Среди математиков бурлили споры и дискуссии. И только почти через четверть века, в 1930 году, ученые пришли к соглашению о четких и конкретных критериях, которым должно соответствовать доказательство, чтобы его приняли как верное. Эти критерии, установленные объективно, состояли в том, чтобы рассуждения были проверены компьютером — беспристрастным судьей, который ограничивается вычислениями, не оперируя лингвистическими конструкциями. Естественно, это современный вариант соглашения, раньше он формулировался по-другому, поскольку в 1930 году еще не было компьютеров. Но именно в том месте и в то время, когда математики собрались, чтобы прийти к согласию о надежных методах рассуждений, Курт Гёдель поднял руку и попросил слова, чтобы рассказать о своей теореме о неполноте: если даже придерживаться методов, исключающих ошибку, всегда будут существовать истинные гипотезы, которые нельзя доказать, и математические проблемы, которые невозможно решить с помощью самых надежных методов. Мы можем иметь потенциальную способность решать проблемы (без уверенности в том, что решение правильное), но никогда не сможем одновременно иметь уверенность в своих методах и возможность решить все проблемы. Гёдель представил две теоремы о неполноте, первая из которых также известна как теорема Гёделя, а вторая получила название второй теоремы Гёделя. Эта книга — об истории открытия Гёделя и его следствиях для философии математики. В главе 1 описаны исторический процесс, приведший к полемике о методах доказательства в математике, и роль, которую сыграла в
- 1
- 2
- 3
- 4
- . . .
- последняя (48) »
Последние комментарии
4 минут 23 секунд назад
5 минут 33 секунд назад
7 минут 52 секунд назад
8 минут 7 секунд назад
9 минут 36 секунд назад
11 минут 52 секунд назад