8a. Квантовая механика I [Ричард Филлипс Фейнман] (fb2) читать постранично, страница - 6

урав­нения (7.36), получаем

Вопрос теперь в том, как решить эти уравнения. Это труд­нее, чем прежде, потому что x зависит от t; и действительно, при общем x (t)решение не представимо в элементарных функ­циях. Однако, пока электрическое поле мало, можно добиться хорошего приближения. Сперва напишем

Если бы электрического поля не было, то, беря в качестве gI и gII две комплексные постоянные, мы бы получили пра­вильное решение. Ведь поскольку вероятность быть в состоя­нии |/ > есть квадрат модуля CI, а вероятность быть в состоя­нии |II> есть квадрат модуля СII, то вероятность быть в со­стоянии |I>или в состоянии |II> равна просто |gI|² или |gII|². Например, если бы система начинала развиваться из состояния |II> так, что gI было бы нулем, a |gII|²— единицей, то эти условия сохранились бы навсегда. Молекула из состояния |II> никогда бы не перешла в состояние |I>.

Польза записи решений в форме (7.40) состоит в том, что оно сохраняет свой вид и тогда, когда есть электрическое поле, если только mx меньше А, только gI и gII при этом станут мед­ленно меняющимися функциями времени. «Медленно меняю­щиеся» означает медленно в сравнении с экспоненциальными функциями. В этом весь фокус. Для получения приближен­ного решения используется тот факт, что gI и gII меняются медленно.

Подставим теперь СIиз (7.40) в дифференциальное уравне­ние (7,39), но вспомним, что gI тоже зависит от t. Имеем

Дифференциальное уравнение обращается в

Равным образом уравнение для dCII/dt обращается в

Обратите теперь внимание, что в обеих частях каждого урав­нения имеются одинаковые члены. Сократим их и умножим первое уравнение на

а второе на

. Вспоминая, что (EI- eii)=2А=hw0, мы в конце концов получаем

Получилась довольно простая пара уравнений — и пока еще точная. Производная от одной переменной есть функция от времени, умноженная на вторую переменную; про­изводная от второй — такая же функция от времени, умножен­ная на первую. Хотя эти простые уравнения в общем не реша­ются, но в некоторых частных случаях мы решим их.

Нас, по крайней мере сейчас, интересует только случай ко­леблющегося электрического поля. Взяв x(t) в форме (7.37), мы увидим, что уравнения для gI и gIIобратятся в

(it

И вот если x0достаточно мало, то скорости изменения gI и gIIтоже будут малы. Обе у не будут сильно меняться с t, особен­но в сравнении с быстрыми вариациями, вызываемыми экспо­ненциальными членами. У этих экспоненциальных членов есть вещественные и мнимые части, которые колеблются с частотой w+w0 или w-w0. Члены с частотой w+w0 колеблются вокруг среднего значения (нуля) очень быстро и поэтому не дадут сильного вклада в скорость изменения g. Значит, можно сде­лать весьма разумное приближение, заменив эти члены их средним значением, т. е. нулем. Их просто убирают и в каче­стве приближения берут

Но даже и оставшиеся члены с показателями, пропорциональ­ными (w-w0), меняются быстро, если только w не близко к w0. Только тогда правая сторона будет меняться достаточно мед­ленно для того, чтобы набежало большое число, пока интег­рируешь эти уравнения по t. Иными словами, при слабом электрическом поле изо всех частот представляют важность лишь те, которые близки к w0.

При тех приближениях, которые были сделаны для того, чтобы получить (7.45), эти уравнения можно решить и точно; но работа эта все же трудоемкая, и мы отложим ее на другое время, когда обратимся к другой задаче того же типа. Пока же мы их просто решим приближенно, или, лучше сказать, найдем точное решение для случая идеального резонанса w=w0 и приближенное — для частот близ резонанса.

§ 4. Нереходы при резонансе

Первым рассмотрим случай идеального резонанса. Если положить w=w0, то экспоненты в обоих уравнениях (7.45) станут равными единице, и мы просто получим

Если из этих уравнений исключить сперва gI, а потом gII, то мы увидим, что каждое из них удовлетворяет дифференциаль­ному уравнению простого гармонического движения

Общее решение этих уравнений может быть составлено из сину­сов и косинусов. Легко проверить, что решениями являются следующие выражения:

где а и b — константы, которые надо еще определить так, чтобы они