проделать.
Для молекулы аммиака в электрическом поле наше описание придется изменить. Если игнорировать амплитуду переброса молекулы из одной конфигурации в другую, то энергии двух состояний |1> и |
2>обязаны быть равны
(Е0±mx)
. Следуя процедуре, принятой в предыдущей главе, мы примем
Кроме того, предположим, что при интересующих нас электрических полях сами поля не сказываются заметно на геометрии молекулы и, стало быть, на амплитуде того, что атом азота перепрыгнет из одного положения в другое.
Поэтому можно принять, что
Н12и
H21 не изменились, т. е.
H12=
H21=-
А. (7.15)
Теперь с этими новыми значениями
Нijнадо решать гамильтоновы уравнения (6.43). Мы могли бы их решить просто, как делали это прежде, но поскольку нам не раз, видимо, представится случай решать системы с двумя состояниями, то давайте уж решим их раз и навсегда в общем случае произвольного
Нij, считая только, что со временем оно не меняется.
Мы ищем общее решение пары гамильтоновых уравнений
Это линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Значит, всегда можно найти решения, являющиеся экспоненциальными функциями независимой переменной
t. Сперва отыщем решения, в которых
С1и
С2 одинаково зависят от времени; возьмем пробные функции
Поскольку это решение отвечает состоянию с энергией
E=hw,
то можно прямо написать
где
Е пока неизвестна и должна быть определена так, чтобы дифференциальные уравнения (7.16) и (7.17) выполнялись. При подстановке
С1и
С2 из (7.18) и (7.19) в дифференциальные уравнения (7.16) и (7.17) производные дают просто -
iE/h, умноженное на
С1или
C2, так что слева остается попросту
ЕС1или
ЕС2
. Сокращая общие экспоненциальные множители, получаем
или после перестановки членов
У такой системы однородных алгебраических уравнений ненулевые решения для а1 и а2 будут лишь тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при
а1и
а2, равен нулю, т. е. если
Но когда уравнений два и неизвестных тоже два, то можно обойтись и без столь возвышенных представлений. Каждое из уравнений (7.20) и (7.21) дает отношение двух коэффициентов a1 и а2, и эти два отношения должны быть равны. Из (7.20) мы имеем
а из (7.21)
Приравнивая эти отношения, получаем, что
Е должно удовлетворять равенству
(E-H11
)(E-H22
)-H12
H21
=0
.
То же получилось бы и из (7.22). В любом случае для
Е получается квадратное уравнение с двумя решениями:
Энергия
E может иметь два значения. Заметьте, что оба они
вещественны, потому что
Н11и
H22 вещественны, а
Н12
Н21
, равное
Н12
H12=|
H12|
2, тоже вещественно, да к тому же положительно.
Пользуясь тем же соглашением, что и раньше, обозначим большую энергию
EI, а меньшую
ЕII. Имеем
Подставив каждую из этих энергий по отдельности в (7.18) и (7.19), получим амплитуды для двух стационарных состояний (состояний определенной энергии). Если нет каких-либо внешних возмущений, то система, первоначально бывшая в одном из этих состояний, останется в нем навсегда, у нее только фаза будет меняться.
Наши результаты можно проверить на двух частных случаях. Если
H12=
H21=0, то получается
EI=
H11 и
EII=
H22. А это бесспорно правильно, потому что тогда уравнения (7.16) и (7.17) не связаны и каждое представляет состояние с энергией
H11 и
H22. Далее, положив
H11=
H22=
E0 и
H21=
H12=-
А, придем к найденному выше решению:
еI=е0
+а и
еII=е0
-а.
В общем случае два решения
ЕIи
ЕIIотносятся к двум состояниям; мы их опять можем назвать состояниями
У этих состояний
С1и
С2будут даваться уравнениями (7.18) и (7.19), где
а1и
а2 еще подлежат определению. Их отношение дается либо формулой (7.23), либо (7.24). Они должны также удовлетворять еще одному условию. Если известно, что система находится в одном из стационарных состояний, то сумма вероятностей того, что она окажется в
|1>или |
2>, должна равняться единице. Следовательно,
или, что то же самое,
Эти условия не определяют
а1и
а2 однозначно: остается еще произвол в фазе, т. е. в множителе типа
еid. Хотя для
а можно выписать общие решения, но обычно удобнее вычислять их в каждом отдельном случае.
Вернемся теперь
Последние комментарии
2 дней 3 часов назад
2 дней 4 часов назад
2 дней 4 часов назад
2 дней 4 часов назад
2 дней 6 часов назад
2 дней 6 часов назад