Теоретический минимум. Специальная теория относительности и классическая теория поля [Леонард Сасскинд] (pdf) читать онлайн

ЛЕОНАРД САССКИНД
АРТ ФРИДМАН

ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÉ
ÌÈÍÈÌÓÌ
Специальная теория относительности
и классическая теория поля

2021

ББК 22.313.3+22.313.33
УДК 530.121+530.21
С20

Сасскинд Л., Фридман А.
С20

Теоретический минимум. Специальная теория относительности
и классическая теория поля. — СПб.: Питер, 2021. — 432 с.: ил. —
(Серия «New Science»).
ISBN 978-5-4461-0802-2

Вы уже познакомились с классической и квантовой механикой? Настало время для нового
погружения в глубины физики.
Физик Леонард Сасскинд и консультант по обработке данных Арт Фридман знакомят
читателей со специальной теорией относительности Эйнштейна и классической теорией
поля Максвелла. Сасскинд и Фридман в своем фирменном стиле, с помощью математики,
поучительных рисунков и юмора, проведут для нас экскурсию по волнам, силам и частицам,
расскажут о специальной теории относительности и электромагнетизме.
Яркие примеры и картины вымышленных миров превращают книгу в увлекательное
путешествие по миру, который управляется законами специальной теории относительности.
Все (или почти все) тайны волн, взаимодействий и частиц будут раскрыты.
Книга обязательна к прочтению фанатам серии «Теоретический минимум» и всем, кто
интересуется физикой.

16+ (В соответствии с Федеральным законом от 29 декабря 2010 г. № 436-ФЗ.)
ББК 22.313.3+22.313.33
УДК 530.121+530.21
Права на издание получены по соглашению с Brockman Agency. Все права защищены. Никакая
часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Информация, содержащаяся в данной книге, получена из источников, рассматриваемых издательством как надежные. Тем не менее, имея в виду возможные человеческие или технические
ошибки, издательство не может гарантировать абсолютную точность и полноту приводимых
сведений и не несет ответственности за возможные ошибки, связанные с использованием книги. Издательство не несет ответственности за доступность материалов, ссылки на которые вы
можете найти в этой книге. На момент подготовки книги к изданию все ссылки на интернет-ресурсы были действующими.

ISBN 978-0465093342 англ.
ISBN 978-5-4461-0802-2

© 2017 by Leonard Susskind and Art Friedman.
All rights reserved.
© Перевод на русский язык ООО Издательство
«Питер», 2021
© Издание на русском языке, оформление
ООО Издательство «Питер», 2021
© Серия «New Science», 2021

Это третья книга из серии «Теоретический минимум». Книга первая, «Теоретический минимум. Что необходимо знать,
чтобы начать заниматься физикой», была посвящена классической механике, составляющей основу любого физического образования. Время от времени мы будем ссылаться
на него просто как на Книга I. Во второй книге объясняется
квантовая механика и ее отношение к механике классической.
В этой, третьей, книге рассматриваются специальная теория
относительности и классическая теория поля. Параллельно
книгам данной серии выходят видеолекции Леонарда Сасскинда, выкладываемые на сайте Стэнфордского университета (см. их перечень на www.theoreticalminimum.com, лекции
на английском языке). Книги, в которых рассматриваются те
же общие вопросы, что и в видеолекциях, конечно, содержат
дополнительные детали и темы, которые в лекции не вошли.

Содержание

Предисловие....................................................................... 14
Введение............................................................................ 17
Лекция 1. Преобразования Лоренца..................................... 24
1.1. Системы отсчета. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2. Инерциальные системы отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.1. Ньютоновские (дорелятивистские)
системы отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.2. Системы отсчета СТО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.3. Историческое отступление . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.2.4. Возвращаемся к уравнениям . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.2.5. Ничто не движется быстрее света . . . . . . . . . . . . . 58
1.3. Обобщенные преобразования Лоренца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.4. Сокращение длины и замедление времени . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.5. Мир Минковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.5.1. Минковский и световой конус . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.5.2. Физический смысл собственного времени . . . . . . . . 78
1.5.3. Пространственно-временной интервал . . . . . . . . . . 80
1.5.4. Времениподобные, пространственноподобные
и светоподобные интервалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.6. Историческая перспектива. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.6.1. Эйнштейн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.6.2. Лоренц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Содержание

7

Лекция 2. Скорости и 4-векторы........................................... 86
2.1. Сложение скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.1.1. Мэгги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2. Световые конусы и 4-векторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.2.1. Как движутся световые лучи . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.2.2. Введение в 4-векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Лекция 3. Релятивистские законы движения........................100
3.1. Еще об интервалах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1.1. Пространственноподобные интервалы . . . . . . . . . 102
3.1.2. Времениподобные интервалы . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2. Подробнее о 4-скорости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3. Математическая интерлюдия: инструмент
аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.4. Механика частиц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4.1. Принцип наименьшего действия . . . . . . . . . . . . . 112
3.4.2. Нерелятивистское действие: краткий обзор . . . . . . 115
3.4.3. Релятивистское действие . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4.4. Нерелятивистский предел . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4.5. Релятивистский импульс . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.5. Релятивистская энергия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5.1. Медленные частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.5.2. Безмассовые частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.5.3. Пример: распад позитрония . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Лекция 4. Классическая теория поля...................................133
4.1. Поля и пространство-время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2. Поля и действие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.2.1. И снова нерелятивистские частицы . . . . . . . . . . . 136

8

Содержание

4.3. Принципы теории поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3.1. Принцип действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3.2. Стационарное действие для ϕ . . . . . . . . . . . . . . 142
4.3.3. Еще об уравнениях Эйлера — Лагранжа . . . . . . . . 145
4.3.4. Волны и волновые уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4. Релятивистские поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.4.1. Поведение полей при преобразованиях . . . . . . . . . 151
4.4.2. Математическая интерлюдия: ковариантные
компоненты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.4.3. Построение релятивистского лагранжиана . . . . . . 163
4.4.4. Пользуемся нашим лагранжианом . . . . . . . . . . . . 165
4.4.5. Классическая теория поля: итоги . . . . . . . . . . . . 167
4.5. Поля и частицы: дегустация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.5.1. Тайное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.5.2. Некоторые подробности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Лекция 5. Частицы и поля...................................................173
5.1. Поле воздействует на частицу (обзор) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.2. Частица воздействует на поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.2.1. Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.2.2. Зависимость от времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.3. Верхние и нижние индексы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.4. Эйнштейновское правило суммирования . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.5. Обозначения в случае скалярного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.6. Новый скаляр. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.7. Преобразование ковариантных компонент. . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.8. Математическая интерлюдия: применение экспоненциальных функций к решению волновых уравнений . . . . . . 204
5.9. Волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Содержание

9

Интерлюдия: чокнутые единицы..........................................211
И.1. Единицы и масштаб. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
И.2. Планковские единицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
И.3. Электромагнитные единицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Лекция 6. Сила Лоренца.....................................................222
6.1. Расширяем обозначения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.1.1. 4-векторы: сводка результатов . . . . . . . . . . . . . . 227
6.1.2. Образование скаляров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.1.3. Производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.1.4. Обобщенные преобразования Лоренца . . . . . . . . . 231
6.1.5. Ковариантные преобразования . . . . . . . . . . . . . . 235
6.2. Тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.2.1. Тензоры 2-го ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.2.2. Тензоры высшего ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.2.3. Инвариантность тензорных уравнений . . . . . . . . . 239
6.2.4. Поднятие и опускание индексов . . . . . . . . . . . . . 240
6.2.5. Симметричные и антисимметричные тензоры . . . . 242
6.2.6. Антисимметричный тензор . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.3. Электромагнитные поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.3.1. Интеграл действия и векторный потенциал . . . . . . 246
6.3.2. Лагранжиан . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.3.3. Уравнения Эйлера — Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . 250
6.3.4. Лоренц-инвариантные уравнения . . . . . . . . . . . . 259
6.3.5. Уравнения с 4-скоростью . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6.3.6. Связь Aµ с
6.3.7. Значение

и

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Uµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

264

6.4. Интерлюдия: тензор поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

10

Содержание

Лекция 7. Фундаментальные принципы и калибровочная
инвариантность..................................................................270
7.1. Сводка фундаментальных принципов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.2. Калибровочная инвариантность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.2.1. Примеры симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.2.2. Новый тип инвариантности . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.2.3. Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.2.4. Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Лекция 8. Уравнения Максвелла.........................................284
8.1. Пример Эйнштейна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.1.1. Преобразование тензора поля . . . . . . . . . . . . . . . 288
8.1.2. Пример Эйнштейна: сводка . . . . . . . . . . . . . . . . 292
8.2. Введение в уравнения Максвелла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
8.2.1. Векторные тождества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.2.2. Магнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.2.3. Электрическое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8.2.4. Еще два уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . 298
8.2.5. Плотность заряда и плотность тока . . . . . . . . . . . 300
8.2.6. Сохранение заряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.2.7. Уравнения Максвелла: тензорная форма . . . . . . . . 311
8.2.8. Тождество Бьянки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Лекция 9. Физические следствия .
уравнений Максвелла.........................................................317
9.1. Математическая интерлюдия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
9.1.1. Теорема Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
9.1.2. Теорема Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
9.1.3. Безымянная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Содержание

11

9.2. Законы электродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
9.2.1. Сохранение электрического заряда . . . . . . . . . . . 325
9.2.2. От уравнений Максвелла к законам
электродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
9.2.3. Закон Кулона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
9.2.4. Закон Фарадея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
9.2.5. Закон Ампера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
9.2.6. Закон Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Лекция 10. От Лагранжа к Максвеллу..................................338
10.1. Электромагнитные волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
10.2. Лагранжева формулировка электродинамики. . . . . . . . . . . . 344
10.2.1. Локальность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
10.2.2. Лоренц-инвариантность . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
10.2.3. Калибровочная инвариантность . . . . . . . . . . . . 350
10.2.4. Лагранжиан в отсутствие источников . . . . . . . . . 350
10.3. Вывод уравнений Максвелла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
10.4. Лагранжиан с ненулевой плотностью тока. . . . . . . . . . . . . . . 359
Лекция 11. Поля и классическая механика...........................365
11.1. Энергия и импульс поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
11.2. Три вида импульса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
11.2.1. Механический импульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
11.2.2. Канонический импульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
11.2.3. Нётер-импульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
11.3. Энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
11.4. Теория поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
11.4.1. Лагранжиан для полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
11.4.2. Действие для полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

12

Содержание

11.4.3. Гамильтониан для полей . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
11.4.4. Следствие конечности энергии . . . . . . . . . . . . . 381
11.4.5. Электромагнитные поля через калибровочную
инвариантность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
11.5. Энергия и импульс в четырех измерениях . . . . . . . . . . . . . . . 392
11.5.1. Локально сохраняющиеся величины . . . . . . . . . 393
11.5.2. Энергия, импульс и лоренцева симметрия . . . . . . 396
11.5.3. Тензор энергии-импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
11.6. До свидания!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
Приложение A. Магнитные монополи: .
Ленни дурачит Арта............................................................406
Приложение Б. Обзор 3-векторных операторов....................420
Б.1. Оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
Б.2. Градиент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
Б.3. Дивергенция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Б.4. Ротор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
Б.5. Лапласиан. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Алфавитный указатель.......................................................426

Моему отцу и герою,
храброму человеку —
Бенджамену Сасскинду
Л. С.

Моей жене Мэгги
и ее родителям,
Дэвиду и Барбаре Слоун
А. Ф.

Предисловие

Эта книга — одна из серии книг, тесно связанных с моим курсом
лекций в интернете под названием «Теоретический минимум».
Мой соавтор Арт Фридман прошел этот курс в качестве студента, и книга выиграла оттого, что как человек, изучавший
предмет, Арт понимал, какие вопросы могут представлять
трудность для новичка. Работа над книгой доставляла нам
огромное удовольствие, и мы попытались передать это чувство
посредством шуток. Если этот юмор вам мешает, не обращайте
на него внимания.
Две предыдущие книги этой серии посвящены классической
механике и основам квантовой механики. До сих пор мы не
рассматривали вопросов, связанных со светом, потому что свет
представляет собой релятивистское явление: он связан со специальной теорией относительности или, как мы будем ее иногда
называть, СТО. СТО и классическая теория поля и составляют
предмет этой книги. Классическая теория поля — это теория
электромагнитного поля, то есть волн, сил, действующих на
заряженные частицы, и т. д., в контексте СТО. Со специальной
теории относительности мы и начнем.
Леонард Сасскинд
* * *
Мои родители, дети иммигрантов, были двуязычными. Они учили нас, своих детей, кое-каким словам и выражениям на идише,
но в основном приберегали этот язык для себя, иногда говоря
на нем друг другу то, что не предназначалось для наших ушей.

Предисловие

15

Часто эти их «секретные» разговоры сопровождались бурными
взрывами хохота.
Идиш — язык очень экспрессивный, он хорошо приспособлен
и для великой литературы, и для повседневной жизни. Есть в нем
и простецкий юмор. Мне жаль, что мое понимание этого языка
так ограниченно — я бы хотел прочесть все написанные на нем
великие произведения в оригинале, но, честно говоря, был бы
доволен, если бы понимал хотя бы шутки.
Многие из нас испытывают похожие чувства по отношению
к математической физике. Мы хотим понять ее великие идеи
и проблемы, найти применение и своему творчеству. Мы знаем,
что в физике есть поэзия, которую можно и понимать, и создавать, нам очень хотелось бы внести в нее и свой вклад. Но нам
недостает ее «секретного языка». В этой серии книг мы ставим
себе целью научить вас языку физики и показать некоторые из
великих идей этой науки в их естественной «среде обитания».
Если вы доверитесь нам, перед вами раскроется картина значительной части физики XX века. Вы будете в достаточной степени экипированы, чтобы понять основную часть ранних работ
Эйнштейна. Как минимум вы научитесь не только «понимать
шутки», но и серьезные идеи, стоящие за ними. Чтобы вам было
легче начать, мы познакомим вас с нашими собственными шутками — по-моему, среди них есть настоящие «хиты».
Я искренне благодарен всем, кто помогал нам и поддерживал нас.
Фраза «мы не могли бы сделать это без вас» звучит стандартно,
но тем не менее это истинная правда.
Работать с профессионалами из издательств Brockman, Inc.,
и Basic Books — всегда удовольствие и полезный опыт. Джон
Брокман, Макс Брокман и Майкл Хили сыграли огромную роль
в превращении нашей идеи в реальный проект. «Ти Джей» Келлер, Элен Бартелеми, Кэрри Наполитано и Мелисса Веронези
с огромным мастерством и пониманием провели нас через все

16

Предисловие

стадии издательского и производственного процесса. Лаура
Стикни из Penguin Books координировала выпуск британского
издания столь ювелирно, что мы почти не заметили, как все
произошло. Выпускающий редактор Эми Шнайдер внесла существенные улучшения в исходную рукопись, как и корректоры
Лор Гэрет и Бен Тэдофф.
Многие бывшие студенты Леонарда великодушно предложили
свою помощь в просмотре рукописи. Это было нелегким делом.
Их глубокий анализ и предложения были бесценны, и благодаря им книга стала гораздо лучше. Мы искренне благодарны
Джереми Брэнски, Байрону Дому, Джеффу Джастису, Клинтону
Льюису, Иоганну Шамрилу Соса и Дон Марсии Уилсон.
Как всегда, на протяжении всего проекта я чувствовал тепло
и поддержку моей семьи и друзей. Моя жена Мэгги часами
переделывала два рисунка, изображающие «Кабачок “У Германа”», несмотря на свои недомогания и безвременную кончину
ее матери.
Этот проект обеспечил мне такую роскошь, как возможность
предаваться сразу двум самым большим страстям моей жизни:
физике (на уровне третьекурсника) и юмору (на уровне четвероклассника). В этом отношении мы с Леонардом оказались
прекрасной командой, и сотрудничество с ним стало для меня
незабываемой радостью.
Арт Фридман

Введение

Здравствуйте, дорогие читатели «Теоретического минимума».
С возвращением к необыкновенным приключениям Ленни
и Арта! Мы расстались с отважными приятелями, когда они только начали приходить в чувство после отчаянных и бесшабашных
полетов на американских горках в квантовом мире запутанности
и неопределенности. Им срочно требовалось что-нибудь успокаивающее, надежное, однозначно детерминистское, что-нибудь
классическое. Но в Книге III их гонка продолжается, и она не станет менее сумасшедшей. Сокращающиеся стержни, замедление
времени, парадокс близнецов, относительная одновременность,
растягивающиеся лимузины, которые одновременно и влезают,
и не влезают в гаражи размером с «фольксваген» — да, похоже,
сумасбродные приключения Ленни и Арта не собираются заканчиваться. А в конце гонки Ленни еще и одурачит Арта при
помощи фальшивого монополя.
Может, я нагоняю страху, но для новичка релятивистский
мир представляется какой-то причудливой «комнатой смеха»
с кривыми зеркалами, полной опасных головоломок и скользких парадоксов. Но мы всегда будем рядом, чтобы помочь вам
преодолеть трудности. Вам также пригодилось бы знакомство
с основами математического анализа и линейной алгебры.
Мы всегда ставили себе цель объяснять предмет со всей серьезностью, ничего не упрощая, но и не добавляя ничего сверх
того, что необходимо для перехода к следующему этапу курса.
В зависимости от ваших предпочтений это может быть либо
квантовая теория поля, либо общая теория относительности.

18

Введение

Прошло уже некоторое время с тех пор, как мы с Артом опуб­
ликовали Книгу II,1 посвященную квантовой механике. Мы
были щедро вознаграждены тысячами электронных писем
с выражением благодарности за наши усилия по описанию
наиболее важных теоретических принципов физики в нашем
«Теоретическом минимуме».
В первом томе, посвященном классической механике, были
в основном очерчены общие рамки классической физики, установленные в XIX веке Лагранжем, Гамильтоном, Пуассоном
и другими гигантами. Этот подход по-прежнему актуален и лежит в основе развития всей современной физики, вплоть до
квантовой механики.
Проникновение квантовой механики в физику началось
с 1900 года, когда Макс Планк обнаружил пределы классической физики, и продолжалось до 1926 года, когда Поль Дирак
объединил идеи Планка, Эйнштейна, Бора, де Бройля, Шрёдингера, Гейзенберга и Борна в рамках единой согласованной математической теории. Этот великий синтез (основанный, кстати,
на заложенных Гамильтоном и Пуассоном базовых принципах
классической механики) подробно рассматривается в Книге II
«Теоретического минимума».
В Книге III мы делаем в историческом смысле шаг назад,
в XIX столетие, к источникам современной теории поля. Я не
историк, но думаю, что не ошибаюсь, когда возвожу идею поля
к Майклу Фарадею. Фарадей пользовался элементарным математическим аппаратом, но при этом обладал исключительной
силой воображения, что и привело его к представлениям об
электромагнитном поле, силовых линиях и электромагнитной
индукции. Интуитивно он уже понимал большую часть из того,
что Максвелл позже объединил в своих универсальных уравне1

Сасскинд Л., Фридман А. Квантовая механика. Теоретический минимум /
Пер. с англ. А. Сергеева. — СПб.: Питер, 2015. — 400 с.: ил.

Введение

19

ниях электромагнетизма. Фарадею недоставало лишь одного:
понимания, что переменное электрическое поле приводит к эффектам, подобным тем, которые производит электрический ток.
Именно Максвелл позже, примерно в начале 1860-х, открыл так
называемый ток смещения и пошел дальше, построив первую
настоящую теорию поля: теорию электромагнетизма и электромагнитного излучения. Но теория Максвелла была не свободна
от некоторых вызывающих беспокойство противоречий.
Проблема максвелловской теории заключалась в том, что она,
по-видимому, не согласовывалась с основным принципом, открытие которого приписывается Галилею и который в явном виде
сформулировал Ньютон: все движения относительны. Ни одна
(инерциальная) система отсчета не может считаться покоящейся в большей степени, чем любая другая система. Однако этот
принцип вошел в противоречие с электромагнитной теорией,
которая предсказывала, что свет движется с постоянной скоростью c = 3 × 108 метров в секунду. Как мог свет иметь одну и ту
же скорость во всех системах отсчета? Как мог он распространяться с одной и той же скоростью относительно и покоящегося
вокзала, и несущегося мимо него поезда?
Максвелл и другие знали об этом конфликте и решали его простейшим известным им путем: отказываясь от галилеевского
принципа относительности движения. Они рисовали картину
мира, заполненного особой субстанцией — эфиром, — который,
как и всякое обычное вещество, был связан с покоящейся системой отсчета, в которой он был неподвижен. Эта система отсчета,
согласно приверженцам теории эфира, была единственной,
в которой уравнения Максвелла были верны. В любой другой
системе, движущейся относительно эфира, эти уравнения надо
было корректировать.
Вопрос оставался в этом состоянии до 1887 года, когда Альберт
Майкельсон и Эдвард Морли выполнили свой знаменитый эксперимент, пытаясь измерить малые изменения в скорости света,

20

Введение

связанные с движением Земли сквозь эфир. Большинство читателей, несомненно, знают, чем это кончилось: никаких изменений
экспериментаторы не обнаружили. Многие пытались как-то
объяснить результат, полученный Майкельсоном и Морли, не
отказываясь от идеи эфира. Проще всего было предположить,
что эфир увлекается за Землей в ее движении, так что установка
Майкельсона — Морли на деле оставалась неподвижной относительно эфира. Но как бы ни пытались спасти теорию эфира,
она оставалась неуклюжей и громоздкой.
Если верить свидетельству самого Эйнштейна, он ничего не знал
об опыте Майкельсона — Морли, когда в 1895 году (в возрасте
шестнадцати лет) начал размышлять о противоречии между
электромагнетизмом и идеей относительности движения. Он интуитивно чувствовал, что каким-то образом этого противоречия
на деле не существует. Его размышления основывались на двух
постулатах, которые выглядели несовместимыми друг с другом.
1. Законы природы одинаковы во всех системах отсчета. Поэтому не может быть никакой предпочтительной системы,
связанной с эфиром.
2. Свет движется со скоростью c — это закон природы.
И сколь бы несообразным это ни казалось, объединение этих
двух принципов приводило к выводу, что свет должен двигаться
с одной и той же скоростью во всех системах отсчета.
Потратив на это почти десять лет, к 1905 году Эйнштейн сумел
согласовать два указанных принципа в рамках теории, которую
назвал специальной теорией относительности. Интересно, что
в названии его статьи 1905 года слова «относительность» нет;
она называется «Об электродинамике движущихся тел». Из
физики ушла все более усложняющаяся идея эфира; ее место
заняла новая теория пространства и времени. Однако и по сей
день вы найдете в учебниках оставленный теорией эфира след
в виде символа ε0, так называемой диэлектрической постоянной
вакуума, как будто вакуум представляет собой субстанцию с ма-

Введение

21

териальными свойствами. Студенты, знакомящиеся с предметом,
часто страдают от путаницы, которую создают обозначения и терминология, восходящие к теории эфира. И если в моих лекциях
есть что-то новое, то это попытка избавления от этой путаницы.
Как и в других книгах «Теоретического минимума», я ограничиваюсь тем минимумом материала, который необходим для
следующего шага, — в зависимости от ваших предпочтений,
им будет либо квантовая теория поля, либо общая теория относительности.
Как вы уже слышали, классическая механика построена на
интуиции: тела движутся вполне предсказуемо. Опытный бейсболист может лишь мельком взглянуть на летящий мяч и по его
положению и скорости понять, куда ему бежать, чтобы оказаться
ровно там и тогда, где и когда мяч окажется в его руках. Конечно,
внезапный порыв ветра может оставить его в дураках, но это
лишь потому, что он не принял во внимание все переменные.
Есть очевидная причина интуитивности классической механики:
люди, а до них и животные, каждый день многократно пользуются ею, чтобы выжить. В нашей книге по квантовой механике
мы очень подробно объяснили, почему при изучении этого
предмета от нас требуется забыть нашу физическую интуицию
и заменить ее чем-то совершенно иным. Нам пришлось изучить
новые математические абстракции и новый способ соединять их
с физическим миром. А что можно сказать о специальной теории
относительности? В то время как квантовая механика исследует
мир ОЧЕНЬ МАЛОГО, специальная теория относительности
уводит нас в мир ОЧЕНЬ БЫСТРОГО — и нам снова придется
заставлять себя не верить нашей интуиции. Но есть и хорошая
новость: математика специальной теории относительности гораздо менее абстрактна, и нам не понадобится «перепрошивка
мозга», чтобы связать эти абстракции с физическим миром.
Да, СТО тоже расширяет пределы нашей интуиции, но гораздо
мягче. Фактически СТО в целом считается ветвью классической
физики.

22

Введение

Специальная теория относительности требует от нас пересмотра наших представлений о пространстве, времени и особенно
одновременности. Этот пересмотр дался физикам нелегко. Как
и любой принципиальный скачок, СТО встретила сопротивление многих. Можно, пожалуй, сказать, что некоторых физиков
приходилось тащить к ОТО насильно, а они упирались руками
и ногами. А кое-кто так и не согласился принять эту теорию.1
Почему же большинство из них в конце концов сдались? Помимо
многих экспериментов, которые подтверждали предсказания
ОТО, у нее была и очень сильная теоретическая поддержка.
Классическая теория электромагнетизма, в XIX веке доведенная
до совершенства Максвеллом и другими, невозмутимо провозглашала, что «скорость света есть скорость света». Другими
словами, что скорость света остается одной и той же во всех
инерциальных (не ускоряющихся) системах отсчета. И хотя
это заключение вызывало беспокойство, его нельзя было просто
проигнорировать — теория электромагнетизма слишком успешно работает, чтобы от нее можно было бы отмахнуться. В этой
книге мы исследуем глубокие связи СТО с электромагнитной
теорией, а также ее многочисленные и интересные предсказания
и парадоксы.

1

Отметим, что среди них были Альберт Майкельсон, первый американец,
получивший Нобелевскую премию по физике, и его сотрудник Эдвард
Морли. Их точные измерения стали веским подтверждением СТО.

НЮ?
МЯУ!

Рисунок Маргарет Слоун. «Кабачок “У Германа”»

Лекция 1

Преобразования Лоренца

Мы открываем Книгу III и видим, как Арт и Ленни со всех ног от
кого-то убегают.
Арт: Ох, Ленни, слава богу, нам удалось улизнуть из заведения
Гильберта живыми! Я уж думал, нам оттуда не выбраться.
Может, найдем более классическое место, чтобы потусить?
Ленни: Верно, Арт. Хватит с меня этих неопределенностей.
Пошли лучше к Герману в кабачок, там со всей определенностью
что-то происходит.
Арт: Это где? И что за тип этот Герман?
Ленни: Минковский? Тебе точно понравится. Гарантирую, у Минковского не встретишь ни одного бра. И кетов нету.1
И вот Ленни и Арт уже в кабачке «У Германа», тесно набитом
возбужденной публикой.
Арт: С какой стати Герман открыл свой кабачок здесь, на отшибе, посреди — чего? Коровьего пастбища? Рисовой плантации?
Ленни: Мы зовем это просто полем. Можно выращивать тут
что хочешь: коров, рис, маринованные огурчики… Герман — мой
старый друг, я сдаю ему этот участок очень дешево.
1

«Бра» и «кеты» (от англ. bracket) — введенный Дираком алгебраический
формализм квантовой механики для обозначения квантовых состояний. — Примеч. пер.

Преобразования Лоренца

25

Арт: Так ты, выходит, фермер-любитель! Кто бы мог подумать?
А кстати, почему это здесь все такие тощие? Кормят плохо?
Ленни: Кормят потрясающе. А тощие они потому, что очень
быстро двигаются. Герман раздает всем бесплатные реактивные
ранцы. Скорей! Смотри! Утка! УТКА!
Арт: Ух ты! Попробуем догнать! Хоть похудеем, что ли.

Специальная теория относительности — это прежде всего теория
систем отсчета. Если мы говорим что-то о физическом мире,
остается ли наше утверждение верным в другой системе отсчета?
Является ли наблюдение, которое сделал человек, стоящий на
земле, верным для того, кто летит в самолете? Существуют ли
величины или утверждения, остающиеся инвариантными — не
зависящими от системы отсчета наблюдателя? Ответы на такие
вопросы оказываются интересными и неожиданными. По сути,
именно они и привели к революции в физике в самом начале
XX века.

1.1. Системы отсчета
О системах отсчета вы уже кое-что знаете. Я рассказывал о них
в Книге I, посвященной классической механике. Декартовы координаты, например, знакомы большинству людей. В декартовой
системе отсчета есть набор пространственных координат x, y
и z и есть начало отсчета. Если вы хотите наглядно представить
себе, что означает понятие системы координат, вообразите, что
все пространство заполнено решеткой из мерных реек, так что
любая точка в нем может быть обозначена определенным числом
метров влево, определенным числом метров вверх и определенным числом метров вперед или назад от начала отсчета. Это
и есть пространственная система координат. Она позволяет нам
обозначать точное место, в котором произошло событие.

26

Лекция 1

Чтобы отметить не только где, но и когда что-то произошло, нам
еще требуется временная координата. Система отсчета — это система координат и в пространстве, и во времени. Она включает в себя
оси x, y, z и t. Мы можем расширить наше наглядное представление,
вообразив, что в каждой точке пространства есть еще и часы. Еще
представим себе, что мы позаботились о синхронизации всех наших часов — это значит, что все они показывали t = 0 в один и тот
же момент и что все они идут с одной и той же скоростью. Итак,
наша система отсчета (или для краткости СО) представляет собой реальную или воображаемую решетку мерных реек вкупе
с установленными в каждой точке синхронизированными часами.
Разумеется, есть множество способов обозначить положения
точек в пространстве и времени, и это значит, что у нас могут
быть различные СО. Мы можем перенести начало отсчета
x = y = z = t = 0 в какую-нибудь другую точку, чтобы измерять
положения в пространстве и времени относительно нее. Мы
можем и поворачивать оси координат, придавая им то одну, то
другую ориентацию. Наконец, мы можем рассматривать системы, движущиеся относительно какой-то одной определенной
системы. Мы можем говорить о вашей системе и моей системе,
и здесь мы приходим к важному пункту: кроме осей координат
и начала отсчета, система отсчета может ассоциироваться с наблюдателем, который и будет пользоваться для своих измерений
всеми этими часами и мерными рейками.
Предположим, что вы неподвижно сидите в аудитории в середине
первого ряда. Аудитория заполнена мерными рейками и часами,
которые в вашей системе отсчета неподвижны. Каждому событию,
которое происходит в аудитории, вы приписываете определенное
положение и время при помощи ваших реек и часов. Я тоже нахожусь в этой аудитории, но не стою неподвижно, а хожу. Я могу
пройти мимо вас справа налево или слева направо, и с собой
я ношу свою решетку часов и мерных реек. В каждый миг я нахожусь в начале моей системы пространственных координат так
же, как вы находитесь в начале своей. Мои координаты, очевидно,

Преобразования Лоренца

27

отличаются от ваших. Вы описываете событие координатами x, y,
z и t, а я описываю то же самое событие другим набором координат, который отражает тот факт, что я могу двигаться мимо вас.
В частности, если я двигаюсь относительно вас вдоль оси x, мы
не придем к согласию в вопросе о наших x-координатах. Я всегда
буду считать, что кончик моего носа находится на x = 5, то есть он
в пяти дюймах впереди центра моей головы. Однако вы на это скажете, что мой нос не находится на координате x = 5 — вы скажете,
что мой нос движется и его положение изменяется со временем.
Я могу почесать свой нос в момент времени t = 2, подразумевая
под этим, что, когда я его почесал, часы на кончике моего носа
показывали 2 секунды с момента начала лекции. Вы можете поддаться искушению и подумать, что и ваши часы тоже показывали
t = 2 в точке, в которой я почесал свой нос. Но именно тут релятивистская физика расходится с ньютоновской. Предположение,
что все часы во всех системах отсчета можно синхронизировать,
интуитивно кажется очевидным, но оно входит в противоречие
с предположением Эйнштейна об относительности движения
и универсальности скорости света.
Мы скоро подробно рассмотрим вопрос о том, как и до какой степени можно синхронизировать часы в разных местах и в разных
системах отсчета, но пока что просто предположим, что в любой
данный момент времени все ваши часы показывают одно и то
же время и что все они выставлены одинаково с моими часами.
Другими словами, мы пока что будем следовать Ньютону и предполагать, что временная координата у вас в точности та же, что
и у меня, и что нет никаких расхождений, происходящих из
нашего относительного движения.

1.2. Инерциальные системы отсчета
Законы физики было бы очень трудно описать без координат,
которыми отмечаются события. Как мы только что убедились,
имеется множество систем координат и, следовательно, множе-

28

Лекция 1

ство описаний одного и того же события. Для Галилея и Ньютона
точно так же, как и для Эйнштейна, понятие относительности
значило, что законы, управляющие этими событиями, остаются одними и теми же во всех инерциальных системах отсчета.1
Инерциальная система — это такая, в которой частица, не испытывающая воздействия никаких внешних сил, движется
по прямой с постоянной скоростью. Ясно, что не все системы
инерциальны. Допустим, ваша система отсчета инерциальная, то
есть частица, летящая по комнате, имеет постоянную скорость
при измерении вашими рейками и часами. Если мне вздумается ходить туда-сюда, то для меня эта частица будет выглядеть
ускоряющейся каждый раз, когда я поворачиваю. Но если я иду
равномерно по прямой линии, то для меня и эта частица будет
двигаться с постоянной скоростью. Вообще можно сказать, что
любые две инерциальные системы должны двигаться друг относительно друга равномерно и прямолинейно.
Особенностью ньютоновской механики является то, что законы
физики, например F = ma и ньютоновский закон гравитационного
притяжения, одни и те же во всех ИСО. Мне нравится описывать
это так: представим себе, что я опытный жонглер. Я изучил коекакие законы жонглирования, например такой: если бросить мяч
вертикально вверх, он вернется в ту же точку, откуда стартовал.
Я изучил эти законы, пока стоял на платформе в ожидании поезда.
Когда подходит поезд, я сажусь в него и тут же начинаю жонглировать. Но едва поезд трогается, законы вдруг перестают
работать. Некоторое время мячи движутся как-то странно,
падая в неожиданные места. Однако как только поезд начинает
двигаться с постоянной скоростью, мои законы опять вступают
в силу. Если я нахожусь в движущейся ИСО и все окна занавешены, так что я не могу выглянуть наружу, я не могу сказать,
что я двигаюсь. Если я попытаюсь это выяснить посредством
1

Иногда для обозначения инерциальной системы отсчета мы будем
пользоваться сокращением ИСО.

Преобразования Лоренца

29

жонглирования, я увижу, что мои стандартные законы жонглирования действуют. Я мог бы предположить, что нахожусь
в покое, но это неверно; все, что я могу точно сказать, это что
я нахожусь в инерциальной системе отсчета.
Принцип относительности гласит, что законы физики одни и те
же во всех ИСО. Этот принцип не был изобретен Эйнштейном; он
существовал и до него. Обычно его формулировку приписывают
Галилею. Ньютон, разумеется, с ним бы тоже согласился. Что же
нового внес Эйнштейн? Он добавил еще один закон физики: что
скорость света есть скорость света, c. В метрах в секунду скорость
света равна приблизительно 3 × 108, в милях в секунду около
186 000, а в световых годах в год — ровно единице. Но какие бы
единицы измерения ни выбирать, новый закон Эйнштейна постулирует, что скорость света одинакова для всех наблюдателей.
Когда вы объединяете эти две идеи — что законы физики одинаковы во всех ИСО и что законом физики является то, что свет
движется с фиксированной скоростью, — вы приходите к выводу,
что свет должен двигаться с одной и той же скоростью в каждой
ИСО. Этот вывод поистине странный. Он заставлял некоторых
физиков категорически отвергать теорию относительности.
В следующем разделе мы исследуем логику Эйнштейна и выясним, каковы последствия нового закона.

1.2.1. Ньютоновские (дорелятивистские)
системы отсчета
В этом разделе я объясню, как Ньютон описал бы отношения
между системами отсчета и какие выводы он бы сделал о движении световых лучей. Основной постулат Ньютона заключался
в том, что существует универсальное время, одинаковое во всех
системах отсчета.
Начнем с того, что забудем о направлениях y и z и целиком сосредоточимся на направлении x. Притворимся, что мир одномерный

30

Лекция 1

и что все наблюдатели свободны в своих передвижениях вдоль
оси x, но «заморожены» в остальных двух пространственных
направлениях. Рисунок 1.1 следует стандартному соглашению,
согласно которому ось x направлена вправо, а ось t — вверх.
Эти оси описывают мерные рейки и часы в вашей системе —
системе, покоящейся в этой аудитории. (Я буду произвольно
называть вашу систему покоящейся, а свою — движущейся.)
Мы предположим, что в вашей системе свет движется со своей
стандартной скоростью c. Такая схема называется пространственно-временной диаграммой. Вы можете считать ее картой
мира, но такой картой, которая показывает все возможные места
и все возможные моменты времени. Если световой луч послан
из начала координат и движется вправо, его траектория будет
задаваться уравнением
x = ct.
Ленни:

Вы:

некоторое событие
Световой луч

Рис. 1.1. Ньютоновские системы отсчета

Подобным же образом световой луч, движущийся влево, будет
представлен уравнением
x = –ct.

Преобразования Лоренца

31

Отрицательная скорость означает просто движение влево.
Графические схемы, которые будут представлены ниже, я буду
рисовать так, как если бы моя система двигалась вправо (v положительно). В виде упражнения можете перерисовать их для
отрицательного значения v.
На рис. 1.1 световой луч показан пунктиром. Если за единицы
на осях взять метры и секунды, световой луч покажется почти
горизонтальным; линия пройдет 3 × 108 метров вправо, сдвинувшись по вертикали всего на 1 секунду! Но численное значение c
полностью зависит от выбранных нами единиц. Следовательно,
удобно выбрать какие-то другие единицы измерения для скорости света — такие, с которыми мы более ясно будем видеть, что
наклон траектории светового луча конечен.
Теперь добавим сюда мою систему, движущуюся относительно
вашей вдоль оси x с постоянной скоростью v.1 Этаскорость может быть положительной (в этом случае относительно вас я буду
двигаться вправо), отрицательной (тогда для вас я буду смещаться
влево) или нулевой (а в этом случае мы покоимся друг относительно друга, и моя траектория на рисунке будет вертикальной).
Я буду обозначать координаты в моей системе x′ и t′ вместо x и t.
Тот факт, что я двигаюсь относительно вас с постоянной скоростью, означает, что моя траектория в пространстве-времени —
прямая линия. Вы можете описать мое движение уравнением
x = vt
или
x – vt = 0,
где v — моя скорость относительно вас. Все это иллюстрирует
рис. 1.1. Как мне описать мое собственное движение? Легко:
1

Это движение можно было бы также представить и как «мою траекторию
в вашей системе».

32

Лекция 1

я всегда нахожусь в начале моей системы координат. Другими
словами, я описываю себя уравнением x′ = 0. Интересный вопрос:
как нам перейти от одной системы к другой, то есть какова связь
между вашими координатами и моими? По Ньютону, эта связь
выражается так:
t′ = t

(1.1)

x′ = x – vt.

(1.2)

Первое из этих уравнений отражает предположение Ньютона
об универсальном времени, одинаковом для всех наблюдателей.
Второе просто показывает, что моя координата x′ смещена относительно вашей координаты на величину нашей относительной скорости, умноженной на время, отсчитываемое от начала
координат. Отсюда мы видим, что уравнения
x – vt = 0
и
x′ = 0
означают одно и то же. Уравнения (1.1) и (1.2) и представляют
собой ньютоновское преобразование координат между двумя
инерциальными системами отсчета. Если вы знаете, когда и где
в вашей системе координат произошло событие, вы сможете сказать мне, когда и где оно случилось в моих координатах. Можно
ли сделать обратное преобразование? Это легко, и я поручу это
вам. Результат будет таким:
t = t′

(1.3)

x = x′ + vt′.

(1.4)

Теперь посмотрим на световой луч на рис. 1.1. В соответствии
с предположением, в вашей системе он движется вдоль пути
x = ct. Как я могу описать его движение в моей системе? Я просто

Преобразования Лоренца

33

подставлю значения x и t из уравнений (1.3) и (1.4) в уравнение
x = ct, чтобы получить
x′ + vt′ = ct′,
что можно переписать в форме
x′ = (c − v)t′.
Как и следовало ожидать, это описание светового луча, движущегося со скоростью (c − v) в моей системе. Это не вяжется
с новым законом Эйнштейна, по которому все световые лучи
движутся с одинаковой скоростью c во всех ИСО. Если Эйнштейн прав, в наших рассуждениях есть какая-то серьезная
ошибка. Эйнштейн и Ньютон не могут быть правы оба: скорость
света не может быть универсальной величиной, если существует
универсальное время, единое для всех наблюдателей.
Прежде чем двинуться дальше, давайте посмотрим, что случится
со световым лучом, который движется влево. В вашей системе
такой световой луч будет описываться уравнением
x = –ct.
Легко видеть, что в моей системе отсчета ньютоновские правила
дают
x′ = –(c + v)t.
Другими словами, если я по отношению к вам двигаюсь вправо,
световой луч, движущийся в том же направлении, перемещается
немного медленнее (со скоростью c – v), а световой луч, движущийся в противоположную сторону, летит немного быстрее
(со скоростью c + v) относительно меня. С этим согласились бы
Ньютон и Галилей. С этим согласился бы каждый — вплоть до
конца XIX века, когда физики научились измерять скорость света с большой точностью и обнаружили, что она всегда одинакова,
независимо от того как движется инерциальный наблюдатель.

34

Лекция 1

Единственный способ уладить этот конфликт — это признать,
что с ньютоновским преобразованием координат от системы
к системе что-то не так.1 Нам необходимо разобраться, как изменить уравнения (1.1) и (1.2), чтобы скорость света в обеих
системах отсчета оставалась неизменной.

1.2.2. Системы отсчета СТО
Прежде чем приступить к выводу наших новых преобразований,
давайте еще раз посмотрим на одно из основных предположений
Ньютона. Самое уязвимое из его предположений — именно оно
и является неверным — заключается в том, что одновременность
во всех системах означает одно и то же, то есть если мы синхронизируем наши часы и после этого я начну движение, мои часы
останутся синхронизированными с вашими.
Мы сейчас увидим, что уравнение
t′ = t
не является верным преобразованием отсчетов времени между
движущимися и покоящимися часами. Сама идея одновременности оказывается зависящей от системы отсчета.

Синхронизация часов
Представим себе следующую ситуацию. Мы находимся в аудитории. Вы, студент, сидите в первом ряду, среди других
внимательно слушающих лекцию студентов, у каждого из
которых есть часы. Все эти часы идентичны друг другу и абсолютно надежны. Вы внимательно проверили все эти часы
и убедились: все они показывают одно и то же время и тикают
1

Это утверждение, возможно, кажется слишком поспешным. Многие талантливейшие физики всего мира пытались найти выход из создавшегося
положения, не принося в жертву равенства t′ = t. Ни у кого из них ничего
не вышло.

Преобразования Лоренца

35

с одной и той же частотой. У меня, в моей системе отсчета, тоже
есть эквивалентная вашей коллекция часов, расположенная
относительно меня таким же образом, каким расположены
ваши часы. У каждого часового механизма из вашего набора
имеется соответствующий партнер в моем наборе, и наоборот.
Я убедился, что все мои часы синхронизированы друг с другом
и с вашими часами. Затем я вместе со всеми моими часами
начинаю двигаться относительно вас и ваших часов. Когда
каждый из моих часовых механизмов проходит мимо каждого
из ваших, мы сверяемся друг с другом, чтобы посмотреть, показывают ли они по-прежнему одно и то же время, и если нет,
насколько каждое из устройств разошлось со своим партнером.
Ответ на этот вопрос может зависеть от положения каждого из
часовых механизмов на координатной прямой.
Разумеется, подобный вопрос мы могли бы задать и в отношении своих мерных реек: «Когда я прохожу мимо вас, имеет
ли моя единичная мерная рейка такую же единичную длину
в ваших координатах?» Именно здесь Эйнштейн и совершил
свой великий прорыв. Он понял, что нам надо отнестись гораздо внимательнее к нашим определениям длины, времени
и одновременности. Мы должны подумать о том, как мы синхронизируем два наших часовых механизма экспериментально.
Но при этом мы должны держаться постулата о постоянстве
скорости света во всех ИСО. И тогда нам придется отказаться
от ньютоновского постулата об универсальном времени. Как
обнаружил Эйнштейн, «одновременность относительна». Мы
будем следовать его логике.
Что на самом деле мы имеем в виду, когда говорим, что два часовых механизма — назовем их A и B — синхронизированы? Если
и те и другие часы находятся в одном и том же месте и движутся
с одной и той же скоростью, очень просто сравнить их показания
и выяснить, показывают ли они одно и то же время. Но даже
если A и B неподвижны, скажем, в вашей системе отсчета, но не
находятся в одной и той же точке, проверка их синхронизации

36

Лекция 1

требует некоторого размышления. Дело в том, что свету нужно
время для того, чтобы дойти от A до B.
Стратегия Эйнштейна заключалась в следующем: представим
себе третьи часы C, расположенные на полпути между A и B.1
Например, пусть все три механизма расположены в первом
ряду нашей аудитории. Часы A держит в руках студент на левом
краю ряда, часы B — студент на правом краю, а часы C находятся
в центре ряда. При этом мы особенно тщательно позаботились
о том, чтобы расстояние от A до C было в точности равно расстоянию от B до C.
Ровно в тот момент, когда часы A показывают полдень, они посылают световой сигнал в сторону часов C. Точно так же, когда
часы B показывают полдень, в сторону часов C летит световой
импульс и от них. Конечно, обоим сигналам потребуется время,
чтобы достичь часов C, но так как скорость света одна и та же для
обеих вспышек и расстояние, которое сигналы должны пройти,
также одинаково, то и время, которое они затратят на то, чтобы
дойти до C, тоже будет одним и тем же. Говоря, что часы A и B
синхронизированы, мы имеем в виду, что световые сигналы
придут в точку C ровно в одно и то же время. Конечно, если они
придут не одновременно, студентка C заключит, что часы A и B
не синхронизированы. Тогда она может послать студентам A
или B сообщение о том, насколько им надо изменить показания
своих часов, чтобы их синхронизировать.
Допустим, часы A и B синхронизированы в вашей системе. Что
происходит в моей движущейся системе? Например, пусть
я двигаюсь вправо и достиг средней точки C как раз в момент
посылки этих двух сигналов. Но свет вспышек не достигнет C
ровно в полдень; он придет сюда чуть позже. К этому времени
я уже немного сдвинусь вправо от центра. А так как я справа от
центра, световой луч слева достигнет меня немного позже, чем
это сделает световой луч справа. Следовательно, мне придется
1

Вообще-то это небольшое видоизменение подхода Эйнштейна.

Преобразования Лоренца

37

заключить, что ваши часы не синхронизированы — ведь световые
сигналы от них пришли ко мне в разное время.
Очевидно, что для меня и для вас синхронность — тот факт, что
два события произошли в одно и то же время — определяется поразному. Два события, которые произошли в одно и то же время
в вашей системе отсчета, в моей системе происходят в разное
время. Во всяком случае, исходя из двух постулатов Эйнштейна,
мы должны прийти именно к такому выводу.

Единицы и измерения: краткое отступление
Прежде чем двигаться дальше, нам надо сделать небольшую паузу и объяснить, что мы будем использовать две системы единиц.
Каждая из этих систем хорошо приспособлена для своих задач,
и переходить от одних единиц к другим очень просто.
В первой из этих систем используются знакомые нам единицы:
метры, секунды и т. д. Будем называть их обычными, или общепринятыми. Эти единицы превосходно описывают окружающий
мир, где в большинстве случаев скорости гораздо меньше световой. Скорость 1 в этих единицах означает 1 метр в секунду, что
на много порядков меньше c.
Вторая система основана на скорости света. В этой системе
единицы длины и времени определяются так, чтобы скорость
света была безразмерной величиной, равной 1. Эти eдиницы мы
будем называть релятивистскими. В релятивистских единицах
гораздо проще делать выкладки и устанавливать симметрию
в уравнениях. Мы уже видели, что обычные единицы неудобны
для построения пространственно-временных диаграмм. А релятивистские единицы для этого прекрасно приспособлены.
В релятивистских единицах не только c = 1, но и все скорости
безразмерны. Чтобы это обеспечить, мы должны соответствующим образом определить единицы длины и времени — ведь
скорость есть не что иное, как длина, деленная на время. Если

38

Лекция 1

в качестве единицы времени мы возьмем секунду, то нашей единицей длины будет световая секунда. Много это или мало? Мы
знаем, что это 300 000 км, но для наших целей это совершенно
несущественно. Важно вот что: световая секунда теперь наша
мера длины, и в соответствии с ее определением свет пролетает
расстояние в 1 световую секунду за секунду! По сути, мы теперь
измеряем в секундах и время, и длину. Таким образом, скорость —
длина, деленная на время — становится величиной безразмерной. Когда мы пользуемся релятивистскими единицами, любая
переменная скорость v является безразмерной частью скорости
света. И это вполне согласуется с тем, что сама скорость света c
имеет численное значение 1.
На пространственно-временной диаграмме, такой как на рис. 1.2,
оси x и t откалиброваны в секундах.1 Траектория светового луча
образует равные углы и с осью x, и с осью t. И наоборот, любая
траектория, которая образует равные углы с обеими осями,
представляет собой световой луч. В вашей стационарной СО
этот угол равен 45 градусам.
Знание того, как легко и быстро переходить от одного типа единиц измерения к другому, нам очень пригодится. Основной принцип здесь заключается в том, что размерность математических
выражений должна быть внутренне согласованной, независимо
от того, какую именно систему единиц мы в том или ином случае
используем. Наиболее распространенный и полезный прием при
переходе от релятивистских к обычным единицам заключается
в замене v на v/c. Есть и другие схемы перехода, которые, как
правило, основаны на умножении или делении на некоторую
подходящую степень скорости света c. С такими примерами
мы скоро встретимся в ходе изложения, и вы увидите, что эти
преобразования систем единиц довольно просты.
1

Если вам так больше нравится, можете считать, что ось t откалибрована
в световых секундах, а не в секундах времени, но количественно это одно
и то же.

39

Преобразования Лоренца

Арт:

Мэгги:

Ленни:

Рис. 1.2. Системы отсчета СТО в релятивистских единицах (c = 1).
Уравнения, связанные с Артом, представляют два различных способа
описания его мировой линии. Пунктиром показаны мировые линии
световых лучей. Постоянные 1 и 2 в уравнениях мировых линий Мэгги
и Ленни не просто числа — это секунды в релятивистских единицах

И снова координаты!
Давайте вернемся к нашим двум системам координат. На этот
раз мы будем очень внимательно относиться к точному значению
слова одновременность в движущейся СО. В покоящейся СО
две точки синхронны (или одновременны), если они находятся
на одном и том же горизонтальном уровне на пространственновременной диаграмме. Обе эти точки имеют одну и ту же координату t, и прямая, которая их соединяет, параллельна оси x. Со
всем этим Ньютон был бы полностью согласен.
Но что, если система отсчета движется? Мы сейчас увидим, что
в движущейся системе точка
x = 0, t = 0

40

Лекция 1

не одновременна с другими точками оси x, но зато одновременна с совершенно другим множеством точек. По сути дела, вся
поверхность, которая в движущейся системе называется «одновременной», находится где-то в другом месте. Как мы можем
изобразить эту поверхность? Мы используем для этой цели
процедуру синхронизaции, описанную в предыдущем подразделе
(«Синхронизация часов») и проиллюстрированную на рис. 1.2.
Рисование пространственно-временной диаграммы — это обычно
лучший способ понять суть проблемы относительности. Основа
этого графика всегда одна и та же: горизонтальная ось x, вертикальная — t. Эти координаты составляют СО, которую мы
считаем неподвижной. Другими словами, они являются вашей
системой отсчета. Линия, которая представляет траекторию наблюдателя, движущегося в пространстве-времени, называется
мировой линией.
Определившись с осями, мы нарисуем световые лучи. На рис. 1.2
они представлены линиями x = ct и x = −ct. Пунктирная линия,
проведенная из точки a в точку b, тоже является световым лучом.

Вернемся на главную дорогу
Возвращаясь к рис. 1.2, нарисуем на нем наблюдателя: Арта,
сидящего в купе поезда, который движется вправо с постоянной
скоростью v. Его мировая линия обозначена уравнением, которое
описывает его движение. Напомним еще раз, что система Арта
будет двигаться так, что x′ = x − vt — в точности как двигался
наблюдатель на рис. 1.1.
Теперь давайте подумаем, как нарисовать ось x′ в системе Арта.
Начнем с того, что добавим еще двух наблюдателей, Мэгги
и Ленни. Мэгги сидит в следующем купе перед Артом (для
вас — правее), а в купе перед ней, то есть еще правее, сидит
Ленни. Соседние наблюдатели отделены друг от друга одной
единицей длины, измеренной в вашей (покоящейся) системе.
Уравнения мировых линий Мэгги и Ленни даны на рисунке.

Преобразования Лоренца

41

Так как Мэгги расположена на одну единицу длины справа от
Арта, ее траектория описывается как x = vt + 1, а траектория
Ленни — как x = vt + 2. Арт, Мэгги и Ленни находятся в одной
и той же движущейся системе отсчета. Друг относительно друга
они неподвижны.
У нашего первого наблюдателя, Арта, есть часы, и в тот момент,
когда он достигает начала отсчета, они показывают ровно 12 дня.
Предположим, что и в покоящейся системе отсчета часы в этот
момент тоже показывают полдень. Договоримся считать 12 часов
дня нашим нулевым моментом времени и обозначим наше общее
начало координат (x = 0; t = 0) в вашей координатной системе
и (x′ = 0; t′ = 0) в системе координат Арта.
Итак, по нашему допущению, движущийся и неподвижный наблюдатели договорились о нулевом моменте времени t = 0. Для
вас (неподвижного наблюдателя) t = 0 на всей горизонтальной
оси. По сути, это определение горизонтальной оси: это как раз
такая линия, на которой все моменты времени неподвижного
наблюдателя равны нулю.
Пусть Арт из своего начала отсчета посылает световой сигнал
Мэгги. Ленни тоже посылает в сторону Мэгги световой сигнал
из некоторой точки — мы пока не знаем из какой. Каким-то образом он ухитряется сделать это так, что оба сигнала достигают
Мэгги в один и тот же момент. Если сигнал Арта послан из начала отсчета, Мэгги получит его в точке a на рис. 1.2. Из какой
же точки должен послать свой сигнал Ленни, чтобы этот сигнал
достиг Мэгги в тот же самый момент? Мы можем это определить,
если развернем события в обратном направлении. Мировая
линия любого светового сигнала, который Ленни отправляет
к Мэгги, должна образовать с осью x угол 45 градусов. Поэтому
мы просто должны построить прямую из точки a с наклоном
45 градусов вниз и направо и продолжать ее до пересечения
с линией движения Ленни. На нашем рисунке это точка b, и, как
легко можно видеть из рисунка, она лежит над осью x, а не на ней.

42

Лекция 1

Мы только что показали, что начало отсчета и точка b являются
одновременными событиями в системе отсчета Арта! Другими словами, движущийся наблюдатель (Арт) скажет, что t′ = 0 в точке b.
Почему? Потому, что в движущейся системе отсчета Арт и Ленни,
находящиеся на одинаковом расстоянии от центрального наблюдателя Мэгги, послали ей световые сигналы, которые пришли
к ней в один и тот же момент времени. А Мэгги скажет: «Ребята,
вы послали мне световые сигналы ровно в один и тот же момент
времени, потому что они пришли ко мне в одно и то же время, а я
ведь знаю, что вы находитесь от меня на одинаковом расстоянии».

Находим ось x′
Мы установили, что для Арта (а также для Мэгги и Ленни) ось
x — это прямая, соединяющая общее (для обеих систем отсчета)
начало отсчета с точкой b. Нашей следующей задачей будет точно
отыскать положение точки b. Как только мы вычислим координаты точки b, мы тут же узнаем, как определить направление оси x′
в системе Арта. Давайте проделаем это шаг за шагом. Процедура
немного громоздкая, но простая. Шагов два. Первый — это поиск
или определение координат точки a.
Точка a лежит на пересечении двух прямых: движущегося направо светового луча x = ct и прямой x = vt + 1, которая является
мировой линией Мэгги. Чтобы найти это пересечение, мы просто подставим одно уравнение в другое. Так как мы используем
релятивистские единицы, в которых скорость света c равна 1,
уравнение
x = ct
можно записать еще проще:
x = t.
Подставляя (1.5) в уравнение мировой линии Мэгги,
x = vt + 1;

(1.5)

Преобразования Лоренца

43

получаем
t = vt + 1,
или
t (1 − v) = 1.
Или еще лучше:
ta = 1/(1 − v).

(1.6)

Теперь, когда известна временная координата точки a, можно
найти и ее координату x. Это легко сделать, если заметить, что
вдоль всего светового луча x = t. Другими словами, мы просто
можем заменить в (1.6) t на x и написать
xa = 1/(1 − v).
Поздравляю! Мы нашли точку a!
Обладая координатами точки a, посмотрим на прямую ab. Как
только у нас будет ее уравнение, мы сможем определить, где
она пересекает мировую линию Ленни x = vt + 2. Для этого
потребуется несколько шагов, но, во-первых, они интересные,
а во-вторых, я не знаю более короткого пути.
Каждая прямая с наклоном 45 градусов, направленная вправо
и вниз, обладает тем свойством, что величина x + t вдоль всей
прямой постоянна. У каждой прямой, направленной под углом
в 45 градусов вверх и вправо, постоянна величина x – t. Возьмем
прямую ab. Ее уравнение:
x + t = некоторая постоянная.
Чему же равна эта постоянная? Легко найти ее, взяв какуюнибудь точку на этой прямой с конкретными значениями x и t.
В частности, мы уже знаем, что в точке a
xa + ta = 2/(1 − v).

44

Лекция 1

Следовательно, так как мы знаем, что это равенство будет выполняться вдоль всей прямой ab, уравнение этой прямой должно
иметь вид
x + t = 2/(1 − v).

(1.7)

Теперь можно найти координаты b, решая систему линейных
уравнений для прямой ab и мировой линии Ленни. Мировая
линия Ленни — это x = vt + 2, что мы перепишем как x − vt = 2.
Составим нашу систему уравнений
x + t = 2/(1 − v)
и
x − vt = 2
и после несложных алгебраических преобразований решим ее:
,
(1.8)
Первое и самое важное: tb не равно нулю. Следовательно, точка b, одновременная c началом отсчета движущейся системы
координат, не одновременна с началом отсчета в неподвижной
системе. Далее, рассмотрим прямую, соединяющую начало отсчета с точкой b. По определению, наклон этой прямой равен
tb/xb, а из уравнений (1.8) мы видим, что этот наклон равен v.
Эта прямая — не что иное, как ось x′, что весьма просто получается из уравнения
t = vx.

(1.9)

Не забудем при этом, что скорость v может быть положительной
или отрицательной в зависимости от того, двигаюсь ли я вправо

45

Преобразования Лоренца

или влево относительно вашей системы. Если скорость отрицательна, вам придется перерисовать все диаграммы или просто
перевернуть их.
Арт:

Мэгги:

Ленни:

Рис. 1.3. Системы отсчета СТО. Показаны оси x′ и t′

На рис. 1.3 показана наша пространственно-временная диаграмма, на которой нарисованы оси x′ и t′. Прямая t = vx (или
трехмерная поверхность на пространственно-временной карте,
если в рассмотрение включаются и две другие координаты y и z)
имеет то важное свойство, что на ней все часы в движущейся
системе показывают одно и то же время t′. Назовем ее поверхностью одновременности в движущейся системе. Она играет ту
же роль, что и поверхность t = 0 в покоящейся системе.
До сих пор в этом разделе мы использовали релятивистские
единицы, в системе которых скорость света c = 1. Теперь у вас
есть хорошая возможность попрактиковаться в преобразованиях
размерностей и посмотреть, как уравнение (1.9) выглядело бы
в обычной системе единиц: метрах и секундах. В этих единицах в (1.9) не согласованы размерности: левая часть выражена
в секундах, а правая — в квадратных метрах в секунду. Чтобы

46

Лекция 1

согласовать размерности, нам придется умножить правую часть
на соответствующую степень c, а именно на 1/c2:
(1.10)
В уравнении (1.10) интересно то, что оно описывает прямую
с невероятно малым наклоном: v/c2. То есть, например, если
бы v равнялась 300 метров в секунду (примерная скорость
реактивного самолета), наклон составил бы v = c2 = 3 × 10–15.
Другими словами, ось x′ на рис. 1.3 была бы почти совершенно
горизонтальной, а поверхности одновременности в покоящейся и движущейся системах почти точно совпадали бы, как это
и происходит в ньютоновской физике.
Это пример того, как эйнштейновское описание пространствавремени сводится к ньютоновскому, если относительная скорость
систем отсчета много меньше скорости света. И, конечно, это дает
нам важный критерий правильности нашего подхода.

Рис. 1.4. Упрощенные системы отсчета СТО

Преобразования Лоренца

47

Теперь мы можем вернуться к релятивистским единицам, в которых c = 1. Упростим нашу диаграмму и оставим на ней только
то, что потребуется нам для дальнейшего движения вперед.
Пунктирная линия на рис. 1.4 представляет луч света, мировая
линия которого образует угол в 45 градусов и с осью t, и с осью x.
Мировая линия Арта показана как ось t′, обозначена и его ось x′.
Над обеими осями системы Арта также надписаны соответствующие уравнения. Отметим симметрию этих двух осей: x = vt
и t = vx. Эти две прямые являются отражениями друг друга
относительно пунктирной световой траектории. Они связаны
взаимозаменяемостью t и x. Другой способ выразить это — сказать, что они образуют одинаковый угол с соответствующими
осями без штрихов — осью x в случае t = vx и осью t в случае
x = vt. Мы обнаруживаем две интересные вещи. Во-первых, если
скорость света действительно одна и та же во всех системах отсчета и вы используете световые лучи для синхронизации часов,
то пары событий, одновременные в одной системе, не являются
одновременными в другой. Во-вторых, мы поняли, что именно
означает одновременность в движущейся системе: она соответствует поверхностям, которые не являются горизонтальными,
а наклонены под углом v. Мы определили направления осей x′
и t′ в движущейся системе Арта. Впоследствии мы выясним, как
измерять интервалы на этих осях.

Пространство-время
Остановимся на минутку, чтобы поразмышлять о том, что мы узнали о пространстве и времени. Ньютон, разумеется, знал и о том
и о другом, но считал их полностью независимыми друг от друга.
Для Ньютона «пространство» было трехмерным пространством,
а «время» — универсальным временем. Они были полностью
самостоятельны, и различие между ними было абсолютным.
Но такие диаграммы, как рис. 1.3 и 1.4, указывают на нечто, чего
Ньютон знать не мог, а именно на то, что при переходе от одной
инерциальной системы отсчета к другой пространственные

48

Лекция 1

и временные координаты начинают смешиваться друг с другом.
Например, на рис. 1.3 интервал между началом отсчета и точкой b представляет две точки в один и тот же момент времени
в движущейся системе отсчета. Но в покоящейся системе точка b
сдвинута по отношению к началу отсчета не только в пространстве, но и во времени.
Спустя три года после основополагающей статьи Эйнштейна
1905 г., в которой были изложены основы специальной теории
относительности, Минковский довершил революцию в физике.
В обращении к 80-й Ассамблее Общества немецких естество­
испытателей и врачей он писал:
Пространство само по себе и время само по себе должны обратиться в фикции, и лишь некоторый вид соединения обоих
должен еще сохранить самостоятельность.1
Это объединение четырехмерно, с координатами t, x, y, z. Физики
иногда называют его пространством-временем. Иногда мы зовем
его и пространством Минковского. Сам Минковский называл
его иначе: он называл его миром.
Точки в пространстве-времени Минковский называл событиями.
Событие обозначается своими четырьмя координатами: t, x, y, z.
Называя точку пространства-времени событием, Минковский
имел в виду не то, что в точке t, x, y, z действительно что-то произошло, — он подразумевал, что там что-то могло произойти.
Прямые или кривые линии, описывающие траектории объектов,
Минковский называл мировыми линиями. Например, прямая
x′ = 0 на рис. 1.3 является мировой линией Арта.
Этот случившийся в 1908 году переход от независимых пространства и времени к единому пространству-времени был радикаль1

Цит. по: Минковский Г. Пространство и время. Сборник работ классиков релятивизма «Принцип относительности» / Под ред. Фредерикса
и Иванченко. — ОНТИ, 1935. — С. 181. — Примеч. ред.

Преобразования Лоренца

49

ным шагом. Сегодня пространственно-временные диаграммы
так же знакомы физикам, как линии на их собственных ладонях.

Преобразования Лоренца
Событие, или, другими словами, точку пространства-времени,
можно пометить значениями координат в покоящейся или в движущейся системе отсчета. В зависимости от того, какую из систем
мы выбираем, мы говорим при этом о двух различных описаниях
одного и того же события. Следует очевидный вопрос: как мы
переходим от одного описания к другому? Другими словами,
каково преобразование координат, связывающее координаты
в покоящейся системе t, x, y, z с координатами в движущейся
системе t′, x′, y′, z′?
Одно из предположений Эйнштейна заключалось в том, что пространство-время повсюду одно и то же, в том же смысле, в каком
повсюду одной и той же остается бесконечная плоскость. Это
единообразие пространства-времени представляет собой симметрию, в соответствии с которой ни одно событие не отличается
от любого другого события и при помещении начала отсчета
в какой угодно точке физические уравнения не изменяются.
Такой подход имеет математические последствия для природы
преобразований от одной системы отсчета к другой. Например,
ньютоновское уравнение
x′ = x – vt

(1.11)

линейно, то есть содержит только первые степени координат.
Уравнение (1.11) не удастся сохранить в его простой форме, но
одну вещь оно все же ясно показывает, а именно, что x′ = 0 при
любом x = vt. По сути, существует единственный способ видоизменить уравнение (1.11), сохранив при этом его линейность
наряду с тем фактом, что x′ = 0 при любом x = vt: это умножить
его правую часть на функцию скорости:
x′ = (x – vt) f(v).

(1.12)

50

Лекция 1

Вначале функция f (v) могла быть любой, но у Эйнштейна был
в запасе еще один трюк: использование другого вида симметрии,
симметрии между левым и правым. Иначе говоря, не существует
никаких физических причин считать скорость движения вправо
положительной, а скорость движения влево — отрицательной. Такая симметрия предполагает, что f (v) не должна зависеть от того,
является ли v положительной или отрицательной. Есть простой
путь записать любую функцию так, чтобы она была одинакова
для положительных и отрицательных v: записать ее как функцию
квадрата скорости v2.1 Поэтому вместо (1.12) Эйнштейн написал
x′ = (x – vt) f (v2).

(1.13)

Подводя итог, можно сказать, что, записывая f (v2) вместо f (v),
мы подчеркиваем то обстоятельство, что в пространстве нет
выделенного направления.
А как быть с t′? Здесь вполне подходит та же логика, что и для x′.
Мы знаем, что t′ = 0 при всех t = vx. Другими словами, мы просто
можем поменять ролями x и t и написать
t′ = (t – vx) g(v2),

(1.14)

где g (v2) — некоторая другая возможная функция. Уравнения (1.13) и (1.14) говорят нам, что x′ = 0 при любых x = vt и что
t′ = 0 при любом t = vx. Симметрия этих двух уравнений приводит
к тому, что ось t′ является просто отражением оси x′ относительно
прямой x = t и наоборот.
Итак, пока мы знаем, что наши преобразования координат
должны иметь вид:
x′ = (x – vt) f (v2),
t′ = (t – vx) g (v2).
1

(1.15)

Вообще-то здесь мы опять немного отклоняемся от эйнштейновского
подхода.

Преобразования Лоренца

51

Следующая наша задача — установить, какими именно должны
быть функции f (v2) и g (v2). Для этого рассмотрим путь светового
луча в этих двух системах отсчета и применим эйнштейновский
принцип, гласящий, что скорость света одинакова. Если скорость
света c равна 1 в неподвижной системе, она должна быть равна
1 и в движущейся системе. Перефразируем это: если мы начинаем с отправки светового луча, удовлетворяющего уравнению
x = t в неподвижной системе отсчета, он должен удовлетворять
и уравнению x′ = t′ в движущейся системе. Иначе говоря, из
x=t
должно следовать
x′ = t′.
Вернемся к уравнениям (1.15). Полагая x = t и требуя, чтобы
x′ = t′, мы приходим к простому условию:
f (v2) = g (v2).
Другими словами, требование, чтобы скорость света была одной
и той же в вашей и моей системах отсчета, приводит к простому условию равенства функций f(v2) и g(v2). Тогда мы можем
упростить уравнения (1.15)
x′ = (x – vt) f (v2),
t′ = (t – vx) f (v2).

(1.16)

Чтобы найти f (v2), Эйнштейн использовал еще одно средство.
По сути, он сказал: «Постойте, а откуда мы знаем, какая из систем движется? Откуда мы знаем, движется ли моя система относительно вашей со скоростью v или ваша относительно моей
со скоростью −v?» Какими бы ни были отношения между двумя
системами отсчета, эти отношения должны быть симметричны.
В рамках такого подхода мы можем вывернуть наиз­нанку всю
нашу аргументацию: вместо того чтобы начинать с x и t и выводить

52

Лекция 1

из них x′ и t′, мы можем сделать все наоборот. Единственным различием будет то, что тогда с моей точки зрения вы будете двигаться со скоростью −v, но с вашей я буду двигаться со скоростью +v.
Основываясь на уравнениях (1.16), которые выражают x′ и t′
через x и t, мы тут же можем записать обратные преобразования.
Уравнения, выражающие x и t через x′ и t′, таковы:
x = (x′+ vt′) f (v2),
t = (t′ + vx′) f (v2).

(1.17)

Мы должны при этом ясно понимать, что получили уравнения (1.17) из общих соображений о физических отношениях
между двумя системами отсчета, а не просто нашли остроумный
способ решить уравнения (1.16) для нештрихованных переменных без выполнения необходимых преобразований. Фактически, получив эти две системы уравнений, мы оказались перед
необходимостью проверить, что они совместимы друг с другом.
Возьмем для начала уравнения (1.17) и подставим в них выражения для x′ и t′ из уравнений (1.16). На первый взгляд может
показаться, что мы попадаем в замкнутый круг, но мы сейчас
увидим, что это не так. После всех подстановок мы потребуем,
чтобы результаты были эквивалентны и давали x = x и t = t. Как
же может быть иначе, если исходные уравнения верны? Отсюда
путем немного скучных, но вполне очевидных алгебраических
преобразований мы найдем форму f (v2). Начиная с первого из
уравнений (1.17), первые несколько подстановок для x будут
выглядеть так:
x = (x′ + vt′) f (v2),
x = {(x – vt) f (v2)+ v (t – vx) f (v2)} f (v2),
x = (x – vt) f 2 (v2) + v (t – vx) f 2 (v2).
Раскрыв скобки в последней строчке, получим:
x = xf 2 (v2) – v2xf 2 (v2) – vtf 2 (v2) + vtf 2 (v2),

Преобразования Лоренца

53

что упростится до
x = xf 2(v2)(1 – v2).
Сократив на x с обеих сторон, найдем f (v2):
(1.18)
Теперь у нас есть все необходимое, чтобы преобразовать координаты в покоящейся системе к координатам в движущейся
и наоборот. Переходя к уравнениям (1.16), получим
,

(1.19)
(1.20)

Это и есть знаменитые преобразования Лоренца для перехода
между покоящейся и движущейся системами отсчета.

Арт: Ого, Ленни, вот это здорово. Неужели ты до этого сам додумался?
Ленни: Если бы. Нет, я просто сделал все, как написано в статье
Эйнштейна. Я, правда, читал ее лет пятьдесят назад, но впечатление она на меня произвела сильное.
Арт: Хорошо, но как вышло, что их назвали преобразованиями
Лоренца, если открыл их Эйнштейн?

1.2.3. Историческое отступление
Ответим на вопрос Арта. Действительно, Эйнштейн не был
первым, кто вывел эти преобразования. Эта честь принадлежит голландскому физику Хендрику Лоренцу. А некоторым

54

Лекция 1

другим, например Джорджу Фицджеральду, даже раньше,
чем ему, уже приходило в голову, что максвелловская теория
электромагнетизма требует, чтобы движущиеся объекты сокращались в направлении своего движения — явление, которое
мы сейчас называем лоренцевым сокращением. Руководствуясь
соображениями об этом сокращении движущихся тел, Лоренц
к 1900 году уже вывел свои преобразования. Но взгляды предшественников отличались от идей Эйнштейна и в некотором
смысле были скорее возвратом к более старым идеям, чем
обеспечивали стартовую позицию для движения вперед. Лоренцу и Фицджеральду казалось, что взаимодействие между
неподвижным эфиром и движущимися атомами, из которых
состоит все обычное вещество, должно создавать давление,
которое и сжимает материю вдоль направления ее движения.
В некотором приближении это давление сжимает все вещество
как раз в такой степени, какая получается из преобразования
координат.
Непосредственно перед выходом статьи Эйнштейна великий
французский математик Анри Пуанкаре опубликовал работу,
в которой вывел преобразования Лоренца из требования, чтобы
уравнения Максвелла сохраняли свой вид в любой инерциальной
системе отсчета. Но ни одна из работ предшественников Эйнштейна не обладала ясностью, простотой и степенью обобщения,
присущими его подходу.

1.2.4. Возвращаемся к уравнениям
Если мы знаем координаты события в покоящейся системе,
уравнения (1.19) и (1.20) дадут нам координаты этого события
в движущейся системе. Можем ли мы пойти другим путем?
Иными словами, можем ли мы предсказать координаты события
в покоящейся системе, если мы знаем их в движущейся? Мы
могли бы сделать это, выразив в наших уравнениях x и t через
x′ и t′, но есть и более простой путь.

Преобразования Лоренца

55

Все, что нам нужно, — это осознать, что между покоящейся
и движущейся системами существует полная симметрия. В конце концов, кто решает, какая из систем является движущейся,
а какая покоящейся? Чтобы они поменялись ролями, мы могли
бы просто поменять местами штрихованные и нештрихованные координаты в (1.19) и (1.20). Это почти так — но все же
не вполне.
Подумаем вот о чем: если я двигаюсь вправо относительно вас,
то вы двигаетесь влево относительно меня. Это значит, что ваша
скорость относительно меня равна −v. Следовательно, когда я записываю преобразования Лоренца для x, t через x′, t′, я должен
заменить v на −v. В результате получится
,

(1.21)
(1.22)

Переход к обычным единицам
А что, если мы не будем выбирать единицы измерения так, чтобы скорость света равнялась 1? Простейший способ перейти от
релятивистских единиц обратно к общепринятым — позаботиться о том, чтобы согласовать размерности в наших уравнениях
с этими единицами. Например, выражение x − vt уже имеет согласованную размерность, так как и x, и vt имеют размерность
длины — например, выражены в метрах. С другой стороны, выражение t − vx не согласовано по размерности в общепринятых
единицах: t выражается в секундах, а vx — в квадратных метрах
за секунду. Существует единственный способ навести порядок
с единицами: заменить t – vx на

56

Лекция 1

Теперь оба слагаемых имеют размерность времени. Но если мы
захотим использовать единицы, приведенные к условию c = 1,
то снова придем к исходному выражению t – vx.
Подобным же образом не является согласованным по размерности множитель
в знаменателе. Чтобы исправить это,
нам придется заменить v на v/c. После этих изменений преобразования Лоренца можно записать в общепринятых единицах:
,

(1.23)

(1.24)

Отметим, что, когда скорость v очень мала по сравнению со
скоростью света, v2 = c2 еще меньше. Например, если v/c = 1/10,
v2/c2 = 1/100, а если v/c = 10–5, то v2/c2 становится очень мало
и выражение
в знаменателе очень близко к 1.1 С очень
большой точностью мы можем написать:
x′ = x – vt.
Это добрая старая ньютоновская версия. А что происходит
с уравнением для времени (1.24), когда v/c очень мало? Пусть v
составляет 100 метров в секунду. Мы знаем, что скорость света c
очень велика, около 3 × 108 метров в секунду. Значит, v/c2 — очень
маленькое число. Если скорость движущейся системы мала, то
вторым членом в числителе, vx/c2, можно пренебречь и с большой точностью второе уравнение преобразований Лоренца тоже
превращается в ньютоновское:
t′ = t.
1

Для v/c = 10–5 получается, что

= 0,99999999995.

Преобразования Лоренца

57

Итак, для систем, медленно движущихся друг относительно
друга, преобразования Лоренца переходят в ньютоновские
формулы. Это хорошо: значит, пока мы движемся со скоростью,
малой по сравнению с c, мы получаем старые привычные ответы.
Но когда скорость становится близка к скорости света, поправки
становятся большими и растут тем быстрее, чем ближе v к c.

Две другие оси
Уравнения (1.23) и (1.24) — это преобразования Лоренца в общепринятых (обычных) единицах. Конечно, полная система этих
уравнений должна включать и преобразования двух остальных
пространственных координат, y и z. Мы очень внимательно рассмотрели вопрос о том, что происходит с координатами x и t,
когда системы отсчета находятся в относительном движении
по оси x. А что происходит с координатой y?
На этот вопрос мы ответим при помощи простого мысленного
эксперимента. Пусть ваша рука и моя имеют одинаковую длину,
когда мы оба находимся в покоящейся системе. Затем я начинаю двигаться с постоянной скоростью в направлении x. Когда
мы проходим мимо друг друга, каждый из нас держит руку под
прямым углом к направлению нашего относительного движения.
Вопрос: когда мы проходим мимо друг друга, будут ли наши
руки по-прежнему иметь одинаковую длину, или ваша будет
длиннее моей? Из соображений симметрии ясно, что наши руки
должны быть одной длины — ни у одной из них нет никакой
причины быть длиннее другой. Следовательно, преобразования
Лоренца должны иметь вид y′ = y и z′ = z. Другими словами, когда
относительное движение происходит вдоль оси x, интересные
вещи наблюдаются только в плоскости x, t. Координаты x и t
взаимодействуют друг с другом, а y и z остаются пассивными.
Для дальнейших ссылок поместим здесь полное преобразование
Лоренца в обычных единицах для системы отсчета (обозначенной штрихами), движущейся со скоростью v в положительном
направлении x относительно нештрихованной системы:

58

Лекция 1

,

(1.25)

,

(1.26)

y′ = y,

(1.27)

z′ = z.

(1.28)

1.2.5. Ничто не движется быстрее света
Беглый взгляд на уравнения (1.25) и (1.26) показывает, что
если относительная скорость двух систем отсчета превышает c,
происходит нечто странное:
становится отрицательной
величиной, а
— мнимой. Это очевидная бессмыслица:
мерные рейки и часы могут показывать только координаты, выраженные действительными числами.
Эйнштейн разрешил этот парадокс при помощи дополнительного постулата: никакая материальная система не может двигаться
со скоростью, превышающей скорость света. Точнее, никакая
материальная система не может двигаться быстрее света относительно любой другой материальной системы. В частности,
никакие два наблюдателя не могут двигаться быстрее света друг
относительно друга.
Таким образом, у нас никогда не возникает необходимости
сделать скорость v больше световой. Сегодня этот принцип является краеугольным камнем современной физики. Обычно его
формулируют так: никакой сигнал не может распространяться
быстрее, чем свет. Но так как сигналы состоят из материальных
носителей, пусть и не более весомых, чем фотоны, эта формулировка сводится к тому же исходному принципу.

Преобразования Лоренца

59

1.3. Обобщенные преобразования
Лоренца
Эти четыре уравнения напоминают нам, что мы рассмотрели
лишь самый простой вид преобразований Лоренца: преобразование, в котором каждая штрихованная ось параллельна своему
нештрихованному аналогу, аотносительное движение двух
систем происходит только вдоль согласованно направленных
осей x и x′.
Равномерное движение — вещь простая, но все же не всегда
настолько примитивная. Ничто не мешает двум системам пространственных осей быть ориентированными по-разному, когда
каждая штрихованная ось направлена под каким-либо ненулевым углом к своему нештрихованному аналогу.1 Нетрудно
также представить себе, что две системы отсчета движутся друг
относительно друга не только в направлении x, но и вдоль осей y
и z. Но тогда возникает вопрос: не упускаем ли мы каких-либо
существенных особенностей физики равномерного движения,
игнорируя эти обстоятельства? К счастью, ответ на этот вопрос
отрицательный.
Представим себе две системы отсчета, находящиеся во взаимном
относительном движении вдоль некоторого наклонного по отношению ко всем координатным осям направления. Не составило
бы труда связать координаты по штрихованным осям с координатами по нештрихованным через последовательные повороты
систем координат. Выполнив эти повороты, вы снова пришли
бы к равномерному движению в направлении x. Обобщенные
преобразования Лоренца — такие, где две системы связаны
друг с другом поворотом на произвольный угол в пространстве
1

Мы говорим о фиксированном различии в ориентации систем, а не о ситуации, когда какая-либо из систем вращается относительно другой
с ненулевой угловой скоростью.

60

Лекция 1

и движутся друг относительно друга в некотором произвольном
направлении — эквивалентны:
1) повороту в пространстве, в результате которого штрихованные оси координат согласуются с нештрихованными;
2) простому преобразованию Лоренца вдоль новой оси x;
3) второму повороту в пространстве, в результате которого восстанавливается первоначальная ориентация нештрихованных
осей относительно штрихованных.
Если вы позаботились о том, чтобы ваша теория была инвариантна как относительно простых преобразований Лоренца
вдоль, скажем, оси x, так и относительно поворотов системы
координат, то можете быть уверены, что она будет инвариантна
и относительно любого преобразования Лоренца.
Если говорить о терминологии, то преобразования, включающие
относительную скорость одной системы относительно другой,
называются иногда бустами. Например, о таких преобразованиях Лоренца, как задаваемые уравнениями (1.25) и (1.26), говорят
как о бустах вдоль оси x.

1.4. Сокращение длины
и замедление времени
До той поры, пока вы не привыкнете к выводам специальной
теории относительности, она будет казаться вам контринтуитивной — возможно, не настолько, как квантовая механика, но тем
не менее полной парадоксов. Мой совет: каждый раз, когда вы
сталкиваетесь с одним из таких парадоксов, рисуйте пространственно-временные диаграммы. Не приставайте с вопросами
к вашим друзьям-физикам, не шлите мне писем по электронной
почте — рисуйте пространственно-временные диаграммы.

Преобразования Лоренца

61

Сокращение длины
Представим себе, что вы держите мерную рейку, а я прохожу
мимо вас в положительном направлении x. Вы знаете, что длина вашей рейки 1 метр, но я в этом не уверен. Когда я прохожу
мимо вас, я измеряю вашу рейку своими собственными мерными
рейками. Так как я нахожусь в движении, я должен быть очень
аккуратен, иначе может получиться, что я измеряю положения
конечных точек вашей рейки в два различных момента времени.
Не забывайте, что события, одновременные в вашей системе
отсчета, не одновременны в моей. Я хочу измерить положения
концов вашей рейки ровно в одно и то же время в моей системе.
Именно эту длину я и принимаю за длину вашей рейки в моей
системе.
Рисунок 1.5 изображает пространственно-временную диаграмму
этой ситуации. В вашей системе мерная рейка изображается
горизонтальным отрезком прямой
, параллельным оси x, которая для вас является поверхностью одновременности. Мерная
рейка покоится, и мировые линии ее концов — это вертикальные
прямые x = 0 и x = 1 в вашей системе.

Рис. 1.5. Сокращение длины

62

Лекция 1

В моей движущейся системе та же мерная рейка в некоторый
момент времени представляется отрезком OP, параллельным
оси x′. Ось x′ является для меня поверхностью одновременности,
и на диаграмме наклонена. Один конец рейки находится в нашем
общем начале отсчета O в момент, когда я прохожу мимо него.
Другой же конец рейки в момент t′ = 0 отмечен на диаграмме
буквой P.
Чтобы измерить положение обоих концов рейки в момент t′ = 0
в моей системе, мне необходимо знать значения координат x′
в точках O и P. Но я уже знаю, что в точке O x′ = 0, поэтому мне
надо только вычислить значение x′ в точке P. Мы легко сделаем
это, используя релятивистские единицы (скорость света равна 1).
Другими словами, мы воспользуемся преобразованиями Лоренца
в формуле (1.19) и (1.20).
Сначала заметим, что точка P находится на пересечении двух
прямых, x = 1 и t′ = 0. Вспомним (пользуясь уравнением 1.20),
что то, что t′ = 0, означает, что t = vx. Подставляя vx вместо t
в уравнение (1.19), получим

Подстановка x = 1 в предыдущее уравнение дает

или

Готово! Движущийся наблюдатель находит, что в некоторый момент времени — другими словами, на поверхности одновременности t′ = 0 — два конца рейки разделены расстоянием
, то
есть в движущейся системе рейка оказывается немного короче,
чем она была в покоящейся.

Преобразования Лоренца

63

Может показаться противоречием, что одна и та же рейка имеет
одну длину в вашей системе и другую в моей. Заметьте, однако,
что два наблюдателя на деле говорят о несколько разных вещах. В покоящейся системе, где сама мерная рейка покоится,
мы говорим о расстоянии от точки O до точки Q, измеренном
покоящимися мерными рейками. В движущейся системе мы
говорим о расстоянии между точкой O и точкой P, измеренном
движущимися мерными рейками. P и Q — разные точки в пространстве-времени, и поэтому никакого противоречия в том,
чтобы сказать, что
короче
, нет.
В качестве упражнения попробуйте выполнить противоположные вычисления: начните с определения длины движущейся мерной рейки в покоящейся системе. Не забудьте начать
с рисования диаграммы! Если запутаетесь, можете посмотреть
в книжку и проделать все еще раз.
Подумайте о наблюдении движущейся рейки из покоящейся
системы. Эта ситуация иллюстрируется на рис. 1.6. Если длина
рейки составляет одну единицу в ее собственной покоящейся
системе и ее передний конец проходит через точку Q, что мы
можем сказать о ее мировой линии? То, что это x = 1? Нет!
Длина рейки равна 1 метру в движущейся системе, что означает, что мировая линия ее переднего конца — это x′ = 1. Теперь
покоящийся наблюдатель видит, что длина рейки равна длине
отрезка
и x-координата точки Q не равна 1. Это некоторая
величина, вычисляемая из преобразований Лоренца. Проделав
эти вычисления, вы обнаружите, что эта длина также сократилась в
раз.
Движущиеся рейки сокращаются в неподвижной системе, а неподвижные — в движущейся. Никакого противоречия здесь нет.
Повторим еще раз: наблюдатели просто говорят о разных вещах.
Неподвижный наблюдатель говорит о длинах, измеренных в момент его времени. Движущийся наблюдатель говорит о длинах,
измеренных в момент другого времени. Получается, что у них

64

Лекция 1

различные представления о том, что они называют длиной, потому, что у них различные представления об одновременности.

Рис. 1.6. К упражнению по сокращению длины

Упражнение 1.1. Покажите, что x-координата точки Q на
.
рис. 1.6, равна

Замедление времени
Замедление времени происходит в основном таким же образом.
Допустим, у меня есть движущиеся часы — мои часы. Предположим, что они движутся вместе со мной с постоянной скоростью,
как показано на рис. 1.7.
Вопрос: который час в вашей системе в момент, когда мои часы
показывают t′ = 1 в моей системе? У меня, кстати, отличные наручные часики, «Ролекс».1 Я хочу знать, какое значение t показывает в это время ваш «Таймекс». Горизонтальная поверхность
на диаграмме (пунктирная линия) — это поверхность, которую
вы называете поверхностью одновременности.
1

Если не верите, спросите у парня с Канал-стрит, который продал мне их
за 25 баксов.

Преобразования Лоренца

65

Рис. 1.7. Замедление времени

Чтобы измерить значение t в вашей системе, нам нужны две
вещи. Во-первых, мой «Ролекс» движется вдоль оси t′, что выражается уравнением x′ = 0. Кроме того, мы знаем, что t′ = 1.
Теперь, чтобы вычислить t, все, что нам требуется, — это уравнение (1.22), входящее в преобразования Лоренца:

Подставляя x′ = 0 и t′ = 1, найдем

Так как знаменатель в правой части меньше 1, t оказывается
больше, чем 1. Интервал времени, измеренный вдоль оси t
(время на вашем «Таймексе»), больше, чем временной интервал,
измеренный наблюдателем, движущимся вдоль оси t′ (время на
моем «Ролексе») в
раза. Короче, t > t′.
Другими словами, для наблюдателя в покоящейся системе движущиеся часы идут медленнее в
раз.

66

Лекция 1

Парадокс близнецов
Ленни: Эй, Арт! Вон Лоренц идет, поздоровайся с ним. У него
есть вопрос.
Арт: Что??? У Лоренца вопрос к нам?
Лоренц: Зовите меня Лорнц. Это «лоренцево сокращение», хаха. Все эти годы, что я хожу в кабачок «У Германа», я никогда,
братцы, не видел одного из вас без другого. Вы близнецы, что ли?
Арт: Чтооо? Слушай, если бы мы были близнецами, то либо я был
бы гением… не подавись своей сосиской, Лорнц, это совсем не так
уж смешно… да, так вот я говорю: либо я был бы гением, либо
Ленни — каким-нибудь умником из Бронкса. Погоди-ка минутку...1

Замедление времени лежит в основе так называемого парадокса близнецов. На рис. 1.8 Ленни покоится, а Арт отправляется
в скоростное путешествие в положительном направлении вдоль
оси x. В точке, обозначенной на диаграмме t′ = 1, Арт в возрасте 1
разворачивается и направляется обратно к дому.
Мы уже вычисляли время, которое проходит в покоящейся
системе между началом отсчета и точкой, обозначенной на диаграмме t. Это
. Другими словами, мы показали, что вдоль
пути движущихся часов проходит меньше времени, чем вдоль
пути покоящихся. То же самое можно сказать и о второй части
путешествия. И когда Арт возвращается домой, он обнаруживает,
что его близнец Ленни теперь старше него.
Мы откалибровали возраст Арта и Ленни по времени, регистрируемому их часами. Но замедление времени, которое замедлило
часы Арта с точки зрения наблюдателя в неподвижной системе,
1

Мы будем здесь считать, что рождение Арта и Ленни было одним и тем
же пространственно-временным событием (обозначенным как O) на
рис. 1.8.

Ленни

т
Ар

Ленни

Арт

Преобразования Лоренца

67

Рис. 1.8. Парадокс близнецов

повлияло бы на любые часы, в том числе и на биологические.
То есть Арт мог бы вернуться на Землю молодым, а у Ленни уже
была бы длинная седая борода.
Людей часто ставят в тупик два аспекта парадокса близнецов. Вопервых, естественно считать, что для обоих близнецов эта ситуация
должна быть симметричной. Если Ленни видит, как Арт улетает
от него в путешествие, то и ведь и Арт видит, как Ленни удаляется
от него с той же скоростью, но в противоположном направлении.
А раз в пространстве нет выделенных направлений, то почему же
наши близнецы должны стареть по-разному? Но дело в том, что
никакой симметрии здесь нет: путешествующий близнец при повороте обратно к дому испытывает большое ускорение, а с его оставшимся дома братом ничего подобного не происходит. Это отличие
оказывается критическим. Из-за этого разворота система Арта
не может считаться инерциальной, в отличие от системы Ленни.
Мы предлагаем вам развить эту идею в следующем упражнении.

68

Лекция 1

Упражнение 1.2. На рис. 1.8 путешествующий близнец
не только разворачивается, но и переходит при развороте
в другую систему отсчета.
a) Пользуясь преобразованием Лоренца, покажите, что до
разворота отношения между близнецами симметричны:
каждый из них считает, что другой стареет медленнее,
чем он сам.
б) Пользуясь пространственно-временными диаграммами, покажите, как резкий переход путешественника
из одной системы в другую меняет его определение
одновременности. В новой системе путешественника
его близнец внезапно становится гораздо старше, чем
он был в исходной системе путешественника.
Другое затруднение возникает на почве простых геометрических соображений. Возвращаясь к рис. 1.7, вспомним, что
определенное нами «временное расстояние» от точки O до
точки, обозначенной t′ = 1, оказалось меньше, чем расстояние
от О до точки t (равное
). Из сопоставления этих двух
значений получается, что вертикальный катет в прямоугольном треугольнике длиннее его гипотенузы. Многих это ставит
в тупик: численное сравнение противоречит визуальному
содержанию диаграммы. Фактически же это несоответствие
приводит нас к одной из центральных идей теории относительности: к концепции инвариантности. Мы подробно обсудим
эту идею в разделе 1.5.

Парадокс лимузина и «фольксвагена-жука»
Другой парадокс иногда называют парадоксом жерди в амбаре.
Но так как сейчас амбары мало у кого остались, мы расскажем
вместо этого историю о лимузине и «фольксвагене-жуке».

Преобразования Лоренца

69

Арт водит «фольксваген» модели «жук» длиной чуть меньше
14 футов.1 И гараж у него как раз под размер его машинки.
А у Ленни — отреставрированный лимузин длиной 28 футов.2 Арт
уезжает в отпуск и сдает дом Ленни. Но до его отъезда друзья
решили встретиться, чтобы проверить, влезет ли машина Ленни
в гараж Арта. Ленни настроен скептически, но у Арта есть план.
Арт просит Ленни дать задний ход и отъехать от гаража на порядочное расстояние, чтобы хватило места для разгона. Затем
он кричит, чтобы Ленни дал газу и разогнался как следует. Если
Ленни удастся въехать на своем лимузине в гараж на скорости
в 260 000 километров в секунду, то он как раз там поместится.
Они решают попробовать.
С тротуара Арт наблюдает за тем, как Ленни пятится назад
на своем лимузине и затем жмет на газ. Стрелка спидометра
подскакивает до 277 000 километров в секунду — хорошая скорость! Но тут Ленни бросает взгляд на гараж и в ужасе кричит:
«Ёлки-палки! Гараж летит прямо на меня, и он сжался больше
чем вдвое! Я не влезу!»
«Да влезешь, Ленни. Я вот тут подсчитал: в системе отсчета
неподвижного гаража твой лимузин чуть длиннее тринадцати
футов.3 Не о чем беспокоиться, поверь».
«Ладно, Арт, надеюсь, ты не ошибаешься».
Рисунок 1.9 представляет пространственно-временную диаграмму, на которой лимузин Ленни показан плотно зачерненной полосой, а гараж — слабо затененной. Нос лимузина входит в гараж в точке a и выходит из него (мы считаем, что Арт
преду­смотрительно оставил заднюю дверь гаража открытой)
чуть выше точки c; корма лимузина входит в точке b, а выходит
1
2
3

4,2 метра.
8,5 метра.
3,9 метра.

70

Лекция 1

в точке d. Теперь посмотрим на прямую : это часть поверхности
одновременности в покоящейся системе гаража. Как мы видим,
в этот момент весь лимузин целиком находится в гараже. План
Арта сработал: в его системе лимузин в гараж поместился. Однако теперь давайте взглянем на поверхность одновременности
в системе Ленни — это линия , и мы видим, что в ней лимузин
в гараж не вмещается, как и казалось Ленни.
гараж

f

лимузин

d
e

b

c

a

Рис. 1.9. Пространственно-временная диаграмма
«лимузин — гараж»

Рисунок ясно показывает суть парадокса. Сказать, что лимузин находится в гараже, значит сказать, что его нос и корма
поместились внутрь гаража одновременно. Опять это слово —
«одновременно»! Одновременно для кого? Для Арта? Или для
Ленни? Высказывание «машина находится в гараже» просто
означает разные вещи в различных системах. И нет никакого
противоречия в том, чтобы сказать, что в некоторый момент

Преобразования Лоренца

71

в системе Арта лимузин действительно находился в гараже
и что ни в один момент в системе Ленни он целиком в гараж
не помещался.
Почти все парадоксы специальной теории относительности
получают очевидное разрешение, если их рассмотреть внимательно. Просто надо всегда следить за тем, какой смысл неявно
вкладывается в слово «одновременно». «Одновременно» по отношению к кому? В этом обычно и скрыта разгадка парадокса.

1.5. Мир Минковского
Один из самых мощных инструментов физики — это концепция
инвариантности. Инвариант — это величина, значение которой
не меняется в зависимости от того, с какой точки зрения ее
рассматривают. Здесь мы укажем на некоторый аспект пространства-времени, который имеет одно и то же значение во
всех системах отсчета.
Чтобы объяснить нашу мысль, возьмем пример из евклидовой
геометрии. Рассмотрим двумерную плоскость, на которой
определены две системы декартовых координат, (x, y) и (x′, y′).
Предположим, что обе системы координат начинаются в одной
и той же точке, но что оси (x′, y′) (штрихованные) поворачиваются против часовой стрелки на фиксированный угол относительно нештрихованных осей. В этом примере у нас нет
оси времени и нет движущихся наблюдателей, только обычная
евклидова плоскость из школьной геометрии. Она изображена
на рис. 1.10.
Рассмотрим в этом пространстве произвольную точку P. В наших двух системах координат она имеет различные координаты.
Очевидно, что x и y, координаты этой точки, не те же самые числа,
что координаты x′ и y′, несмотря на то что обе эти пары чисел
относятся к одной и той же точке P в пространстве. Мы можем
сказать, что координаты точки не инвариантны.

72

Лекция 1

Рис. 1.10. Евклидова плоскость

Однако существует все же величина, которая остается одной
и той же, вычисляете вы ее в штрихованных или в нештрихованных координатах: это расстояние точки P от начала координат. Оно одно и то же во всех системах координат с этим началом, независимо от их ориентации. То же самое можно сказать
и о квадрате этого расстояния. Чтобы вычислить это расстояние
в нештрихованных координатах, мы воспользуемся теоремой
Пифагора: d 2 = x2 + y2, и в результате получим квадрат этого
расстояния. А в штрихованных координатах то же расстояние
было бы равно x′2 + y′2. Следовательно,
x2 + y2 = x′2 + y′2.
Другими словами, для произвольной точки P величина x2 + y2
инвариантна. Инвариантность означает, что ее значение не зависит от того, в какой системе координат мы ее определяем. Во
всех случаях мы получим один и тот же ответ.
В евклидовой геометрии для прямоугольных треугольников
всегда выполняется одно правило: гипотенуза больше, чем любой из катетов (если только один из них не нуль; в этом случае
гипотенуза равна другому катету). Поэтому расстояние d по

Преобразования Лоренца

73

крайней мере равно x или y. По той же причине оно по крайней
мере не меньше, чем x′ или y′.
Возвращаясь теперь к теории относительности, мы можем
сказать, что наша дискуссия о парадоксе близнецов содержала
один момент, очень напоминающий нашу историю с прямоугольным треугольником. Вернемся к рис. 1.8 и рассмотрим
треугольник, образованный прямыми, которые соединяют три
черные точки — горизонтальной пунктирной линией, первой
половиной вертикальной мировой линии Ленни и гипотенузой,
образованной первым участком путешествия Арта. Расстояние
вдоль пунктирной линии между двумя точками определяет пространственно-временное расстояние между ними.1 Время вдоль
стороны треугольника, принадлежащей Ленни, тоже можно представить себе как пространственно-временное расстояние. Его
длина равна
. И наконец, время, которое заняла первая
половина путешествия Арта, — это пространственно-временная
длина гипотенузы. И тут мы обнаруживаем кое-что необычное:
вертикальный катет треугольника оказывается длиннее его
гипотенузы! Вот почему у Ленни было время отрастить бороду,
пока Арт оставался мальчишкой! Мы получили доказательство
того, что пространство Минковского управляется совсем не теми
законами, что евклидово пространство.
Тем не менее мы можем задать вопрос: есть ли в пространстве
Минковского аналог инвариантной пространственной величины,
связанной с преобразованиями Лоренца, — величины, которая
остается неизменной во всех инерциальных системах отсчета?
Мы знаем, что квадрат расстояния от начала координат до фиксированной точки P инвариантен по отношению к поворотам
евклидовых координат. Будет ли подобная величина, возможно,
t2 + x2, инвариантна по отношению к преобразованиям Лорен1

Мы пользуемся термином пространственно-временное расстояние в общем смысле. Позже мы перейдем к более точным терминам собственного
времени и пространственно-временного интервала.

74

Лекция 1

ца? Попробуем-ка это проверить. Рассмотрим произвольную
точку P на пространственно-временной диаграмме. Эта точка
характеризуется значениями t и x, а в некоторой движущейся
системе отсчета — значениями t′ и x′. Мы уже знаем, что эти две
системы координат связаны преобразованиями Лоренца. Посмотрим, верна ли наша догадка:

Используем преобразования Лоренца (1.19) и (1.20) для выражения t′ и x′:

что упрощается до

Равна ли правая часть t2 + x2? Ничего подобного! Мы сразу же
видим, что член tx в первом выражении складывается с членом
tx во втором выражении. Они не сокращаются, и слева нет члена tx, который мог бы уравновесить ситуацию. Равенства здесь
быть не может.
Но, посмотрев внимательно, вы заметите, что если мы возьмем
не сумму, а разность двух членов в правой части, члены tx сократятся. Определим новую величину
τ2 = t2 – x2.
Вычитая x′2 из t′2, получим:

(1.29)

Преобразования Лоренца

75

И после небольших преобразований получится ровно то, чего
мы хотели:
t′2 – x′2 = t2 – x2 = τ2.

(1.30)

Бинго! Мы нашли инвариант τ2, значение которого одно и то же
при любом преобразовании Лоренца вдоль оси x. Квадратный
корень из этой величины, τ, называется собственным временем.
Происхождение этого названия вам скоро станет ясно.
До сих пор мы представляли себе мир в виде железной дороги,
в которой все движения происходят только вдоль оси x. Преобразования Лоренца действовали только по оси x, и вы могли спокойно забыть о двух других направлениях, перпендикулярных
к движению и описываемых координатами y и z. Теперь давайте
вернем их на место. В разделе 1.2.4 я объяснил, что полный комплект преобразований Лоренца (при c = 1) для относительного
движения вдоль оси x состоит из четырех уравнений:
,
,
,

А как быть с движениями (бустами) вдоль остальных осей? Как
я объяснял в разделе 1.3, их можно выразить в виде комбинации
движений вдоль оси x и поворотов оси x, которые придают ей
другое направление. Как следствие, некоторая величина инвариантна относительно всех преобразований Лоренца, если
она инвариантна относительно буста вдоль оси x и вращения
пространства. Что можно сказать в этом смысле о τ2 = t2 – x2?
Мы уже видели, что эта величина инвариантна относительно
буста вдоль оси x, но изменяется, если пространство вращается.

76

Лекция 1

Это очевидно, так как она содержит x, но не y и z. К счастью,
нетрудно представить τ в виде полноформатного обобщенного
инварианта. Рассмотрим обобщенную версию уравнения (1.30):
τ2 = t2 – x2 – y2 – z2.

(1.31)

Докажем сначала, что величина τ инвариантна относительно движений вдоль оси x. Мы уже видели, что член t2 − x2 инвариантен.
Прибавим к этому тот факт, что перпендикулярные координаты y
и z не изменяются при сдвигах вдоль оси x. Но если ни t2 – x2,
ни y2 + z2 не изменяются при преобразовании от одной системы
к другой, то очевидно, что величина t2 − x2 – y2 – z2 тоже будет
инвариантной. Итак, вопрос со сдвигами по оси x улажен.
Теперь посмотрим, почему τ не будет меняться при вращении
осей в пространстве. Опять проведем наше доказательство в два
этапа. Первый состоит в том, что поворот пространственных координат действует одновременно на x, y и z, но никак не влияет
на временную координату. Следовательно, t инвариантно относительно поворотов пространства. Теперь рассмотрим величину
x2 + y2 + z2. Согласно трехмерной версии теоремы Пифагора,
x2 + y2 + z2 является квадратом расстояния точки (x, y, z) от начала координат. А этот параметр тоже не изменяется при поворотах
в пространстве. Сочетая инвариантность времени с инвариантностью расстояния от начала координат (при вращении системы
в пространстве), мы приходим к заключению, что собственное
время τ, определяемое формулой (1.31), инвариантно для любого
наблюдателя. Это касается не только наблюдателей, движущихся
в любом направлении, но и наблюдателей, оси координат которых ориентированы произвольным образом.

1.5.1. Минковский и световой конус
Инвариантность собственного времени τ — факт огромного значения. Не знаю, был ли он известен Эйнштейну, но в процессе
написания этого раздела я просмотрел свое старинное, протертое

Преобразования Лоренца

77

до дыр доверовское издание, содержащее эйнштейновскую статью
1905 года (с ценой $1,50 на обложке), и не нашел никакого упоминания формулы (1.31) или идеи пространственно-временного
расстояния. Именно Минковский первым понял, что инвариантность собственного времени с его интуитивно непонятными
знаками минус ляжет в основу совершенно новой четырехмерной
геометрии пространства-времени — пространства Минковского.
Думаю, надо отдать Минковскому должное и признать, что именно
ему принадлежала честь завершить в 1908 году ту революцию,
которую Эйнштейн тремя годами ранее начал своей специальной
теорией относительности. Именно Минковскому мы обязаны
концепцией времени как четвертого измерения четырехмерного
пространства-времени. У меня до сих пор мурашки бегут по коже
от восхищения, когда я читаю эти две работы.
Давайте вслед за Минковским рассмотрим путь световых лучей,
которые исходят из начала координат. Пусть вспышка света
произошла в начале отсчета, и свет распространяется из него
наружу. Спустя время t световой импульс пройдет расстояние ct.
Мы можем описать эту вспышку уравнением
x2 + y2 + z2 = c2t2.

(1.32)

Здесь в левой части — расстояние от начала координат, а в правой — расстояние, пройденное световым сигналом за время t.
Приравнивая эти величины, мы получим геометрическое место
всех точек, которых достигла вспышка света. Это уравнение
можно визуализировать, пусть и всего в трех, а не в четырех
измерениях, в виде конуса в пространстве-времени. И хоть
Минковский и не изобразил этот конус графически, он все же
подробно его описал. Мы изобразили световой конус Минковского на рис. 1.11. Ветвь, направленная вверх, называется световым конусом будущего, а ветвь, направленная вниз, — световым
конусом прошлого.
А теперь давайте вернемся к «железнодорожному» миру, в котором движения происходят только вдоль оси x.

78

Лекция 1

Рис. 1.11. Световой конус Минковского

1.5.2. Физический смысл собственного времени
Инвариантная величина τ2 — не просто математическая абстракция. У нее есть физический — и даже экспериментальный — смысл. Чтобы это понять, давайте посмотрим на Ленни,
который, как обычно, движется вдоль оси x, и Арта, покоящегося
в неподвижной системе. Они проходят мимо друг друга в начале
отсчета O. А мы еще отметим на мировой линии Ленни другую
точку D, которая представляет движение Ленни вдоль оси t′.1
Все это показано на рис. 1.12.
Начальная точка мировой линии — это общее начало отсчета O.
По определению, Ленни расположен на x′ = 0 и движется вдоль
оси t′.

1

В этом обсуждении мы использовали обозначение t′ в двух немного отличающихся значениях. Основное значение этой величины: «t′-координата
Ленни». Но кроме того, мы использовали это обозначение, чтобы отметить ось t′.

Преобразования Лоренца

79

Рис. 1.12. Собственное время. Прочтите примечание,
в котором объясняются два значения t′ на этой диаграмме

Координаты (x, t) относятся к системе отсчета Арта, а штрихованные координаты (x′, t′) — к системе отсчета Ленни. Инвариант τ2 в системе отсчета Ленни определяется как t′2 − x′2. По
определению, Ленни всегда остается на x′ = 0 в своей собственной
покоящейся системе, и, так как в точке D x′ = 0, то t′2 – x′2 ничем
не отличается от t′2.
Следовательно, уравнение

переходит в

откуда

Но что такое t′? Это время, прошедшее в системе отсчета Ленни
с тех пор, как он покинул начало координат. А значит, мы показали, что инвариант τ имеет физический смысл:

80

Лекция 1

Инвариантное собственное время вдоль мировой линии — это
время, отмечаемое часами, движущимися вдоль этой мировой линии. В данном случае оно представляет число секунд,
которое отсчитал принадлежащий Ленни «Ролекс» за время
движения от начала отсчета до точки D.
Чтобы завершить наше обсуждение собственного времени, запишем его в обычных координатах:

1.5.3. Пространственно-временной интервал
Термин «собственное время» имеет вполне конкретное физическое и количественное значение. С другой стороны, я уже
использовал для передачи того же понятия свой собственный
термин «пространственно-временное расстояние». Далее мы
начнем пользоваться более точным термином «пространственно-временной интервал», (Δs)2, который определяется так:
(Δs)2 = −Δt2 + (Δx2 + Δy2 + Δz2).
Чтобы определить пространственно-временной интервал между
событием (t, x, y, z) и началом отчета, запишем:
s2 = −t2 + (x2 + y2 + z2).
Другими словами, s2 — это просто отрицательное τ2, а следовательно, инвариант.1 До сих пор различие между τ2 и s2 не имело
существенного значения, но скоро оно сыграет свою роль.

1

В теории относительности правило знаков выполняется не столь неукоснительно, как нам бы хотелось: некоторые авторы определяют s2
так, чтобы эта величина имела тот же знак, что и τ2.

Преобразования Лоренца

81

1.5.4. Времениподобные, пространственноподобные и светоподобные интервалы
Среди многих геометрических идей, которые Минковский ввел
в теорию относительности, была концепция времениподобных,
пространственноподобных и светоподобных интервалов между событиями. Эта классификация может основываться на инварианте
τ2 = t2 – (x2 + y2 + z2)
или на его «альтер эго»
s2 = –t2 + (x2 + y2 + z2),
то есть пространственно-временном интервале, который отделяет событие (t, x, y, z) от начала отсчета. Мы будем использовать
обозначение s2. Интервал s2 может быть отрицательным, положительным или нулевым, и именно это определяет, отделено
ли событие от начала координат времениподобным, пространственноподобным или светоподобным интервалом.
Чтобы придать этому вопросу какую-то наглядность, представим себе нулевой сигнал, сгенерированный на Альфе Центавра
в нулевой момент времени. Этот сигнал достигнет нас на Земле
примерно через четыре года. В этом примере световая вспышка
на Альфе Центавра происходит в начале отсчета, и мы рассматриваем световой конус будущего (верхняя половина рис. 1.11).

Времениподобный интервал
Сначала рассмотрим точку, лежащую внутри конуса. Она окажется
там, если модуль ее временной координаты | t | будет больше, чем
пространственное расстояние до события, другими словами, если

Такие события называются времениподобными относительно
начала отсчета. Все точки на оси t отделены от начала координат

82

Лекция 1

времениподобным интервалом (я просто называю их времениподобными). Свойство времениподобности инвариантно: если
событие времениподобно в одной системе отсчета, оно остается
таким во всех системах.
Если какое-либо событие на Земле случилось больше чем через
четыре года после обсуждаемой световой вспышки, то это событие времениподобно относительно этой вспышки. На такие
события этот световой сигнал уже не повлияет. Он к этому
времени уже будет в прошлом.

Пространственноподобный интервал
Пространственноподобные события — это события, происходящие
вне конуса.1 Другими словами, это такие события, для которых

Для этих событий пространственное расстояние от начала отсчета больше, чем временнˆые. Пространственноподобность
также инвариантна.
Пространственноподобные события происходят слишком далеко, чтобы световой сигнал мог их достичь. Любое событие на
Земле, происходящее раньше, чем через четыре года после того,
как световой сигнал начал свое путешествие, не может испытать
влияния события, вызвавшего вспышку.

Светоподобный интервал
Наконец, происходят и события на световом конусе, для которых

1

И опять мы используем короткий термин «пространственноподобное
событие» в смысле «событие, которое отделено от начала отсчета пространственноподобным интервалом».

Преобразования Лоренца

83

Это такие точки, которых достигнет световой сигнал, идущий из
начала отсчета. Человек, находящийся в точке светоподобного
события относительно начала координат, увидит вспышку света.

1.6. Историческая перспектива
1.6.1. Эйнштейн
Люди часто задумываются над вопросом, было ли эйнштейновское объявление постоянства скорости света c законом
природы основано на теоретическом провидении или на экспериментальных результатах, в частности, на результатах опыта
Майкельсона — Морли. Конечно, мы не можем ответить на этот
вопрос с уверенностью. Никто точно не знает, что думает другой
человек. Сам Эйнштейн заявлял, что, когда он писал свою статью
1905 года, ему не было известно о полученном Майкельсоном
и Морли результате. Думаю, есть все основания ему верить.
Эйнштейн считал законом природы уравнения Максвелла. Он
знал, что они дают решения в виде волн. В шестнадцатилетнем
возрасте он задумался о том, что произойдет, если двигаться
вместе со световым лучом. «Очевидный» ответ на этот вопрос: ты
увидишь статическую, неподвижную волновую структуру электрического и магнитного полей. Каким-то образом Эйнштейн
знал, что этот ответ неверен — что это не является решением
уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла говорят, что свет
движется со скоростью света. В общем, я склонен верить, что,
согласно его собственному свидетельству, Эйнштейн не знал об
эксперименте Майкельсона — Морли, когда писал свою работу.
На современном языке мы объяснили бы ход мыслей Эйнштейна
немного иначе. Мы бы сказали, что уравнения Максвелла обладают определенного рода симметрией — что существует некоторая
система преобразований координат, для которой эти уравнения
имеют одну и ту же форму во всех системах отсчета. Если взять

84

Лекция 1

уравнения Максвелла, содержащие координаты x и t, и применить к ним старые галилеевские правила преобразования,
x′ = x – vt,
t′ = t,
то вы увидите, что в штрихованной системе эти уравнения приобретут другой вид, не тот, что в нештрихованных координатах.
Однако если вы примените к уравнениям Максвелла преобразования Лоренца, то окажется, что преобразованные уравнения
будут выглядеть в штрихованных координатах точно так же,
как в нештрихованных. Великое достижение Эйнштейна, если
пользоваться современным языком, заключалось в обнаружении
симметрии уравнений Максвелла относительно преобразований
Лоренца, а не преобразований Галилея. И он сумел заключить
все это в одном-единственном принципе. В каком-то смысле он
не нуждался в том, чтобы знать уравнения Максвелла (хотя он
их, конечно, знал). Все, что ему было нужно, — это знать, что
уравнения Максвелла являются законом природы и что этот
закон природы требует, чтобы свет двигался с определенной
скоростью. Исходя из этого принципа, Эйнштейн и смог описать
движение световых лучей.

1.6.2. Лоренц
Лоренц об эксперименте Майкельсона — Морли знал. Он предложил те же самые преобразования, но интерпретировал их
иначе. Он представлял их себе как воздействия на движущиеся
объекты, вызванные их движением сквозь эфир. Различные
виды давления эфира приводят к тому, что объекты сжимаются
и поэтому сокращаются в размерах.
Ошибался ли он? Думаю, мы можем сказать, что в каком-то
смысле он был прав. Но он определенно не обладал эйнштейновским пониманием структурной симметрии — симметрии,

Преобразования Лоренца

85

которой должны подчиняться пространство и время, чтобы удовлетворять принципу относительности и движения со скоростью
света. Но никто не мог бы сказать, что Лоренц сделал то же самое,
что сделал Эйнштейн.1 Более того, Лоренц не считал полученные
результаты точными. Он представлял себе свои преобразования
как первое приближение. Объект, движущийся сквозь некоторую среду, должен сокращаться, и в первом приближении эта
ситуация описывалась лоренцевым сокращением. Лоренц был
уверен, что и опыт Майкельсона — Морли не является точным.
Он полагал, что должны существовать поправки, зависящие
от более высоких степеней v/c, и что техника эксперимента
в конце концов достигнет достаточной точности, чтобы все же
зарегистрировать различия в скорости света. Именно Эйнштейн
сказал, что постоянство скорости света — фундаментальный
принцип, закон природы.

1

В том числе, думаю, и сам Лоренц.

Лекция 2

Скорости и 4-векторы

Арт: Все это просто захватывающе! Я чувствую себя полностью
преобразованным.
Ленни: Лоренцевым преобразованием?
Арт: Ну да, меня словно подтолкнули вперед.
Действительно, когда предметы движутся с релятивистскими
скоростями, они сплющиваются, по крайней мере с точки зрения
покоящегося наблюдателя. Фактически, когда их скорость приближается к световой, в направлении движения они сокращаются до бесконечно малой толщины, хотя со своей собственной
точки зрения они выглядят и чувствуют себя по-прежнему. Не
могут ли они сократиться еще сильнее и вообще исчезнуть, если
будут двигаться быстрее света? Нет, конечно, по той простой
причине, что никакой физический объект не может двигаться
быстрее света. Но тогда возникает следующий парадокс.
Допустим, Арт стоит на железнодорожной платформе. Мимо
него со скоростью в 90% скорости света проносится поезд, в котором едет Ленни. Их относительная скорость равна 0,9 c. В том
же вагоне, что и Ленни, Мэгги ездит по коридору на велосипеде
со скоростью 0,9 c относительно Ленни. Разве не очевидно, что
относительно Арта она движется быстрее света? В ньютоновской
физике, чтобы вычислить скорость Мэгги относительно Арта,
мы сложили бы ее скорость со скоростью Ленни, и получилось

87

Скорости и 4-векторы

бы, что она проносится мимо Арта со скоростью 1,8 c, что почти
вдвое больше скорости света. Ясно, что здесь что-то не так.

2.1. Сложение скоростей
Чтобы понять, что именно здесь не так, нам придется внимательно проанализировать сложение скоростей в рамках преобразований Лоренца. Теперь у нас три наблюдателя: Арт в состоянии
покоя, Ленни, движущийся относительно Арта со скоростью v,
и Мэгги, движущаяся относительно Ленни со скоростью u. Мы
будем употреблять релятивистскую систему единиц, в которой
c = 1; предположим, что и v, и u положительны и меньше 1. Наша
цель: определить, с какой скоростью Мэгги движется относительно Арта. Ситуация изображена на рис. 2.1.

Система О

Система О

Арт

Ленни

Система О
Мэгги

Рис. 2.1. Сложение скоростей

У нас есть три системы отсчета и три набора координат. Пусть
(x; t) — система координат Арта в покоящейся системе железнодорожной платформы. Пусть (x′; t′) — система координат
Ленни, покоящейся относительно поезда. И, наконец, пусть (x′′;

88

Лекция 2

t′′) — система координат Мэгги, движущейся вместе с ее велосипедом. Каждая пара систем отсчета связана преобразованиями
Лоренца с соответствующей скоростью. Например, связь между
координатами Ленни и Арта такая:
,

(2.1)
(2.2)

Мы знаем, как эти соотношения обратить: для этого надо выразить в них x и t через x′ и t′. Напомню, что в результате мы
получим:
,

(2.3)

(2.4)

2.1.1. Мэгги
Наш третий наблюдатель — Мэгги. Мы знаем о ней, что она
движется относительно Ленни со скоростью u. Выразим это через преобразования Лоренца, связывающие координаты Ленни
и Мэгги, на этот раз через скорость u:
,

(2.5)

(2.6)
Наша цель — найти преобразования, связывающие координаты
в системах Арта и Мэгги, и вывести из этих преобразований их

Скорости и 4-векторы

89

относительные скорости. Другими словами, мы хотим избавиться от Ленни.1 Начнем с уравнения (2.5):

Теперь подставим в правую часть выражения для x′ и t′ из (2.1)
и (2.2):

и объединим знаменатели:
(2.7)
Теперь мы подходим к главному — к определению скорости
Мэгги относительно Арта в системе отсчета Арта. То, что уравнение (2.7) имеет вид преобразования Лоренца, не вполне
очевидно (хотя это именно так), но, к счастью, мы пока можем
оставить этот вопрос в стороне. Заметим, что мировая линия
Мэгги задается уравнением x′′ = 0. Чтобы достичь цели, нам надо
всего лишь сделать числитель в уравнении (2.7) равным нулю.
Перегруппируем члены в числителе:

и получим
(2.8)
Теперь уже вполне очевидно, что уравнение (2.8) — это уравнение мировой линии, соответствующей движению со скоростью
1

Не волнуйтесь: мы хотим избавиться не от самого Ленни, а только от его
скорости.

90

Лекция 2

(u + v) = (1 + uv). Следовательно, для скорости Мэгги в системе
отсчета Арта получается:
(2.9)
Теперь довольно легко убедиться в том, что системы отсчета Арта
и Мэгги действительно связаны преобразованиями Лоренца.
Пусть читатель сам проверит, что
(2.10)
и
(2.11)
Подведем итог: если Ленни движется относительно Арта со скоростью v и Мэгги движется относительно Ленни со скоростью u,
то Мэгги движется относительно Арта со скоростью
(2.12)
Сейчас мы этот результат проанализируем, но сперва выразим
(2.12) в обычных единицах, согласовав размерности. В числителе
u + v с размерностью все в порядке. Однако в выражении 1 + uv
в знаменателе размерности не согласованы: 1 — безразмерная
величина, а u и v имеют размерность скорости. Порядок в размерностях легко навести, заменив u и v на u/c и v/c. Это дает
релятивистское правило сложения скоростей:
(2.13)

Сравним этот результат с тем, чего мы ожидали бы с ньютоновских позиций. Ньютон сказал бы, что для определения скорости
Мэгги относительно Арта нужно просто сложить u и v. Это
как раз то, что делается в числителе (2.13). Но теория относи-

Скорости и4-векторы

91

тельности требует поправки, которая вносится знаменателем:
(1 + uv/c2).
Возьмем несколько численных примеров. Рассмотрим сначала
случай, когда u и v малы по сравнению со скоростью света. Для
простоты будем пользоваться уравнением (2.9), где скорости
безразмерны. Помните, что u и v — это скорости, выраженные
в единицах скорости света. Положим, u = 0,01, то есть 1% скорости света, так же как и v. Подставляя эти значения в (2.9),
получаем:

или

По Ньютону вышло бы, конечно, 0,02, но релятивистское значение чуть меньше. Вообще, чем меньше u и v, тем ближе друг
к другу будут релятивистский и ньютоновский результаты.
Однако вернемся теперь к исходному парадоксу: если поезд
Ленни движется со скоростью v = 0,9 относительно Арта, а велосипед Мэгги — со скоростью u = 0,9 относительно Ленни, не
получится ли, что относительно Арта Мэгги движется быстрее
света? Подставляя соответствующие значения v и u, мы получим

или

Знаменатель чуть больше, чем 1,8, и результирующая скорость
чуть меньше единицы. Другими словами, нам не удалось заставить Мэгги двигаться быстрее света в системе Арта.

92

Лекция 2

Ну а теперь давайте удовлетворим свое любопытство и посмот­
рим, что бы случилось, если бы и u, и v были бы равны скорости
света. Для значения w получается:

или

То есть даже если бы Ленни мог каким-то образом двигаться со
скоростью света относительно Арта, и Мэгги могла бы двигаться
со скоростью света относительно Ленни, она все равно не могла
бы двигаться быстрее света относительно Арта.

2.2. Световые конусы и 4-векторы
Как мы видели в разделе 1.5, собственное время
τ2 = t2 – (x2 + y2 + z2)
и его «альтер эго», пространственно-временной интервал относительно начала отсчета,
s2 = –t2 + (x2 + y2 + z2),
являются инвариантными величинами относительно обобщенных преобразований Лоренца в четырехмерном пространстве-времени. Другими словами, эти величины инвариантны
относительно любой комбинации лоренцевых смещений (бустов) и поворотов координат.1 Мы иногда будем записывать τ
в сокращенной форме:

1

В явном виде мы показали это только для τ, но те же самые аргументы
приложимы и к s.

Скорости и 4-векторы

93

(2.14)
Это, пожалуй, и есть центральная идея теории относительности.

2.2.1. Как движутся световые лучи
Вернемся к лекции 1, где мы обсуждали пространственновременные области и траектории световых лучей. Рисунок 2.2
иллюстрирует эту идею немного подробнее. Различные виды
интервалов соответствуют отрицательному, положительному
или нулевому значению инвариантной величины s. Мы также
обнаружили тот интересный факт, что если две точки в пространстве-времени разделены нулевым интервалом, это не значит, что
они обязательно должны совпадать. Нулевой интервал просто
означает, что световой луч, выпущенный из одной из этих точек, может пройти через другую. В этом и заключается одна из

Рис. 2.2. Световой конус будущего. От начала отсчета точка a отделена
времениподобным интервалом, точка b — пространственноподобным,
а точка P — светоподобным. Показаны только два пространственных
измерения

94

Лекция 2

важных концепций движения светового луча: он движется так,
что собственное время (другими словами, пространственновременной интервал) вдоль его траектории остается равным
нулю. Траектория светового луча, который начинает движение
из начала координат, служит некой границей между областями
пространства-времени, отделенными от начала координат времениподобными интервалами, и областями, отделенными от
него пространственноподобными интервалами.

2.2.2. Введение в 4-векторы
Мы сейчас вернемся к рассмотрению пространственных измерений y и z. Дело в том, что математический язык теории
относительности основывается на так называемых 4-векторах,
которые включают в себя все три пространственных измерения. Сейчас мы введем в рассмотрение эти математические
объекты, а позже, в лекции 3, разовьем этот аппарат более
подробно. Самый простой и распространенный пример вектора в трех измерениях — это интервал между двумя точками
в пространстве.1 Если заданы две точки, то имеется и вектор,
который их соединяет. У него есть направление и модуль. Не
имеет значения, где именно он начинается. Если мы будем
перемещать его, он останется все тем же вектором. Вы можете
представлять его как перемещение, которое начинается в начале отсчета и заканчивается в некоторой точке пространства.
У нашего вектора есть координаты, в данном случае x, y и z,
которые определяют положение конечной точки.

Новые обозначения
Конечно, координаты необязательно обозначать x, y и z. Мы
вправе их переименовать. Например, можно обозначить их Xi,
1

Мы здесь говорим только о векторах в пространстве, а не об абстрактных
векторах состояния квантовой механики.

Скорости и 4-векторы

95

где i принимает значения 1, 2 или 3. В такой форме мы можем
написать

или

Такую форму записи мы будем применять повсеместно. Так как
мы будем измерять относительно некоторого начала отсчета не
только расстояние, но и время, то нам понадобится и временная
координата t. В результате наш вектор становится четырехмерным: 4-вектором с одной временной и тремя пространственными компонентами. Временную компоненту вектора принято
записывать первой:

где (X0; X1; X2; X3) имеют то же значение, что и (t; x; y; z). Не забудем, что эти верхние индексы не являются показателями степени!
Координата X3 означает «третья пространственная координата,
которая часто записывается как z». Это не значит X × X × X.
В конкретных случаях различие между верхними индексами
и показателями степени должно быть понятно из контекста.
Здесь и далее при использовании четырехмерных координат мы
всегда будем записывать первой временную координату.
Обратите внимание, что мы будем использовать два немного
отличающихся варианта индексов:
Xµ: греческий индекс, например µ, означает, что индекс пробегает по всем четырем значениям — 0, 1, 2 и 3.
Xi: латинская буква, например i, означает, что индекс охватывает
только три пространственных компоненты — 1, 2 и 3.
Как теперь обозначать собственное время и пространственновременной интервал между точкой и началом отсчета? Мы
можем записать их так:

96

Лекция 2

и

В этом нет никакого нового смысла, просто новые обозначения.1
Однако обозначения здесь очень важны. В данном случае они
позволяют удобно и просто представить наши формулы в виде
4-векторов. Когда вы видите индекс µ, он пробегает все четыре
значения, соответствующие всем возможным координатам
в пространстве и времени. Когда вы видите индекс i, он может
пробегать только значения, соответствующие пространству. Так
же, как X i можно представлять как обычный пространственный
вектор, четырехкомпонентный вектор Xµ представляет собой
4-вектор в пространстве-времени. И точно так же, как обычные
векторы преобразуются при повороте координат, 4-векторы
подчиняются преобразованиям Лоренца при переходе от одной
движущейся системы отсчета к другой. Вот как выглядят преобразования Лоренца в нашей новой записи:
,

,
,

Эту запись можно обобщить, получив правило преобразования
любого 4-вектора. По определению, 4-вектором является любая
1

Вас, возможно, удивляет, почему мы используем верхние, а не нижние
индексы. Позже (в разделе 4.4.2) мы введем и нижние индексы, смысл
которых будет несколько иным.

Скорости и 4-векторы

97

совокупность компонент Aµ, которые преобразуются в соответствии с правилами
,

,
,
(2.15)
при бусте вдоль оси x. Мы также предполагаем, что пространственные компоненты A1, A2, A3 преобразуются как обычные
3-векторы при повороте осей координат в пространстве и что
A0 при этом не меняется.
Точно так же, как и 3-векторы, 4-векторы можно умножать на
число путем умножения на это число всех компонент вектора.
Можно также складывать 4-векторы, складывая их соответствующие компоненты. Результатом таких операций снова будут
4-векторы.

4-скорость
Рассмотрим один 4-вектор. На этот раз вместо того, чтобы говорить о компонентах относительно начала отсчета, мы будем рассматривать малый интервал вдоль пространственно-временной
траектории. В итоге мы впоследствии сократим этот интервал до
бесконечно малого смещения, но пока будем представлять его как
малый, но конечный. То, что мы имеем в виду, представлено на
рис. 2.3. ΔXµ — это интервал, разделяющий точки a и b, которые
лежат на траектории. Проще говоря, это изменение значений
четырех координат при переходе от одного конца вектора к другому. этот вектор состоит из компонент Δt, Δx, Δy и Δz.

98

Лекция 2

Рис. 2.3. Пространственно-временная траектория (частицы)

Теперь мы готовы ввести понятие 4-скорости. Четырехмерная
скорость немного отличается от обычного понятия скорости.
Допустим, что кривая на рис. 2.3 является траекторией частицы. Нас интересует понятие скорости в определенный момент
вдоль отрезка
. Если бы мы определяли обычную скорость,
то взяли бы Δx и разделили на Δt. Затем перешли бы к пределу
этой величины при стремлении Δt к нулю. У обычной скорости
три компоненты: x, y и z. Четвертой компоненты у нее нет.
Мы будем строить вектор четырехмерной скорости подобным же
образом. Начнем с ΔXµ. Но вместо того чтобы делить эти компоненты на Δt, обычную временную координату, мы разделим их
на собственное время Δτ, потому что Δτ — инвариант. Деление
4-вектора ΔXµ на инвариант сохраняет свойства преобразования
4-вектора. Другими словами, ΔXµ/Δτ — это 4-вектор, а ΔXµ/Δt
таковым не является.
Чтобы отличать 4-скорость от обычной 3-скорости, мы будем
обозначать ее U вместо V. U имеет четыре компоненты Uµ, определяемые следующими выражениями:
,

Скорости и 4-векторы

99

,
,
(2.16)
Мы подробнее рассмотрим 4-скорость в следующей лекции. Эта
величина играет важную роль в теории движения частиц. В релятивистской теории движения частиц нам понадобится новый
взгляд на такие привычные понятия, как скорость, положение,
импульс, энергия, кинетическая энергия и т. д. Конструируя
релятивистские обобщения ньютоновских понятий, мы будем
делать это на языке 4-векторов.

Лекция 3

Релятивистские
законы движения

Ленни сидит у барной стойки, обхватив голову руками. Перед
ним лежит сотовый телефон с электронным сообщением на
экране.
Арт: Ты чего, Ленни? Перебрал пивного милкшейка?
Ленни: Вот, Арт, взгляни-ка на это письмо. Я таких пару в день
получаю.
Электронное сообщение:1
Дорогой профессор Сускин [так!],
Эйнштейн крупно облажался, а я это открыл. Я писал вашему
другу Хокингсу [так], но он мне не ответил.
Давайте я вам объясню, в чем Энштейн [так] ошибся. Сила —
это масса на ускорение. Если я толкаю что-то с постоянной
силой, ускорение будет постоянным, и если делать это достаточно долго, скорость будет все расти и расти. Я посчитал,
что если толкать человека весом в 100 килограммов (это мой
вес, надо бы сесть на диету) с постоянной силой в 101,818
килограмма в горизонтальном направлении, то через год он
будет двигаться быстрее скорости света. Все, что я использовал, — это уравнение ньютона [так] F = MA. Так что Эйнштейн
1

Реальное сообщение, полученное 22 января 2007 года.

Релятивистские законы движения

101

неправ, ведь он сказал, что быстрее света ничего не может
быть. Надеюсь, вы поможете мне опубликовать это, так как
я уверен, релитивистам [так] надо это знать. У меня много
денег, и я могу вам заплатить.
Арт: Господи, ну и дурак. Кстати, а что здесь не так?
Ответ на вопрос Арта таков: мы находимся в рамках теории Эйнштейна, а не теории Ньютона. Всю физику, в том числе законы
движения, силы и ускорения, пришлось перестроить с самого
основания в соответствии с принципами специальной теории
относительности.
Давайте попробуем с этим разобраться. Нас особенно будет
интересовать механика частиц — как частицы движутся в соответствии со специальной теорией относительности. Чтобы это
проделать, нам придется затронуть широкий круг идей, в том
числе и многие концепции классической механики. Наш план
заключается в том, чтобы обсуждать каждую идею по отдельности, прежде чем в итоге сплести их все в единый узел.
Идея относительности строится на классических понятиях энергии, импульса, канонических моментов импульса, гамильтонианов
и лагранжианов; центральную роль играет принцип наименьшего
действия. Хотя мы по ходу изложения будем крат­ко напоминать
о сути этих понятий и идей, мы предполагаем, что вы в целом
помните, что говорилось о них в Книге I нашей серии «Теоретический минимум: что необходимо знать, чтобы начать заниматься
физикой». Если же это не так, то сейчас вам представляется прекрасная возможность освежить в памяти этот материал.

3.1. Еще об интервалах
Мы обсуждали времениподобные и пространственноподобные
интервалы в лекциях 1 и 2. Как мы выяснили, интервал или рас-

102

Лекция 3

стояние между двумя точками в пространстве-времени является
времениподобным, когда инвариантная величина
(3.1)
меньше нуля, то есть когда временная компонента этого интервала больше, чем пространственная.1 С другой стороны, когда
пространственно-временной интервал (Δs)2 между двумя событиями больше нуля, то верно обратное и интервал называется
пространственноподобным. Эта идея уже была проиллюстрирована на рис. 2.2.

3.1.1. Пространственноподобные интервалы
Когда
больше, чем (Δt)2, пространственный интервал между
двумя событиями больше временного интервала между ними
и (Δs)2 больше нуля. Это видно на рис. 3.1, где интервал между
событиями a и b пространственноподобный. Линия, соединяющая
эти две точки, образует с осью x угол меньше 45 градусов.
В пространственноподобных интервалах больше пространства,
чем времени. Они также обладают тем свойством, что нельзя
найти такую систему отсчета, в которой эти два события произошли бы в одном и том же месте. Вместо этого вы можете
найти систему отсчета, в которой оба они происходят в точности
в одно и то же время, хоть и в разных местах. Для этого нужно
найти систему, в которой ось x′ проходит через обе точки.2 Но
здесь есть один большой сюрприз. В системе (t, x) на рис. 3.1
событие a происходит до события b. Однако если мы перейдем
1

2

Не забывайте, что, когда мы говорим о четырехмерном пространствевремени — трех пространственных координатах и одной временной, —
символ
обозначает все три направления в пространстве. В этом
контексте
выражает сумму их квадратов, которую мы обычно
записываем как (Δ x)2 + (Δy)2 + (Δz)2.
Вполне подошла бы и система, в которой ось x′ параллельна этой соединительной линии.

Релятивистские законы движения

103

с помощью преобразований Лоренца к системе (t′, x′) на той
же диаграмме, то событие b произойдет раньше события a. Их
временная последовательность действительно изменится. Из
этого ясно, что именно мы понимаем под относительностью
одновременности: последовательность событий, то есть то, что
одно из них произошло раньше или позже другого, не является
инвариантной, если эти события разделены пространственноподобным интервалом.

Световой луч

Рис. 3.1. Пространственноподобный интервал

3.1.2. Времениподобные интервалы
Частицы с ненулевой массой движутся вдоль времениподобных
траекторий. Чтобы в этом разобраться, рассмотрим пример на
рис. 3.2. Если проследовать по пути из точки a в точку b, то
каждый малый отрезок этого пути будет времениподобным
интервалом. Утверждение, что частица движется по времениподобной траектории, эквивалентно утверждению, что ее скорость
никогда не достигает скорости света.
Когда интервал времениподобен, вы всегда можете найти систему
отсчета, в которой данные два события происходят в одном и том
же месте — там, где они имеют одинаковые пространственные

104

Лекция 3

координаты, но происходят в разное время. Фактически все, что
вам необходимо сделать, — это выбрать систему отсчета, в которой прямая, соединяющая две данные точки, покоится, систему,
в которой ось t′ совпадает с прямой, соединяющей эти две точки.1

Световой луч

Рис. 3.2. Времениподобные траектории

3.2. Подробнее о 4-скорости
Ранее, в лекции 2, мы ввели некоторые определения и обозначения для 4-скорости. Теперь пора эту идею развить. Компоненты
4-скорости dXµ = dτ аналогичны компонентам dXi = dt скорости
в обычных координатах, за некоторыми исключениями:
• у 4-скорости — сюрприз! — четыре, а не три компоненты;
• 4-скорость обозначает скорость изменений относительно
собственного времени, а не относительно времени в системе
координат.
Как и должно быть в случае правильно определенного 4-вектора, компоненты 4-скорости преобразуются тем же образом, как
и прототип всех 4-векторов
1

Вполне подошла бы и система, в которой ось t′ параллельна линии, соединяющей точки.

Релятивистские законы движения

105

(t, x, y, z)
или
(X0, X1, X2, X3)
в нашей новой системе обозначений. Другими словами, эти
компоненты преобразуются в соответствии с преобразованиями
Лоренца. По аналогии с обычными скоростями, 4-скорости ассоциируются с малыми или бесконечно малыми отрезками вдоль
пути, или мировой линии, в пространстве-времени. У каждого
малого отрезка имеется ассоциированный с ним вектор 4-скорости. Мы будем записывать обычную трехмерную скорость как

или

а 4-скорость как
(3.2).
Какова связь между 4-скоростью и обычной скоростью? Обычная нерелятивистская скорость, разумеется, имеет только три
компоненты. Это заставляет ожидать чего-то необычного от
четвертой компоненты (которую мы обозначили как нулевую).
Начнем разбираться с U 0, записав ее в виде

Вспомним теперь, что X0 — это всего лишь другой способ записи t, такой, что первый множитель в правой части равен просто 1.
Тогда можно записать:
(3.3)

106

Лекция 3

или

Следующий шаг — это вспомнить, что

, и поэтому

или
(3.4)
где — обычный 3-вектор скорости. Теперь вернемся к формуле
(3.3). С помощью (3.4) найдем, что
(3.5)
и
(3.6)
Мы видим здесь новый смысл вездесущего множителя

который появляется в преобразованиях Лоренца и в формулах
лоренцева сокращения и замедления времени. Это временнˆая
компонента 4-скорости движущегося наблюдателя.
Что нам делать с временной компонентой U? А что бы с ней
сделал Ньютон? Предположим, что частица движется гораздо
медленнее света, другими словами, что v