Геометрия : задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ (базовый уровень) : 7 класс [Эдуард Николаевич Балаян] (pdf) читать онлайн

A

В

D

N

M

Э.Н. БАЛАЯН, Н.Э, БАЛАЯН

Э.Н. БАЛАЯН, Н.Э. БАЛАЯН

Э.Н. БАЛАЯН, Н.Э. БАЛАЯН

ГЕОМЕТРИЯ

ГЕОМЕТРИЯ

ГЕОМЕТРИЯ

Задачи на готовых чертежах

Задачи на готовых чертежах

Задачи на готовых чертежах

для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ

для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ

для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ

7 класс

8 класс

9 класс

Э.Н. Балаян

Геометрия

задачи на готовых
чертежах для подготовки
кОГЭиЕГЗ
7-9

Э.Н. БАЛАЯН

Э.Н. БАЛАЯН

ГЕОМЕТРИЯ
Задачи на готовых чертежах
для подготовки к ЕГЭ

ЗАДАЧИ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ
. ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОГЭ И ЕГЭ

10-11 классы

Класси
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Э.Н. БАЛАЯН

ГЕОМЕТРИЯ

ЗАДАЧИ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОГЭ И ЕГЭ

9

785222 301 1 80

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

Большая

перемена

Э. Н. Балаян

ГЕОМЕТРИЯ
Задачи на готовых
чертежах
для подготовки
к ОГЭ и ЕГЭ
(базовый уровень)
7 класс

Ростов-на-Дону

{феникс
’2018

УДК 373.167.1:514
ББК 22.14я72
КТК 444
Б20

Б20

Балаян Э. Н.
Геометрия : задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ
и ЕГЭ (базовый уровень) : 7 класс / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д :
Феникс, 2018. — 51 с. : ил. — (Большая перемена).
ISBN 978-5-222-30118-0
Предлагаемое вниманию читателя пособие содержит задачи и упражнения
базового уровня по всем основным темам программы геометрии для 7 класса,
скомпонованных в 14 таблицах на готовых чертежах.
Эти упражнения дают возможность учителю в течение минимума времени
проработать и повторить с учащимися значительно больший объем материа­
ла, тем самым наращивать темп работы на уроках.
Кроме того, приводятся краткие теоретические сведения по курсу геомет­
рии 7 класса, сопровождаемые определениями, теоремами, основными свой­
ствами. К наиболее трудным задачам приведены решения и указания.
Пособие адресовано учителям математики, репетиторам, студентам — бу­
дущим учителям, учащимся общеобразовательных школ, лицеев, колледжей,
а также выпускникам для эффективной подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.

ISBN 978-5-222-30118-0

УДК 373.167.1:514
ББК 22.14я72
© Балаян Э. Н., 2018
© Оформление, ООО «Феникс», 2018

Предисловие
На начальном этапе изучения геометрии основную трудность для
учащихся представляет выполнение чертежа. Кроме того, на его выпол­
нение расходуется много времени.
Предлагаемое вниманию читателя пособие ставит целью устранить
этот пробел с помощью готовых чертежей.
На уроках геометрии очень часто каждое высказывание и ответ на
вопрос должны, как правило, сопровождаться демонстрацией черте­
жа, причем чертеж и данные из условия задачи должны находиться
перед глазами учащихся в процессе решения задачи. Когда учащиеся
наглядно видят условие, то легче решают задачи. По этой причине упраж­
нения на готовых чертежах оказывают неоценимую помощь в усвоении и
закреплении новых понятий и теорем, дают возможность в течение мини­
мума времени усвоить и повторить значительно больший объем материала,
тем самым наращивать темп работы на уроках.
Кроме того, эти упражнения способствуют активизации мыслитель­
ной деятельности учащихся, обучают умению грамотно рассуждать,
находить в них общее и делать различия, сопоставлять и противопостав­
лять, делать правильные выводы.
В пособии на всех чертежах равные углы и отрезки отмечены одина­
ковыми знаками, прямые углы — квадратиками, это дает возможность
учащимся значительно быстрее ориентироваться в условиях задачи.
Учитель может по своему усмотрению заранее подготовить их на доске
или плакатах и отводить на решение по 10-15 минут в начале каждого
урока.
При выполнении упражнений происходит активная мыслительная
деятельность учащихся, что в свою очередь приводит к эффективному
непроизвольному запоминанию определений, свойств и признаков изу­
чаемых фигур. Определения, свойства и признаки рассматриваемых
фигур периодически повторяются в процессе выполнения разнообраз­
ных упражнений, что приводит в итоге к продуктивному запоминанию.
Большое значение имеет и то, что учащиеся с большим удовольствием
предпочитают выполнять эти упражнения, чем отвечать на теоретиче­
ские вопросы.
Наконец, предлагаемые упражнения быстро готовят учащихся к за­
поминанию и самостоятельному решению таких задач, для которых эти
упражнения являются элементами.
Предлагаемая методика проведения уроков с использованием уп­
ражнений на готовых чертежах, несомненно, способствует повышению
творческой активности учащихся, развитию логического мышления,

4 «•

Геометрия: залачи на готовых чертежах аля полготовки

к

ОГЭ

и

ЕГЭ: 7 класс

является эффективным средством усвоения и закрепления теоретическо­
го материала.
Пособие представляет собой комплект упражнений по геометрии для
учащихся 7 класса, составленных в виде таблиц. Все задания соответ­
ствуют ныне действующей программе по геометрии (планиметрии). По­
собие может быть использовано учителями, работающими по учебнику
Л. С. Атанасяна «Геометрия, 7-9» и другим книгам.
В пособии 14 таблиц для 7 класса. В каждой таблице количество задач
различно. Как правило, они составлены в порядке возрастающей труд­
ности, что позволяет учителю проводить работу дифференцированно.
К наиболее трудным задачам приведены подробные решения с поясне­
ниями, а к остальным — указания и ответы, что дает возможность про­
верить правильность решения.
Отметим, что предлагаемые упражнения не ставят целью заменить
систему задач из вышеуказанных пособий, а являются лишь дополне­
нием к ней. Они дают возможность учителю сэкономить значительную
часть времени на изучение соответствующих тем и способствуют усиле­
нию практической направленности преподавания геометрии.

Разлел I

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Планиметрия
1. Углы

Углом называется геометрическая фигура (рис. 1), образованная дву­
мя лучами, исходящими из одной точки.
Точка О — вершина угла, а лучи ОА и ОВ — стороны угла.
Обозначение: ZAOB или Zab.
Угол в 90° называется прямым (рис. 2).
Угол, меньший прямого, называется острым (рис. 3).
Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется ту­
пым (рис. 4).

О

А

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Два угла называются вертикальными,
если стороны одного угла являются продол­
жениями сторон другого (рис. 5).
ZAOC и ZDOB; ZBOC и ZAOD — вертикальные.
Вертикальные углы равны: ZAOC = ZDOB
и ZBOC = ZAOD.
Два угла называются смежными, если у
них одна сторона общая, а две другие со­
ставляют прямую линию (рис. 6), ZAOC и
ZBOC — смежные.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

6 «• Геометрия: задачи на

готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

Сумма смежных углов равна 180°.
Биссектрисой угла называется луч, про­
ходящий между сторонами угла и делящий его
пополам (рис. 7).
Биссектрисы вертикальных углов состав­
ляют продолжение друг друга (рис. 8).
Биссектрисы смежных углов взаимно пер­
пендикулярны (рис. 9).

Рис. 7

Рис. 9

Рис. 8

При пересечении двух прямых а и b третьей с (секущей) образуется
8 углов (рис. 10):
соответственные углы:
Z1 и Z5, Z2 и Z6, Z4 и Z8, Z3 и Z7;
внутренние накрест лежащие:
Z4 и Z6, Z3 и Z5;
внешние накрест лежащие:
Z1 и Z7, Z2 и Z8;
внутренние односторонние:
Z4 и Z5, Z3 и Z6;
внешние односторонние:
Z1 и Z8, Z2 и Z7.
Рис. 10

2. Многоугольник

ABCDE — пятиугольник (рис. 11).
Точки А, В, С, D, Е — вершины
многоугольника; ХА, ХВ, ХС, XD,
ХЕ — углы; АВ, ВС, CD и т. д. — сто­
роны; отрезки AC, AD, BE, BD, СЕ —
диагонали; Р = АВ + ВС -I- ... + ЕА —
периметр многоугольника.
Многоугольник называется выпук­
лым (см. рис. 11), если он целиком
расположен по одну сторону от каж­
дой прямой, проходящей через две

Разлел I. Краткие теоретические сведения

•» 7

его соседние вершины. В противном случае многоугольник называется
невыпуклым (рис. 12).

Свойства
1. Сумма внутренних углов произвольного
n-угольника равна 180° • (п - 2).
2. Сумма внешних углов выпуклого
n-угольника, взятых по одному при каждой
вершине, равна 360°.
3. В выпуклом n-угольнике из каждой
вершины можно провести (п - 3) диаго­
налей, которые разбивают n-угольник на
(п - 2) треугольников.
4. В выпуклом n-угольнике число диаго­
налей равно — п(п - 3).

3. Правильные многоугольники
Выпуклый многоугольник, у которого равны все углы и стороны, на­
зывается правильным.
Свойства
, „
180°(п-2)
1. Каждый угол правильного n-угольника равен ап =-------------- .
п
2. Около правильного n-угольника можно описать окружность, и при­
том только одну.
3. В правильный n-угольник можно вписать окружность, и притом
только одну.
4. Окружность, вписанная в правильный n-угольник, касается всех
сторон n-угольника в их серединах.
5. Центр окружности, описанной около правильного п-угольника,
совпадает с центром окружности, вписанной в тот же п-угольник.
6. Длина стороны правильного n-угольника, вписанного в окруж180°
ность радиуса R, равна a = 2R sin------ .
n
7. Длина стороны правильного n-угольника, описанного около
„ х 180°
окружности радиуса г, равна a = 2r tg------ .
п

4. Треугольник
Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из
трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, последова­
тельно соединяющих эти точки.

8 «•

Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

Точки А, В, С — вершины ААВС.
Отрезки АВ, ВС и АС — стороны, ZA,
ZBhZC — углы. ZA + ZB + ZC = 180°.
Стороны треугольника часто обознача­
ют малыми буквами (рис. 13):
АВ = с, ВС = а, АС = Ь.
Р = а + Ь + с — периметр треугольника.
Треугольник, у которого все углы ост­
рые, называется остроугольным (см.
рис. 13).
Треугольник, у которого есть прямой
угол, называется прямоугольным (рис. 14).
Стороны, образующие прямой угол,
называются катетами (а и Ь), а сторона,
лежащая против прямого угла, — ги­
потенузой (с).
Треугольник с тупым углом называется
тупоугольным (рис. 15).
Треугольник, у которого две стороны рав­
ны, называется равнобедренным (рис. 16).

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

А

Рис. 16

Равные стороны называются боковыми,
а третья сторона — основанием равно­
бедренного треугольника.
Треугольник, у которого все стороны рав­
ны, называется равносторонним (рис. 17).
Каждый угол равностороннего треу­
гольника равен 60°.

Рис. 17

Свойства равнобедренного треугольника
1. Углы при основании равны.
2. Биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно
медианой и высотой.
3. Высота, проведенная к основанию, является одновременно медиа­
ной и биссектрисой.

Раздел I. Краткие теоретические сведения

4. Медиана, проведенная к основанию,
является одновременно высотой и бис­
сектрисой.
Внешним углом треугольника назы­
вается угол, смежный с каким-нибудь
углом этого треугольника (рис. 18).
ZCBD — внешний угол треугольника.
Внешний угол треугольника равен
сумме двух углов треугольника, не смеж­
ных с ним (см. рис. 18): ACBD = АА + АС.
Отрезок, соединяющий середины двух
сторон, называется средней линией тре­
угольника (рис. 19).

•» 9

С

А

В
Рис. 18

D

Рис. 19

5. Признаки равенства треугольников
I признак (признак равенства по двум сторонам и углу между
ними ).
Если две стороны и угол между
ними одного треугольника соответ­
ственно равны двум сторонам и углу
между ними другого треугольника, то
такие треугольники равны (рис. 20).
АВ = ArB^ АС = А^^ АА = AAV
Рис. 20
II признак (признак равенства по стороне и прилежащим к ней уг­
лам ).
Если сторона и два прилежащих
угла одного треугольника соответ­
ственно равны стороне и двум приле­
жащим к ней углам другого треуголь­
ника, то такие треугольники равны
(рис. 21).
АВ=А1В1, АА = АА19 АВ = АВх.
III признак (признак равенства по трем сторонам).
Если три стороны одного треуголь­
ника соответственно равны трем
сторонам другого треугольника, то
такие треугольники равны (рис. 22).
АВ = А^В^ ВС = В^^ АС = АгСг.
Рис. 22

10 «•

Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

6. Неравенства треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон:
a 1 5

16 «•

Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ

Таблица 2

ХАОВ = о ХАОС
ХАОС, ХВОС — ?

ХАОВ = 1,6 ХВОС
АЛОВ, ХВОС — 2

ХАОС = 4ХВОС
ХАОВ, ХВОС — 2

ХАОВ - 4ХАОС
ХАОВ, ХАОС — 2

Разлел II. Упражнения в таблицах

•» 1 7

Продолжение табл. 2

ZAOD = 6ZB0D
ZAOB, ZBOD — 2

10

ZAOB = 120°
ZBOD, ZAOC, ZBOC — 2

ZBOD = 6ZAOD
ZAOB, ZAOD — 2

ZAOB - 150°
ZCOD, ZBOD, ZAOC — 2

ZAOB = 140°
ZAOD, ZAOC — 2

12

ZAOB = 120°
ZAOD = 3ZBOD
ZBOD, ZAOD — 2

1 8 «•

Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

Раздел II. Упражнения в таблицах

•» 19

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ

Таблица 3

20 «•

Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

Окончание табл. 3

Разлел II. Упражнения в таблицах

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ

•» 21

22 «•

Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

Окончание табл. 4

Разлел II. Упражнения в таблицах

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

•» 23

Таблица 5

24 «•

Геометрия: залачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

Продолжение табл. 5

Раздел IL Упражнения в таблицах

•» 25

Окончание табл. 5

26 «•

Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

ПЕРИМЕТР РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Таблица 6

АВ = 14, АС = 9
Р-?

Р = 53, MN — 1

22

MN = 8, Р = 32
MN, NK-?

3

N
Р = 45, MR, МК, RK-?
М

Р = 34, EF = 12
KE, KF — 2

F

АВ + АС = 24, Р = 34
АВ, AC, ВС — ?
С

MN - МК = 4, Р = 34
MN, МК, KN — 2

Р = 42, MN : МК = 4:5
К
MN, МК — 2

Раздел II. Упражнения в таблицах

•» 27

28 «•

Геометрия: залачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Раздел II. Упражнения в таблицах

•» 29

Окончание табл. 7

30 «•

Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

ОКРУЖНОСТЬ

Таблица 8

Разлел II. Упражнения в таблицах

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ

Найдите пары параллельных прямых (отрезков) и докажите

•» 31

32 «• Геометрия: задачи на

готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

Окончание табл. 9

Раздел II. Упражнения в таблицах

СВОЙСТВА УГЛОВ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

•» 33

34 «•

Геометрия: залачи на готовых чертежах лля полготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

Окончание табл. 10

Разлел II. Упражнения в таблицах

•» 35

УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

Найдите все неизвестные углы треугольника.

Таблица И

36 «•

Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

Окончание табл. 11

Разлел II. Упражнения в таблииах

•» 37

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Таблица 12

38 «•

Геометрия: задачи на готовых чертежах лля подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

Разлел II. Упражнения в таблииах

•» 39

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

40 «• Геометрия: задачи на готовых

чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ

тог
~ Л
Найдите расстояние от точки М до прямой АВ.
тт -

Таблица 14

Раздел III

РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ

К таблице 1
2.
I способ
Пусть МК = х, тогда KN = 3 + х. По условию MN = 21. Но MN =
= МК + KN. Значит,
х + (3 + х) = 21,
2х + 3 = 21,
2х = 18, х = 9.
Следовательно, МК = х = 9, KN = 3 + х = 12.
Ответ: МК = 9,KN = 12.
II способ
Пусть МК = х, KN = у. Так как KN - МК = 9, то получим у - х = 9.
По условию MN =21, или х + у = 21. Имеем систему уравнений:
(х + у = 21,
[у-х = 9.

Складывая и вычитая почленно левые и правые части системы, нахо­
дим:
12г/= 21+ 9, l2i/ = 30, j/ = 15,
|2х = 21-9; [2х = 12; х = 6.
Ответ: МК = 9,KN = 12.

4. Пусть ME = х, тогда ER = Зх. Так как по условию задачи MR = 24
и MR = ME + ER, то получим уравнение х + Зх = 24, или 4х = 24, откуда
х = 6. Значит, ME ~ 6, ER = 6 • 3 = 18.
Ответ: ME ■ 6, ER = 18.
К таблице 2

7. Пусть ZBOD = х, тогда ZAOD = 6х. Но ZAOD = ZAOC + ZCOD, или
ZAOD = 30° + 90° = 120°. Значит, 6х = 120, х = 20, т. е. ZBOD = 20°.
Следовательно, ZAOB = ZBOD + ZAOD = 20° + 120° = 140°.
Ответ: ZAOB = 140°, ZBOD = 20°.
11. Пусть ZBOC = ZCOD = х. По условию задачи ZAOD = 40° и
ZAOB = 120°. Но ZAOB = ZBOC + ZCOD + ZAOD. Следовательно, полу-

42 «• Геометрия: залачи на

готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

чим уравнение х + я + 40 = 120, 2х = 80, откуда х = 40. Значит, АВОС =
= 40°, ABOD = 2х = 80°, ЛАОС = 40° + 40° = 80°.
Ответ: ABOD = 80°, ЛАОС = 80°, АВОС = 40°.
17. Обозначим АВОС = х, ЛАОС = у, тогда х - у = 80. По условию
АЛОВ = 150°, или х + у = 150. Имеем систему уравнений:
fx + y = 150, 12х = 150 + 80,
[х-р = 80;
[2^ = 150-80;
12х = 230,
[2i/= 70;

Гх = 115,
[г/= 35.

Итак, АВОС = 115°, ЛАОС = 35°.
Ответ: АВОС = 115°, ЛАОС = 35°.
Замечание. Задачу можно решить с помощью уравнения (см. задачу 2
к табл. 1).

К таблиие 3
4. По условию задачи Akp = 90°, Арп = 30° и Атп = 180°. Тогда
Amk = 180° - (90° + 30°) = 60°.
Ответ: Amk = 60°.

8. Пусть Аас = х, тогда Abe = 8х. Так как сумма смежных углов рав­
на 180°, то получим уравнение х + 8х = 180, 9х = 180, х = 20. Значит,
Аас = 20°, Abe = 20° • 8 = 160°.
Ответ: Аас = 20°, Abe = 160°.
Замечание. Abe можно найти и так: Abe = 180° - 20° = 160°.
12. 25% = 0,25 = -, т. е. APOL = - АКОР, или АКОР = 4APOL.
4
4

Пусть APOL = х, тогда АКОР = 4х. Так как APOL и АКОР — смеж­
ные, то получим уравнение: х + 4х = 180, 5х = 180, откуда х = 36, т. е.
APOL = 36°, АКОР = 36° ♦ 4 = 144°.
Ответ: APOL = 36°, АКОР = 144°.
16. Пусть AROP = 2х, тогда ASOK = 5х. Но ASOK = APOS (по усло­
вию), т. е. APOS = 5х.
AROK = 180°, значит, 2х + 5х + 5х = 180°, или 12х = 180, х = 15.
Следовательно, APOS = 5х = 15 • 5 = 75° и ASOK = 75°, AROS = 30° +
+ 75° = 105°.
Ответ: AROS = 105°, ASOK = 75°.

К таблице 4
7. По условию задачи Zl + Z2 + Z3 = 220°. Но Z2 + Z3 = 180° как
сумма смежных углов. Тогда получим Z1 + 180° = 220°, Z1 = 40°.

Раздел III. Решения некоторых задач

•» 43

Zl = Z3 = 40° (вертикальные углы равны).
Z2 = Z4 = 180° - Z3 = 180° - 40° = 140°.
Ответ: Zl = Z3 = 40°, Z2 = Z4 = 140°.
12. Так как Zl = Z3 и Z2 = Z4 (как вертикальные), то Zl - Z2 + Z3 +
+ Z4 = Zl - Z2 + Zl + Z2 = 260° (по условию), или 2Z1 = 260°, откуда
Z1 = 260°: 2 = 130°, тогда Z2 = 180° - 130° = 50°.
Ответ: Z1 = 130°, Z2 = 50°.
16. Так как 20° = 0,2 = —, то Z2 = — Z1, или Zl = 5Z2. Пусть Z2 = х,
5
5

тогда Z2 = 5х. Имеем уравнение х + 5х = 180, 6х = 180, х = 30. Значит,
Z2 = 30°, тогда Z1 = 5х = 150°.
Ответ: Z1 = 150°, Z2 = 30°.
К таблице 5

11.1) Рассмотрим А АСМ и AADM.
АС = AD, СМ = DM (по условию), АМ — общая сторона. Значит,
ААСМ = AADM (по трем сторонам), т. е. по III признаку равенства тре­
угольников.
2) АСМВ = ADMB (как углы соответственно смежные ААМС и
AAMD), МВ — общая сторона. Значит, АСМВ = ADMB (по двум сторо­
нам и углу между ними), т. е. по I признаку равенства треугольников.
Тогда СВ = DB.
3) ААСВ = AADB (по трем сторонам): АС = AD (по условию), ВС = BD
(по доказанному), АВ — общая сторона.

20. 1) В AMEF и AMNF известно, что MN = EF и ME = NF. Кроме
того, MF — общая сторона. Значит, AMEF = AMNF (по трем сторонам),
т. е. по III признаку равенства треугольников. Из равенства треуголь­
ников следует, что AFMN = AEFM и AMFN = AEMF.
2) AEMN = AENF (по трем сторонам), тогда AMNE = AFEN и
AMEN = AENF.
3) АМОЕ = AFON и AMON = A FOE (по стороне и прилежащим к ней
углам), т. е. по II признаку равенства треугольников.
24. 1) AAOD = АСОВ (по II признаку равенства треугольников), т. е.
по стороне и прилежащим к ней углам, тогда OD = ОВ и АО = ОС.
2) ADAC = ABAC (по I признаку равенства треугольников), т. е. по
двум сторонам и углу между ними.
3) ADOC = ААОВ, так как OD = ОВ, АО = ОС и ADOC = ААОВ как
вертикальные.
4) AAOD = Д СОВ (по III признаку).

44 «•

Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

К таблице 6

7. По условию ХМ = XN, значит, AMKN — равнобедренный, где
МК = NK.
Пусть МК = KN = х, тогда MN = х + 4, так как по условию MN - МК = 4. Но периметр Р = 34, следовательно, имеем уравнение
х + х + (х + 4) = 34, или Зх = 34 -4, Зх = 30, х = 10.
Значит, MN = х + 4 = 14, МК = KN = 10.
Ответ: MN ~ 14, МК = KN = 10.
11. Пусть МК = KN = х (AMKN — равнобедренный, так как КТ —
высота — общая сторона, МТ = TN (по условию).
Значит, А МКТ = ^KTN — по двум катетам, тогда МК = NK). МТ =
= TN = у. По условию МК + КТ + МТ = 24, или х + КТ + у = 24.
Кроме того, Р = 32, или 2х + 2у = 32, х + у = 16.
Значит, КТ = 24 - (х + I/) = 24 - 16 = 8.
Ответ: 8.

14. Пусть ME = Зх, EF = 4х. Так как Рдмер = 48, то получим ME +
+ EF + MF = 48, где MF = 20 (по условию), тогда Зх + 4х + 20 = 48,
7х = 28, х = 4. Значит, MN = 2МЕ = 2 • Зх = 24, EF = 4х = 16.
Ответ: MN — 24, EF = 16.
К таблице 7

10. Так как АМ = ВМ, то А АМВ — равнобедренный (по определе­
нию). По условию ХМ = 80°, ХА = ХАВМ = (180° - 80°): 2 = 50°. Значит,
ХСВА = 180° - ХАВМ = 180° - 50° = 130°.
Ответ: 130°.
12. По условию MN = BN, тогда AMBN — равнобедренный (по опре­
делению), а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны
(по свойству). Значит, ХМ = XMBN = 60°, тогда XABN = 180° - 60° =
= 120° (по свойству смежных углов). Но ВС — биссектриса XABN (по
условию), тогда ХСВА = 120° : 2 = 60°.
Ответ: 60°.
16. Так как АВ =AD, то AABD — равнобедренный (по определению).
Высота АМ, проведенная к основанию BD, является одновременно бис­
сектрисой и медианой.
По условию ХВАМ = 30°, ХАМВ = 90°, тогда ХАВС = 30° + 90° = 120°
(по теореме о внешнем угле треугольника).
Ответ: 120°.

Разлел III. Решения некоторых залач

•» 45

К таблице 8
4. KN — касательная к окружности, ON — радиус, тогда ZONK =
= 90° (по свойству касательной). В AKON ZK = 26°, ZONK = 90°, зна­
чит, ZKON = 90° - 26° = 64° => ZMON = 180° - 64° = 116°. Так как МО =
= ON (как радиусы), то ZM = ZMNO = (180° - 116°): 2 = 32°.
Ответ: ZM - 32°, ZMON = 116°, ZMNO = 32°.

8. МО = ОК = ON = R — радиус окружности, значит, АМОК — рав­
нобедренный с основанием МК, тогда ZMKO = ZOMK = 60°, следова­
тельно, ZMOK = 180° - (60° + 60°) = 60°, т. е. АМОК — равносторон­
ний. По условию ME = EN и ОМ = ON => AMON — равнобедренный,
значит, ОЕ — биссектриса, тогда ZMOE = ZNOE = 60°.
В равнобедренном AMON биссектриса ОЕ является высотой, т. е.
ZMEO = 90°, ZOME = 90° - 60° = 30°.
Ответ: ZOME = 30°, ZMOE = 60°, ZMEO = 90°.
К таблице 9

5. Z1 = 40° (по свойству верти­
кальных углов). Так как 140° 4- 40° =
= 180°, то d || е (если при пересечении
двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны).
Значит, d || е.

8. Так как АВ = АМ, то ААВМ — рав­
нобедренный. Тогда Zl = Z3 (по свой­
ству). Но Zl = Z2 (по условию), значит,
Z2 = Z3. Но Z2 и Z3 — накрест лежащие,
с — секущая, следовательно, т || п (по
признаку параллельности прямых).
12. По условию KE = KF и
ZKEN = ZKFM = 90°, Zl = Z2 как
вертикальные, значит, ANEK =
= Л MFK по катету и острому углу,
тогда Z3 = Z4. А так как при пере­
сечении двух прямых NE и MF се­
кущей MN накрест лежащие углы
равны, то EN || MF.

46 «• Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки

к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

16. По условию АО = СО и ВО = DO.
Кроме того, Zl = Z2 как вертикальные.
Значит, АЛОВ = Л COD по двум сторонам и
углу между ними. Из равенства треуголь­
ников следует, что Z3 = Z4. А так как эти
углы накрест лежащие и равны, то АВ || CD.
К таблиие 10

7. Так как сумма смежных углов равна
180°, то Zl + Z2 = 180°. По условию задачи
Zl + Z2 - Z3 = 110°, тогда получим 180° - Z3 = 110°, откуда Z3 = 70°.
Ответ: 70°.
12. Пусть Z1 = х, Z2 = у. По условию
7Z1 = 2Z2, или 7х = 2у. Но Z2 = Z3 как
накрест лежащие, т. е. Z3 = у. Кроме того,
Zl -I- Z3 = 180° как сумма односторонних
углов при параллельных прямых k, I и
секущей т. Значит, х + у = 180. Получим
систему уравнений:
fx + i/ = 180, Гу = 180-х,
[7x = 2i/;
рх = 2(180 -х).
7х = 360 - 2х, 9х = 360, х = 40,1/ = 180 - 40 = 140.
Следовательно, Z1 = х = 40°, Z2 = у = 140°.
Ответ: Z1 = 40°, Z2 = 140°.

16. Так как MN || EF, то АЕКМ = AKMN = 30°. По условию AMKN =
= 90°, тогда AN = 90° - 30° = 60°, AFKN = AN = 60° (как накрест лежа­
щие углы при параллельных прямых EF, MN и секущей KN).
Ответ: АМ = 30°, AN = 60°, AFKN = 60°.

К таблице 11
10. По условию МК = NK, значит, AMKN — равнобедренный, тог­
да АМ = AN (по свойству). Так как AMKL = 150°, то AMKN = 180° - 150° = 30°. Значит, АМ = AN = (180° - 30°): 2 = 75°.
Ответ: АМ = AN = 75°, AMKN - 30°.
16. По условию AS = 75°, ALKS = 35°, тогда AKLS = 180° - (35° +
+ 75°)= 180°- 110° = 70°.
Значит, ARLK = 180° - 70° = 110° (или ARLK = AS + ALKS).
Так как RL = KL, то ARLK — равнобедренный, тогда AR = ARKL =
= (180°-110о):2 = 35°.
Ответ: AR = ARKL = 35°, ARLK = 110°, AKLS = 70°.

Разлел III. Решения некоторых залач

•» 47

К таблице 12
3. В \RTK ZT = 90°, RT = 9, RK = 18. Так как TR = -RK, то ZK =
2

= 30°, ZR = 60°.
Ответ: ZK = 30°, ZR = 60°.
10. Так как ZC = 90°, то ZA + ZB = 90° (по свойству прямоугольного
треугольника). По условию задачи ZA - ZB = 30°. Имеем систему уравZA + ZB = 90°,
нении:
ZA-ZB = 30°.

Складывая и вычитая уравнения системы, имеем
l2ZA = 90° + 30°, l2ZA = 120°, ZA = 60°,
[2ZB = 90°-30°; 12ZB = 60°;
ZB = 30°.
Ответ: ZA ’ 60°, ZB = 30°.
16. По условию МК = NK, значит, &MNK — равнобедренный, тогда
ZM = ZMNK (по свойству). Так как ZNFK = 90° и ZFNK = 50°, то ZK =
= 90° - 50° = 40°, тогда ZM = ZMNK = (180° - 40°): 2 = 70°.
Значит, ZKNE = 180° - 70° = 110°.
Ответ: 110°.

К таблице 13

3. Так как ZR = ZT, RE = ET и ZSER = 90°, to ZSET = 90°. Тогда
A RES = A TES по стороне и прилежащим к ней углам (по II признаку
равенства треугольников).
К таблице 14

5. ЛАМВ — прямоугольный, ZM = 90°, ZMAB = 180° - 120° = 60°,
тогда ZB = 90° - 60° = 30°. Следовательно, АМ = —АВ = 13, где АМ —
2

расстояние от точки М до прямой АВ.
Ответ: 13.
7. Так как АВ — диаметр окружности, то ZACB = 90°, тогда ZA =
= 90° - 60° = 30°.
В ЛАОМ АМ = 14 (по условию), МО Z АВ п ZA = 30° ^ МО = -АМ =
2
= 7.
Ответ: 7.

Ответы
Таблица 1

1. АС = 10, СВ = 4. 2. МК = 9,KN = 12. 3. RK = 16, KS = 8. 4. ME =
= 6,ER = 18. 5. AM =11, MB = 5. 6. TF = 24, ET = 8. 7. 3. 8. ME = 3,
EF = ±. 9. 18. 10. 18. 11.8. 12.AD = CB = 3.
Таблица 2

1. ZAOC = 28°, ZBOC = 112°. 2. ZAOB = 150°, ZBOC = 30°. 3. 70°.
4. ZAOB = 60°, ZBOC = 90°. 5. ZAOB = 80°, ZAOC = 20°. 6. ZAOB = 100°,
ZBOC = 20°. 7. ZAOB = 140°, ZBOD = 20°. 8. ZAOB = 140°, ZAOD = 20°.
9. ZCOD = 90°, ZBOD = 110°, ZAOC = 130°. 10. ZAOD = 50°, ZAOC =
= 105°. 11. ZBOD = 80°, ZAOC = 80°, ZBOC = 40°. 12. ZBOD = 30°,
ZAOD = 90°. 13. ZAOC = 70°, ZAOD = 35°, ZBOC = 20°. 14. ZBOD = 65°,
ZCOD = 20°. 15. ZCOD = 30°, ZAOD = 30°. 16. ZAOC = 110°, ZBOC =
= 40°. 17. ZBOC = 115°, ZAOC = 35°. 18. ZAOD = 40°, ZCOD = 60°.
Таблица 3

1. Zbc = 120°, Zac = 60°. 2. Zmp = 30°, Zpn = 150°. 3. 20°. 4. 60°.
5. Zmk = 35°, Zmp = 145°. 6. Zac = 130°, Zbc = 50°. 7. Zml = 150°, Zlk =
= 30°. 8. Zac = 20°, Zbc = 160°. 9. ZAOC = 50°, ZBOC = 130°. 10. ZKON =
= 30°, ZMOK = 150°. 11. ZMOK = 36°, ZMOP = 144°. 12. ZPOL = 36°,
ZKOP = 144°. 13. ZAOD = 140°, ZCOD = 40°. 14. ZMOE = 40°, ZNOF =
= 70°. 15. ZAOC = 70°, ZBOD = 40°. 16. ZROS = 105°, ZSOK = 75°.
Таблица 4

1. 145°. 2. Zmn = 40°, Zmnx = 140°, Zm^ = 40°. 3. Zabx = 130°, Zab =
= 50°. 4. Zmn = 20°, Zm^ = 160°. 5. Zab = 45°, ZaJ = 135°. 6. Z1 = Z3 =
= 25°, Z2 = Z4 = 155°. 7. Z1 = Z3 = 40°, Z2 = Z4 = 140°. 8. Z1 = Z3 =
= 50°, Z2 = Z4 = 130°. 9. Z1 = Z3 = 140°, Z2 = Z4 = 40°. 10. Z1 = 145°,
Z2 = 35°. 11. Z1 = 120°, Z2 = 60°. 12. Z1 = 130°, Z2 = 50°. 13. Z1 =
= 120°, Z2 = 60°. 14. Z1 = 150°, Z2 = 30°. 15. Z1 = 140°, Z2 = 40°.
16. Z1 = 150°, Z2 = 30°.
Таблица 6

1.32. 2. MK = NK= 12. 3. MR = MK = RK = 15. 4. KE = 11, KF = 11.
5. 9. 6. AB = 14, AC = BC= 10. 7. MN = 14, MK = KN = 10. 8. MN = 12,
MK=15. 9.AB = 6,AC = 12. 10. 48. 11.8. 12. 16. 13. 36. 14.M^ = 24,
EF=16. 15. RK = 13, RS = 10. 16. 36.

Ответы

•» 49

Таблица 7
1. 40°. 2. 70°. 3. 60°. 4. 60°. 5. 40°. 6. 50°. 7. 120°. 8. 35°. 9. 80°.
10. 130°. 11. 120°. 12. 60°. 13. 105°. 14. 135°. 15. 40°. 16. 120°.

Таблица 8
1. ZB = ZC = 55°. 2. О^ = 6, О2В = 12. 3. 14. 4. ZM = 32°, ZMON =
= 116°, ZMNO = 32°. 5. ZK = 10°, ZKON = 80°, ZMON = 100°. 6. 75°.
7. 40°. 8. ZOME = 30°, ZMOE = 60°, ZMEO = 90°.

Таблица 10
1. Zl = 120°, Z2 = 60°. 2. Zl = 50°, Z2 = 130°. 3. Zl = 110°, Z2 =
= 70°. 4. Zl = Z2 = 80°. 5. 55°. 6. Zl = Z2 = 50°, Z3 = 130°. 7. 70°.
8. 55°. 9. Zl = 120°, Z2 = 60°. 10. Zl = 150°, Z2 = 30°. 11. Zl = 50°,
Z2 = 130°. 12. Zl = 40°, Z2 = 140°. 13. 70°. 14. Zl = Z3 = 50°, Z2 = 60°.
15. ZABC = 60°, ZABN = 150°. 16. ZM = 30°, ZN = ZFKN = 60°.

Таблица 11
1. ZB = 110°. 2. ZN = 40°. 3. ZL = ZK = 70°. 4. ZA = ZB = ZC =
= 60°. 5. ZM = ZN = 45°. 6. ZA = 60°, ZC = 90°. 7. ZBAC = 25°,
ZB = 65°, ZC = 90°. 8. ZT = 70°, ZTLK = 45°. 9. ZA = ZB = 60°,
ZACB = 60°. 10. ZM = Z^ = 75°, ZMKN = 30°. 11. ZCAB = 40°, ZC =
= 30°, ZABC = 110°. 12. ZPKE = 40°, ZKPE = 60°, ZE = 80°. 13. ZA =
= ZB = 45°, ZACB = 90°, ZACD = ZBCD = 45°. 14. ZA = ZABM =
= ZAMB = 60°, ZAMK = ZBMK = 30°, ZAKM = ZBKM = 90°. 15. ZB =
= ZN = 45°, ZKMN = 90°, ZKMT = ZNMT = 45°, ZKTM = ZNTM = 90°.
16. ZB = 35°, ZRKS = 70°, ZRLK = 110°, ZKLS = 70°.

Таблица 12
1. 8. 2. 7. 3. ZK = 30°, ZR = 60°. 4. ZM = ZN = 45°. 5. ZA = 60°,
ZABC = 30°. 6. 14. 7. 10. 8. FM = 15, ZF = ZFEM = 45°. 9. ZA = 60°,
ZB = 30°. 10. ZA = 60°, ZB = 30. 11. RM = 34, RK = 17. 12. 18. 13. BS =
= 12, BP = 24. 14. AC = 20, BD = 30. 15. ME = 10, EK = 30. 16. 110°.

Таблица 14
1. 9. 2. 15. 3. 10,5. 4. 12. 5. 13. 6. 6. 7. 7. 8. 7.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие............................................................................................................... 3

Раздел I. Краткие теоретические сведения.................................................... 5
Планиметрия...................................................................................................................... 5
1.Углы........................................................................................................................... 5

2. Многоугольник.......................................................................................................6
3. Правильные многоугольники............................................................................ 7
4. Треугольник............................................................................................................ 7
5. Признаки равенства треугольников................................................................9

6. Неравенства треугольника............................................................................... 10
7. Определение вида треугольника по его сторонам.................................... 10

8. Прямоугольные треугольники (некоторые свойства)............................. 10
9. Признаки равенства прямоугольных треугольников............................. 10
10. Четыре замечательные точки треугольника........................................... 11
11. Окружность.........................................................................................................12
12. Свойства касательных к окружности......................................................... 13

13. Окружность и треугольник........................................................................... 13

Раздел II. Упражнения в таблицах..................................................................14
Таблица 1. Измерение отрезков................................................................................. 14
Таблица 2. Измерение углов........................................................................................ 16
Таблица 3. Смежные углы............................................................................................ 19
Таблица
Таблица
Таблица
Таблица
Таблица
Таблица
Таблица
Таблица
Таблица
Таблица
Таблица

4. Вертикальные углы.................................................................................. 21
5. Признаки равенства треугольников....................................................23
6. Периметр равнобедренного треугольника........................................ 26
7. Свойства равнобедренного треугольника.......................................... 28
8. Окружность................................................................................................ 30
9. Признаки параллельности прямых....................................................31
10. Свойства углов при параллельных прямых................................... 33
11. Углы треугольника................................................................................. 35
12. Некоторые свойства прямоугольных треугольников................. 37
13. Признаки равенства прямоугольных треугольников................. 39
14. Расстояние от точки до прямой......................................................... 40

Солержание

•» 51

Раздел III. Решения некоторых задач.......................................................... 41
К
К
К
К

таблице 1............................................................................................................... 41
таблице 2............................................................................................................... 41
таблице 3............................................................................................................... 42
таблице 4............................................................................................................... 42

К таблице 5............................................................................................................... 43
К таблице 6............................................................................................................... 44

К таблице 7............................................................................................................... 44
К таблице 8............................................................................................................... 45
К таблице 9............................................................................................................... 45
К таблице 10.............................................................................................................46

К таблице 11.............................................................................................................46
К таблице 12.................

47
К таблице 13.............................................................................................................47
К таблице 14.............................................................................................................47
Ответы............................................................................................................................. 48
Таблица 1.................................................................................................................. 48
Таблица 2.................................................................................................................. 48
Таблица 3.................................................................................................................. 48
Таблица 4.................................................................................................................. 48

Таблица 6.................................................................................................................. 48
Таблица 7.................................................................................................................. 49
Таблица 8.................................................................................................................. 49
Таблица 10............................................................................................................... 49
Таблица 11............................................................................................................... 49
Таблица 12............................................................................................................... 49

Таблица 14............................................................................................................... 49

ЕНЕ
Учебное издание

Балаян Эдуард Николаевич

ГЕОМЕТРИЯ

Задачи на готовых чертежах
для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ
(базовый уровень)
7 класс

Ответственный редактор С.Осташов
Технический редактор Л. Багрянцева

Формат 70 х 100/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 15,48. Тираж 3000 экз.
Заказ № 11451.
ООО «Феникс»
344011, Россия, Ростовская обл., г. Ростов-на-Дону, ул. Варфоломеева, 150
Сайт издательства: www.phoenixrostov.ru
Интернет-магазин: www.phoenixbooks.ru

Изготовлено в России
Дата изготовления: 01.2018.
Изготовитель: АО «Первая Образцовая типография»
филиал «УЛЬЯНОВСКИЙ ДОМ ПЕЧАТИ»
432980, Россия, Ульяновская обл.,
г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14

Издательство

^Ренике

/

/
/
/
/
S

Приглашает к сотрудничеству
АВТОРОВ для издания:
научной и научно-популярной литературы по
МВДИЦИНЕ и ВЕТЕРИНАРИИ, ЮРИСПРУДЕНЦИИ
и ЭКОНОМИКЕ, СОЦИАЛЬНЫМ и ЕСТЕСТВЕННЫМ НАУКАМ
литературы по
ПРОГРАММИРОВАНИЮ и ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ
ПРИКЛАДНОЙ и ТЕХНИЧЕСКОЙ литературы
литературы по СПОРТУ и БОЕВЫМ ИСКУССТВАМ
ДЕТСКОЙ и ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ литературы
литературы по КУЛИНАРИИ и РУКОДЕЛИЮ

Высокие гонорары!!!
Все финансовые затраты берем на себя!!!
При принятии рукописи в производство

выплачиваем гонорар на 10 % выше
любого российского издательства!!!
Рукописи не рецензируются и не возвращаются!

По вопросам издания книг:
Тел. 8 (863) 2618950

E-mail: office@phoenixrostov.ru

Наш адрес:
344011, г. Ростов-на-Дону, ул. Варфоломеева, 150
Факс: (863) 261-89-50
http://www.Phoenixrostov.ru E-mail: reclamabook@jeo.ru

Редакционно-издательский отдел
Осташов Сергей Александрович (руководитель отдела)
Тел.: (863) 261-89-75 (доб. 2) e-mail: ostashov@aaanet.ru

Багрянцева Людмила Андреевна
(технический редактор)
Тел.: (863) 261-89-75 (доб. 2)
Сайт издательства Феникс: http://www.Phoenixrostov.ru
Вы можете ознакомиться с содержанием наших книг, прочитать
отдельные главы и выдержки из них и купить понравившуюся
книгу по самым низким ценам в интернет-магазине

www.phoenixbooks.ru.
Оплата — денежный перевод или электронный платеж,
доставка — почтой России.

^^^Издательство

%^е нике

344011, г. Росгов-на-Дону,
ул. Варфоломеева, 150
Тел.: (863) 261-89-50
www.phoenixrostov.ru

ПРЕДЛАГАЕТ:

/

Около 100 новых книг каждый месяц

✓

Более 6000 наименований книжной продукции
собственного производства
ОСУЩЕСТВЛЯЕТ:

/

Оптовую и розничную торговлю книжной продукцией

ГАРАНТИРУЕТ:

✓

Своевременную доставку книг в любую точку страны, за счет
издательства, ж/д контейнерами

✓
✓
✓

Многоуровневую систему скидок
Реальные цены

Надежный доход от реализации книг нашего
издательства.

ТОРГОВЫЙ ОТДЕЛ
344011, г. Ростов-на-Дону, ул. Варфоломеева, 150
Контактные телефоны:

(863) 261-89-53, 261-89-54,
261-89-55, 261-89-56, 261-89-57.
Факс 261-89-58.
Начальник торгового отдела

Аникина Елена Николаевна
Тел.: (863)261-89-53.
E-mail: torgl53@aaanet.ru

Вышли в свет

Э. Н. Балаян

ГЕОМЕТРИЯ
Задачи на готовых чертежах
для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ
(профильный уровень)
7 класс
Предлагаемое вниманию читателя пособие содержит около
300 задач и упражнений профильного уровня по всем основ­
ным темам программы геометрии для 7 класса, скомпонован­
ных в 14 таблицах на готовых чертежах.
Эти упражнения дают возможность учителю в течение ми­
нимума времени проработать и повторить с учащимися зна­
чительно больший объем материала, тем самым наращивать
темп работы на уроках.
Кроме того, приводятся краткие теоретические сведения по
КУРСУ геометрии 7 класса, сопровождаемые определениями,
теоремами, основными свойствами. К наиболее трудным зада­
чам приведены решения и указания.
Пособие адресовано учителям математики, репетиторам,
студентам — будущим учителям, учащимся общеобразова­
тельных школ, лицеев, колледжей, а также выпускникам для
эффективной подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.

Вышли в свет

Э. Н. Балаян

ГЕОМЕТРИЯ
Задачи на готовых чертежах
для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ
7-9 классы
Предлагаемое вниманию читателя по­
собие содержит более 1000 разноуровне­
вых задач и упражнений по основным те­
мам программы геометрии (планиметрии)
7-9 классов, скомпонованных в 3 комплек­
та по готовым чертежам. 7 класс содержит
12 таблиц, 8 класс — 25, 9 — 12 таблиц.
Эти упражнения дают возможность учи­
телю в течение минимума времени решить
и повторить значительно больший объем
материала, тем самым наращивать темп ра­
боты на уроках.
Кроме того, приводятся краткие теоретические сведения
по курсу геометрии 7-9 классов, сопровождаемые определе­
ниями, теоремами, основными свойствами и необходимыми
справочными материалами. К наиболее трудным задачам при­
ведены решения и указания.
Пособие адресовано учителям математики, репетиторам,
студентам — будущим учителям, учащимся общеобразова­
тельных школ, лицеев, колледжей, а также выпускникам для
подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.