Алгебра ЕГЭ [Автор Неизвестен] (pdf) читать онлайн

Таблица умножения
1×1=1
1×2=2
1×3=3
1×4=4
1×5=5
1×6=6
1×7=7
1×8=8
1×9=9
1 × 10 = 10

2×1=2
2×2=4
2×3=6
2×4=8
2 × 5 = 10
2 × 6 = 12
2 × 7 = 14
2 × 8 = 16
2 × 9 = 18
2 × 10 = 20

3×1=3
3×2=6
3×3=9
3 × 4 = 12
3 × 5 = 15
3 × 6 = 18
3 × 7 = 21
3 × 8 = 24
3 × 9 = 27
3 × 10 = 30

4×1=4
4×2=8
4 × 3 = 12
4 × 4 = 16
4 × 5 = 20
4 × 6 = 24
4 × 7 = 28
4 × 8 = 32
4 × 9 = 36
4 × 10 = 40

5×1=5
5 × 2 = 10
5 × 3 = 15
5 × 4 = 20
5 × 5 = 25
5 × 6 = 30
5 × 7 = 35
5 × 8 = 40
5 × 9 = 45
5 × 10 = 50

6×1=6
6 × 2 = 12
6 × 3 = 18
6 × 4 = 24
6 × 5 = 30
6 × 6 = 36
6 × 7 = 42
6 × 8 = 48
6 × 9 = 54
6 × 10 = 60

7×1=7
7 × 2 = 14
7 × 3 = 21
7 × 4 = 28
7 × 5 = 35
7 × 6 = 42
7 × 7 = 49
7 × 8 = 56
7 × 9 = 63
7 × 10 = 70

8×1=8
8 × 2 = 16
8 × 3 = 24
8 × 4 = 32
8 × 5 = 40
8 × 6 = 48
8 × 7 = 56
8 × 8 = 64
8 × 9 = 72
8 × 10 = 80

9×1=9
9 × 2 = 18
9 × 3 = 27
9 × 4 = 36
9 × 5 = 45
9 × 6 = 54
9 × 7 = 63
9 × 8 = 72
9 × 9 = 81
9 × 10 = 90

10 × 1 = 10
10 × 2 = 20
10 × 3 = 30
10 × 4 = 40
10 × 5 = 50
10 × 6 = 60
10 × 7 = 70
10 × 8 = 80
10 × 9 = 90
10 × 10 = 100

Таблица квадратов

Округление
Определение
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример округления до
целых

Пример округления до
десятых

Пример округления до
сотых

Пример округления до
тысяч

_________________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

≈
≈

≈

≈

Знаки
СЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ С РАЗНЫМИ ЗНАКАМИ

СЛОЖЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

ЗНАКИ ПРИ УМНОЖЕНИИ И ПРИ ДЕЛЕНИИ

____________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

+1 ∙ (−4) = −4
−6 ∙ (+1) = −6
−2 ∙ (−4) = +8

−8 + (−2) = −(8 + 2) = −10
−1 − 5 = −(1 + 5) = −6

6 + (−4) = +(6 − 4) = 2
2 + (−3) = −(3 − 2) = −1
−5 + 7 = +(7 − 5) = 2
−8 + 1 = −(8 − 1) = −7
7 − 9 = −(9 − 7) = −2

+ 4: (−4) = −1
− 8: (+2) = −4
− 4: (−2) = +2

Дроби
Три способа найти общий
знаменатель

Умножение обыкновенных
дробей

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Деление обыкновенных дробей

Перевод смешанного числа в
неправильную дробь

Значения некоторых
обыкновенных дробей

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

1
= 0,5
2
1
= 0,25
4
3
= 0,75
4
1
= 0,125
8

1
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

3 1 3∙1
3
∙ =
=
4 5 4 ∙ 5 20

1 3
+ =
2 5 10

______________________________________________________________________________

2

3 2 3 7 3 ∙ 7 21
: = ∙ =
=
4 7 4 2 4∙2
8

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

2
1 5
+ =
3 6 6

______________________________________________________________________________

3
______________________________________________________________________________

1 7
+ =
6 9 18

3 2 ∙ 4 + 3 11
=
=
4
4
4

пропорции
Как найти x из пропорции

Решение любой пропорции

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

48 − 100%
𝑥 − 120%

5,4 12 + 𝑥
=
1,8
𝑥

48 ∙ 120
𝑥=
= 57,6
100

↔

5,4 ∙ 𝑥 = 1,8 ∙ (12 + 𝑥)

↔

↔

𝑥=6

Формулы сокращённого умножения
Разность квадратов

Квадрат суммы

Квадрат разности

____________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2

2

2

2

2

(𝑎 − 𝑏) = 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

𝑎 − 𝑏 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

(𝑎 + 𝑏) = 𝑎 + 2𝑎𝑏 + 𝑏

____________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

32 − 𝑥 2 = (3 − 𝑥)(3 + 𝑥)

(𝑥 + 2)2 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4

(𝑦 − 4)2 = 𝑦 2 − 8𝑦 + 16

Степени
Определение
__________________________________________

𝑎
𝑎
𝑛

𝑛

1

2

__________________________________________

𝑛

𝑎 ∙𝑎

𝑚

=𝑎

𝑛+𝑚

__________________________________________

𝑛

𝑎 :𝑎

𝑚

=𝑎

𝑛−𝑚

3

4

__________________________________________

__________________________________________

(𝑎𝑛 )𝑚

=𝑎

𝑛∙𝑚

𝑛

𝑛

𝑛

𝑎 ∙ 𝑏 = (𝑎 ∙ 𝑏)

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

23 ∙ 25 = 28

36 : 34 = 32

(43 )5 = 415

32 ∙ 42 = (12)2

5

6

7

8

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

_________________________________________

𝑛

𝑎
𝑎
=( )
𝑏𝑛
𝑏

0

𝑛

𝑎 =1
__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

50 = 1

83
= 43
23

__________________________________________

23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
42 = 4 ∙ 4 = 16

𝑎−𝑛

1
= 𝑛
𝑎

10−2 =

1
1
=
2
10
100

𝑎
( )
𝑏

−𝑛

𝑏 𝑛
=( )
𝑎

_________________________________________

2 −1
5 1
( ) =( )
5
2

Корни
Определение
________________________________________________________________

1

2

3

4

5

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

√𝑎 = 𝑎

√𝑎2 = |𝑎|

𝑛

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

√(𝑎 − 3)2 = |𝑎 − 3|

5

√𝑎

√𝑎 ∙ √𝑏 = √𝑎𝑏

√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5

________________________________________________________________

𝑎
=√
𝑏
√𝑏

2

________________________________________________________________

√5 ∙ √2 = √10

2

√3 = 3
√24
√3

√𝑎𝑚 =

𝑚
𝑎𝑛
3

√𝑎 3 = 𝑎 5

= √8

Логарифмы
Определение
_________________________________________________________________________________

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏

𝑏

𝑎

_________________________________________________________________________________

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑐

↔

𝑎𝑐 = 𝑏

_________________________________________________________________________________

𝑙𝑜𝑔2 16 = 𝑥

↔

𝑥=4

1

2

3

4

5

6

7

_________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 ∙ 𝑐

_________________________

_________________________________________________________

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎

𝑏
𝑐

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 𝑘 = 𝑘 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏

________________________________________

𝑙𝑜𝑔6 9 + 𝑙𝑜𝑔6 4 = 𝑙𝑜𝑔6 36

𝑙𝑜𝑔4 32 − 𝑙𝑜𝑔4 2 = 𝑙𝑜𝑔4 16

1
1
∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 =
𝑛
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 =

1
1
∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 𝑙𝑜𝑔2 5 =
3
𝑙𝑜𝑔5 2

𝑙𝑜𝑔5 25 =

________________________________________

_________________________________________________________

2𝑙𝑜𝑔25 = 5

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑛 𝑏 =

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 7 = 7𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑎3 𝑏 =

________________________________________

𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎

________________________________________

𝑙𝑜𝑔3 25
𝑙𝑜𝑔3 5

Тригонометрическая окружность

Синус, Косинус, тангенс и котангенс
Синус
противолежащий катет
𝑠𝑖𝑛 =
гипотенуза

Косинус
прилежащий катет
𝑐𝑜𝑠 =
гипотенуза

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

Тангенс
противолежащий катет
𝑡𝑔 =
прилежащий катет
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑡𝑔𝛼 =
𝑐𝑜𝑠𝛼

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

Котангенс
прилежащий катет
𝑐𝑡𝑔 =
противолежащий катет
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑐𝑡𝑔𝛼 =
𝑠𝑖𝑛𝛼

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

тригонометрические тождества
Основное тригонометрическое тождество
__________________________________________________________________________________________________

𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1
__________________________________________________________________________________________________

Связь между тангенсом и косинусом
1
1 + 𝑡𝑔2 𝛼 =
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

Связь между котангенсом и синусом
1
1 + 𝑐𝑡𝑔2 𝛼 =
𝑠𝑖𝑛2 𝛼

__________________________________________________________________________________________________

Связь между тангенсом и котангенсом
__________________________________________________________________________________________________

𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 1
__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

Формулы приведения
Определяем изменится ли функция на кофункцию

Определяем знак

_____________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

Если в аргументе есть

𝜋
3𝜋
5𝜋
или
или
и т. д. , то функция меняется на кофункцию.
2
2
2

_____________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

𝜋
𝑠𝑖𝑛 ( − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝛼
2
9𝜋
𝑐𝑡𝑔 ( − 𝛼) = 𝑡𝑔𝛼
2
Если в аргументе есть 𝜋 или 2𝜋 или 3𝜋 и т. д. , то функция не меняется на кофункцию.

_____________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

Чтобы определить знак, необходимо понять в какой четверти находится аргумент и
смотреть на изначальную функцию, а не на изменившуюся.
_____________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

𝑠𝑖𝑛 (

3𝜋
+ 𝛼)
2

3𝜋
+ 𝛼 − это 𝐼𝑉 четверть, в ней синус имеет знак " − ", поэтому:
2
3𝜋
𝑠𝑖𝑛 ( + 𝛼) = −𝑐𝑜𝑠𝛼
2

_____________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

𝑠𝑖𝑛(𝜋 − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑡𝑔(𝜋 + 𝛼) = 𝑡𝑔𝛼

𝑡𝑔(𝜋 + 𝛼)
(𝜋 + 𝛼) − это 𝐼𝐼𝐼 четверть, в ней тангенс имеет знак " + ", поэтому:
𝑡𝑔(𝜋 + 𝛼) = +𝑡𝑔𝛼

Формулы двойного угла
Синус двойного угла

Косинус двойного угла

Косинус двойного угла (через косинус)

Косинус двойного угла (через синус)

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

2

2

2

𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 2𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼

𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 2𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 1

𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝛼

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

Производные
1

2

3

4

5

6

7

_______________________

_______________________

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

___________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

𝐶′ = 0

𝑥′ = 1

(𝐶𝑥)′ = 𝐶

(𝑥 𝑛 )′ = 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛−1

_______________________

_______________________

_____________________________________

_____________________________________

7′ = 0
(−5)′ = 0

′

(√𝑥) =

1
2√ 𝑥

_____________________________________

(4𝑥)′ = 4
(𝑥 6 )′ = 6𝑥 5
′
(−0,5𝑥) = −0,5 (𝑥 2 )′ = 2𝑥

(𝑈 ∙ 𝑉)′ = 𝑈 ′ 𝑉 + 𝑈𝑉 ′
___________________________________________________________________

(𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥)′ = 1 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑈 ′ 𝑈 ′ 𝑉 − 𝑈𝑉 ′
( ) =
𝑉
𝑉2

Производная сложной функции
(с функцией внутри)
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

′

(

𝑥3
3𝑥 2 ∙ (2𝑥 + 4) − 𝑥 3 ∙ 2
) =
2𝑥 + 4
(2𝑥 + 4)2

______________________________________________________________________________

′

√2𝑥 =

1

∙2
2√2𝑥
(𝑠𝑖𝑛5𝑥)′ = 5 ∙ 𝑐𝑜𝑠5𝑥
8

9

10

11

12

13

14

15

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

(𝑠𝑖𝑛𝑥)′

(𝑐𝑜𝑠𝑥)′

1
(𝑡𝑔𝑥)′ =
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

1
(𝑡𝑔𝑥)′ = −
𝑠𝑖𝑛2 𝑥

(𝑒 𝑥 )′

(𝑎 𝑥 )′

1
(𝑙𝑛𝑥)′ =
𝑥

(𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏)′ =

= 𝑐𝑜𝑠𝑥

_______________________________________________

= −𝑠𝑖𝑛𝑥

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

=𝑒

𝑥

_______________________________________________

𝑥

= 𝑎 ∙ 𝑙𝑛𝑎

_______________________________________________

_______________________________________________

1
𝑏 ∙ 𝑙𝑛𝑎

_______________________________________________