Теоретическая физика в 10т. Т.1. Механика [Лев Давидович Ландау] (pdf) читать онлайн

Л. Д. ЛАНДАУ и Е. М. ЛИФШИЦ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
В десяти томах

МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ

Л. Д. ЛАНДАУ и Е. М. ЛИФШИЦ

ТОМ

I

МЕХАНИКА

М ОСКВА

УДК 530.1(075.8)
Л22
Б БК 22.31

Л а н д а у Л. Д. , Л и ф ш и ц Е. М. Т е о р е т и ч еск а я ф и зи к а :
Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. I. М ех а н и к а . — 5-е изд., стереот. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2 0 0 4 .- 2 2 4 с . - I S B N 5-9221-0055-6 (Т. I).
Настоящим томом начинается переиздание полного курса «Теоре­
тическая физика», заслужившего широкое признание в нашей стране
и за рубежом.
Том посвящен изложению механики как части теоретической ф и­
зики. Рассмотрены лагранжева и гамильтонова формулировки урав­
нений механики, законы сохранения в механике, теория столкновения
частиц, теория колебаний и движение твердого тела.
Для студентов старших курсов физических специальностей вузов,
а также аспирантов и научных работников, специализирующихся в об­
ласти теоретической физики.

Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик
РАН , доктор физико-математических наук JI. П. П и т а е в с к и й

ISBN 5-9221-0055-6 (Т. I)
ISBN 5-9221-0053-Х

© ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора к четвертому изданию .................................................... 7
Предисловие к третьему изданию............................................................................... 8
Предисловие к первому издан и ю ............................................................................... 8
Г л а в а I. Уравнения дв и ж ен и я ............................................................................... 9
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
§ 5.
Глава

Обобщенные координаты............................................................................. 9
Принцип наименьшего действия............................................................10
Принцип относительности Галилея...................................................... 14
Функция Лагранжа свободной материальной точки..................... 16
Функция Лагранжа системы материальных т о ч е к ....................... 18
II. Законы сохранения................................................................................. 24

§ 6.
§ 7.
§ 8.
§ 9.
§ 10.
Глава

Энергия............................................................................................................ 24
Импульс............................................................................................................ 26
Центр инерции...............................................................................................28
Момент импульса.........................................................................................31
Механическое п одоби е............................................................................... 35
III. Интегрирование уравнений движения...........................................39

§ 11.
§ 12.
§ 13.
§ 14.
§ 15.
Глава

Одномерное движ ени е............................................................................... 39
Определение потенциальной энергии по периоду колебаний... .42
Приведенная масса.......................................................................................44
Движение в центральном поле................................................................45
Кеплерова за д а ч а .........................................................................................51
IV. Столкновение частиц........................................................................... 58

§16.
§ 17.
§ 18.
§ 19.
§ 20.
Глава

Распад частиц.................................................................................................58
Упругие столкновения частиц ................................................................62
Рассеяние ч асти ц .........................................................................................66
Формула Р езер ф ор да................................................................................. 72
Рассеяние под малыми углами................................................................75
V. Малые колебания................................................................................... 78

§ 21.
§ 22.
§ 23.
§ 24.
§ 25.
§ 26.
§ 27.
§ 28.

Свободные одномерные колебания.........................................................78
Вынужденные колебания.......................................................................... 82
Колебания систем со многими степенями свободы..........................87
Колебания молекул......................................................................................95
Затухающие колебания............................................................................ 100
Вынужденные колебания при наличии трени я..............................104
Параметрический резонанс.................................................................... 107
Ангармонические колебания.................................................................. 113

6

Оглавление

§ 29. Резонанс в нелинейных колебаниях.................................................... 117
§ 30. Движение в быстро осциллирующем поле.......................................124
Г л а в а VI. Движение твердого т ел а ..................................................................128
§ 31. Угловая скорость.......................................................................................128
§ 32. Тензор инерции...........................................................................................131
§ 33. Момент импульса твердого т ел а..........................................................140
§ 34. Уравнения движения твердого т ел а .................................................. 142
§ 35. Эйлеровы у гл ы ...........................................................................................145
§ 36. Уравнения Э йлера..................................................................................... 150
§ 37. Асимметрический волчок....................................................................... 153
§ 38. Соприкосновение твердых т е л ..............................................................161
§ 39. Движение в неинерциальной системе отсчета...............................166
Г л а в а VII. Канонические уравнения................................................................171
§ 40. Уравнения Гамильтона........................................................................... 171
§ 41. Функция Рауса.............................................................................................174
§ 42. Скобки Пуассона.........................................................................................176
§ 43. Действие как функция координат...................................................... 180
§ 44. Принцип Мопертюи................................................................................... 183
§ 45. Канонические преобразования..............................................................186
§ 46. Теорема Лиувилля..................................................................................... 191
§ 47. Уравнение Гамильтона-Якоби..............................................................193
§ 48. Разделение переменных........................................................................... 196
§ 49. Адиабатические инварианты................................................................202
§ 50. Канонические переменные......................................................................205
§ 51. Точность сохранения адиабатического инварианта..................... 208
§ 52. Условно-периодическое движение........................................................ 212
Приложение
Предисловие Л .Д. Ландау к первому и здан и ю .........................................218
Предметный указатель.........................................................................................221

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
К ЧЕТВЕРТОМ У ИЗДАНИЮ
Этим томом издательство «Наука» начинает переиздание
«Теоретической физики» JL Д. Ландау и Е. М. Лифшица. Впер­
вые она выходит после смерти Е. М. Лифшица. На меня легла
печальная и ответственная обязанность готовить Курс к печати
без авторов.
В настоящем издании «Механики» исправлены опечатки, за­
меченные с момента выхода третьего издания, и внесены неболь­
шие изменения, уточняющие изложение. Эти поправки были
приготовлены Е. М. Лифшицем и мною и частично учтены в
последнем английском издании книги.
Май 1987 г.
JI. П. Питаевский

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМ У ИЗДАНИЮ
Во втором издании эта книга почти не отличалась от пер­
вого издания. Не возникло необходимости в сколько-нибудь
значительной ее переработке и при подготовке нового изда­
ния. Поэтому большая часть книги воспроизведена стереотипно
(с исправлением лишь опечаток). Переработке и дополнению,
произведенным мной совместно с JI. П. Питаевским, подверг­
лись лишь последние параграфы, посвященные адиабатическим
инвариантам.
Июнь 1972 г.
Е. М. Лифшиц

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящей книгой мы рассчитываем начать последователь­
ное переиздание всех томов нашей «Теоретической физики».
Окончательный план ее сейчас представляется в следующем
виде:
1. Механика. 2. Теория поля. 3. Квантовая механика (нереля­
тивистская теория). 4. Релятивистская квантовая теория. 5. Ста­
тистическая физика. 6. Гидродинамика. 7. Теория упругости.
8. Электродинамика сплошных сред. 9. Физическая кинетика.
Первое издание первого тома было опубликовано в 1940 г.
Л. Ландау и Л. Пятигорским. Хотя общий план изложения
остался прежним, однако книга существенно переработана и
полностью написана заново.
Мы благодарны И. Е. Дзялошинскому и Л. П. Питаевскому
за помощь при чтении корректуры книги.
Москва, июль 1957 г.
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц

ГЛАВА

I

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

§ 1. Обобщенные координаты
Одним из основных понятий механики является понятие ма­
териальной точки х). Под материальной точкой понимают тело,
размерами которого при описании его движения можно прене­
бречь. Разумеется, возможность такого пренебрежения зависит
от конкретных условий той или иной задачи. Так, планеты мож­
но считать материальными точками при изучении их движения
вокруг Солнца, но, конечно, этого делать нельзя при рассмот­
рении их суточного вращения.
Положение материальной точки в пространстве определяет­
ся ее радиус-вектором г, компоненты которого совпадают с ее
декартовыми координатами ж, у , z. Производная г по времени t
dr
v= —
dt

называется скоростью, а вторая производная d2r/dt2 — ускоре­
нием точки. Ниже, как это принято, мы будем часто обозначать
дифференцирование по времени точкой над буквой: v = г.
Для определения положения системы из N материальных
точек в пространстве надо задать N радиус-векторов, т.е. 3N
координат.
Вообще число независимых величин, задание которых необ­
ходимо для однозначного определения положения системы,
называется числом ее степеней свободы; в данном случае это
число равно 3N. Эти величины не обязательно должны быть
декартовыми координатами точек, и в зависимости от условий
задачи может оказаться более удобным выбор каких-либо дру­
гих координат.
Любые s величин gi, 4s, вполне характеризующие по­
ложение системы (с s степенями свободы), называют ее обоб­
щенными координатами, а производные ф — ее обобщенными
скоростями.
х) Вместо термина «материальная точка» мы будем часто говорить о
«частицах».

10

УРАВНЕНИЯ ДВИЖ ЕНИЯ

ГЛ. I

Задание значений обобщенных координат еще не определяет,
однако, «механического состояния» системы в данный момент
времени в том смысле, что оно не позволяет предсказать поло­
жение системы в последующие моменты времени. При заданных
значениях координат система может обладать произвольными
скоростями, а в зависимости от значения последних будет раз­
личным и положение системы в следующий момент времени (т.е.
через бесконечно малый временной интервал dt).
Одновременное же задание всех координат и скоростей пол­
ностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и
позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение. С
математической точки зрения это значит, что заданием всех ко­
ординат q и скоростей q в некоторый момент времени однознач­
но определяется также и значение ускорений q в этот момент г).
Соотношения, связывающие ускорения с координатами и
скоростями, называются уравнениями движения. По отноше­
нию к функциям q(t) это — дифференциальные уравнения вто­
рого порядка, интегрирование которых позволяет в принципе
определить эти функции, т.е. траектории движения механиче­
ской системы.
§ 2. Принцип наименьшего действия
Наиболее общая формулировка закона движения механиче­
ских систем дается так называемым принципом наименьшего
действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому прин­
ципу каждая механическая система характеризуется определен­
ной функцией
L( qi , © > • • • , 4s, 91, 42, qa, t)

или, в краткой записи, L(g, g, £), причем движение системы удо­
влетворяет следующему условию.
Пусть в моменты времени £ = £i и £ = £2 система занима­
ет определенные положения, характеризуемые двумя наборами
значений координат qW и q(2\ Тогда между этими положениями
система движется таким образом, чтобы интеграл
г) Для краткости обозначений мы будем часто условно понимать под q
совокупность всех координат q \ , ^ 2 , •••, qs (и под q аналогично совокупность
всех скоростей.)

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

11

t2

S =

J

L(q,q,t)dt

(2.1)

tl

имел наименьшее возможное значение х). Функция L называет­
ся функцией Лагранжа данной системы, а интеграл (2.1) — дей­
ствием.
Тот факт, что функция Лагранжа содержит только g и д, но
не более высокие производные g, q, ..., является выражением
указанного выше факта, что механическое состояние полностью
определяется заданием координат и скоростей.
Перейдем к выводу дифференциальных уравнений, решаю­
щих задачу об определении максимума интеграла (2.1). Для
упрощения записи формул предположим сначала, что система
обладает всего одной степенью свободы, так что должна быть
определена всего одна функция q(t).
Пусть q = q(t) есть как раз та функция, для которой S имеет
минимум. Это значит, что S возрастает при замене q(t) на любую
функцию ввда
т + 6?(()_
(2 2)
где bq{t) — функция, малая во всем интервале времени от t\ до
£2 (ее называют вариацией функции q(t) ); поскольку при t = t\
и t = £2 все сравниваемые функции (2.2) должны принимать
одни и те же значения qW и q^2\ то должно быть:
Sg(ti) = bq{t2) = 0.

(2.3)

Изменение S при замене q на q + bq дается разностью
t2

t2

/ К я + bq,q + bq, t) dt -

J

ti

ti

L(q, q, t) dt.

Разложение этой разности по степеням bq и bq (в подынтеграль­
ном выражении) начинается с членов первого порядка. Необхо­
димым условием минимальности S 2) является обращение в нуль
г) Следует, однако, указать, что в такой формулировке принцип наимень­
шего действия не всегда справедлив для всей траектории движения в целом,
а лишь для каждого из достаточно малых ее участков; для всей же траек­
тории может оказаться, что интеграл (2.1) имеет лишь экстремальное, не
обязательно минимальное значение. Это обстоятельство, однако, совершен­
но не существенно при выводе уравнений движения, использующем лишь
условие экстремальности.
2) Вообще — экстремальности.

12

УРАВНЕНИЯ ДВИЖ ЕНИЯ

ГЛ. I

совокупности этих членов; ее называют первой вариацией (или
обычно просто вариацией) интеграла. Таким образом, принцип
наименьшего действия можно записать в виде
t2
SS = 8 L(q,q,t)dt = 0,
(2.4)

J

tl

или, произведя варьирование:
t2

I (f +f 6«)*=°-

tl

Замечая, что bq = —t)q, проинтегрируем второй член по частям:
t2
t2
tl
tl

Но в силу условий (2.3) первый член в этом выражении исчезает.
Остается интеграл, который должен быть равен нулю при про­
извольных значениях 6q. Это возможно только в том случае,
если подынтегральное выражение тождественно обращается в
нуль. Таким образом, мы получаем уравнение
d dL _ dL _ q
dt dq
dq

При наличии нескольких степеней свободы в принципе наимень­
шего действия должны независимо варьироваться s различных
функций qi(t). Очевидно, что тогда мы получаем s уравнений:
s § - i = °
.............
Это — искомые дифференциальные уравнения; они называются
в механике уравнениями Лагранжа х). Если функция Лагран­
жа данной механической системы известна, то уравнения (2.6)
устанавливают связь между ускорениями, скоростями и коорди­
натами, т.е. представляют собой уравнения движения системы.
С математической точки зрения уравнения (2.6) составля­
ют систему s уравнений второго порядка для s неизвестных
функций qi(t). Общее решение такой системы содержит 2s прог) В вариационном исчислении, рассматривающем формальную задачу
об определении экстремумов интегралов вида (2.1), они называются урав­
нениями Эйлера.

13

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

извольных постоянных. Для их определения и тем самым пол­
ного определения движения механической системы необходимо
знание начальных условий, характеризующих состояние систе­
мы в некоторый заданный момент времени, например знание
начальных значений всех координат и скоростей.
Пусть механическая система состоит из двух частей Аж В,
каждая из которых, будучи замкнутой, имела бы в качестве
функции Лагранжа соответственно функции La и Lg. Тогда в
пределе, при разведении частей настолько далеко, чтобы взаи­
модействием между ними можно было пренебречь, лагранжева
функция всей системы стремится к пределу
Пш L =

L j ± - \- L g .

(^*^)

Это свойство аддитивности функции Лагранжа выражает со­
бой тот факт, что уравнения движения каждой из невзаимодей­
ствующих частей не могут содержать величины, относящиеся к
другим частям системы.
Очевидно, что умножение функции Лагранжа механической
системы на произвольную постоянную само по себе не отра­
жается на уравнениях движения. Отсюда, казалось бы, могла
вытекать существенная неопределенность: функции Лагранжа
различных изолированных механических систем могли бы умно­
жаться на любые различные постоянные. Свойство аддитивно­
сти устраняет эту неопределенность, — оно допускает лишь
одновременное умножение лагранжевых функций всех систем
на одинаковую постоянную, что сводится просто к естествен­
ному произволу в выборе единиц измерения этой физической
величины; мы вернемся еще к этому вопросу в § 4.
Необходимо сделать еще следующее общее замечание. Рас­
смотрим две функции L \q,q,t) и L(q,q,t) , отличающиеся друг
от друга на полную производную по времени от какой-либо функ­
ции координат и времени f(q,t)\
L'(q, q, t) = L(q, q, t) + jJ { q , t).
(2.8)
Вычисленные с помощью этих двух функций интегралы (2.1)
связаны соотношением
t2
t2
t2
S' = L’(q,q,t)dt = L(q,q,t)dt + & dt =

j

J

J

= S + f(q W ,t 2 ) - f ( q {1),h ),

14

УРАВНЕНИЯ ДВИЖ ЕНИЯ

ГЛ. I

т.е. отличаются друг от друга дополнительным членом, исчезаю­
щим при варьировании действия, так что условие 8S' = 0 сов­
падает с условием 8S = 0, и вид уравнений движения остается
неизменным.
Таким образом, функция Лагранжа определена лишь с точ­
ностью до прибавления к ней полной производной от любой
функции координат и времени.
§ 3. Принцип относительности Галилея
Для изучения механических явлений надо выбрать ту или
иную систему отсчета. В различных системах отсчета зако­
ны движения имеют, вообще говоря, различный вид. Если взять
произвольную систему отсчета, то может оказаться, что зако­
ны даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней весьма
сложно. Естественно, возникает задача отыскания такой систе­
мы отсчета, в которой законы механики выглядели бы наиболее
просто.
По отношению к произвольной системе отсчета пространство
является неоднородным и неизотропным. Это значит, что если
какое-либо тело не взаимодействует ни с какими другими тела­
ми, то, тем не менее, его различные положения в пространстве
и его различные ориентации в механическом отношении не эк­
вивалентны. То же самое относится в общем случае и ко вре­
мени, которое будет неоднородным, т.е. его различные моменты
неэквивалентными. Усложнение, которое вносили бы такие свой­
ства пространства и времени в описание механических явлений,
— очевидно. Как, например, свободное (т.е. не подвергающееся
внешним воздействиям) тело не могло бы покоиться: если ско­
рость тела в некоторый момент времени и равна нулю, то уже
в следующий момент тело начало бы двигаться в некотором на­
правлении.
Оказывается, однако, что всегда можно найти такую систе­
му отсчета, по отношению к которой пространство является од­
нородным и изотропным, а время — однородным. Такая си­
стема называется инерциальной. В ней, в частности, свободное
тело, покоящееся в некоторый момент времени, остается в покое
неограниченно долго.
Мы можем теперь сразу сделать некоторые заключения о ви­
де функции Лагранжа свободно движущейся материальной точ­

ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ

15

ки в инерциальной системе отсчета. Однородность пространства
и времени означает, что эта функция не может содержать явным
образом ни радиус-вектора г точки, ни времени £, т.е. L является
функцией лишь скорости v. В силу же изотропии пространства
функция Лагранжа не может зависеть также и от направления
вектора v, так что является функцией лишь от его абсолютной
величины, т.е. от квадрата v2 = v2:
L = L(v2).
(3.1)
Ввиду независимости функции Лагранжа от г имеем
дЬ/дт = 0, и потому уравнения Лагранжа имеют вид х)
d^OL _ п
dt dw ~

’

откуда d L /dv = const. Но поскольку d L /d v является функцией
только скорости, то отсюда следует, что и
v = const.
(3.2)
Таким образом, мы приходим к выводу, что в инерциальной
системе отсчета всякое свободное движение происходит с посто­
янной по величине и направлению скоростью. Это утверждение
составляет содержание так называемого закона инерции.
Если наряду с имеющейся у нас инерциальной системой от­
счета мы введем другую систему, движущуюся относительно
первой прямолинейно и равномерно, то законы свободного дви­
жения по отношению к этой новой системе будут теми же, что
и по отношению к первоначальной: свободное движение снова
будет происходить с постоянной скоростью.
Опыт показывает, однако, что не только законы свободно­
го движения будут одинаковыми в этих системах, но что и во
всех других механических отношениях они будут полностью эк­
вивалентными. Таким образом, существует не одна, а бесконеч­
ное множество инерциальных систем отсчета, движущихся друг
относительно друга прямолинейно и равномерно. Во всех этих
системах свойства пространства и времени одинаковы и одина­
ковы все законы механики. Это утверждение составляет содер­
жание так называемого принципа относительности Галилея —
одного из важнейших принципов механики.
г) Под производной скалярной величины по вектору подразумевается
вектор, компоненты которого равны производным от этой велечины по со­
ответствующим компонентам вектора.

16

УРАВНЕНИЯ ДВИЖ ЕНИЯ

ГЛ. I

Все сказанное достаточно ясно свидетельствует об исключи­
тельности свойств инерциальных систем отсчета, в силу кото­
рых именно эти системы должны, как правило, использоваться
при изучении механических явлений. Везде в дальнейшем, где
обратное не оговорено особо, мы будем рассматривать только
инерциальные системы отсчета.
Полная механическая эквивалентность всего бесчисленного
множества таких систем показывает в то же время, что не суще­
ствует никакой одной «абсолютной» системы отсчета, которую
можно было бы предпочесть другим системам.
Координаты г и г ' одной и той же точки в двух различных
системах отсчета if и if', из которых вторая движется относи­
тельно первой со скоростью V, связаны друг с другом соотно­
шением
г = г' + Vi.
(3.3)
При этом подразумевается, что ход времени одинаков в обеих
системах:
t = tr.
(3.4)
Предположение об абсолютности времени лежит в самой основе
представлений классической механики х).
Формулы (3.3), (3.4) называют преобразованием Галилея.
Принцип относительности Галилея можно сформулировать как
требование инвариантности уравнений движения механики по
отношению к этому преобразованию.
§ 4. Функция Лагранжа свободной материальной точки
Переходя к определению вида функции Лагранжа, рассмот­
рим сначала простейший случай — свободное движение мате­
риальной точки относительно инерциальной системы отсчета.
Как мы уже видели, функция Лагранжа в этом случае может
зависеть лишь от квадрата вектора скорости. Для выяснения
вида этой зависимости воспользуемся принципом относительно­
сти Галилея. Если инерциальная система отсчета К движется
относительно инерциальной системы отсчета К 1 с бесконечно
малой скоростью е, то v7 = v + е. Так как уравнения движе­
ния во всех системах отсчета должны иметь один и тот же вид,
то функция Лагранжа L(y2) должна при таком преобразовании
перейти в функцию I/, которая если и отличается от L{v2), то
х) Оно не справедливо в механике теории относительности.

§4

ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖ А СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

17

лишь на полную производную от функции координат и времени
(см. конец § 2).
Имеем
И = L(v'2) = L(v2 + 2ve + е2).
Разлагая это выражение в ряд по степеням е и пренебрегая бес­
конечно малыми высших порядков, получаем
L (v'2) = L(v2) + 0 2 v e .
Второй член первой части этого равенства будет полной про­
изводной по времени только в том случае, если он зависит от
скорости v линейно. Поэтому d L /dv2 от скорости не зависит,
т.е. функция Лагранжа в рассматриваемом случае прямо про­
порциональна квадрату скорости:
L = j v 2,
(4.1)
где т — постоянная.
Из того что функция Лагранжа такого вида удовлетворяет
принципу относительности Галилея в случае бесконечно малого
преобразования скорости, непосредственно следует, что функ­
ция Лагранжа удовлетворяет этому принципу и в случае конеч­
ной скорости V системы отсчета К относительно К '. Действи­
тельно,
Л7- +. -т лг2
LТ/ = m ,2 = -m( /y + Л
V7Л
y2 = -m v 2 +, ош
2yvV
V
-

V

ИЛИ

L’=L+U2^ v+^vH)Второй член является полной производной и может быть опущен.
Величина т называется массой материальной точки. В силу
свойства аддитивности функции Лагранжа, для системы невза­
имодействующих точек имеем г)
L =Y ^ -

(4-2)

а

Следует подчеркнуть, что лишь при учете этого свойства
данное определение массы приобретает реальный смысл. Как
уже было отмечено в § 2, всегда можно умножить функцию Ла­
гранжа на любую постоянную; это не отражается на уравнениг) В качестве индекса, указывающего номер частицы, мы будем пользо­
ваться первыми буквами латинского алфавита, а для индексов, нумерую­
щих координаты, используем буквы i, к, I,...

18

УРАВНЕНИЯ ДВИЖ ЕНИЯ

ГЛ. I

ях движения. Для функции (4.2) такое умножение сводится к
изменению единицы измерения массы; отношения же масс раз­
личных частиц, которые только и имеют реальный физический
смысл, остаются при этом преобразовании неизменными.
Легко видеть, что масса не может быть отрицательной. В
самом деле, согласно принципу наименьшего действия для дей­
ствительного движения материальной точки из точки 1 про­
странства в точку 2 интеграл ^
S=j ^ d t
1
имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для тра­
екторий, по которым частица сначала быстро удаляется от i, а
затем быстро приближается к 2, интеграл действия принимал
бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицатель­
ные значения, т.е. не имел бы минимума х).
Полезно заметить, что

=(I)2=&

(«>

Поэтому для составления функции Лагранжа достаточно най­
ти квадрат длины элемента дуги dl в соответствующей системе
координат.
В декартовых координатах, например, dl2 = dx2 + dy2 + dz2,
и, следовательно,
L = ^ ( x 2 + y2 + z2);
(4.4)
в цилиндрических dl2 = dr2 + r2dip2 + dz2 и
b = 5 ( r 2 + r 2cp2 + i 2);

(4.5)

в сферических dl2 = dr2 + r2dd2 + r2 sin2 Qdtp2 и
Ь = ^ ( г 2 + г202 + г 28ш20ф2).

(4.6)

§ 5. Функция Лагранжа системы материальных точек
Рассмотрим теперь систему материальных точек, взаимодей­
ствующих только друг с другом, т.е. ни с какими посторонними
телами не взаимодействующих; такую систему называют зам
х) Сделанная в примечании на с. 11 оговорка не мешает этому выводу,
так как при т < 0 интеграл не мог бы иметь минимума ни для какого
малого участка траектории.

§5

ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖ А СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

19

кнутой. Оказывается, что взаимодействие между материаль­
ными точками может быть описано прибавлением к функции
Лагранжа невзаимодействующих точек (4.2) определенной (за­
висящей от характера взаимодействия) функции координат х).
Обозначив эту функцию через —С/, напишем
= t 5 ? - i r ( r i,r2, . . . )

(5.1)

(га — радиус-вектор а-й точки). Это есть общий вид функции
Лагранжа замкнутой системы.
Сумму
2
J1 _ у ^ГПдУд
а

называют кинетической энергией, а функцию U — потенциаль­
ной энергией системы; смысл этих названий выяснится в § 6.
Тот факт, что потенциальная энергия зависит только от рас­
положения всех материальных точек в один и тот же момент
времени, означает, что изменение положения одной из них мгно­
венно отражается на всех остальных; можно сказать, что взаи­
модействия «распространяются» мгновенно. Неизбежность та­
кого характера взаимодействия в классической механике тесно
связана с основными предпосылками последней — абсолютно­
стью времени и принципом относительности Галилея. Если бы
взаимодействие распространялось не мгновенно, т.е. с конечной
скоростью, то эта скорость была бы различна в разных (движу­
щихся друг относительно друга) системах отсчета, так как абсо­
лютность времени автоматически означает применимость обыч­
ного правила сложения скоростей ко всем явлениям. Но тогда
законы движения взаимодействующих тел были бы различны
в разных (инерциальных) системах отсчета, что противоречило
бы принципу относительности.
В § 3 мы говорили только об однородности времени. Вид
функции Лагранжа (5.1) показывает, что время не только од­
нородно, но и изотропно, т.е. его свойства одинаковы по обоим
направлениям. В самом деле, замена t на —t оставляет функцию
Лагранжа, а следовательно, и уравнения движения неизменны­
ми. Другими словами, если в системе возможно некоторое дви­
жение, то всегда возможно и обратное движение, т.е. такое, при
г) Это утверждение относится к излагаемой в настоящей книге класси­
ческой — нерелятивистской — механике.

20

УРАВНЕНИЯ ДВИЖ ЕНИЯ

ГЛ. I

котором система проходит те же состояния в обратном порядке.
В этом смысле все движения, происходящие по законам класси­
ческой механики, обратимы.
Зная функцию Лагранжа, мы можем составить уравнения
движения
d5L = 5L
, .
dtdwa

d va '

^

’

Подставив сюда (5.1), получим
ди

/С о \

т ‘ ИГ = S T .

dva

(5' 3)

Уравнения движения в этой форме называются уравнениями
Ньютона и представляют собой основу механики системы вза­
имодействующих частиц. Вектор
F„ = - g ,

(5.4)

стоящий в правой части уравнений (5.3), называется силой, дей­
ствующей на а-ю точку. Вместе с U она зависит от координат
всех частиц, но не от их скоростей. Уравнения (5.3) показывают
поэтому, что и векторы ускорения частиц являются функциями
только от координат.
Потенциальная энергия есть величина, определяемая лишь с
точностью до прибавления к ней произвольной постоянной; та­
кое прибавление не изменило бы уравнений движения (частный
случай указанной в конце § 2 неоднозначности функции Ла­
гранжа). Наиболее естественный и обычно принятый способ вы­
бора этой постоянной заключается в том, чтобы потенциальная
энергия стремилась к нулю при увеличении расстояний между
частицами.
Если для описания движения используются не декартовы ко­
ординаты точек, а произвольные обобщенные координаты
то
для получения лагранжевой функции надо произвести соответ­
ствующее преобразование
Ха =

/ а (9 1 , 9 2 ,

Qs),

=

Подставляя эти выражения в функцию

И Т .Д .

к

Ь = \ 5уПа(Жа + Ь1 + %) ~ U,
а

получим искомую функцию Лагранжа, которая будет иметь вид
L = \ ^ 2 aik(q)mk - u ( q ) ,
i,k

(5.5)

§5

ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖ А СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

21

где dik —функции только от координат. Кинетическая энергия в
обобщенных координатах по-прежнему является квадратичной
функцией скоростей, но может зависеть также и от координат.
До сих пор мы говорили только о замкнутых системах. Рас­
смотрим теперь незамкнутую систему А , взаимодействующую с
другой системой 5 , совершающей заданное движение. В таком
случае говорят, что система А движется в заданном внешнем по­
ле (создаваемом системой В). Поскольку уравнения движения
получаются из принципа наименьшего действия путем незави­
симого варьирования каждой из координат (т.е. как бы считая
остальные известными), мы можем для нахождения функции
Лагранжа L a системы А воспользоваться лагранжевой функ­
цией L всей системы А + В, заменив в ней координаты qs за­
данными функциями времени.
Предполагая систему А + В замкнутой, будем иметь

),

L = Та (цаА а) + Тв(явЛв) —U(qA,qB

где первые два члена представляют собой кинетические энер­
гии систем А и 5 , а третий член — их совместную потенциаль­
ную энергию. Подставив вместо qs заданные функции времени
и опустив член Т(дя(£), ##(£)), зависящий только от времени (и
поэтому являющийся полной производной от некоторой другой
функции времени), получим
L a = Та {чаЛ а ) -U(qA,qB(t)).
Таким образом, движение системы во внешнем поле описы­
вается функцией Лагранжа обычного типа с тем лишь отличи­
ем, что теперь потенциальная энергия может зависеть от вре­
мени явно.
Так, для движения одной частицы во внешнем поле общий
вид функции Лагранжа
2
L = ^ --U (r ,t),
(5.6)
и уравнение движения
9U .
/к
mv = - —
(5.7)
Однородным называют поле, во всех точках которого на ча­
стицу действует одна и та же сила F. Потенциальная энергия в
таком поле, очевидно, равна
U = -F r.
(5.8)
В заключение этого параграфа сделаем еще следующее за­
мечание по поводу применения уравнений Лагранжа к различ­

22

УРАВНЕНИЯ ДВИЖ ЕНИЯ

ГЛ. I

ным конкретным задачам. Часто приходится иметь дело с таки­
ми механическими системами, в которых взаимодействие меж­
ду телами (материальными точками) имеет, как говорят, харак­
тер связей, т.е. ограничений, налагаемых на взаимное распо­
ложение тел.
Фактически такие связи осуществляются путем скрепления
тел различными стержнями, нитями, шарнирами и т.п. Это об­
стоятельство вносит в движение новый фактор — движение тел
сопровождается трением в местах их соприкосновения, в резуль­
тате чего задача выходит, вообще говоря, за рамки чистой ме­
ханики (см. § 25).
Однако во многих случаях трение в системе оказывается на­
столько слабым, что его влиянием на движение можно полно­
стью пренебречь. Если к тому же можно пренебречь массами
«скрепляющих элементов» системы, то роль последних сведет­
ся просто к уменьшению числа степеней свободы системы s (по
сравнению с числом 3N). Для определения ее движения можно
при этом снова пользоваться функцией Лагранжа вида (5.5) с
числом независимых обобщенных координат, отвечающих фак­
тическому числу степеней свободы.
Задачи
Найти функцию Лагранжа следующих систем, находящихся в од­
нородном поле тяжести (g — ускорение свободного падения).
1.
Двойной плоский маятник (рис. 1).
Р е ш е н и е . В качестве координат берем
углы (pi и (р2 , которые нити 1\ и I2 образуют с вер­
тикалью. Тогда для точки m i имеем
Ti = ^ m i/^ф?,

U = - m ig /ic o s c p i.

Чтобы найти кинетическую энергию второй точки,
выражаем ее декартовы координаты Х2 , г/ 2
(начало координат в точке подвеса, ось у — по вер­
тикали вниз) через углы (pi, m 2 ) окружности. Соответ­
ствующие диаграммы изображены на рис. 16 а и б. Указанные
на них углы 01 и 0 2 представляют собой углы отклонения частиц
С

mi < m2

О С = mv]

rai(pi + Р 2) .
АО =

mi + m2

OB =

m 2(pi + P 2)

A B = pi;
AO j O B = m i / m 2

mi + m2

Рис. 15

Рис. 16

после столкновения по отношению к направлению удара (на­
правлению pi). Центральный же угол, обозначенный на рисун­
ках через х (дающий направление по), представляет собой угол
поворота первой частицы в системе центра инерции. Из рисунка
очевидно, что углы 0 1 и 0 2 могут быть выражены через угол х
формулами
=
rn2 sinx
02 =
(17>4)
т1 + m2 cosx
2
Выпишем также формулы, определяющие абсолютные величи­
ны скоростей обеих частиц после столкновения через тот же
угол х:
vi =

у / т \ + т \ + 2ш хш 2 c o s x

mi + m2

v2 =

2 mi v
m i

+

777-2

sin

у

2

(17.5)

65

УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ

Сумма 01 + 02 есть угол разлета частиц после столкновения.
Очевидно, что 01 + 02 > тг/2 при mi < m 2 и 0i + 02 < тг/2 при
mi > m 2 •
Случаю, когда обе частицы после столкновения движутся
по одной прямой («лобовой удар»), соответствует х — ^ т.е.
положение точки С на диаметре слева от точки А (рис. ?? а;
при этом Pi и Р 2 взаимно противоположны) или между А и О
(на рис. ?? б\ при этом р'х и р*2 направлены в одну сторону).
Скорости частиц после столкновения в этом случае равны
т г — m 2
Viг = --------v,
m i + ш

2 m i
Vo1 = ----------v.

2

m i +

(л * 7 а \
(17.6)

ш 2

Значение v 2 при этом — наибольшее возможное; максимальная
энергия, которую может получить в результате столкновения
первоначально покоившаяся частица, равна, следовательно,
T7if

^

2^2 m ax

-^2max = — j —

4 7 7 l i 777-2

тр

( Л1

= (Ш1+Ш2)2 Е Ъ

(1 7 -7 )

777-117?
где b1-1i = —
-— — первоначальная энергия налетающей частицы.
При mi < m 2 скорость первой частицы после столкновения
может иметь любое направление. Если
же mi > m 2 , угол отклонения летящей
частицы не может превышать некото­
рого максимального значения, соответ­
ствующего такому положению точки С
(рис. ?? 5), при котором прямая АС Л{
~
касается окружности. Очевидно, что
sin0imax = ОС/ОА, или

sin 01 шах = — •

(17.8)

Ш1

Рис. 17

Особенно просто выглядит столк­
новение частиц (из которых одна первоначально покоится) с
одинаковыми массами. В этом случае не только точка В, но и
точка А лежат на окружности (рис. 17). При этом
01 = | ,
v[= vcos^

02 = ^

,

vf2 = v s m ^ .

(17.9)
(17.10)

Отметим, что частицы разлетаются после столкновения под пря­
мым углом друг к другу.

66

СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ

ГЛ. IV

Задача
Выразить скорости обеих частиц после столкновения движущейся ча­
стицы (m i) с неподвижной (m 2 ) через их углы отклонения в л-системе.
Решение.

777/

Из рис. ?? имеем р'2 = 2-O S-cos02 или v'2 = 2v ---- cos 02-

m2

Для импульса же р\ = А С имеем уравнение
О С 2 = А О 2 + р 2 - 2АО • pi co s0 i
или

VI

2

V

2т v[
_
, mi - m2
cos 0i Н--------------m2 v
т 1 + m2

0.

Отсюда

VI
V

mi
mi + m2

cos 0i d=

mi + m2

m \ —тп\ sin2 0i

(при m i > m 2 перед корнем допустимы оба знака, при m 2 > m i — знак + ).

§ 18. Рассеяние частиц
Как было уже указано в предыдущем параграфе, полное
определение результата столкновения двух частиц (определение
угла х) требует решения уравнений движения с учетом конкрет­
ного закона взаимодействия частиц.
В соответствии с общим правилом будем рассматривать сна­
чала эквивалентную задачу об отклонении одной частицы с мас­
сой ш в поле U(г) неподвиж­
ного силового центра (распо­
ложенного в центре инерции
частиц).
Как было указано в § 14,
траектория частицы в цент­
ральном поле симметрична по
отношению к прямой, прове­
денной в ближайшую к центру
Поэтому обе асимптоты орби­
ты
пересекают указанную пря­
Рис. 18
мую под одинаковыми углами.
Если обозначить эти углы через фо, то угол х отклонения части­
цы при ее пролетании мимо центра есть, как видно из рисунка,
Х = | т г - 2 ф 0|.

(18.1)

67

РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ

Угол же фо определяется, согласно (14.7), интегралом
оо

(М/r - ) *
а/ 2 m [ E - U { r ) \ —М 2/ г 2

J

(182)

взятым между ближайшим к центру и бесконечно удаленным
положениями частицы. Напомним, что гт-т является корнем вы­
ражения, стоящего под знаком радикала.
При инфинитном движении, с которым мы имеем здесь дело,
удобно ввести вместо постоянных Е и М другие — скорость v^
частицы на бесконечности и так называемое прицельное рассто­
яние р. Последнее представляет собой длину перпендикуляра,
опущенного из центра на направление г ^ , т.е. расстояние, на
котором частица прошла бы мимо центра, если бы силовое поле
отсутствовало (рис. 18). Энергия и момент выражаются через
эти величины согласно
Е =

М = mpv оо,

(18.3)

а формула (18.2) принимает вид
ОО

оо sin.£ х
v21 =
---777-1 “Ь ГП 2

2

(см. (17.5)). Соответственно, приобретаемая этой частицей, а тем
самым и теряемая частицей mi энергия равна
/2

£=

m 2v 2

2 т2
1712

Выразив отсюда sin (х/2) через £ и подставив в (19.2), получаем
~2 dt
do = 2n-----j- -T .
(19.8)
mivi0 i2
Эта формула отвечает на поставленный вопрос, определяя эф­
фективное сечение как функцию от потери энергии £; последняя
пробегает при этом значения от нуля до £max = 2 m 2v^G/rri2 Задачи
1. Найти эффективное сечение рассеяния в поле U = ос/г2 (ос > 0).
Р е ш е н и е . Угол отклонения:
Х =

7Т

1

-

а

/ 1 + 2 Т (рис. 24); до момента
/ I|^0
771
t = 0 система покоится в положении равновесия.
-1
Р е ш е н и е . В интервале времени 0 < t < Т
q j,
колебания, удовлетворяющие начальному условию,
имеют вид
_
Рис. 24
-(cut —sin cut).
mTco3
При t > Т ищем решение в виде
тр

cos [cu(t - Т) 1 + С2 sin [cu(t - Т) 1 + — ^ Г .
•
ГТ1
шеи2
Из условий непрерывности х и х при t = Т находим
X =

d

ci = ----- sin w T , С2 = —
„ (1 —cos ш Т ) .
тпТш3
’
тпТш3 v
’
При этом амплитуда колебаний
2 |2
2F0
. соТ
а =
4 = —^ —о sin ——.
тпТси3
2
Отметим, что она тем меньше, чем медленнее «включается» сила Fo (т.е.
чем больше Т).

§ 23

КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

87

3.
То же в случае постоянной силы Fo, действующей в течение ограни­
ченного времени Т (рис. 25).
Р е ш е н и е можно найти как и в задаче 2, но еще проще восполь­
зоваться формулой (22.10). При t > Т имеем свободные колебания вокруг
положения х = 0; при этом
т

F°
£*, = —е
m

e

— ic vt

j,

F o

at = ------ (1 — e
icvm

— i w T \

)e

icvt

;

квадрат же модуля £, дает амплитуду согласно формуле |£,|2 = а2си2. В ре­
зультате находим

Fo
0

Т
Рис. 25

0

Т
Рис. 26

2F0 . сиТ
шеи2
2
4. То же в случае силы, действующей в течение времени от нуля до Т
по закону F = Fo t / T (рис. 26).
Р е ш е н и е . Тем же способом получим

а = -----sin— .

а = „ Fo , J w 2T 2 - 2 w T sm w T + 2 ( 1 - cos wT ).
Tmuo3
5. To же в случае силы, меняющейся в течение времени от нуля до
Т = 2п/ ш по закону F = Fo sin cut (рис. 27).
Р е ш е н и е . Подставив в (22.10)
Fi t) = Fo sin cut = ^ ( eiwt - e ~iwt)
2г
и проинтегрировав от нуля до Т, получим
FqTC

§ 23. Колебания систем со многими степенями свободы
Теория свободных колебаний систем с несколькими (5 ) степе­
нями свободы строится аналогично тому, как были рассмотрены
в § 21 одномерные колебания.
Пусть потенциальная энергия системы U как функция обоб­
щенных координат qi(i = 1, 2, ,s) имеет минимум при qi = qiq.
Вводя малые смещения
хг = Qi —QiO

(23.1)

88

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ГЛ. V

и разлагая по ним U с точностью до членов второго порядка,
получим потенциальную энергию в виде положительно опреде­
ленной квадратичной формы
и + ^ 2 , k ikXiXk,

(23.2)

i,k

где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее мини­
мального значения. Поскольку коэффициенты к ^ и к ^ входят в
(23.2) умноженными на одну и ту же величину Х{Х^ то ясно, что
их можно всегда считать симметричными по своим индексам:
^гк = kkiВ кинетической же энергии, которая имеет в общем случае вид
\ ^ 2 Щк {ч)Ык
i,k

(см. (5.5)), полагаем в коэффициентах qi = qiо и, обозначая по­
стоянные aik(qo) через
получаем ее в виде положительно
определенной квадратичной формы
^mjkXjXk.
(23.3)
к
Коэффициенты т ^ тоже можно всегда считать симметричными
по индексам
г,

VTl i k ~

TTl ki •

Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей
свободные малые колебания, имеет вид
L= \ ^ 2 (m ikXiXk ~ kikXiXk).
(23.4)
г, к
Составим теперь уравнения движения. Для определения вхо­
дящих в них производных напишем полный дифференциал функ­
ции Лагранжа
dL = i ^ 2 (mikXi dxk + m ikx k dxi - kikxt dxk - kikxk dxi).
i,k

Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозначе­
ния индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах
в скобках i на fc, a fc на i; учитывая при этом симметричность
коэффициентов
и к получим
d L = ^ 2 (тгк%к dxi - kikxk dxi).
i,k

§ 23

КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

89

Отсюда видно, что
dL

dL

v -' ;

0^. ~ 2 ^ т ^ х к, д ^ ~
к^ хкк
к
Поэтому уравнения Лагранжа
У " m ikx k + ^ 2 kikx k = 0.
(23.5)
к
к
Они представляют собой систему s (г = 1, 2, . . . , 5 ) линейных
однородных дифференциальных уравнений с постоянными ко­
эффициентами .
По общим правилам решения таких уравнений ищем s неиз­
вестных функций Xk(t) в виде
х к = A keiwt,
(23.6)
где А & — некоторые, пока неопределенные, постоянные. Под­
ставляя (23.6) в систему (23.5), получаем по сокращении на егшг
систему линейных однородных алгебраических уравнений, ко­
торым должны удовлетворять постоянные А^\
У , ( - w 2m ik + kik)Ak = 0.
(23.7)
к
Для того чтобы эта система имела отличные от нуля реше­
ния, должен обращаться в нуль ее определитель
\kik - w 2m ik\ = 0.
(23.8)
Уравнение (23.8) — так называемое характеристическое урав­
нение — представляет собой уравнение степени s относитель­
но си2. Оно имеет в общем случае s различных вещественных
положительных корней си2, ос = 1, 2, . . . , 5 (в частных случа­
ях некоторые из этих корней могут совпадать). Определенные
таким образом величины сиа называются собственными часто­
тами системы.
Вещественность и положительность корней уравнения (23.8)
заранее очевидны уже из физических соображений. Действи­
тельно, наличие у си м н и м о й части означало бы наличие во
временной зависимости координат х & (23.6) (а с ними и ско­
ростей Хк) экспоненциально убывающего или экспоненциаль­
но возрастающего множителя. Но наличие такого множителя
в данном случае недопустимо, так как оно привело бы к изме­
нению со временем полной энергии Е = U + Т системы в проти­
воречии с законом ее сохранения.

90

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ГЛ. V

В том же самом можно убедиться и чисто математическим
путем. Умножив уравнение (23.7) на А* и просуммировав затем
по г, получим
^ ] ( си TYiik + к^)А^ А}~ = 0,
i,k

откуда
ш2 =

Е kikA * A k

Ак
Квадратичные формы в числителе и знаменателе этого выра­
жения вещественны в силу вещественности и симметричности
коэффициентов к{к и га^; действительно,
( j2 h k A * A ky = Y , kikAiA*k =
г, к

г,/с

г, к

г,/с

Они также существенно положительны, а потому положитель­
но х) и си2. После того как частоты сиа найдены, подставляя
каждое из них в уравнения (23.7), можно найти соответствую­
щие значения коэффициентов А &. Если все корни сиа характе­
ристического уравнения различны, то, как известно, коэффици­
енты Ак пропорциональны минорам определителя (23.8), в ко­
тором си заменена соответствующим значением сиа ; обозначим
эти миноры через А/са- Частное решение системы дифференци­
альных уравнений (23.5) имеет, следовательно, вид
Хк = АклС ае*ш*г,

где Сое — произвольная (комплексная) постоянная.
Общее же решение дается суммой всех s частных решений.
Переходя к вещественной части, напишем его в виде
S

Хк =

Re { £ )

A ka C aj w *t ) =

5 > /е а 0 а ,

ОС= 1

(23.9)

ОС

где мы ввели обозначение
0 а = Re {Ccx,eiWat}.

(23.10)

х) Положительная определенность квадратичной формы, построенной
на коэффициентах &»&, очевидна из их определения в (23.2) для веществен­
ных значений переменных. Но если написать комплексные величины Ak в
явном виде как
+ i b k , то мы получим (снова в силу симметричности кгк):

^ ^kjkAj Ah = ^
i,k

i,k

(Дг ibi){ak ibk) = ^ ^кгка%ак H- ^ ^kjkbjbk;
i,k

т.е. сумму двух положительно определенных форм.

i,k

§ 23

КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

91

Таким образом, изменение каждой из координат системы со
временем представляет собой наложение s простых периодиче­
ских колебаний ©i, 0 2 , . .., 0 S с произвольными амплитудами
и фазами, но имеющих вполне определенные частоты.
Естественно возникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщен­
ные координаты таким образом, чтобы каждая из них совершала
только одно простое колебание? Тамая форма общего интеграла
(23.9) указывает путь к решению этой задачи.
В самом деле, рассматривая s соотношений (23.9) как си­
стему уравнений с s неизвестными величинами 0 а, мы можем,
разрешив эту систему, выразить величины 0 1 , 0 2 , . . . , 0 5 через
координаты Ж1 , # 2 ,. • •, х 8. Следовательно, величины 0 а можно
рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти коорди­
наты называют нормальными (или главными), а совершаемые
ими простые периодические колебания — нормальными колеба­
ниями системы.
Нормальные координаты 0 а удовлетворяют, как это явству­
ет из их определения, уравнениям
0 а + ш2 0 а = 0.
(23.11)
Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения
распадаются на s независимых друг от друга уравнений. Ускоре­
ние каждой нормальной координаты зависит только от значения
этой координаты, и для полного определения ее временной за­
висимости надо знать начальные значения только ее же самой
и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные
колебания системы полностью независимы.
Из сказанного очевидно, что функция Лагранжа, выражен­
ная через нормальные координаты, распадается на сумму выра­
жений, каждое из которых соответствует одномерному колеба­
нию с одной из частот сиа , т.е. имеет вид
L = £ "т (®« (23.12)
(X
где Шос — положительные постоянные. С математической точ­
ки зрения это означает, что преобразованием (23.9) обе квадра­
тичные формы — кинетическая энергия (23.3) и потенциальная
(23.2) — одновременно приводятся к диагональному виду.
Обычно нормальные координаты выбирают таким образом,
чтобы коэффициенты при квадратах скоростей в функции Лаг­
ранжа были равны 1/2. Для этого достаточно определить нор­

92

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ГЛ. V

мальные координаты (обозначим их теперь через Q а)равенствами
Qoc = у/тп^ ©а(23.13)
Тогда
L = \ J 2 ( Q i ~ w2ocQ2oc)ос
Все изложенное мало меняется в случае, когда среди корней
характеристического уравнения имеются кратные корни. Об­
щий вид (23.9), (23.10) интеграла уравнений движений остается
таким же (с тем же числом s членов) с той лишь разницей, что
соответствующие кратным частотам коэффициенты Дд.а уже не
являются минорами определителя, которые, как известно, обра­
щаются в этом случае в нуль х).
Каждой кратной (или, как говорят, вырожденной) часто­
те отвечает столько различных нормальных координат, како­
ва степень кратности, но выбор этих нормальных координат не
однозначен. Поскольку в кинетическую и потенциальную энер­
гии нормальные координаты (с одинаковым сиа) входят в виде
одинаково преобразующихся сумм ^2 Q \ и ^2 Q\ , то их можно
подвергнуть любому линейному преобразованию, оставляюще­
му инвариантной сумму квадратов.
Весьма просто нахождение нормальных координат для трех­
мерных колебаний одной материальной точки, находящейся в
постоянном внешнем поле. Помещая начало декартовой системы
координат в точку минимума потенциальной энергии С/(ж, у, z),
мы получим последнюю в виде квадратичной формы перемен­
ных ж, у, z, а кинетическая энергия
T = ^ ( x 2 + y2 + z2)
(т — масса частиц) не зависит от выбора направления коор­
динатных осей. Поэтому соответствующим поворотом осей надо
только привести к диагональному виду потенциальную энергию.
Тогда
1
L = у (ж2 + у2 + z2) - -(кгх2 + к2 у2 + faz2),
(23.14)
и колебания вдоль осей x ,y ,z являются главными с частотами

0)1 = у/кфп, 0)2 = у/къ/т, о>з = у/кз/т.
х) Невозможность возникновения в общем интеграле членов, содержа­
щих наряду с экспоненциальными также и степенные временные множи­
тели, очевидна из тех же физических соображений, которые исключают
существование комплексных «частот»; наличие таких членов противоречи­
ло бы закону сохранения энергии.

§ 23

КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

93

В частном случае центрально-симметричного поля (к\ =
=
= к% = к, U = кг2/ 2) эти три частоты совпадают (см. задачу 3).
Использование нормальных координат дает возможность
привести задачу о вынужденных колебаниях системы с несколь­
кими степенями свободы к задачам об одномерных вынужден­
ных колебаниях. Функция Лагранжа системы с учетом дейст­
вующих на нее переменных внешних сил имеет вид
L = I/o +

(2 3 .1 5 )

F k ( t ) x ki
к

где Lo —лагранжева функция свободных колебаний. Вводя вме­
сто координат Хк нормальные координаты, получим
L = \ Y , ( Q * - < » l Q l ) + ' 5 2 f « ( t №«'
ос

(23-16)

ОС

где введено обозначение
u ( t ) = j* 2 Fk ( t )х/ТП
j =оск

Соответственно уравнения движения
Qoc

(2 3 .1 7 )

W qcQ qc = f oc{ t )

будут содержать лишь по одной неизвестной функции

Q oc(t).

Задачи
1.
Определить колебания системы с двумя степенями свободы, если ее
функция Лагранжа
2
г
1 / • 2 I • 2\
/ 2 . 2ч ,
Ь = 2 ^Х + У ) - ^ \ Х + У ) + к х у
(две одинаковые одномерные системы с собственной частотой сио, связан­
ные взаимодействием —осху).
Р е ш е н и е . Уравнения движения
х + со1х = осу,
Подстановка (23.6) дает

у + cvly = осх.

A x {j^ о со ) — осАу, Ау( сио (Л) ) — осАх •
Характеристическое уравнение (сио — си2)2 = а 2, откуда
(Х)\ = CUo — ос, си2 = CUq + ОС.
При си = cui уравнения (1) дают А х = А у , а при си = Ш2
Поэтому

х =

+ ФО,

У=

(-0

А х = —А у .

— ФО

(коэффициенты 1/ л/2 соответствуют указанной в тексте нормировке нор­
мальных координат).

94

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

При ос

ГЛ. V

cuq (слабая связь) имеем

cjui « ш 0 - ос/ ( 2 ш 0 ) ,
0 ) 2 « ш 0 + а / ( 2 ш 0 ).
Изменение х н у представляет собой в этом случае наложение двух колеба­
ний с близкими частотами, т.е. имеет характер биений с частотой со2 —(JOi =
= ос/соо (см. § 22). При этом в момент, когда амплитуда координаты х про­
ходит через максимум, амплитуда у проходит через минимум и наоборот.
2. Определить малые колебания двойного плоского маятника (см. рис. 1).
Р е ш е н и е . Для малых колебаний ( c p i^ C l, (р2
1) найденная в
задаче 1 § 5 функция Лагранжа принимает вид

г

L =

Ш1+Ш2.2.2 , Ш2 ,2.2 ,

----------------- Z i< p i +

—

,, . •

Ш1+Ш2 , 2 Ш2 . 2

/ 2 Ф 2 + Г П 2 / 1 / 2 Ф 1 Ф 2 -------------- ---------g h q > 1 -

gl>2Ф 2 •

Уравнения движения:
(m i + ш 2)/ 1 ф 1 + Ш2 / 2 Ф2 + (m i + m 2)g(pi = О,
к'фг

+ / 2Ф2

+gф

2

= 0.

После подстановки (23.6):
Ai(m i +

m 2)(g

—hco2) — А 2со2т 2к = 0,

—A i l i w 2 + А 2 ( g

I 2 C0 2 ) =

0.

Корни характеристического уравнения:

g, , ((mi +m2)(/i +i2) ±

Ш1,2 1 9Z 777-1

±

(m i + m 2)[(m i + m 2)(Zi + /г)2 - 4 m i/i/2] [•

При m i —»• оо частоты стремятся к пределам y / g / h и y j g / h , соответству­
ющим независимым колебаниям двух маятников.
3. Найти траекторию движения частицы в центральном поле U = кг 2/ 2
(так называемый пространственный осциллятор).
Р е ш е н и е . Как и во всяком центральном поле, движение происхо­
дит в одной плоскости, которую выбираем в качестве плоскости ху. Изме­
нение каждой из координат х , у — простое колебание с одинаковыми часто­
тами со = у/ к / т:
х = a cos (cot + а), у = 6 cos (cot + (3)
или
х = a cos ср,

у = b cos (ср + 6) = b cos 6 cos (р — b sin 6 sin cp,

где введены обозначения (р = cot + ос, 6 = (3 — ос. Определив отсюда cos (р и
sin (р и составив сумму их квадратов, получим уравнение траектории
х2

у2

2х у

.

2

а2 + тк
о2 ----abr cos ° = sin

,

Это — эллипс с центром в начале координат 1) . При 6 = 0 или тс траектория
вырождается в отрезки прямой.
г) Тот факт, что в поле с потенциальной энергией U = к г 2/2 движение
происходит по замкнутой прямой, был уже упомянут в § 14.

КОЛЕБАНИЯ МОЛЕКУЛ

95

§ 24. Колебания молекул
Если мы имеем дело с системой частиц, взаимодействующих
друг с другом, но не находящихся во внешнем поле, то не все
ее степени свободы имеют колебательный характер. Типичным
примером таких систем являются молекулы. Помимо движений,
представляющих собой колебания атомов около их положения
равновесия внутри молекулы, молекула как целое может совер­
шать поступательное и вращательное движения.
Поступательному перемещению соответствуют три степени
свободы. Столько же имеется в общем случае вращательных
степеней свободы, так что из 3п степеней свободы п-атомной
молекулы всего Зп —6 отвечают колебательному движению. Ис­
ключение представляют молекулы, в которых все атомы распо­
ложены вдоль одной прямой. Поскольку говорить о вращении
вокруг этой прямой не имеет смысла, то вращательных степе­
ней свободы в этом случае всего две, так что колебательных
имеется Зп —5.
При решении механической задачи о колебаниях молекулы
целесообразно с самого начала исключить из рассмотрения по­
ступательные и вращательные степени свободы.
Чтобы исключить поступательное движение, надо считать
равным нулю полный импульс молекулы. Поскольку это условие
означает неподвижность центра инерции молекулы, его можно
выразить в виде постоянства трех координат последнего. Поло­
жив га = гао + иа (где гао — радиус-вектор неподвижного по­
ложения равновесия а-го атома, а иа — его отклонение от этого
положения), представим условие
' Y j T l a T a = C o n s t ЕЕ ^

ТПа Га0

в виде
У ! fflgUg = 0-

(24.1)

Чтобы исключить вращение молекулы, следует положить
равным нулю ее полный момент импульса. Так как момент не яв­
ляется полной производной по времени от какой-либо функции
координат, то условие его исчезновения не может быть, вообще
говоря, выражено в виде равенства нулю такой функции. Одна­
ко случай малых колебаний как раз представляет исключение.
В самом деле, снова положив г а = гао + иа и пренебрегая малы­
ми величинами второго порядка по смещениям иа, представим

96

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ГЛ. V

момент импульса молекулы в виде

м = ^m a[rava] « y ^ m a[ra0ua] = ^

ma[ra0ua].

Условие его исчезновения в этом приближении можно, следова­
тельно, представить в виде
5 ^ m a[ra0u a] = 0
(24.2)
(начало координат может быть при этом выбрано произвольным
образом).
Нормальные колебания молекулы могут быть классифици­
рованы по характеру движения атомов в них на основании сооб­
ражений, связанных с симметрией расположения атомов
(в положениях равновесия) в молекуле. Для этой цели существу­
ет общий метод, основанный на использовании теории групп; он
изложен в другом томе этого курса х). Здесь же мы рассмотрим
лишь некоторые элементарные примеры.
Если все п атомов молекулы лежат в одной плоскости, то
можно различать нормальные колебания, составляющие атомы
в этой плоскости, и нормальные колебания, при которых атомы
выводятся из плоскости. Легко определить число тех и других.
Так как всего для плоского движения имеется 2п степеней сво­
боды, из которых две поступательные и одна вращательная, то
число нормальных колебаний, не выводящих атомы из плоско­
сти, равно 2п —3. Остальные же (Зп —6) —(2п —3) = п —3 коле­
бательных степеней свободы отвечают колебаниям, выводящим
атомы из плоскости.
В случае линейной молекулы можно различать продольные
колебания, сохраняющие ее прямолинейную форму, и колеба­
ния, выводящие атомы с прямой. Так как всего движению п
частиц по линии отвечает п степеней свободы, из которых од­
на поступательная, то число колебаний, не выводящих атомы с
прямой, равно п —1. Поскольку же полное число колебаний сте­
пеней свободы линейной молекулы есть Зп —5, то имеется 2п —4
колебаний, выводящих атомы с прямой. Этим колебаниям, од­
нако, отвечают всего п — 2 различные частоты, так как каждое
из таких колебаний может осуществляться двумя независимы­
ми способами — в двух взаимно перпендикулярных плоскостях
(проходящих через ось молекулы); из соображений симметрии
х) См. т. III, «Квантовая механика», § 100.

97

КОЛЕБАНИЯ МОЛЕКУЛ

очевидно, что каждая такая пара нормальных колебаний имеет
одинаковые частоты.
З а д а ч и 1)
1.
Определить частоты колебаний линейной трехатомной симметрич­
ной молекулы А В А (рис. 28). Предполагается, что потенциальная энергия
молекулы зависит только от расстояний А — В и В — А й угла АВ А.
Р е ш е н и е . Продольные смещения атомов Х 1 , Х 2 , х з связаны в силу
(24.1) соотношением
г п а (х г

+ х з ) + т в х 2 = 0.

С его помощью исключаем х 2 из функции Лагранжа продольного движения
молекулы
Т

Г П А , . 2 I -2ч

L = -^ -(^ 1 +

Хз)

, т в

+

.2

ki и

ч2

- у № - XV

| /

+ (Х з -

ч2-|

Х2 )

J,

после чего вводим новые координаты
Qoc = х 1 + хз,

Q s = х 1 - хз.

В результате получим

Т _ГПАЦД2 . ГПАХ2 &1Ц2 2 &1 2
+ ~ r Qs ~ щ ; Яа ~ t Q s

L ~

(ц = 2г п а + тп в — масса молекулы). Отсюда видно, что Q a и Q s являются
(с точностью до нормировки) нормальными координатами. Координата Q a
отвечает антисимметричному относитель­
но середины молекулы колебанию {х\ = хз\
3 1
2 I
1
рис. 28 а) с частотой
•
°
•
А
В
А
_____

ki\i

ГПАГПв

Координата Q s соответствует симметричному (х\ = —хз] рис. 28 5) колебанию с частотой
___

----^ -о------------• >» а
J
т----------- ^----------- J

О,., = . [ К _

б
в

Рис. 28

VГПА

Поперечные смещения атомов у г , у 2 , у з в силу (24.1) и (24.2) связаны
соотношениями
г п а ( у 1 + у з ) + ГПВУ2 = 0 ,

У1 = Уз,

(симметричное колебание изгиба; рис. 28 в). Потенциальную энергию изги­
ба молекулы запишем в виде Л?2 Z262/2 , где 6 — отклонение угла А В А от
значения 7t; оно выражается через смещения согласно
6 = у [(г/1 - 2/2) + (уз - У2 )].

х) Расчеты колебаний более сложных молекул можно найти в книгах:
М. В. В о л ь к е н ш т е й н , М. А. Е л ь я ш е в и ч , Б. И. С т е п а н о в .
Колебания молекул.—М.: Гостехиздат, 1949; Г. Г е р ц б е р г , Колебатель­
ные и вращательные спектры многоатомных молекул.—М.: ИЛ, 1949.

98

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Выражая все смещения 2/ 1 , 2/2 , 2/з через
поперечного колебания в виде
т

ТПА,.2 , • 2\ , ГПв .2

6

ГЛ. V

, получим функцию Лагранжа

^2^2 s2

ТПАТПВ -.2ё2

&2^ = у [ ( ж 1 ~ ж2) cos ос — (у 1 - у 2) sin а] +
В
+ у [—(ж3 —ж2) cos ос — (уз —У2 ) sin а].
Функция Лагранжа молекулы

ГПА ((ui
. 2 +. u3)
ГПВ u2
.2 •2\ +. —

г

L = —

Вводим новые координаты

Рис. 29

qs2

Q a = x 1 + Х з , 2*1 = X! - Хз ,

=

2/i + 2/3-

Компоненты векторов и выражаются через них согласно
Xl = ~ (Q а +