Группы и их графы [И. Гроссман] (pdf) читать онлайн

GROUPS
and

THEIR GRAPHS
by
I. GROSSMAN
Albert Leonard Junior High School

and
W. MAGNUS
New York University

RAN DO M H OUSE

The L. W. Singer Company
i

1964

« СОВР ЕМЕННАЯ

МАТЕМАТИКА»

Популярная серия

И. ГРОССМАН, В. МАГНУС

Группы и их графы

Перевод с английского
Г. М. Цукерман
Под редакцией
В. Е, Тараканова

ИЗДАТЕЛЬСТВО

Москва 1971

«МИР»

6

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

брасывая лишь сжатый его план или даже ограничи­
ваясь примерами. Более прочному закреплению ос­
новных понятий способствуют упражнения, немного­
численные, но тщательно подобранные; решение их
принесет читателю большую пользу.
Книга не требует от читателей никаких специаль­
ных знаний, выходящих за пределы программы стар­
ших классов средней школы. Она может быть с инте­
ресом прочитана студентами младших курсов универ­
ситетов, педагогических и технических вузов, а также
использована в работе школьных математических
кружков. Для тех, кто заинтересуется теорией групп
и пожелает подробнее познакомиться с этой прекрас­
ной областью математики, в конце книги приведен
список литературы.
В. Тараканов

ПРЕДИСЛОВИЕ

У школьников обычно складывается впечатление,
что математика занимается исключительно числами
и измерениями. Однако на самом деле математика —
это нечто гораздо большее, чем просто наука для сче­
товодов и кассиров; скорее, она имеет дело с логикой
и качественными связями между понятиями.
Теория групп — один из важных разделов «неко­
личественной» (если можно так сказать) математики.
Хотя понятие группы появилось в математике срав­
нительно недавно, оно оказалось на редкость плодо­
творным. Например, теория групп дала мощные сред­
ства для исследования алгебраических уравнений, гео­
метрических преобразований, а также для решения
ряда задач топологии и теории чисел.
Две особенности теории групп привели к тому, что
создалась традиция откладывать ее изучение на бо­
лее поздние этапы. Первая из них — это высокая сте­
пень абстракции, свойственная теоретико-групповым
понятиям, а умение обращаться с абстрактными по­
нятиями приходит с математической зрелостью. Вто­
рая особенность состоит в том, что теория групп
имеет глубокие связи с другими областями науки,
проследить которые можно лишь тогда, когда уча­
щийся уже знаком с основами этих наук.
В этой книге мы старались изложить теорию
групп в форме, доступной для начинающих читате­
лей. Чтобы обойти трудности, связанные с абстракт­
ным характером понятий, мы прибегли к наглядным
образам — графам групп. При этом абстрактная
группа обрела конкретное представление, отражаю­
щее ее групповую структуру. Конечно, не приходится
рассчитывать, что это обращение к наглядности по­
зволит избежать серьезного изучения теории, без ко­
торого нельзя овладеть основными понятиями в лю­
бой области математики. Мы лишь попытались ма-

8

ПРЕДИСЛОВИЕ

ксимально использовать наглядность, чтобы лучше
разъяснить смысл некоторых теорем и понятий.
Мы сознаем, что нам далеко не всегда удалось
показать, как понятия теории групп связаны с прак­
тикой. В конечном счете нам пришлось положиться на
внутреннюю привлекательность самой теории. И, разу­
меется, самое главное — это заинтересованность, ко­
торую должен проявить сам читатель.

ГЛАВА 1

ВВЕДЕНИЕ

Теория групп начала оформляться в качестве са­
мостоятельного раздела математики в конце восем­
надцатого века. В течение первых десятилетий девят­
надцатого века она развивалась медленно и практи­
чески не привлекала к себе внимания. Но затем, около
1830 года, благодаря работам Галуа и Абеля о разре­
шимости алгебраических уравнений всего за несколь­
ко лет она совершила гигантский скачок, который
оказал глубокое влияние на развитие всей матема­
тики.
С тех пор основные понятия теории групп стали
детально исследоваться. Постепенно они проникли во
многие разделы математики и нашли применение в
таких различных областях знания, как, например,
квантовая механика, кристаллография и теория уз­
лов.
Эта книга посвящена группам и их графическому
представлению. Наша первая задача — выяснить, что
же такое «группа».
Основная идея дальнейших рассмотрений, прони­
кающая в самую сущность понятия группы, связана
с концепцией структуры. Перед читателем развернет­
ся ряд примеров и пояснений, определений и теорем,
варьирующих одну основную тему — как группы и их
графы представляют и иллюстрируют одну из разно­
видностей математической структуры.
До сих пор мы употребляли слово «группа», не
давая читателю ни малейшего намека на то, что же
оно может означать. Если дать сразу полное фор­
мальное определение, то читатель, вероятно, останет­
ся в таком же недоумении, как и прежде. Поэтому мы

ГЛАВА 1

10

будем развивать понятие группы постепенно и начнем
с двух примеров. (Читателю следует помнить о них
во время дальнейшего первоначального обсуждения
структурных признаков группы.)
Группа А: Множество всех целых чисел, рассмат­
риваемых как числа, которые можно складывать одно
с другим. Другими словами, элементами группы А
являются целые числа {..., — 3, — 2, — 1, 0, 1, 2,
3, ...}, и единственная операция, которую мы сейчас
рассматриваем, — это сложение любых двух элемен­
тов указанного множества; например, 2 + 5 —7.
Группа В: Множество всех положительных рацио­
нальных чисел, рассматриваемых как числа, которые
можно умножать одно на другое. В этом случае эле­
ментами множества являются все числа, которые мо­
жно представить в виде а!Ь, где а и b — положитель­
ные целые числа, и единственная операция, которую
мы здесь рассматриваем, — это умножение любых
двух элементов данного множества; например,
1 А= А
3

’

8

12

*

Теперь читатель познакомился с примерами групп,
но, вероятно, все еще не слишком приблизился к по­
ниманию того, что же такое группа, поскольку,
быть может, не смог сразу выделить в этих примерах
то существенное, что определяет группу. В приведен­
ном описании групп А и В некоторые слова были вы­
делены курсивом, чтобы подчеркнуть основные струк­
турные признаки, присущие всем группам, а именно:
1) наличие множества элементов и 2) наличие бинар­
ной операции:
группа Л — все целые числа,
группа В — все положительные
рациональные числа;

{

( группа А — сложение любых двух
Бинарная операция « целых чисел,
на множестве
\ группа В — умножение любых двух
[ положительных рациональных чисел»

ВВЕДЕНИЕ

Н

Мы назвали операции в группах А я В бинарными,
поскольку в каждой из них участвуют одновременно
два элемента.
Бинарная операция на множестве — это соответ­
ствие, при котором каждой упорядоченной паре эле­
ментов данного множества отвечает однозначно опре­
деленный элемент этого же множества. Так, в груп­
пе А сложение есть бинарная операция на множестве
целых чисел; в самом деле, если г и 5 — любые два
элемента этого множества, то г + s также является
элементом этого множества. Обозначив элемент г + 5
символом t, можно перефразировать это следующим
образом: если г и 5 — два произвольных элемента
множества, то существует один и только один эле­
мент t того же множества, такой, что г + s = t. На­
пример, если выбрать в нашем множестве два эле­
мента, 2 и 5, то в нем найдется единственный элемент
7, такой, что 2 + 5 = 7.
Умножение есть бинарная операция в группе В.
Действительно, если г и 5 — любые два элемента дан­
ного множества (положительных рациональных чи­
сел), то существует один и только один элемент t
этого множества, такой, что r-s = t. ‘(Единственность
элемента t следует из того факта, что эквивалентные
4
1
рациональные числа, такие, как
и у , представ­
ляют собой одно и то же число.) Если в нашем множестве выбрать два элемента, например j и
то
5

в нем найдется единственный элемент - у , такой, что
2_ 5_ __ _5_
3*8

12 *

Заметим, что понятие бинарной операции нераз­
рывно связано с множеством, на котором она опреде­
лена. Вот почему мы говорим: «бинарная операция
на множестве». Два элемента и третий элемент, кото­
рый сопоставляется им посредством бинарной опера­
ции, должны быть элементами одного и того же мно­
жества. Итак, мы видим, что два основных признака,
характеризующих группу, — это наличие (1) множе­
ства элементов, (2) бинарной операции на этом мно­

12

ГЛАВА 1

жестве. И хотя они тесно переплетены и неразде­
лимы, иногда оказывается удобным переносить центр
внимания с одного признака на другой.
Рассмотренные нами примеры групповых опера­
ций— это обычное сложение целых чисел, обозначае­
мое символом + , и умножение положительных ра­
циональных чисел, обозначаемое символом •. В даль­
нейшем мы увидим, что существует много различных
бинарных операций, связанных с разными группами,
но иногда будет удобно пользоваться каким-то одним
символом для произвольной бинарной операции. Для
этой цели мы будем использовать символ 0 .
Это обозначение позволяет нам следующим обра­
зом описать выявленные у групп А и В структурные
признаки (1) и (2): задано множество 5 и бинарная
операция 0 на 5. Если г и s — два произвольных
элемента множества 5, то в S существует единствен­
ный элемент /, такой, что
Г 0 5 = t.
Для группы А символ 0 обозначает операцию «сло­
жение целых чисел», для группы В — «умножение
положительных рациональных чисел».
Чтобы подчеркнуть ту мысль, что бинарная опера­
ция есть соответствие, можно описать рассмотренные
выше группы еще одним способом. В случае группы А
мы можем сказать, что любой паре г и s целых чисел
соответствует однозначно определенное целое число
/, и записать это так:
(г, s)-* t,
где стрелка означает «соответствует». В случае груп­
пы В мы можем сказать, что любой паре г и s поло­
жительных рациональных чисел соответствует одно­
значно определенное положительное рациональное
число t.
Чтобы расширить наше представление о бинар­
ных операциях на множестве, рассмотрим следующий
вопрос: может ли бинарная операция на множестве
быть бинарной операцией и на подмножестве? (Назо­

ВВЕДЕНИЕ

13

вем множество U подмножеством множества 5, если
любой элемент множества U является элементом мно­
жества 5.) Например, пусть S — множество всех по­
ложительных рациональных чисел, a U — его подмно­
жество, состоящее из положительных целых чисел.
Выясним сначала, будет ли деление бинарной опера­
цией на множестве S. Читатель может без труда убе­
диться, что деление является бинарной операцией на
множестве 5 положительных рациональных чисел:
для любых двух положительных рациональных чисел
г и s существует единственное положительное рацио­
нальное число tt такое, что
г : s = t.
Теперь посмотрим, будет ли деление — бинарная
операция на множестве 5 — бинарной операцией и
на подмножестве U положительных целых чисел.
Очевидно, что если взять два таких элемента множе­
ства JJ, как, например, 2 и 3, то для них не существует положительного целого числа /, для которого
2 :3 = f.
Следовательно, деление не является бинарной опе­
рацией на подмножестве U положительных целых чи­
сел, так как существуют пары положительных целых
чисел, которым не соответствует никакое третье поло­
жительное целое число.
В противоположность только что описанной ситуа­
ции рассмотрим множество 5 всех целых чисел и под­
множество U всех четных чисел. Мы уже видели, что
сложение есть бинарная операция на множестве S
всех целых чисел. Что же будет происходить, если
применять операцию сложения к элементам множе­
ства четных чисел? Если сложить два четных числа, то
в результате снова получится четное число. Иными
словами, сложение является бинарной операцией на
подмножестве U четных чисел. Если сложить два эле­
мента из подмножества U, то их сумма тоже будет
принадлежать этому подмножеству. Это свойство
можно выразить иначе: подмножество U четных чи­
сел замкнуто относительно бинарной операции ело-

14

ГЛАВА 1

жения. Читатель может проверить, что подмножество
Т нечетных чисел не замкнуто относительно этой опе­
рации.
Опишем свойство замкнутости подмножества отно­
сительно бинарной операции следующим, более об­
щим образом: если 0 — бинарная операция на мно­
жестве 5 и U — подмножество множества 5, обла­
дающее тем свойством, что для любых элементов и и
v подмножества U элемент uv также принадлежит
U, то подмножество U называется замкнутым относи­
тельно бинарной операции 0 . Термин «замкнутый»
отражает то обстоятельство, что операция 0 , рас­
сматриваемая лишь на парах элементов из U, не вы­
водит нас за пределы подмножества U, т. е. 0 можно
рассматривать как бинарную операцию на множе­
стве U.
В гл. 8 мы увидим, что свойство замкнутости под­
множества относительно бинарной операции играет
главную роль при изучении подгрупп.
У п р а ж н е н и е 1. (а) Является ли сложение би­
нарной операцией на множестве нечетных положи­
тельных чисел? (Ь) Будет ли умножение бинарной
операцией на указанном в п. (а) множестве? (с)
Пусть рассматриваемое множество состоит из следую­
щих элементов: 1, i, — 1, — i, где / = ] / —1. Будет ли
сложение бинарной операцией на этом множестве?
(d) Будет ли умножение бинарной операцией на мно«
жестве, указанном в п. (с)?
До сих пор мы видели, что группа — это множе­
ство с заданной на нем бинарной операцией. Если г
и 5 — два произвольных элемента данного множества,
то существует однозначно определенный элемент t
того же множества, такой, что
г ® s = t или (г, s) -> /.
Выражение «г и s — два произвольных элемента дан­
ного множества» не исключает из рассмотрения слу­
чая, когда г и s совпадают (т. е. представляют собой
один и тот же элемент). Не предполагается также,
что элементы г и s берутся в каком-то определенном

ВВЕДЕНИЕ

15

порядке. Таким образом, если г и 5 — два произволь­
ных элемента данного множества, то
г ® 5, г® г, s ® s , s ® г
также являются элементами этого множества (не
обязательно, чтобы все они были различными).
Возникает вопрос: могут ли в некоторой группе
r®s и s® r быть различными элементами исходного
множества? В группах Л и В, очевидно, всегда спра­
ведливо равенство r3.
Задание группы £>3 множеством соотношений.
( 1 ) Множество порождающих символов — это
{г,/}, а множество соотношений между ними — это
г3= /, р = /> rfrf = /.
(2 ) г — множество всех слов от г, f, г-1, f-1.
В противоположность предыдущему примеру у нас
нет простого способа описать все эти слова.
(3) Подмножество К содержит все слова W, для
которых соотношение W = / является следствием за­
данных соотношений. Обратим внимание на одно спе­
циальное слово из /С, которое нам понадобится
в дальнейшем. Рассмотрим это слово V, составленное
из сомножителей вида T^R T или T-^R-^T:
у = Г 2(/2)/ 2 - Г 1 Ш ) / . г - 3(г- 3)г 3 =
= /2 • г 1(rfrf)

f ■г " 3 =

f ( r fr) ( f ) г - 3 = / г / г - 2.

Так как К — слово из множества К, то
V = /г/г-2 = / или /г = г2/.

90

ГЛАВА 7

(4), (5 ) Преобразуем теперь слова из множества
F, вставляя или вычеркивая слова, равные /, и разо­
бьем F на классы эквивалентных слов. Мы утвер­
ждаем, что существует шесть классов эквивалентных
слов с таким множеством представителей:
/, г, /, г2, г/, fr.
Чтобы доказать это утверждение, покажем сна­
чала, что не может быть более шести классов экви­
валентных слов, т. е. что любое слово из множества F
можно преобразовать в одно из указанных шести
слов, а затем — что никакие два из них не эквива­
лентны. Будем основываться на том, что любое слово
из К равно /, и использовать специальное слово V
из К.
Из того, что

v = f ■Г 1(rfrf)f ■Г г
принадлежит множеству К, как мы видели, следует1)
равенство

fr = r2f.
Используем это для доказательства такого факта:
каждое слово из множества F эквивалентно некото­
рому слову вида га]ъ, где а и b — неотрицательные це­
лые числа. Действительно, если задано произвольное
слово из множества F, то можно применить равен­
ство fr = r2f для того, чтобы «переставлять» f и г,
заменяя одновременно г на г2; таким путем мы мо­
жем «сдвинуть» все символы f вправо, а все символы
г влево. В конечном счете мы придем к эквивалент­
ному слову, в котором все символы г стоят впереди
всех символов /. Кроме того, все степени элементов
г и f в преобразованном слове можно считать неот­
рицательными, поскольку соотношения г3 = /, f2 = I
влекут за собой соотношения г -1 = г2, f~j = f. Таким
!) Соотношение fr = r2f = r~lf есть частный случай более об­
щего результата: соотношения / 2 = / и rfrf = / вместе влекут за
собой равенство frn = r nf для всех целых п. Кроме того, един­
ственное соотношение rfrf = / влечет за собой равенство f ar b =
•= rxfv, где * = (— \ ) ab и у = (— 1) ьа.

ОБРАЗУЮЩИЕ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

91

образом, каждое слово из множества F, как и утвер­
ждалось, эквивалентно слову вида rafb. Например,
r2fr2fr оказывается эквивалентным слову г:
r2fr2fr = г2(fr) rfr = г2(г2/) rfr =
= r4Mr = Г (fr) fr =
= г (r2f) fr = rzf2r =
= r.
Далее, из соотношений г3 = / и f2 = / следует, что ка*
ждое из слов rafb эквивалентно слову вида ra'fb\
где а' равно 0, 1 или 2, а 6' равно 0 или 1, т. е. про­
извольное слово из множества F эквивалентно одно­
му из слов
U Г, f, г2, г/, r2f = fг.
Пока мы доказали, что существует яе более
шести классов эквивалентных слов из множества F.
Но некоторые из этих шести классов с представите­
лями /, г, /, г2, rf и fr, быть может, совпадают, т. е.
некоторые из предполагаемых представителей могут
быть преобразованы один в другой. Остается дока­
зать, что такого быть не может — никакие два из ука­
занных шести слов нв эквивалентны. Существенная
часть доказательства востоит в том, чтобы показать,
что г Ф I и f Ф /. Хоти соотношения г = / и / = / н е
входят в наше множество определяющих соотноше­
ний, мы не можем заранее предполагать, что эти ра­
венства не являются следствиями наших исходных со­
отношений *).
Покажем сначала, что f ф I. Если соотношение
f = / является следствием заданных соотношений, то
f — слово из множества К. Следовательно, в К есть
слово, представимое в виде произведения сомножи­
телей T~lRT или Т '1Е~1Т, которое можно преобразо­
вать в слово f. Нам надо показать, что, как бы мы ни
применяли групповые аксиомы и заданные соотноше­
ния, представить f в виде произведения таких
1) Например, два соогношения хух 2 = / и х3 = / влекут за
собой равенство у =

92

ГЛАВА 7

сомножителей невозможно. Сущность нашего метода
состоит в рассмотрении суммы показателей степени
элемента f в произвольном слове из множества К.
Мы подсчитаем, сколько вносится в эту сумму ка­
ждым из возможных сомножителей вида T~lRT. Сло­
во R — это одно из слов г3, Р, rfrf (или их обратных),
а сумма показателей степени элемента f в этих сло­
вах равна 0, 2 , 2 (или 0, —2 , — 2 для обратных) со­
ответственно. Так как Т — произвольное слово из
множества F, то сумма показателей степени элемента
f в слове Т может быть любым числом. Пусть она
равна t. Тогда соответствующая сумма для слова Т~1
равна —t. (Вспомним, что если, например, Т = r 2f r 3/3,
то Г-1 = рзгз^-1г-2. см рассуждение об элементе, об­
ратном к произведению, на стр. 52.) Совместный
вклад от Т~1 и Т в эту сумму для любого сомножи­
теля равен нулю. Следовательно, сумма показателей
степени элемента f в любом сомножителе вида T~lRT
равна 0, 2 или —2 . Таким образом, сумма показате­
лей степени элемента f в любом слове из множества
К есть четное число. Поскольку соответствующая
сумма для f равна 1 , слово f не может принадлежать
множеству /С.
Попытаемся теперь применить наш метод «сумм
показателей» к доказательству того, что г ф /. Мы
сразу же убедимся, что здесь он ничего не дает. Дей­
ствительно, сумма показателей степени элемента г
в слове вида T~lRT может быть равна 0, 2 или 3, т. е.
суммы показателей для слов из множества К могут
быть как четными, так и нечетными. Наше доказа­
тельство того, что г ф1, будет основано на известных
нам фактах о строении группы D3, группы самосовмещений равностороннего треугольника. Предположим,
что соотношение г = I является следствием соотно­
шений
г3 = /, f2 = /, rfrf = /.
Тогда г = / будет следствием указанных соотноше­
ний в любой группе, в которой они имеют место. Мы
знаем, что эти соотношения справедливы в группе D3,
но в группе Z)3 не имеет места соотношение г = /,

ОБРАЗУЮЩИЕ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

93

Значит, оно не является следствием указанных выше
соотношений.
Может ли соотношение г = f быть следствием за­
данных соотношений? Если г = /, то г2 = fr = r 2f, от­
куда f = /, но f Ф /, следовательно, г f.
Мы доказали, что никакие два из слов /, г, f не
эквивалентны. Предоставляем читателю в качестве
упражнения доказать, что остальные три из наших
шести слов-представителей попарно различны между
собой (как элементы группы) и не эквивалентны ни
одному из слов /, г, f. Например, может ли быть г = г2?
Ясно, что тогда было бы г = /, и т. д.
У п р а ж н е н и е 12 . Множество
Л = {г3 = /, /2 = /, rfrf = /}
является множеством определяющих
группы D3. Докажите, что множество

соотношений

В = { f = I, frfr~- = l }
также является множеством определяющих соотно­
шений этой группы.
[Указание. Мы знаем, что соотношения из множе­
ства В являются следствиями соотношений из мно­
жества А (стр. 89). Следовательно, показав, что со­
отношения из А являются следствиями соотношений
из В, мы докажем, что эти множества соотношений
эквивалентны, т. е. оба они определяют одну и ту же
группу.]
Теперь мы предлагаем читателю приступить к
упражнениям 13—17; для их решения требуется не­
сколько больше, чем простое применение основной
процедуры. Если читателю эти упражнения покажутся
трудными, то можно отложить их, пока не будут изу­
чены следующие главы книги.
У п р а ж н е н и е 13. (а) Предположим, что группа
G порождается двумя элементами х и у, удовлетво­
ряющими соотношениям
х2 = I, хух~ 1 = г/3.

ГЛАВА 7

94

Покажите, что у является элементом конечного по­
рядка, установив, что у ъ = /.
(Ь)
Предположим, что группа G порождается эле­
ментами х и уу такими,, что
х2 = 1,

хух~1= уп,

где п > 1 .

Покажите, что
У п р а ж н е н и е 14. (а) Пусть и и v — элементы
группы Я; предположим, что
и3 = /, uvu~1= vA.
Докажите, что v есть элемент конечного порядка.
(Ь) Пусть в группе Я есть элементы и и v, для
которых справедливы равенства
ит = /, г/сш' 1 = vky
где т и k — такие целые числа, что k > \ и т Ф 0.
Докажите, что v — элемент конечного порядка.
У п р а ж н е н и е 15. Покажите, что существует
группа порядка 16, образующими которой являются
два элемента х и у, удовлетворяющие соотношениям
* 2 = /, хух~х= у 3.

(Предполагается, что доказательство будет заклю­
чаться в построении графа группы.)
У п р а ж н е н и е 16. Покажите, что любая группа
G с двумя образующими s и t, удовлетворяющими
соотношениям
s" = /,
sts~x =
где п и k — целые числа, «= ^ 0, & > 1, будет группой
конечного порядка. Покажите также, что G не может
содержать более чем (kn — 1 )л различных элементов.
[Указание: используйте метод, примененный на
стр. 90 для доказательства тою, что все слова груп­
пы D3 можно преобразовать к виду rafb, поскольку
в ней имеет место соотношение /г = r2f.]

ОБРАЗУЮЩИЕ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

95

У п р а ж н е н и е 17. Пусть в предыдущем упраж­
нении п = 3, k = 2. Покажите, что действительно су­
ществует группа порядка 21 , обладающая двумя об­
разующими s и t, для которых
S3 = /,

Выполните
группы.

это

=

t

2.

упражнение, построив граф такой

Образующие и соотношения группы диэдра D n .
Мы подробно исследовали определяющие соотноше­
ния одной из групп диэдра, а именно группы D3.
Те же самые методы можно использовать для дока­
зательства того, что общая группа диэдра Dn полностью определяется следующими требованиями:
( 1 ) Dn порождается двумя своими элементами,
обозначаемыми через г и f;
(2 ) эти образующие удовлетворяют трем опреде­
ляющим соотношениям
гп = 1, Р = /, {rf? = L
(На стр. 82 объяснялось, какое множество соотно­
шений мы называем множеством определяющих со­
отношений.) Особый интерес представляют частные
случаи групп диэдра Dn для малых п. При п = 1
определяющие соотношения группы диэдра прини­
мают следующий вид:
Г = /, /2 = /, W)2 = /.
Поскольку если г = /, то (г/)2 = f2 = /, у нас оста­
ется два определяющих соотношения: f2 = /, г = /.
Но они определяют циклическую группу С2 порядка
2. Таким образом, D\ = С2. Есть другой способ убе­
диться в этом. Достаточно представить группу D\ как
группу самосовмещений «многоугольника» с одной
стороной, или отрезка. Два положения отрезка, в ко­
торых он совмещается сам с собой, таковы:
1 ---- 2 и 2 ----- 1 ,
и граф группы Di в компактной форме (стр. 77)
имеет вид
/
/.

ГЛАВА 7

96

Если п = 2, то определяющие соотношения (2) груп­
пы D2 имеют вид
г2 = /,

/2 = /,

(г/)2 = /,

или
г2 = р = (г/)2 = I.
Мы построим граф группы Z)2, изображая «2-уголь­
ник» как плоскую фигуру с двумя сторонами-дугами.
Рис. 7.3 изображает самосовмещения 2-угольника.

Рис.

7.3.

Здесь г — вращение, a f — опрокидывание. Если мы
примем во внимание установленные ранее (стр. 68)
свойства графа группы, то убедимся, что изображе/i-----------

/

г*
/
г

Рис.

7.4.

ние самисовмещений 2-угольника на рис. 7.3 есть на
самом деле диаграмма Кэли группы £)2.
Используя компактное представление для обра­
зующих порядка 2 и учитывая, что и г и / имеют по­
рядок 2, мы можем упростить граф группы D2
(рис. 7.4). Отметим, что вершина, расположенная на
одной диагонали с вершиной /, помечена символом
rf, но граф ясно показывает, что путь, соответствую­
щий слову /г, приводит в ту же вершину, что и путь,

ОБРАЗУЮЩИЕ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

97

соответствующий слову rf. Таким образом, rf = fr, и
D2— коммутативная группа.
Поскольку группа D2 порядка 4 встречается до­
вольно часто, она получила специальное название
четверной группы. Ее также называют квадратичной
группой из-за показателя 2 в ее соотношениях. Мы
снова встретимся с ней при изучении группы самосовмещений тетраэдра.
Коммутативные группы диэдра. Группы D] и 0 2
коммутативны, но достаточно взглянуть на графы
групп D3 и D4 (стр. 77), чтобы убедиться в том, что
они не коммутативны. Можем ли мы сформулировать
общее утверждение о коммутативности группы диэд­
ра Dn? Да, мы покажем, что единственными комму­
тативными группами диэдра являются группы D\ и D2.
Т

ео рем а

3.

Соотношение
fr = rf

будет следствием определяющих соотношений
гп = 1,

/2= /,

(г/)2 = /

группы диэдра Dn с образующими г и f только в том
случае, когда п = 1 или п = 2; или, в иной формули­
ровке: если п > 2, то группа диэдра Dn не коммута­
тивна.
Для доказательства этой теоремы заметим прежде
всего, что в любой коммутативной группе диэдра
I = ог/)2 = (rf) (rf) = (rf) (fr) = rf2r = r2.
Если n четно, то соотношение г2 = I влечет за собой
соотношение гп = /, так что наши исходные опреде­
ляющие соотношения эквивалентны таким соотноше­
ниям:
г2 = /, /2= /, (rf? = I,
т. е. определяющим соотношениям группы D2. Если п
нечетно, скажем п = 2k + 1, то
r2= I = rn = r2k+1 = r2kr = Ir = r.

98

ГЛАВА 7

Следовательно, г = I и исходные определяющие соот­
ношения эквивалентны соотношениям
r = I, /*«/,
определяющим соотношениям группы D\. Доказа­
тельство завершено.
Группа диэдра Doo. Существует ли группа диэдра
D0о бесконечного порядка? Построив ее граф, мы до­
кажем, что она действительно существует. Граф груп­
пы Dn состоит из двух я-угольников, составленных
из r-отрезков, и связывающих их f-отрезков. Если

ят •
11
1
1г

/г

/

fr x

г'1

1

г

7 '1
|1
1
i *

f '1
11
11
-

t1 ■С f1 * ■
1
11
11
1
А 4t
rz

Р и с. 7.5.

вспомнить сейчас, как граф группы Соо связан с гра­
фом группы Сп (я-угольник заменяется прямой, раз­
битой на бесконечное множество отрезков), то возни­
кает мысль построить граф группы Doo из графа
группы Z)n, заменив два я-угольника двумя связан­
ными между собой параллельными прямыми (рис. 7.5).
Эта схема, состоящая из направленных отрезков,
обладает всеми свойствами графа группы, и мы обо­
значим соответствующую группу через D
Исследуем тёперь группу Doo с точки зрения обра­
зующих и определяющих соотношений. Заметим, что
первое из определяющих соотношений
/•" = /,

/2 = /,

(г/)2 = /

группы Dn в графе группы Doo не выполняется. (Ана­
логично в случае группы Соо соотношение ап = / не
выполняется, и мы его отбросили.) Отбросим соотно­
шение rn = I и сохраним в качестве предполагаемых
определяющих соотношений группы Doo лишь
/ 2=

/

И

(r f f = I .

ОБРАЗУЮЩИЕ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

99

Чтобы выполнялось /2 = /, в каждой вершине гра­
фа группы Deo должна быть петля или, в компактной
форме, /-отрезок. Соотношение (rf)2 = / соответствует
четырехугольнику в каждой вершине, причем сторо­
нами четырехугольника должны быть чередующиеся
r-отрезки и /-отрезки. Граф на рис. 7.5 обладает
именно этими свойствами1).
Прямое произведение. При взгляде на диаграммы
Кэли всех групп диэдра возникает ощущение, что это
«продублированные» диаграммы Кэли циклических
групп. Группа Dn представляется с помощью двух
п-угольников, составленных из r-отрезков и связанных
один с другим посредством /-отрезков. Группа Dоо
представляется двумя параллельными прямыми, со­
ставленными из r-отрезков, связанных /-отрезками.
Это наводит на мысль о том, что новые, «большие»
группы можно иногда образовывать, комбинируя
«меньшие» группы.
Рассмотрим граф группы диэдра, в котором мы из­
менили на противоположное направление отрезков од­
ного из многоугольников и соответствующим образом
переобозначили вершины. На рис. 7.6 изображена
диаграмма Кэли группы D3 после этой модификации.
В группе, соответствующей этому новому графу, соот­
ношения г3 = /2 = / по-прежнему выполняются, а со­
отношение (rf)2 = I — нет. Вместо него выполняется,
как видно на графе, соотношение fr = rf, или /г/-1/*"1 =
= I (соответствующее замкнутому пути от / к вер­
шине /, затем к вершине fr, к вершине г, а потом
*) Каждое другое соотношение следует из этих двух. Дей­
ствительно, любое соотношение соответствует замкнутому пути на
графе, а всякий замкнутый путь, как легко видеть, — это последо­
вательное прохождение г - и f- отрезков, которое можно записать
в виде г 1} / 2} . . . r tkf или в виде fr*1} / 2 . . . f / k, где k четно, а
И + h + • • • + Д-1 = h + k + . • • + iu (прохождение отрезков по
«верхней» и «нижней» прямой). Но каждое W = /, где W — сло­
во указанного вида, является следствием наших двух соотноше­
ний,

так

rl i ~ l 2+

как,
+ lk - \

например, r lf . . . r kf
_ д _ Прим. ред.

эквивалентно

слову

100

ГЛАВА 7

обратно к /). Новая группа является абелевой, или
коммутативной, группой с соотношениями
Г = f = frf Г = /.
Она обозначается через С2 X С3, так как является
«комбинацией» циклической группы С2 (f2 = /) и цик­
лической группы С3 (г3 = /).
г2

У п р а ж н е н и е 18. Используйте диаграмму Кэли
группы С2 X С3 для вычисления последовательных
степеней элемента fr. Какой элемент группы соответ­
ствует степени (/г)6? Докажите, что С2 X С3 = Сб.
/ г -2 / г ' 1 f
* ? * t * Т *

1

*__ I

Рис.

^.

см

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 * 4 ,г 4
г 2 г 'х
/
г

> к

Г

fr
/Г2
? *■ Т *

7.7.

[Указание: положите g = fr и докажите, что любой
элемент группы можно представить как степень эле­
мента g .]
Если мы модифицируем граф группы диэдра Dn,
изменив на противоположное направление отрезков
одного из /г-угольников, то получим граф «дважды
циклической» группы С2 X Сп с соотношениями
гп = /2= frf-' Г ' = /.
Из графа группы D», мы получим граф бесконечной
«дважды циклической» группы С2 X С » (рис. 7.7).

ОБРАЗУЮЩИЕ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

101

Эта диаграмма Кэли напоминает две параллельные
улицы с односторонним движением, связанные ули­
цами с двусторонним движением.
Рассмотрим диаграмму на рис. 7.8. Она выглядит
как схема улиц с односторонним движением, возмож­
но, как план городского квартала. В группе, соответ♦
1

♦

i

i
4

\

1
♦
. :/г-2
m 1 m

\

4

\r~\

\
i

♦
i
i
i
♦
i
» 1
1
♦

\fr-{
i m

/

i
*
_ ! Г ‘'г
1
i
i
i

w

*

t
i
*

i
i
i
4
j/r ,
i r
i
4
\r *
i
i
4
| f-'r
1
1
4
i
i
i

,

i t

r t

1\

♦
Рис.

4
ii ^ _
i
i
4
i
i

i

i
♦

\гг

» *
1
1
4

\ r 'f

i
i
4
i
i
4

7.8.

ствующей этому графу, соотношение /2 = / не выпол­
няется, т. е. порядок элемента f не равен 2. Поэтому
мы f-отрезки изображаем со стрелками. Определяет
эту группу единственное соотношение
frf- ' г ' = /

(или fr = rf),

означающее коммутативность. В строении ее графа
оно проявляется в том, что каждая его вершина слу­
жит началом замкнутого четырехугольного пути, со­
ответствующего слову frf~lr~l. Эта группа «городских
улиц» является наиболее общей абелевой группой
с двумя образующими. (Естественно считать группу
тем более общей, чем меньше существует условий,
которым должны удовлетворять ее элементы, а в дан­
ном случае единственным условием является rf = fr.)
Группа «городских улиц» обозначается через С00 X СQO
или С«.

102

ГЛАВА 7

Группа С2 X С3 называется прямым произведением
циклических групп С2 и С3; аналогично, группа СX
X Соо является прямым произведением группы С*, и
группы Соо. Понятие «прямого произведения» в его
наиболее общей и абстрактной форме чрезвычайно
полезно; например, можно показать, что любая конеч­
ная абелева группа является прямым произведе­
нием !) циклических групп. Мы лишь очень бегло кос­
немся свойств прямого произведения, рассчитывая
на то, что основные понятия будут усвоены из при­
меров.
Пусть S — множество с бинарной операцией ®,
a G и Н — его подмножества, являющиеся группами
относительно операции ®. Пусть группа G имеет
образующие g ь g2, ..., а группа Н — образующие
hu
. . . . Мы будем также считать, что у групп G
и Н есть только один общий элемент — единица и что
любой элемент из G перестановочен с любым элемен­
том из Н. При этих условиях можно построить пря­
мое произведение G X Н, образовав множество всех
произведений элементов из G и Н. Можно показать,
что множество G X Н есть группа с образующими
gu g 2........hu h2, . . . *2).
В качестве примера прямого произведения рас­
смотрим группу «городских улиц» с образующими г
и f (рис. 7.8). Каждая из образующих г и / в отдель­
ности порождает некоторую бесконечную циклическую
группу. (Напомним, что ни в одной из этих двух цик­
лических групп на образующую не налагается ника­
ких соотношений.) Эти две бесконечные циклические
группы не имеют общих элементов, кроме /. Посколь­
ку мы условились, что rf = fr, или rfr~lf ' 1 = /, то лю­
бой элемент первой группы будет перестановочен
с любым элементом второй группы и множество обра­
]) Для абелевых групп часто употребляется термин «прямая
сумма», поскольку операция в них обычно обозначается симво­
лом + . — Прим, перев.
2) В примерах прямого произведения множество S будет
группой. Группы G и Н тогда оказываются «группами внутри
группы». Глава 8 посвящена систематическому изучению таких
«подгрупп».

ОБРАЗУЮЩИЕ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

103

зующих г, f порождает прямое произведение С« X
X Соо = c l .
Прямое произведение и определяющие соотноше­
ния. В общем случае определяющие соотношения
прямого произведения G X Н можно получить из опре­
деляющих соотношений групп-сомножителей G и Я
присоединением к ним соотношений, выражающих
перестановочность любой образующей группы G с лю­
бой образующей группы Н. Присоединенные соотно­
шения гарантируют нам, что любой элемент группы G
коммутирует с любым элементом группы Я, — такое
требование входит в определение прямого произведе­
ния. Рассмотрим теперь несколько групп, являющих­
ся прямыми произведениями, и исследуем их опреде­
ляющие соотношения.
Чтобы построить группу G = С2 X С2, зададим
циклическую группу порядка 2 , порожденную эле­
ментом х с соотношением х 2 = 1 у и другую цикличе­
скую группу порядка 2 , порожденную элементом у
с соотношением у 2 = /. Группа G = С2 X С2 имеет
образующие л; и у, удовлетворяющие соотношениям
х 2 = у 2 = /. Требование, чтобы х и I/ коммутировали
между собой, можно записать формулой хух~1у ~1 = /,
что, конечно, эквивалентно соотношению ху = ух. Та­
ким образом, группа G = С2 X С2 задается опреде­
ляющими соотношениями групп-сомножителей
х2 = 1 , у2 = 1
и дополнительно соотношением
х у х -гу - 1 = 1 .
Так как х~г = х и у 1 = у, то определяющие соотно­
шения группы С2 X С2 можно переписать в виде
х 2 = I,

у 2 = /,

хуху = I,

или
х 2 = у 2 = {ху) 2 = /.
Но это определяющие соотношения группы D2 (чет­
верной группы; см. стр. 97). Таким образом, С2 X
X С2 = D2.

104

ГЛАВА 7

Рассмотрим теперь прямое произведение С2 X D2.
Пусть группа С2 порождается элементом а , удовле­
творяющим соотношению а2 = I, a D2 — элементами

/

г;
71
I ч
/
1 ------------х
1 i/z'l— ~ I х у г |
1 1
1 1
У
•
1
—
Kx z
I1
1
2)—
\
----------- 2
\ 1
/
\ |
11// - --..
X

Рис . 7.9.

у и г, удовлетворяющими соотношениям у 2 = г 2 =
= (yz ) 2 = I. Чтобы получить определяющие соотно­
шения группы С2 X 0 2, мы присоединим к определяю­
щим соотношениям групп С2 и D2 два соотношения
хух~ 1у~х = /, A2A- 12-1 = /;
первое из них означает, что элемент а перестановочен
с элементом у, а второе — что а перестановочен с элеУ\-----------\ХУ
!

г ______ хг

I
I
I
/'-----------

/
\
J 1-----------

'

\

Рис . 7.10.

ментом 2. Так как все образующие имеют порядок 2,
то мы можем переписать эти присоединенные соот­
ношения в таком виде:
(ху) 2 = I, (.x z f = I,
и полная система определяющих соотношений группы
С2 X D2 выглядит так:
х 2 = у 2 = z 2 = (yz ) 2 = (ху) 2 = (az ) 2 = /.
Рассмотрим графическое представление группы С2 X
X D2 на рис. 7.9. Заметим, что некоторые части этого
графа, взятые независимо от других его частей, мож­
но рассматривать как графы групп. Например, ка­

ОБРАЗУЮЩИЕ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

105

ждая из конфигураций, изображенных на рис. 7.10,
является графом четверной группы. В следующей
главе, посвященной подгруппам, мы выясним значе­
ние такого «графа внутри графа».
У п р а ж н е н и е 19. Найдите множества опреде­
ляющих соотношений и графы прямых произведений
(a) G = С2 X С4 и (b) Н —С3 X С3.
У п р а ж н е н и е 20. Покажите, что D6 = С2 X D 3 ,
используя диаграммы Кэли, таблицы умножения или
соотношения между образующими. (Вообще D2h =
= С2 X Dhl где k — четное число.)
У п р а ж н е н и е 21. Нарисуйте граф группы, опре­
деляемой соотношениями а2 = b2 = (ab)2. [Указание:
сначала покажите или, если нужно, предположите,
что аА= Ь4 = /.]У
У п р а ж н е н и е 22. (а) Пусть И — группа с обра­
зующими f и g и определяющими соотношениями /2 =
= g 2 = /. Нарисуйте граф этой группы.
(Ь)
Напомним, что определяющими соотношения­
ми группы Doo с образующими г и / будут равенства
р = (г/)2 = / (стр. 98). Покажите, что соотношения
р = g2 ^ / ? где g =
Также будут определяющими
для группы D00*

ГЛАВА 8

ПОДГРУППЫ

Изучение внутренней структуры конкретной груп­
пы позволяет установить многие ее свойства. Внут­
реннюю структуру некоторых групп можно описать
с помощью их подгрупп. Слово «подгруппа» означает
«I руппа внутри группы»; точнее, множество Н назы­
вается подгруппой группы G, если
(A) Каждый элемент множества Н является эле­
ментом группы G;
(B) Н есть группа (относительно бинарной опера­
ции, определенной в группе G).
Значение этих условий будет раскрыто в дальней­
шем. Мы начнем с отыскания и исследования некото­
рых подгрупп в данной группе.
Рассмотрим циклическую группу порядка 4
С4:

/, а , а2, а3

и найдем ее подгруппы порядка 2. Так как подгруппа
является группой и, следовательно, должна содер­
жать элемент /, то все подгруппы порядка 2 группы
С4 должны находиться среди множеств
/? = {/, а},

5 = { /,а 2},

Г = {/, а3}.

Прежде всего мы видим, что все эти множества
удовлетворяют условию (А), так как их элементы
принадлежат группе С4. Что же касается условия (В),
то множество R из двух элементов было бы, очевид­
но, циклической группой порядка 2, если бы выпол­
нялось соотношение а2 = /. Но при определенной в
группе С4 бинарной операции а1 4=1. Таким образом,
R не является подгруппой группы С4. Пользуясь этим

ПОДГРУППЫ

107

методом «проб и ошибок», убеждаемся, что един­
ственной подгрупой порядка 2 группы С4 является
множество S. В дальнейшем для выявления подгрупп
будет применяться более простой и систематический
метод.
Для доказательства того, что множество образует
группу относительно некоторой операции, например
®, надо убедиться в выполнении всех групповых ак­
сиом. Если мы знаем заранее, что рассматриваемое
множество является подмножеством группы, то про­
верка выполнения аксиом упрощается. Чтобы убе­
диться в этом, рассмотрим условие (В) из определе­
ния подгруппы. Сначала мы должны показать, что
(i) операция ® группы G, рассматриваемая лишь
на элементах множества Я, является бинар­
ной операцией на множестве Я.
Это сводится к проверке того, что если fti, /г2—
два элемента множества Я, то и hi ® /г2 принадлежит
Я. Если подмножество Я группы G обладает этим
свойством, то мы говорим, что оно замкнуто относи­
тельно операции ®. (См. рассуждение о замкнутости
на стр. 13.) Чтобы доказать, что Я — группа, нужно
также проверить выполнение следующих условий:
(И) операция ® ассоциативна;
(iii) обратный к любому элементу из множества
Я принадлежит Я;
(iv) единица группы G принадлежит множеству Я.
Условие (И) выполняется автоматически, так как
® — групповая операция группы G и, следовательно,
она ассоциативна. Кроме того, условие (iv) следует
из условий (i) и (iii), так как если h — элемент мно­
жества Я, то, согласно условию (iii), элемент /г 1 при­
надлежит Я, а по условию (i) h ® /г 1 = / также при­
надлежит Я. Таким образом, подмножество Я группы
G является подгруппой группы G, если выполнены
два условия:
( 1 ) элемент hi ® /г2 принадлежит множеству Я,
если h\ и /г2— элементы множества Я (замк­
нутость) ;
(2) элемент /г 1 принадлежит множеству Я, если
h принадлежит Я (обратимость) .

ГЛАВА 8

108

У п р а ж н е н и е 23. Покажите,что предыдущее
утверждение эквивалентно следующему: подмноже­
ство Н группы G является подгруппой группы G, если
элемент ab~l принадлежит Н, как только а и b при­
надлежат Н. (Это утверждение содержит лишь одно
условие.)
Теперь мы используем условия ( 1 ) и (2), чтобы
относительно каждого из подмножеств /?, S, Т группы
С4 выяснить, является ли оно подгруппой. Если мно­
жество не удовлетворяет хотя бы одному из этих
условий, то оно не может быть подгруппой. Для ре­
шения вопроса б замкнутости множества можно вос­
пользоваться таблицей умножения элементов этих
множеств (следует помнить, что я4 = /, аг ф 1 , а3Ф 1 ):
Таблица 8J
Множество R

Множество 5

I

а

/

I

I

а

I

а

а

а2

а2

Множество Т

1

I

а3

I

а2

/

I

а3

а2

I

аъ

а3

а 6 = а2

Множество 5 является единственным среди рас­
сматриваемых множеств, таблица умножения кото­
рого замкнута относительно групповой бинарной
операции, т. е. содержит только элементы этого мно­
жества. Следовательно, множество S является под­
группой, если только оно удовлетворяет условию
обратимости (2 ). Из таблицы умножения видно, что
обратными для элементов / и а2 являются элементы /
и а2 соответственно. Таким образом, обратный к лю­
бому из элементов множества S принадлежит .S, по­
этому S — подгруппа группы С4.
Есть ли в группе С4 подгруппы порядка 3? Рас­
смотрим некоторое множество элементов группы С4,
состоящее из / и двух других элементов, например
множество
£> = {/, я>я3}-

ПОДГРУППЫ

109

Так как аа = а2 входит в таблицу умножения множе­
ства D, но не является элементом множества D, то
рассматриваемое множество не будет замкнутым от­
носительно бинарной операции группы С4. Поэтому
оно не является подгруппой. Читатель может легко
убедиться, что и никакое другое подмножество из
трех элементов группы С4 не удовлетворяет условию
(1). Таким образом, С4 не содержит подгрупп по­
рядка 3.
Каждая группа имеет две особые подгруппы. Мно­
жество, состоящее из всех элементов группы G,
является подмножеством группы G и группой относи­
тельно определенной в ней бинарной операции. По­
этому группа будет подгруппой самой себя. Подмно­
жество Я, состоящее из единственного элемента /,
удовлетворяет условиям ( 1 ) и (2 ), так как /• / = /.
Следовательно, каждая группа содержит подгруппу,
состоящую из единственного элемента I.
Обычно нас будут интересовать подгруппы, отлич­
ные от этих особых подгрупп. Мы будем называть их
собственными, а эти две особые подгруппы — несоб­
ственными.
У п р а ж н е н и е 24. Пусть D3 — группа диэдра по­
рядка 6 с элементами
/,

а,

а2,

b , Ьа,

Ьа2

и соотношениями
а 3 = 62 = (Ьа) 2 = /.
(a) Покажите, что {/, Ьа} — подгруппа группы D3.
(b) Найдите в D3 подгруппу порядка 3.
(c) Есть ли в группе D3 подгруппы порядка 4?
У п р а ж н е н и е 25. Пусть Съ— циклическая груп­
па порядка 5. Найдите все ее собственные подгруппы.
Бесконечные подгруппы. Рассмотрим бесконечную
циклическую группу Соо с образующей а и элемен­
тами
• •> а~2, а~\ I, а, а2.........

по

ГЛАВА 8

Любая подгруппа группы Соо является цикличе­
ской *). Посмотрим, имеются ли в группе
конеч­
ные собственные подгруппы. Рассмотрим подмно­
жество
S 4 = {/, а, а2, а3}.
На первый взгляд может показаться, что S4— это
циклическая группа С4, которую мы рассматривали
на стр. 64. Однако а 4 Ф I при операции, определен­
ной в группе Соо, и, следовательно, S4 не совпадает
с группой С4. Множество S 4 не замкнуто относительно
операции, определенной в группе Соо, так как все сте­
пени элемента а в группе Соо различны; например,
элемент а2а3 = а5 не принадлежит множеству S4. Сле­
довательно, S 4 не является подгрупой группы Соо.
Те же самые соображения показывают, что бес­
конечная циклическая группа Соо вообще не имее!
собственных конечных подгрупп.
Существуют ли бесконечные подгруппы группы
Соо? Подмножество
£) = { ..., а“4, а “2, /, я2, а4, . ..}
состоит из четных степеней образующей а группы С^.
Условие замкнутости (1) выполняется, так как произ­
ведение двух четных степеней элемента а является
его четной степенью. Чтобы убедиться в выполнении
условия (2 ), отметим, что обратным к элементу а2к
служит элемент а~2к, также принадлежащий множе­
ству D. Таким образом, D — подгруппа группы Ссо.
!) Действительно, ясно, что сама группа Соо и группа {/} —
циклические группы. Пусть Т — некоторая собственная подгруппа
группы С а,. Тогда все ее элементы являются степенями эле­
мента а, причем если ак принадлежит подгруппе Т, то а~к также
принадлежит ей, поскольку этот элемент является обратным к
элементу ак. Благодаря этому свойству и условию Т ф {/} среди
элементов подгруппы Т можно выбрать элемент с наименьшим
положительным показателем степени, скажем ат. Тогда любой
другой элемент ап (п > 0 ) из Т можно представить в виде
а'° __ akm+ q = akma q^ где q — остаток от деления п на m и
О ^ q < m. Элемент akm есть степень элемента ат и принадле­
жит подгруппе Т вместе со своим обратным сткт. Тогда а~кта п =
= а~ктактач = ач является элементом из Т, но q < m, значит,
q = 0, а п — (am) k и ат является образующей группы Т. — Прим.

перев.

ПОДГРУППЫ

111

Группа D также является бесконечной циклической
группой с образующей а2. Существуют также под­
группа, порожденная элементом а3, подгруппа, порож­
денная элементом я4, и т. д.
Таким образом, группа Соо имеет бесконечно мно­
го собственных подгрупп, каждая из которых являет­
ся бесконечной циклической группой.
Мы уже достаточно хорошо знаем бесконечную
циклическую группу N всех целых чисел с бинарной
операцией сложения.
Элементы группы — все целые числа (положитель­
ные, отрицательные и нуль).
Групповая операция — сложение.
Единичный элемент — нуль.
Обратный к данному элементу — противоположное
ему число.
Образующая — число 1 (или его обратный — 1).
Мы назовем эту группу аддитивной циклической
группой.
Является ли множество Е четных чисел подгруп­
пой группы N? Проверим выполнение двух условий:
(1) Замкнутость: сумма любых двух четных чисел
есть четное число.
(2) Обратимость: обратным для четного числа k
является число — fe, которое также четно.
Эти условия выполнены. Таким образом, четные
числа образуют подгруппу аддитивной циклической
группы целых чисел.
Будет ли подгруппой группы N множество О всех
нечетных чисел? Так как сумма двух нечетных чисел
является четным числом, то это множество не замк­
нуто относительно сложения. Потому оно не состав­
ляет подгруппу.
У п р а ж н е н и е 26. Покажите, что
(a) множество всех чисел, кратных 3, образует
подгруппу аддитивной циклической группы целых
чисел;
(b ) множество всех чисел, кратных п (где п — лю­
бое целое число), образует подгруппу аддитивной ци­
клической группы,

112

ГЛАВА 8

У п р а ж н е н и е 27. Покажите, что если R и S —
две подгруппы группы G, то множество элементов,
принадлежащих одновременно подгруппам R и S, яв­
ляется группой (и, следовательно, подгруппой груп­
пы G).
У п р а ж н е н и е 28. Докажите, что
(a) все комплексные числа а + ib, где а и Ь — це­
лые числа, образуют группу относительно операции
сложения;
(b) множество чисел г + is, где г я s — четные це­
лые числа, образует подгруппу группы из п. (а).
Порядки подгрупп. Как известно, простым числом
называется целое число, большее единицы, которое
не имеет положительных делителей, кроме самого
себя и единицы. Интересно, что существуют группы
с аналогичными свойствами, т. е. группы, не содер­
жащие других подгрупп, кроме самой себя и под­
группы, состоящей из одного единичного элемента /.
В самом деле, конечная группа не имеет собственных
подгрупп тогда и только тогда, когда ее порядок —
простое число. Часть «тогда» этого утверждения яв­
ляется следствием более общей теоремы, устанавли­
вающей числовое соотношение между порядком ко­
нечной группы и порядком любой из ее подгрупп. Эта
теорема, доказанная Лагранжем1), была сформули­
рована в 1771 г. В дальнейшем мы к ней вернемся.
Лагранж одним из первых применил строгие ма­
тематические методы к задачам аналитической меха­
ники. До сих пор в знак уважения к его заслугам
одну из основных функций в динамике обозначают
буквой L — первой буквой его фамилии. Он внес так­
же вклад в развитие теории групп и ее приложений*)
*) Жозеф-Луи Лагранж (1736— 1831) создал мощные анали­
тические методы для решения проблем механики. Он гордился
отсутствием в его трактате «Аналитическая механика» какихлибо чертежей. Его методы были использованы в небесной меха­
нике для решения проблемы трех тел в применении к движению
Луны. Проявляя интерес к созданию общих методов решения
алгебраических уравнений, Лагранж одним из первых уловил
Связь между понятием группы и решением уравнений,

ПОДГРУППЫ

ИЗ

к решению алгебраических уравнений. «Резольвента
Лагранжа» была позднее использована Галуа в ра­
ботах по исследованию разрешимости алгебраических
уравнений с помощью теории групп, которые произ­
вели подлинный переворот в науке. Вернемся теперь
к теореме Лагранжа о порядках подгрупп конечной
группы.
Т ео рем а Л а гр а н ж а .
Порядок конечной группы
кратен порядку любой из ее подгрупп.
Эта теорема утверждает, что если g — порядок
группы G и h — порядок ее подгруппы Я, то g = nht
где п — одно из целых чисел 1, 2 , 3, ..., g. Для несоб­
ственных подгрупп G и / п равно 1 и g соответствен­
но. Если Я — собственная подгруппа, то п — одно из
целых чисел 2, 3, ..., g — 1.
В доказательстве этой теоремы мы используем не­
которые множества элементов группы, называемые
смежными классами. Понятие смежного класса иг­
рает важную роль в теории групп. После t o f o как мы
вкратце ознакомимся со смежными классами и их
свойствами, доказательство теоремы не составит
труда.

Смежные классы группы. Пусть Я — подгруппа
группы G. Предположим для простоты, что Я содер­
жит, например, четыре (различных) элемента, так
что
Н = {1, hu h2, h3}.
Пусть b — элемент группы G, не принадлежащий под­
группе Я. Рассмотрим множество
Hb = {b, bhu bh2l bh3},
полученное умножением элементов множества Я сле­
ва на элемент Ь. (Для определенности мы выбираем
здесь умножение слева.) Мы утверждаем, что
(i) все элементы множества Нь различны;
(И) Я и Нь не имеют общих элементов.
Чтобы доказать (i), предположим, например, что
bhi = Ы13. Умножив обе части этого равенства слева

114

ГЛАВА 8

на Ь”1, получим равенство
b ^ ]bh{ = b ~ ]bh3i или hx= h 3,
в противоречие с предположением о том, что группа
Я содержит четыре различных элемента.
Чтобы доказать утверждение (и), допустим сна­
чала, что некоторый элемент подгруппы Я равен не­
которому элементу множества Нь, например пусть
h2 = bhi. Тогда, умножая это равенство справа на
К \ мы придем к соотношению
h2hTl =■bh\hTl = b.
Элемент h2h \ l принадлежит подгруппе Я, так
как Я — группа, в то время как по предположению
элемент b не принадлежал Я. Таким образом, допу­
щение, что Я и Нь имеют общий элемент, приводит
к противоречию.
Мы получили, таким образом, восемь элементов
группы G: четыре в подгруппе группы G
Я = {/, hu h2, h3]
й остальные четыре в множестве элементов из груп­
пы G
Hb = {b, bhu bh2, bh3}.
Множество Нь называется левым смежным клас­
сом группы G по подгруппе Я и обозначается через
ЬН = {b, bhu bh2, bh3}.
Сама подгруппа Я является смежным классом груп­
пы G по Я, так как
Я = /Я = {/, Ihu Ih2l Ih3} = {/, hu h2, h3}.
Нели c — элемент группы G, не принадлежащий ни
смежному классу Я, ни смежному классу ЬН, то его
можно использовать для образования нового смеж­
ного класса по подгруппе Я:
сН = {с, chx, ch2y ch3}.

ПОДГРУППЫ

115

Мы уже знаем, что все элементы смежного класса сИ
различны и что множества Н и сН не имеют общих
элементов. Элементы смежного класса сН отличны
также и от элементов класса ЬН. Доказательство это­
го утверждения составляет часть решения упражне­
ния 29 (см. ниже). Теперь у нас есть двенадцать эле­
ментов группы G, содержащихся в трех левых смеж­
ных классах
// = {/, Ль Л2, Лз},
ЬН = {ЬУbhu bh2, Ыг3}, сН = {с, chu ch2, ch3}.
Если в группе G всего двенадцать элементов, то
мы их все уже выписали и получили, таким образом,
разбиение группы G на непересекающиеся *) множе­
ства. Тот факт, что группа G является объедине­
нием*2) этих подмножеств, мы будем выражать за­
писью
G = H[]bH' GcH.
Если в группе G больше двенадцати элементов, то
в ней существует элемент d, не принадлежащий мно­
жеству Н U ЬН U сН. Образуем тогда новый левый
смежный класс
dH = {dt dhu dh2, dh3
Все элементы класса dH различны, и, как следует из
результата упражнения 29, ни один из этих элементов
не содержится ни в каком из рассмотренных выше
смежных классов. Таким образом, мы получили шест­
надцать различных элементов группы G, содержа­
щихся в четырех левых смежных классах, по четыре
элемента в каждом. Если группа G состоит из шест­
надцати различных элементов, то мы можем записать
G = H[j bH[j cHUdH.
План доказательства теперь ясен. Выбрав в груп­
пе G некоторую подгруппу Н порядка h и элемент 6,
J) То есть не содержащие общих элементов. — Прим, перев.
2) Объединением двух или нескольких множеств называется
множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя
бы одному из данных множеств.

116

ГЛАВА 8

не принадлежащий этой подгруппе, образуем смеж­
ный класс ЬН. Этот смежный класс содержит h эле­
ментов, а множества Я и ЬН вместе содержат 2h раз­
личных элементов группы. Если есть элемент с, не во­
шедший в эти 2h элементов, то мы образуем новый
смежный класс сН и получим всего 3h различных эле­
ментов группы G. И всякий раз, когда найдется хотя
бы один элемент группы G, не вошедший в объедине­
ние ранее образованных смежных классов, мы можем
образовать новый смежный класс (содержащий h
различных элементов). Так как порядок группы G
конечен, то, добавляя на каждом шаге h различных
элементов, через конечное число шагов мы должны
исчерпать все элементы группы G. Если после обра­
зования п левых смежных классов по подгруппе Я
все элементы группы G окажутся использованными,
то мы получаем разбиение группы G на п левых
смежных классов по h элементов в каждом:
G = Н[)ЬН[)сН Ц . . . Ц kH.
п классов по h элементов в каждом

Таким образом, порядок группы G есть число,
кратное порядку любой ее подгруппы Я.
Итак, рассмотрев понятие смежных классов груп­
пы по ее подгруппе, мы попутно доказали теорему
Лагранжа.
У п р а ж н е н и е 29. Пусть гН и sH — два левых
смежных класса группы G по подгруппе Я. Пока­
жите, что классы гН и sH либо не имеют общих эле­
ментов, либо совпадают.
Несовпадение левых и правых смежных классов.
В приведенном доказательстве теоремы Лагранжа
были использованы левые смежные классы. Если ис­
пользовать правые смежные классы, то доказатель­
ство по существу не изменится. Поставим такой во­
прос: совпадают ли соответствующие левые и правые
смежные классы по одной и той же подгруппе? Если
это не так, то можно ли, по крайней мере, надеяться,
что любой левый смежный класс ЬН содержит в точ­

ПОДГРУППЫ

117

ности те же элементы, что и некоторый правый смеж­
ный класс Нс?
Рассмотрим группу диэдра D3 шестого порядка
(рис. 8. 1 ). Она содержит циклическую подгруппу вто­
рого порядка
Я = {1, Ь).
Образуем левые и правые смежные классы группы D3
по подгруппе Я. (На графе видно, что а2Ъ = Ьа и
ba2 = ab.)
Левые смежные классы

я = {/, Ь),
аН = [a, ab},
а2Н = [а2, а2Ь) = {а2, Ьа},

Правые смежные классы

я = {/, Ь},
На = {а, Ьа},
На2 = {а2, 6а2} = {а2, аб}.

Заметим, что в этих разбиениях никакие два
смежных класса, за исключением самой подгруппы
а2
----- ----- а

а*-Ь2--(Ьа)?--1

Я, не совпадают. Как смежный класс аЯ, так и смеж­
ный класс а2Н отличаются от обоих правых смежных
классов На и На2. Мы получили два различных раз­
биения группы D3 на левые и правые классы соответ­
ственно:
D3 = Я UаН Uа2Н
и
D3 = Я U На U На2.
Этот пример показывает, что левые и правые
смео/сные классы группы G по подгруппе Я могут да­
вать различные разбиения группы G.

118

ГЛАВА 8

Бесконечные смежные классы. Мы уже знаем, что
множество N всех целых чисел является группой
с бинарной операцией сложения (аддитивной цикличе­
ской группой) и что множество Е всех четных чисел
является подгруппой этой группы (стр. 111). Попы­
таемся представить группу N как объединение смеж­
ных классов по подгруппе Е. Пусть а — элемент груп­
пы G, не принадлежащий Е, т. е. а — некоторое
нечетное число; рассмотрим множество аЕ, полученное
применением групповой операции (сложения) к эле­
менту а и всем элементам множества Е. Если обозна­
чить элементы множества Е через еи е2, е3, . . . , то
множество аЕ будет состоять из элементов
а + еи

а + е2, а + ег, . . . .

Так как сумма четного и нечетного чисел есть чи­
сло нечетное и каждое нечетное число может быть
записано в виде суммы нечетного числа а и некото­
рого четного числа, то смежный класс аЕ совпадает
с множеством О всех нечетных чисел, какое бы нечет­
ное число мы ни взяли в качестве а. Ясно, что объе­
динение смежных классов £ и О совпадает со всем
множеством целых чисел N. Таким образом,
N = Е UаЕ,
или
N=

- 4 , - 2 , 0,2, 4, ...} (J {... > ~ 3 , - 1 , 1, 3,

(Отметим, что ввиду коммутативности группы N ле­
вые и правые смежные классы совпадают, так что
смежный класс Еа — это также множество О.)
Подгруппа Е — это множество чисел, кратных чи­
слу 2, а смежный класс аЕ — это множество всех це­
лых чисел, дающих остаток 1 при делении на 2 . Ана­
логичным способом можно найти смежные классы
множества N по подгруппе Т всех чисел, кратных 3.
Выпишем их:
Т = {. . . , - 6 , - 3 , 0, 3, 6, ...} =
= {все целые числа, дающие при делении на 3
остаток 0},

ПОДГРУППЫ

119

яГ = { ..., - 5 , - 2 , 1, 4, 7, ...}==
= {все целые числа, дающие при делении на 3
остаток 1},
ЬТ = {. . . , - 4 , - 1 , 2, 5, 8, . ..} =
=-{все целые числа, дающие при делении на 3
остаток 2}.
(Здесь число а может быть представлено в виде
Зп + 1, а число Ь — в виде 3п + 2.) Тогда
N = T\}aT\]bT
— представление множества N с помощью смежных
классов по подгруппе Т.
У п р а ж н е н и е 30. Пусть г] и cJ — смежные классы группы L по подгруппе /. Покажите, что
(a) если с — элемент смежного класса г/, то смеж­
ные классы cJ и rJ совпадают;
(b ) смежные классы с] и rJ совпадают в том и
только том случае, когда элемент г^с принадлежит
подгруппе /.
У п р а ж н е н и е 31. Докажите, что если
L = / U r / U s / U . . . \JvJ
— представление группы L в виде объединения ле­
вых смежных классов по подгруппе /, то
Z. = / и / г - 1и / s - 1и . . . UJv ~ 1
является ее представлением с помощью правых смеж­
ных классов.
У п р а ж н е н и е 32. Найдите правые и левые
смежные классы группы диэдра D3 шестого порядка
по ее подгруппе К = {/, а, а2}.
Некоторые следствия из теоремы Лагранжа. Ука­
жем теперь некоторые непосредственные следствия из
теоремы Лагранжа о порядках подгрупп.
Т е о р е м а 4. Если порядок группы G есть простое
число, то
(1) группа G не имеет собственных подгрупп;
(2) группа G является циклической.

120

ГЛАВА В

Утверждение (1) следует непосредственно из тео­
ремы Лагранжа и определения простого числа. Для
доказательства утверждения (2) обозначим через г
любой отличный от / элемент группы G простого по­
рядка. Если порядок г равен п, то гп = / и п > 1.
Множество
Я = {/, г, г2,
г»-'},
п - 1> 0,
составляет циклическую группу п-то порядка в груп­
пе G (см. упр. 33), так что Я — подгруппа данной
группы G простого порядка. По теореме Лагранжа
порядок п этой подгруппы является делителем числа р.
Так как пФ 1, то п = р. Но Я — подгруппа группы
G; следовательно, Я совпадает с группой G. Это до­
казывает утверждение (2).
Из теоремы Лагранжа следует только, что если
в группе G есть подгруппа Я, то порядок группы G
кратен порядку группы Я. Пока для нас остается от­
крытым вопрос, верно ли обратное утверждение: обя­
зательно ли в группе G, порядок которой кратен не­
которому числу k, содержится подгруппа порядка £?
Мы ответим на этот вопрос позднее, когда перейдем
к изучению группы тетраэдра двенадцатого порядка.
Решив некоторые из следующих ниже упражнений,
можно вывести одно интересное следствие теоремы
Лагранжа. Читатель, который как следует потру­
дится над ними, получит в награду доказательство
одной хорошо известной теоремы теории чисел, при­
надлежащей Ферма.
У п р а ж н е н и е 33. (а) Покажите, что если поря­
док элемента а группы G равен п, то Я = {/, а, а2, .. .
. . ап ~ 1} — циклическая подгруппа группы G.
(Ь) Какое соотношение связывает между собой
порядок произвольного элемента конечной группы и
порядок самой группы?
У п р а ж н е н и е 34. Рассмотрим группу «остат­
ков» порядка р — 1 (стр. 37) с элементами 1, 2, .. .
..., р — 1 (р — простое число) и бинарной операцией
умножения по модулю р. Для любых двух чисел х и
у из рассматриваемого множества найдется такое чи-

ПОДГРУППЫ

121

ело г, что ху и г дают одинаковый остаток при деле­
нии на /7, так что *# == г (mod р). Ясно, что каждый
элемент этой конечной группы «остатков» имеет ко­
нечный порядок. Пусть g — некоторый элемент по­
рядка п.
(a) Покажите, что число gn — 1 кратно числу /;,
т. е. что
gn — 1 == 0 (mod р).
(b) Используя теорему Лагранжа, покажите, что
gp-i — i есть число, кратное числу р, или
gP-\ _ 1 ==0(mod р)
(см. упр. 33).
У п р а ж н е н и е 35. Пусть число а кратно про­
стому числу /?, т. е. а = 6 (mod р). Тогда оба числа
ар и ар — а являются кратными числа р и, значит,
а? = (аР — a) (mod р) == 0 (mod р ). Докажите, что и
в том случае, когда целое положительное число а не
является кратным числа /7, т. е. а Ф 0 (mod /7), а? — а
есть число, кратное р. [Указание. Мы должны дока­
зать, что aPE=a(mod/?), или а(аР- 1— 1)—0 (mod р).
Для доказательства этого последнего соотношения
нужно использовать результат упражнения 34.]
При решении этого упражнения доказана следую­
щая теорема Ферма: если р — простое число и а —
любое целое положительное число, то ат — а кратно
числу р.
У п р а ж н е н и е 36. Пусть а и b — элементы груп­
пы G. Покажите, что
(a) порядок элемента ab равен порядку элемента
Ьа\
(b ) если ab = Ьа, то порядок элемента ab являет­
ся делителем произведения порядков элементов а и Ь\
(c) если ab = Ьа, а порядки т и п элементов а
и b соответственно — взаимно простые числа, то по­
рядком элемента ab является число тп (числа т и п
называются взаимно простыми, если единственный их
общий делитель есть 1),

ГЛАВА 9

ОТОБРАЖЕНИЯ

Понятие группы тесно связано с понятием отобра­
жения или, вернее, множества отображений. Мы сей­
час введем это понятие (являющееся основным для
многих разделов современной математики), начав
с рассмотрения некоторых простых примеров.
Слово «отображение» обычно означает «наглядное
описание чего-нибудь». Смысл, в котором это слово
употребляется в математике, довольно близок к тому
значению, в котором оно используется в повседневной
жизни. Это случается сравнительно редко — чаще все­
го математическое значение термина весьма далеко
от его обыденного смысла. (Ср. термины «группа»,
«поле», «кольцо».)
Математическое понятие отображения возникло
путем естественного абстрагирования из обычного по­
нятия плана1), например «плана города». В идеаль­
ном случае план — это такое изображение некоторого
объекта (города) на листе бумаги, что для каждой
точки этого объекта (города) имеется одна и только
одна точка на бумаге в качестве ее копии. В матема­
тике понятие отображения во всех его вариантах ос­
новывается на понятии соответствия между элемен­
тами исходного объекта и элементами его образа.
Мы начнем изучение отображения с рассмотрения
простого случая, когда отображается множество с ко­
нечным числом элементов. Пусть задано множество
X == {а, 6, с}, состоящее из трех элементов, и множе­
ство Y = {г, 5, /}, также состоящее из трех элементов.*)
*) В английском языке «отображение» («mapping») образо­
вано от слова «план» («шар»). — Прим, перев.

ОТОБРАЖЕНИЯ

123

Мы можем различными путями объединить элементы
этих двух множеств в пары; например,
f а b с\
Здесь соответствующие элементы расположены один
под другим, каждому верхнему элементу ставится
в соответствие расположенный под ним элемент. Это
соответствие и есть пример отображения одного мно­
жества на другое (X на У). Вообще отображение
множества X в множество У определяется следую­
щим образом: каждому элементу множества X ста­
вится в соответствие в точности один элемент множе­
ства Y.
Рассмотренное выше отображение множества X
на множество У можно различными способами запи­
сать с помощью двух строк, заключенных в круглые
скобки:
а
г

с Ь\
t sj

(Ь
\s

с а
t г

Это все записи одного и того же отображения множе­
ства X на множество У, так как каждому элементу
множества X всякий раз ставится в соответствие один
и тот же элемент множества У: а всегда отображается
в г, b — в s и с — в t.
Имеются, однако, и другие отображения множе­
ства X на У, существенно отличающиеся от приведен­
ного выше; например,
fa

b Ь и в результате b —*b. Наконец, с — за­
тем с —>с и в результате с —►с. Итак, мы можем на­
писать
а b с
la b
с
М2 =
Iа b с
Ъ а с
и сделать вывод, что в результате последовательного
выполнения двух отображений М получается отобра­
жение, которое каждому элементу ставит в соответ­
ствие сам этот элемент. Отображение, обладающее
таким свойством, называется тождественным отобра­
жением и обозначается через /.
Возвращаясь к геометрической интерпретации
отображения Af, видим, что I соответствует двум по­
следовательным опрокидываниям треугольника отно­
сительно высоты, проходящей через вершину с> в ре­
зультате которых треугольник возвращается в свое
исходное положение (рис. 9.3).

128

ГЛАВА 9

Уравнение у = х или f(x) = х дает другой пример
тождественного отображения. Из графика этого урав­
нения (рис. 9.4) видно, что каждое число отобра­
жается само в себя.
Отображения как элементы группы. Отображение
М можно рассматривать как элемент множества ото­
бражений. Более того, мы ви­
дели, что существует тожде­
ственное отображение, и мы
покажем далее, что суперпо­
зиция двух отображений сно­
ва является отображением.
Все это наводит на мысль,
что отображения могут быть
элементами группы. И дей­
ствительно, будет установлено,
что некоторые множества ото­
бражений удовлетворяют груп­
повым аксиомам. При этом
мы ограничимся рассмотрением отображений множе­
ства на себя.
Для доказательства того, что множество отобра­
жений образует группу, нам придется поступить, как
всегда, — проверить выполнение групповых аксиом.
Мы занимались такого рода проверкой много раз, и
общая процедура нам хорошо знакома. Однако наш
опыт обращения с отображениями крайне ограничен,
и они по-прежнему представляются нам какими-то
странными образованиями, которые могут — и весьма
сложным способом — переставлять элементы мно­
жеств. Поэтому будем проводить проверку очень
тщательно, уделяя особое внимание некоторым тон­
ким вопросам. В результате детального исследования
мы установим, какие именно множества отображений
множества на себя образуют группу. Вообще говоря,
далеко не всякое отображение может служить эле­
ментом группы. Мы исследуем, насколько совместимы
свойства отображения с групповыми аксиомами, и
выясним, каким условиям должно удовлетворять ото­
бражение, являющееся элементом группы.

ОТОБРАЖЕНИЯ

129

Сначала покажем, что последовательное выполне­
ние, или суперпозиция, двух отображений является
бинарной операцией на множестве отображений дан­
ного множества 5 на себя.
(1) Бинарная операция. Нужно показать, что если
Mi и М2 — два отображения множества S на себя, то
их произведение также является таким отображением.
Представим Mi и М2 схематически в виде

где а, b, с, ... — элементы данного множества S. Пер­
вое отображение Mi ставит в соответствие элементу а
некоторый элемент 6, т. е. а —*Ь. Отображение М2
ставит в соответствие элементу Ь элемент с, т. е..
b —* с.
Таким образом, при последовательном выполне­
нии отображений Mi и М2 элемент а переходит в эле­
мент с, т. е.
и, следовательно, М{М2 — отобра*
жение множества S. Предоставляем читателю само­
стоятельно доказать, что MiM2— отображение на все
множество S, т. е. что если у — произвольный элемент
множества S, то найдется элемент х , который пере­
ходит при отображении МАМ2 в элемент у.
(2)
Ассоциативность. На первый взгляд может по­
казаться, что бинарная операция — последовательное
выполнение отображений — несомненно ассоциативна.
Однако если учесть, что элементы исходного множе­
ства при каждом отображении меняются местами, то
этот факт перестает быть столь уж очевидным. Оста­
новимся подробно на проверке этого требования.
Мы должны показать, что для любых трех отобра­
жений Mi, М2 и М3 множества 5 на себя справедливо
соотношение
(MjM2) М3= М1(М2М3).
Если х — произвольный элемент множества S, то Mi
переводит х в некоторый элемент у. Так как каждое
из отображений М2 и М3 ставит в соответствие

130

ГЛАВА 9

каждому элементу множества S в точности один эле­
мент этого же множества, то найдутся такие элемен­
ты г и w множества S, что
Мх: х-> у, М2: y-> z, М2: z-> w .
Таким образом, при отображении (М{М2)М2 осу­
ществляются последовательные переходы: х —>z и
г — в результате которых x-+w. При отображении
Mi{M2M2) сначала элемент х переходит в у, затем у
переходит в w и в результате х также переходит в w.
Следовательно, образом элемента х при обоих ото­
бражениях {МХМ2 )М2 и МХ(М2М2) является один и
тот же элемент w. Это и доказывает ассоциативность.
(3)
Единица. При тождественном отображении
каждый элемент рассматриваемого множества соот­
ветствует сам себе, т. е.
b с
Ъ с
Ясно, что это отображение является единичным эле­
ментом относительно бинарной операции суперпози­
ции отображений: Ml = IM = М.
(4) Обратные элементы1) . Рассмотрим отображе­
ние

обратное к нему отображение, обозначаемое через
ЛМ, должно переводить элемент из области значений
отображения М в тот элемент области определения,
которому он был сопоставлен при отображении М.
Иначе говоря, при отображении М-1 каждый образ
переводится обратно в тот элемент, из которого он
получился при отображении М. Тогда

]) В этом пункте фактически рассматриваются произвольные
отображения множеств, а не только отображения множества на
себя. — Прим. ред.

ОТОБРАЖЕНИЯ

131

(Заметим, что в записи отображения Л1-1 участвуют
те же строки, что и в записи отображения М, их лишь
нужно поменять местами.) Тогда
1

ММ'=

(и

v

\г

s

w\ ( г s
,
t

) \и

V

\ (и
=
W] \и

t

V

w\

V

W

) = /,

и, аналогично, М~ХМ = /, т. е. отображение М~х яв­
ляется обратным к М.
Рассмотрим, например, отображение

Допустим, что это отображение имеет обратное, ска­
жем X. Тогда для выполнения равенств XN = NX = I
необходимо, чтобы X цереводило соответственно г—►w,
и
Но это уже не отображение, так как по
определению отображение ставит в соответствие каж­
дому элементу области определения в точности один
элемент области значений, в то время как X перево­
дит элемент г в два элемента и я w. Поэтому отобра­
жение N не имеет обратного.
Какое различие между отображениями М и N
приводит к тому, что М имеет обратное отображение,
а N — нет? При отображении М различные элементы
области определения переходят в различные элементы
области значений, а при отображении N элементам и
и w сопоставляется один и тот же элемент г. Отобра­
жение имеет обратное в том и только том случае, ко­
гда оно различные элементы переводит в различные
элементы, т. е. каждый элемент из его области значе­
ний соответствует только одному элементу области
определения. Отображение, обладающее таким свой­
ством, называется взаимно однозначным 4).
!) Отображение на себя конечного множества элементов бу­
дет, очевидно, взаимно однозначным. Однако для бесконечных
множеств это уже неверно. Рассмотрим, например, отображение
отрезка [0, 2] оси ху определяемое формулой х' = f(x) = 2 ( х — I ) 2.
Ясно, что оно является отображением на себя, однако каждому
х', 0 < х' ^ 2, соответствуют в точности два значения
поэтому
обратное отображение определить нельзя. — Прим. ред.

132

ГЛАВА 9

Мы показали, что множество всех взаимно одно­
значных отображений множества на себя образует
группу относительно операции суперпозиции, или по­
следовательного выполнения отображений. В следую­
щих главах мы познакомимся с такими группами кон­
кретно, когда займемся исследованием групп подста­
новок и симметрических групп,
Дополнительные замечания об обратных отобра­
жениях. Рассмотрим отображение М: х-> у, опреде­
ленное формулой
у —2 х+ 1,

или f(x) = 2 x + L

График отображения у = 2х+1 изображен на рис. 9.1
(стр. 125). Будет ли это отображение взаимно одно­
значным? Предположим, что Xi и х 2 — различные чи­
сла. Различны ли также иХ образы f ( x i ) = y t и
f(x2) = у2? Числа х { и х2 различны, когда их разность
не равна нулю. Так как
У\~У2 = (2*i + 1)-(2*2 + 1) = 2(*! - *2),
т. е.

yl - y 2= 2(*i

~

х2),

то правая часть равенства отлична от нуля (xi и х2
по предположению различны); следовательно, и ле­
вая часть отлична от нуля и yi Ф Уг*
Отображение М"1, таким образом, существует. По­
кажем, что оно задается формулой
М~': х = Ц ^ - .
Для проверки этого утверждения возьмем сначала
образ у числа х при отображении М (у = 2х+1), а
затем найдем образ числа у при отображении М-1,
Мы получим
ММ~1: — +21) — = *,
так что отображение ММ~1 переводит каждый эле­
мент в себя и, следовательно, /ИМ"1 = I. Точно так же

ОТОБРАЖЕНИЯ

133

М Ш отображает у в у, поскольку
2 - ^ + 1 = 0,
и, таким образом, M~lM = /.
Рассмотрим теперь отображение N: х -* у , зада­
ваемое формулой
у = х2, или f(x) = x2,
график которого показан на рис. 9.5. Взаимно одно­
значно ли это отображение? Пусть Xi и х 2 — различ­

ные числа, т. е. Л+ — х2Ф 0. Следует ли отсюда, что
yi — У2 = f{Xi) — f(x2) Ф 0? Разность образов равна
yl - y 2 = x \ - x \ = (х, - х2) [хх+ х2).
По предположению Х\ — х 2 ф0, однако если а:! + л:2= 0,
то yi — у 2 = 0. Поэтому даже если xt и х2 различны,
уi и у 2 не обязаны быть различными. Действительно,
если Xi = — лг2, причем Xi ф 0, то yi = у2. Таким обра­
зом, отображение N не взаимно однозначно и поэтому
не имеет обратного. Однако если из области опреде­
ления отображения N исключить всю отрицательную
полуось оси х (или всю положительную полуось), то
полученное при этом отображение N, определенное
формулой
У = х2, * > 0 ,
взаимно однозначно и имеет обратное (рис. 9.6).
В области определения отображения N равенство

ГЛАВА 9

134

Xf = — х2 выполняется только для Х\ = х2 = 0, так что
различные элементы переходят в различные. Отобра­
жение N — это взаимно однозначное отображение
множества всех неотрицательных действительных чи­
сел на себя. Обратным для него является отобра­
жение
Л/-1: * = V 7 ,

У>

Чтобы проверить равенства NN -1 = N ^N = /, заме­
тим, что отображение NN~l можно задать формулой
F (х) = У х2 = х,

х^О ,

a N~lN — формулой

G(y) = ( V y f = y, У >

о.

Гомоморфизм. Перейдем теперь к рассмотрению
отображений специального типа, играющих в теории
групп большую роль. Нас будут интересовать отобра­
жения, называемые гомоморфизмами, и их частный
вид — изоморфизмы. Понятия, связанные с этими ото­
бражениями, важны для изучения свойств не только
групп, но и других алгебраических систем. Слова «го­
моморфизм» и «изоморфизм» однокоренные. Корень
«морф» (что по-гречески означает «форма») указы­
вает на их связь со структурой.
Прежде чем дать строгое определение, рассмот­
рим пример гомоморфного отображения аддитивной
группы N целых чисел на аддитивную группу В чет­
ных чисел (стр. 111). Это отображение М ставит в со­
ответствие каждому элементу п группы N элемент 2/г,
принадлежащий Е,
М=

, —2 , - 1 , 0, 1 , 2 , ..Л
, - 4 , - 2 , 0, 2, 4, . . . ) '

Заметим, что любые два элемента nt и п2 группы N
при этом переходят в элементы 2щ и 2п2 соответ­
ственно, а их сумма
+ п2— в элемент 2 (/ii + /i2),
т. е. образ 2 (hi + n2) суммы элементов nv и п2, рав­
ный 2/i 1 ^ 2 п2у есть сумма образов 2щ и 2п2 этих эле­

ОТОБРАЖЕНИЯ

135

ментов. Советуем читателю запомнить это отображе­
ние М как конкретный пример гомоморфизма одной
группы на другую.
Пусть теперь даны две группы G и Я и отображе­
ние группы G на группу Я. Это означает, что каждый
элемент группы Я является образом некоторого эле­
мента группы G. Обозначим образы элементов а и b
группы G через f(a) и f(b) соответственно. Тогда f(a)
и f ( b ) — элементы группы Я. Так как G и Я — груп­
пы, то произведения а -b и f(a)-f(b) принадлежа г
группам G и Я соответственно.
Характеристическое свойство гомоморфного ото­
бражения, или гомоморфизма, группы G на группу Я
заключается в том, что для любых двух элементов а
и b группы G их произведение а- b переходит в эле­
мент f(a)-f{b) группы Я, т. е. образ произведения
двух элементов равен произведению их образов:
f (a- b) = f(a)-f(b).
В рассмотренном выше примере гомоморфизма груп­
пы N на группу Е (групповой операцией в обеих груп­
пах было сложение) выполняется равенство
f(n i + n2) = f(nl) + f(n2).
Нужно ясно представлять себе, что, вообще го­
воря, каждая из групп G и Я имеет свою собствен­
ную единицу, бинарную операцию и т. д. Поэтому
/ {а ■Ь) = / (а) ■f (b)
является сокращенной записью следующего утверж­
дения. Пусть символ ® обозначает бинарную опера­
цию в группе G, символ © — бинарную операцию в
группе Я, a f — гомоморфное отображение группы G
в группу Я; тогда для любых элементов а и b груп­
пы G
/(а ® b) = f {а) ® f(b).
В дальнейшем мы не будем пользоваться этой слож­
ной формой записи, за исключением случаев, когда
отказ от нее затрудняет понимание, и будем, как пра­
вило, писать f ( ab) =f ( a) f ( b) . В то время как при

ГЛАВА 9

136

произвольном отображении устанавливается соответ­
ствие между отдельно взятыми элементами двух мно­
жеств, при гомоморфном отображении принимаются
во внимание также бинарные операции в обеих груп­
пах и устанавливается соответствие как между от­
дельными элементами, так и между произведениями
элементов.
Чтобы получить еще один пример гомоморфизма,
рассмотрим следующее отображение циклической
группы С4 (с образующей а) на циклическую группу
С2 (с образующей Ъ):
I

а а2 а3

Г ъ Г

ъ

Отметим, что единицу группы С2 мы обозначили че­
рез /*, чтобы отличить ее от единицы группы С4.
Ранее мы уже обращали внимание на то, что и би­
нарные операции в двух связанных гомоморфизмом
группах различны. Мы надеемся, что в дальнейшем
читатель будет помнить об этих различиях, даже если
это никак не отражается в обозначениях.
Пользуясь таблицей умножения группы С4, можно
проверить, что f переводит каждое произведение эле­
ментов группы С4 в произведение образов этих эле­
ментов в группе С2, так что
f(rs) = f(r)f(s),
где г, 5 —любые два элемента группы С4. В таблице
умножения группы С4 (табл. 9.1) указаны все произ­
ведения элементов группы и (прямо под ними) их об­
разы в группе С2. Отметим, что таблица образов всех
произведений элементов группы С4 представляет со­
бой четырежды повторенную таблицу умножения
группы С2.
Гомоморфное отображение обнаруживает сходство
структур групп С4 и С2. На самом деле именно бла­
годаря наличию этого сходства и существует такое
отображение. Если мы попытаемся построить гомо­
морфизм, например группы С3 на группу С2, то столк­
немся с непреодолимыми трудностями, причина кото­

137

ОТОБРАЖЕНИЯ

рых заключается в отсутствии необходимого для су­
ществования гомоморфизма сходства структур этих
групп.
Таблица 9.1
I

а

А2

Д3

I

а

а2

а3

/(/)= /

f(a) = b

I

а

f ( а 2) = /
а3

а2

П а 3) = 6
/

а
f(a) = b

f ( a 2) ~ I

а2

а3

/ ( а 2) = /

f ( a s) = b

f ( a 3) = Ь

/(/) —/

I

а

В
^
Осо
II
о»

а*

—
чо

а2
Ц а )-Ь

/
/ ( / ) - /

а

а2

}(а) = Ь

f(a*) = I

У п р а ж н е н и е 37. Докажите, что если отобра*
жение / группы G на группу Я не переводит единич­
ный элемент группы G в единичный элемент группы
Я, то оно не гомоморфно, или, напротив, если f— гомо*
морфное отображение группы G на группу Я, то
f V) =1У п р а ж н е н и е 38. Пусть f — гомоморфизм груп­
пы G на группу Я. Покажите, что если я-1 — обрат­
ный к х элемент, то
f ( x - l) = [f(x)]-\
т. е. при гомоморфизме образ обратного элемента
есть элемент, обратный к образу.
У п р а ж н е н и е 39. Пусть группа G гомоморфно
отображается (с помощью гомоморфизма /) на груп­
пу Я, и пусть f(x) = f(y) для некоторых двух элемен­
тов х и у группы G. Покажите, что
f{ x y -1) = f { x - 1y) = l,

138

ГЛАВА 9

У п р а ж н е н и е 40. Пусть f — гомоморфизм одной
группы на другую. Докажите, что
(a) если f(x) = / и f(y) = /, то f(xy) = /;
(b) если f(xy) = /, то f(yx) = /.
Изоморфизм. Рассмотренное выше гомоморфное
отображение группы С4 на группу С2 не является
взаимно однозначным; два различных элемента а я а3
группы С4 переходят при нем в один и тот же эле­
мент b группы С2. (Отображение одной конечной
группы на другую может быть взаимно однозначным
лишь в том случае, когда эти группы имеют одинако­
вый порядок.) Взгимно однозначное гомоморфное ото­
бражение одной группы на другую называется изо­
морфным отображением, или изоморфизмом. Итак,
изоморфизм групп — это отображение одной группы
на другую, удовлетворяющее двум условиям:
1 ) f(ab) = f(a)f(b) для всех элементов а и b
(гомоморфизм);
2 ) f(a) =f ( b) в том и только том случае, когда
а = b (взаимная однозначность).
Рассмотрим два примера таких отображений.
В одном из них участвуют конечные группы, а в дру­
гом — бесконечные. Читателю следует обратить вни­
мание на следующий факт: изоморфизм одной группы
на другую означает, что они имеют одинаковую алгеб­
раическую структуру. Именно по этой причине и су­
ществует изоморфизм одной группы на другую.
Пусть элементами группы Н служат корни урав­
нения а4— 1 = 0,
__
H = {\,i, - 1 , -г}, где i = V ~ 1Групповая операция — обычное умножение. Рассмот­
рим циклическую группу С4 таких вращений квадрата
в его плоскости, в результате которых онсовмещается
с собой,
С4 = {/, а, а2, а3}.
Обозначим через f: С4—>Н такое отображение груп­
пы С4 на Н:
П а
а2
а3\
\1 i - 1
- / /•

ОТОБРАЖЕНИЯ

139

Очевидно, что f — взаимно однозначное отображение.
Но будет ли оно гомоморфным? Чтобы ответить на
этот вопрос, исследуем таблицу умножения группы С4
(табл. 9.2) и сравним каждое произведение г с его
образом f(r) (записанным под ним):
Таблица 9.2
I

а

а2

а2

1

а

а2

а2

1

i

-1

—i

а

а2

а3

I

i

-1

—i

1

а2

а2

I

а

-1

—i

1

i

а2

I

а

а2

—i

1

i

-1

/

а

„2
аЛ

а2

Читатель легко проверит (учитывая равенство
i2 = — 1 ), что образы f(r) элементов группы С4 обра­
зуют таблицу умножения группы Я. Таким образом,
f(rs) = f(r)f(s),
и потому отображение f не только взаимно однознач­
но, но и гомоморфно. Значит, f — изоморфизм. В та­
ких случаях мы будем говорить, что группы С4 и Я
изоморфны. Две группы изоморфны, если существует
изоморфизм одной группы на другую. С точки зрения
этого определения изоморфизм есть как свойство двух
групп, так и свойство связывающего их отображения.
Именно это свойство мы и имели в виду, когда гово­
рили, что группы имеют одинаковую структуру.
Графы двух изоморфных групп изображены на
рис. 9.7 . Ясно, что эти графы совпадают с точностью
до обозначений при вершинах и образующих.

ГЛАВА 9

140

В качестве второго примера изоморфных групп
рассмотрим множество Р положительных действи­
тельных чисел и множество L их логарифмов. (Не
важно, по какому основанию рассматриваются лога­
рифмы, но для определенности будем считать, что они
десятичные.) Прежде всего отметим, что каждое из
3

л

аг
—а

1

а

Р и с . 9.7.

этих множеств является группой относительно бинар­
ной операции, указанной в следующей таблице:
Группа Р

Группа L

Элементы:

Положительные числа

Логарифмы положитель­
ных чисел (все действи­
тельные числа)

Бинарная
операция:

Обычное умножение
(х > 0 и у > 0 влечет
за собой х у > 0)

Обычное сложение
[lo g x + log у = log(xy)]

Единица:

1

0

Обратный:

Обратное число

Противоположное число

Докажем, что эти группы изоморфны и что ото­
бражение f : P- +L, определенное формулой
f(x) = logx,
есть изоморфизм. Каждый элемент множества L при
указанном отображении f является образом некото­
рого элемента х из Р. Итак, областью определения
этого отображения служит множество всех положи­
тельных чисел, а областью значений — множество всех
действительных чисел (рис. 9.8). Остается проверить,
что
(1) f (xy) = f (x )f(y) Для любых х и у из Р\
(2) отображение взаимно однозначно.

141

ОТОБРАЖЕНИЯ

Здесь нужно быть осторожным, чтобы не спутать
операции в группах Р и L. Пусть ® — бинарная опе­
рация группы Р, а © — бинарная операция группы!.
fix)-log т

Тогда для любых двух элементов х, у группы Р
х ® у = ху (умножение положительных
действительных чисел);
а для их образов /(*), f(y) в группе L
f(x)® /(#) = log* + log# (сложение действительных
чисел).
Таким образом, для выполнения условия (1) (опре­
деляющего свойства гомоморфизма) нужно, чтобы
для любых элементов х н у группы Р имело место со­
отношение
f (х ® у) = f (х) © f (у), или log(x#) = logx + log*/.
Но последнее равенство выражает известное свой­
ство логарифмов. Поэтому рассматриваемое отобра­
жение есть гомоморфизм группы всех положительных
чисел на группу всех действительных чисел.
Чтобы убедиться в его взаимной однозначности,
посмотрим на график функции f ( x) =l ogx. Достаточ­
но проверить, что любые два различных элемента пе­
реходят в два различных элемента. Предположим, что
f(x) = f (у), т. е. что log а: = log#. Тогда
log х — log у = 0,

или

lo g y = 0.

142

ГЛАВА 9

X
Отсюда следует, что — = 1 и, значит, х = у. Таким
образом, отображение / взаимно однозначно и, следо­
вательно, является изоморфизмом.
Абстрактные группы. Будем называть две изо­
морфные группы абстрактно равными и считать аб­
страктно равные группы одной и той же абстрактной
группой. Именно благодаря этому приобретают пол­
ную определенность, например, такие термины, как
«группа диэдра порядка 6» или «циклическая группа
порядка 6». Утверждение, что две изоморфные группы
абстрактно равны, не означает, что такие группы со­
вершенно одинаковы; из него лишь следует, что они
обладают одинаковыми групповыми структурными
свойствами. Из упражнения 41 будет видно, что груп­
па может быть изоморфна своей собственной подгруп­
пе. Группа и одна из ее собственных подгрупп — это,
конечно, не одно и то же, однако их групповая струк­
тура может быть одинаковой.
Можно показать, что существует лишь конечное
число «абстрактно различных» групп порядка п.
С точностью до обозначения элементов для множе­
ства, состоящего из п различных символов, существует
лишь конечное число таблиц умножения, имеющих
п клеток. Отметим, что группа диэдра порядка 6 и
циклическая группа порядка 6 не изоморфны (и, сле­
довательно, абстрактно различны), так как вторая из
этих групп коммутативна, а первая — нет. Можно по­
казать, что других абстрактных групп порядка 6 не
существует. Аналогично, если р — простое число, то су­
ществует только одна абстрактная группа порядка р,
и это, конечно, циклическая группа Ср.
На основании этих примеров не следует делать вы­
вода, что легко перечислить все абстрактно различные
группы данного порядка. Известно, что существует
267 абстрактных групп порядка 64, но пока еще никто
не подсчитал число абстрактных групп порядка 256.
Отождествление изоморфных групп и образование
понятия абстрактной группы аналогично образованию
понятия числа путем абстрагирования от его конкрет-

ОТОБРАЖЕНИЯ

143

иых интерпретаций. Число пять— это некая абстракдня, которая возникает из рассмотрения конкретных
множеств, состоящих из пяти элементов; например,
пять пальцев, пять рублей, пять морей, пять гласных
букв. Точно так же можно рассматривать конкретные
представления абстрактной группы: существует лишь
одна абстрактная циклическая группа четвертого по­
рядка, но есть много ее конкретных интерпретаций.
Понятие изоморфных, или абстрактно равных,
групп является очень важным: иногда мы можем су-*
щественно упростить доказательство теоремы, исполь­
зуя вместо некоторой группы ей изоморфную. Так как
изоморфные группы имеют одну и ту же групповую
структуру, теорема распространяется на все группы,
изоморфные той, которая была использована в дока­
зательстве.
У п р а ж н е н и е 41. Может ли группа быть изо­
морфна собственной подгруппе? Пусть G — аддитив­
ная группа целых чисел (стр. 25). Пусть Я — ее
(собственная) подгруппа, состоящая из всех четных
чисел. Покажите, что группу G можно изоморфно ото­
бразить на группу Я , т. е. существует отображение f
группы G на группу Я, такое, что
f(x + y) =f ( x) + f(y)
и
f(x) = f(y) тогда и только тогда, когда х = у.
У п р а ж н е н и е 42. Распространите результат
упражнения 41 на абстрактную группу С* (стр. 66).
Пусть G — бесконечная циклическая группа, порож­
денная элементом г, и Я — ее (собственная) подгруп­
па, порожденная элементом rn, п > 1. Покажите, что
группу G можно изоморфно отобразить на группу Я.У
У п р а.ж н е н и е 43. Пусть G — бесконечная группа,
порожденная элементом г, и пусть Я — циклическая
группа второго порядка с элементами /, Ь, где Ъ2 = /.
Покажите, что существует гомоморфизм группы G на
группу Я ? а изоморфизма не существует,

144

ГЛАВА 9

У п р а ж н е н и е 44. Пусть G — группа и г — неко­
торый ее фиксированный элемент. Если а: — любой
элемент группы G, то и г~^хг — элемент этой группы.
Определим отображение f: G —►G формулой
f: х-> г~ гхг, или f(x) = r~1xr.
Докажите, что f — изоморфизм группы на себя.
У п р а ж н е н и е 45. Пусть G — группа и f — ото­
бражение, ставящее в соответствие каждому элементу
группы его квадрат. Таким образом, f: х -+ х 2, или
f(x) = х2. Будет ли это отображение изоморфизмом?
Может ли f быть гомоморфизмом, и если да, то для
каких групп?

ГЛАВА 10

ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК

Многие работы по теории групп посвящены иссле­
дованию класса групп, называемых группами подста­
новок (или группами перестановок). Группы подста­
новок особенно интересны тем, что с их помощью
можно получить конкретные представления всех ко­
нечных групп. В этой главе мы увидим, что любая ко­
нечная группа изоморфна некоторой группе подста­
новок.
Мы приводили много примеров -отображений, запи­
санных в виде двух строк, заключенных в скобки, где
элементы из области определения стояли в верхней
строке, а элементы из области значений — в нижней.
Было показано также, что множество взаимно одно­
значных отображений множества из п элементов на
себя составляет группу отображений. Такие отобра­
жения называют подстановками, а группы, элемен­
тами которых являются подстановки, — группами под­
становок.
Пусть множество состоит из трех элементов, рас­
положенных в произвольном, но фиксированном по­
рядке: аи а2, аъ. В таких случаях часто бывает удобно
обращать внимание лишь на нижние индексы и счи­
тать, что мы имеем дело с последовательностью 1,
2 , 3 ; таким образом, например, третий элемент а3 обо­
значается просто как 3.
Пусть теперь М — некоторое взаимно однозначное
отображение этого множества на себя:
или

или 2->3,
3 -М .

ГЛАВА 10

146

Будем рассматривать это отображение М как под­
становку элементов упорядоченного множества (вме­
сто 1 «подставляется» 2, вместо 2 — 3, вместо 3 — 1 )
или как перестановку последовательности 1 , 2, 3, в ре­
зультате которой , получается последовательность 2,
3 , 1 . Именно по этой причине мы называем группу ото­
бражений конечного множества в себя группой под­
становок (или группой перестановок).
Разложение подстановок в произведение циклов.
Отображение, или подстановка М, устанавливает со­
ответствия

Эта циклическая конфигурация наводит на мысль
записать М в виде одной строки, заключенной в
скобки:
М = ( 12 3),
и такая запись будет означать, что М отображает
каждый символ в ближайший к нему справа, а по­
следний— в первый. Подстановку М можно записать
в виде цикла тремя способами:
(1 2 3),

(2 3 1), (3 1 2),

так как несущественно, какой элемент указанного
цикла мы поставим первым.
Пусть задано следующее отображение N множе­
ства из четырех элементов аи &г, Яз, я4:
1 2 3 4\
N = 2 3 14/
Можно ли представить это отображение в виде
цикла? Так как 4 отображается в 4, то N можно пред­
ставить как
(1 2 3),

ГРУППЫ

ПОДСТАНОВОК

147

если условиться, что любой элемент, не появляющийся
в цикле, переходит в себя. Аналогично,

так как отображение, записанное в левой части, пол­
ностью описывается двучленным циклом (2 4), если
эту запись понимать так: 2 —►4, 4 —>2, 1 —►1 и 3 —►З.
Можно ли записать с помощью циклов произволь­
ное отображение конечного множества в себя? На­
пример, как записать отображение

в котором в противоположность предыдущему ото­
бражению N множество соответствий не «выстраи­
вается» в один цикл? Начнем с символа 1 и запишем
справа от него его образ 2 :
(1

2

.

Чтобы продолжить цикл далее, надо посмотреть, во
что переходит символ 2. Его образом будет 4, и мы
пишем
(12 4 .
Если мы попытаемся продолжить цикл дальше, то уви­
дим, что отображение А переводит 4 в 1, и оконча­
тельно имеем
(1 2 4).
Но этот цикл не есть запись отображения А, так как
соответствующее ему отображение не переводит 3 в 5,
а 5 в 3. Эти переходы осуществляются циклом (3 5),
который каждый из остальных символов переводит
в себя. Итак, ясно, что если выполняется сначала ото­
бражение
(12 4) =

ГЛАВА 10

148

а затем отображение
12 3 4 5
12 5 4 3
то произведение этих отображений (их суперпозиция)
есть отображение А, т. е.
/1 2 3 4 5 \ / 1 2 3 4 5 \ / 1 2 3 4 5 \
(3 5) =

f

(1 2 4) (3 5) = 2 4 3 1 5 / ( 1 2 5 4 3 / \ 2 4 5

1 3 /'

Отметим, что поскольку эти два цикла не содержат
общих символов и не оказывают друг на друга влия­
ния, то безразлично, в каком порядке мы производим
соответствующие отображения; следовательно,
(1 2 4) (3 5) = (3 5) (1 2 4).
Чтобы получить представление отображения А с по­
мощью циклов, мы воспользовались способом, кото­
рый можно применить к отображению любого конеч­
ного множества на себя. Отсюда следует, что каждую
подстановку конечного множества можно записать
как произведение циклов, не содержащих общих сим­
волов.
Рассмотрим теперь отображения
( 1 2 ) (2 3) и (2 3) (12)
и выясним, будут ли перестановочны циклы (1 2 ) и
(2 3) с общим символом 2 . Произведение ( 1 2 ) и
(2 3) дает:
1 - >2, затем 2-> 3 и окончательно 1->3,
3 —> 3, затем 3-> 2 и окончательно 3->2,
2 - > 1 , затем 1 —
> 1 и окончательно 2 - > 1 .
Таким образом,
(1 2) (2 3) = (1 3 2).
С другой стороны, (2 3) (1
1—
> 1,
затем 1 - > 2
2 - >3, затем 3->3
3 - >2, затем 2 -М

2 ) дает:
и окончательно 1 -> 2 , и окончательно 2->3,
и окончательно 3 —> 1.

ГРУППЫ

ПОДСТАНОВОК

149

Таким образом,
(2 3) (1 2) = (1 2 3),
т. е. циклы ( 1 2 ) и (2 3) не коммутируют. Циклы,
не содержащие общих символов, перестановочны меж­
ду собой, а содержащие общие символы могут и не
быть перестановочны.
Конечная группа изоморфна группе подстановок.
Мы уже подготовили фундамент для одной из основ­
ных теорем о представлении конечных групп. В гл. 9
указывалось, что каждую конкретную группу можно
рассматривать как одно из многих возможных пред­
ставлений некоторой абстрактной группы, которая
изоморфна каждому из этих представлений. В сфор­
мулированной ниже теореме утверждается, что для
каждой конечной абстрактной группы существует ее
конкретное представление в виде некоторой группы
подстановок. Напомним, что подстановка на п сим­
волах— это взаимно однозначное отображение мно­
жества из п элементов на себя *).
Т е о р е м а 5. Пусть задана конечная группа поряд­
ка п. Тогда существует группа подстановок на п эле­
ментах, изоморфная данной группе.
Доказательство этой теоремы можно найти в лю­
бой книге, посвященной теории конечных групп. По­
этому нам кажется, что читателю будет полезнее про­
следить ход доказательства в применении к какой-ли­
бо конкретной группе (используемый здесь способ
рассуждения может быть обобщен до формального
доказательства теоремы).
Найдем представление в виде группы подстановок
для циклической группы С4 четвертого порядка. Со­
ставим прежде всего таблицу умножения этой груп­
пы, причем элементы /, а, а2, а3 будем обозначать
также символами g 1, £ 2, ёз, gi соответственно.

!) Подстановку на п символах называют подстановкой сте­
пени п, а группу всех таких подстановок — группой степени п. —
Прим. ред.

150

Гл а в а

ю

Таблица ЮЛ

/

I

а

а2

а3

gi

g2

gs

gi

/

а

а2

а3

£l

£1

а

а

g2

gз

gi

а2

а3

/

g2

g2

£з

gi

gi

а2

а2

а3

/

а

&з

£з

g*

£1

g2

аъ

а3

/

а

а2

g*

g4

£1

g2

gs

(1

2

3

4\

VI

2

3

4/

/ 1 2

3

4\

V2

3

4

1/

/ 1 2

3

4\

\3

1 2/

4

/ 1 2

(4

3

4\

1 2

3/

/П!

т2

тг

Каждая строка табл. 10.1— это перестановка верх­
ней строки (см. теорему 1 на стр. 53); например,
последовательность g2, £з, gi, g^ (или просто 2, 3, 4, 1)
во второй строке есть перестановка последователь­
ности 1, 2, 3, 4 из первой строки. Четыре подстановки
(или взаимно однозначных отображения), соответ­
ствующие перестановкам в строках, записаны справа
от таблицы. Их можно представить с помощью циклов:
mi = (1) (2) (3) (4) = /, т3 = ( 13) (2 4),
т2 = {1 2 3 4),
т 4 = (1 4 3 2).
(Чтобы записать
— / в виде циклов, нам пришлось
ввести циклы, содержащие один символ.)
У п р а ж н е н и е 46. Проверьте непосредственно,
что
(а) т\ = т3, (Ь) т\ = /, (с) т] = m4, (d) m2m4 = /
и что отображения ти т2, тъ, т 4 образуют группу М.
Чтобы убедиться в том, что группа М, состоящая
из подстановок ти т2, т 3, т 4, изоморфна группе С4,

ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК

151

рассмотрим такие движения квадрата, вершины кото­
рого перенумерованы цифрами 1, 2, 3, 4, в результате
которых вершины перемещаются в соответствии с под­
становками ти т2, т3, т 4 (рис. 10.1). Ясно, что m i—
единица группы подстановок М. Сопоставим ей еди­
ничный элемент I группы С4. Подстановка т2 эквива­
лентна повороту против часовой стрелки на 90°1). Со­
поставим ей образующую а группы С4.
4
4
з з
■V ' v
4

2

тг

т \

(1) (2) (3) (4)

1 3

( 1234)

2

4

т3

(13)(2 4)

Рис.

(1432)

10.1.

У п р а ж н е н и е 47. Отобразите оставшиеся эле­
менты т 3 и т 4 группы М на элементы группы С4 та­
ким образом, чтобы группа М отображалась на груп­
пу С4 изоморфно.
Возникает естественный вопрос: почему отображе­
ния, выписанные в табл. 10.1, образуют группу, изо­
морфную исходной? Вот вкратце основные соображе­
ния по этому поводу. Четыре отображения nij (j =
= 1, 2, 3, 4) можно описать так:
_/

Si

§2

gs

§4

\

m i ~ \ 8 l 8 i §i8 2 8jga g / g t r
т. e. m.j — это отображение
_________
gi~+gigi
(*= 1> 2. 3. 4).
0 Чтобы убедиться, что подстановка т 2= (1 2 3 4) соответ­
ствует повороту на 90° против часовой стрелки, вспомним наше
первоначальное обсуждение группы самосовмещений (стр. 26—34).
Можно считать, что повернутая фигура наложена на фигуру, на­
ходящуюся в исходном положении (рис. 3.2); запись а-+Ъ озна­
чает, что вершина а в результате движения замещается верши­
ной b (стр. 28). Таким образом, т 2 = ( 1 2 3 4) означает, что
1-+2 (вершина 1 замещается вершиной 2), 2 - ^ 3 (вершина 2
замещается вершиной 3) и т. д. В результате квадрат оказы­
вается повернутым на 90° против часовой стрелки.

ГЛАВА 10

152 .

Отображение т^гпъ есть последовательное выполнение
отображений ntj и т&, т. е. при т^ти
а затем g i- * 8 k g iТаким образом, при отображении т^тк
g i- + S ig u

gi^gt (gkgi)=(gigk) gi■
Следовательно, существует взаимно однозначное соот­
ветствие между произведениями mjmfe в группе под­
становок и произведениями gjgu в группе С4. (Ср. с
теоремой 1 на стр. 53.)
ab
Ьг
а
I
I
a b ab
Ь
I
Элементы
I
Si ёг ёг ё4
а
1
a2= b2-(ab)2- 1
Рис.

10.2

Теперь найдем представление четверной группы D2
в виде группы подстановок (рис. 10.2 и табл. 10.2).
Таблица 10.2

I

I

a

b

ab

8i

@2

g3

g4

I

a

b

ab

8\

g\

g2

g3

g4

а

a

I

ab

b

§2

Ь

ab
g4

82

8\

g4

g3

b

ab

I

a

§3

8 4

8 1

g2

ab

b

a

I

§4

g3

82

81

2

3

4

2

3

4)-

3

4

1 2

3

4

3

4

1 2

3

2

о

1 2

,2 1

/1 2
44

4 3 ) - т2

3

ь

тъ

;) = т4

ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК

153

Элементы группы подстановок М записаны в виде
двух строк, заключенных в скобки. Их можно следую­
щим образом выразить как произведения циклов:
т\ —(1)(2) (3) (4) = /,
т3= ( 1 3)(2 4),

т2 = ( 12) (3 4).
т4 = (1 4) (2 3).

У п р а ж н е н и е 48. (а) Проверьте, что в группе М
выполняются равенства т2= т\ = (т.,т^2= /.
(Ь) Запишите с помощью двух строк, заключен­
ных в скобки, изоморфизм группы подстановок М на
четверную группу с элементами /, а, by ab и опреде­
ляющими соотношениями а2 = Ь2 — (ab) 2 = /.

Как и в предыдущем примере группы С4, представ­
ление четверной группы с помощью подстановок под­
сказывает конкретную интерпретацию, основанную на
перемещениях четырех объектов. На этот раз объекты
будут помещены в четыре вершины правильного тет­
раэдра (рис. 10.3). Тождественная подстановка т1
оставляет все вершины в первоначальном положении.
Чтобы представить подстановку т2 = (1 2) (3 4), нуж­
но поменять местами объекты в вершинах 1 и 2, 3 и 4
(рис. 10.4). Правильный тетраэдр можно перевести из
начального положения в положение, соответствующее
результату подстановки т 2, вращением на 180° вокруг
оси АВУизображенной на рис. 10.4 Ось АВ проходит
через середины двух «противоположных» ребер 1—2
и 3—4, Мы будем называть ее медианой тетраэдра.

154

ГЛАВА 10

Аналогично, отображения тг и т 4 можно интерпрети­
ровать как вращение на 180° вокруг медиан CD и EF
соответственно (рис. 10.5).

Рис.

10.5.

Таким образом, одним из представлений четверной
группы является некоторое множество движений пра­
вильного тетраэдра, в результате которых он совме­
щается со своим первоначальным положением, а имен­
но вращений на 180° вокруг медиан. Можно показать,
что три эти медианы пересекаются в одной точке и
попарно перпендикулярны. Поэтому можно считать,
что четверная группа состоит из вращений взаимно
перпендикулярных осей, в результате которых оси
совмещаются со своим исходным положением.
В следующем разделе мы рассмотрим совокупность
всех самосовмещений правильного тетраэдра — груп­
пу тетраэдра — и увидим, что группа тетраэдра со­
держит четверную группу в качестве своей подгруппы.
У п р а ж н е н и е 49. (а) Постройте группу подста­
новок на шести объектах, изоморфную группе диэд­
ра D3 порядка 6.
(Ь) Запишите каждый из элементов этой группы
подстановок с помощью циклов.
У п р а ж н е н и е 50. Пусть задано шесть элементов:
/, а = (1 2 3), b = (1 3 2), с = (1 2), d = (1 3),
е = (2 3). Покажите, что они образуют группу диэдра
D* порядка 6. [Замечание: здесь элементы группы
представлены с помощью подстановок на трех сим­

ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК

155

волах, в то время как в предыдущем упражнении для
этой дели использовались подстановки на шести сим­
волах.]
Группа тетраэдра. Значительный интерес пред­
ставляют группы, связанные с самосовмещениями пяти
правильных многогранников: тетраэдра, куба (гек­
саэдра), октаэдра, додекаэдра и икосаэдра. Мы не
можем подробно останавливаться на каждой из этих
групп и ограничимся рассмотре­
нием лишь группы тетраэдра.
|
Следует помнить, что в качестве
Лк
групповой
бинарной
операции
/ 1\ \
здесь, как и во всех группах дви/
\
жений, рассматривается суперпози/
i\ \
ция, или «последовательное выполнение». (Советуем читателю для
наглядности использовать какуюнибудь модель тетраэдра.)
Прежде
всего
подсчитаем,
Р и с . 10.5.
сколько различных элементов со­
держит группа самосовмещений правильного тетра­
эдра, а затем выделим некоторые основные движения,
которые порождают всю группу. Для этого мы обоб­
щим метод, который ранее использовался нами для
изучения группы самосовмешений равностороннего
треугольника (группы диэдра D3; см. стр. 42).
Выберем за ось вращения перпендикуляр, опущен­
ный из вершины 4 на плоскость треугольника с вер­
шинами 1, 2 и 3, и зададим на ней направление, как
показано на рис. 10.6. Мы рассматриваем стрелку на
оси как конец правостороннего винта и обозначаем
через г вращение на 120° в направлении ввинчивания
винта. При вращении вокруг этой оси верхняя вер­
шина 4 остается на месте и можно получить три раз­
личных положения тетраэдра, отмеченные на рис. 10.7
буквами /, г, г2. Заметим, что изображенные на
рис. 10.7 вращения исчерпывают все движения тет­
раэдра, при которых он совмещается сам с собой,
а вершина 4 остается на месте. Аналогичная ситуация
возникает и при рассмотрении других вершин, и

156

ГЛАВА 10

потому мы имеем всего 4*2 = 8 нетождественных самосовмещений тетраэдра, при которых какая-либо
одна вершина остается неподвижной. Легко видеть
также, что единственными самосовмещениями тетра-

Рис.

10.7.

эдра, при которых ни одна из вершин не остается на
месте, являются вращения на 180° вокруг трех его
медиан. Таким образом, существует всего двенадцать
самосовмещений правильного тетраэдра. Группа тетпаэдра имеет порядок 12.

Обозначим опрокидывание (вращение на 180°) от­
носительно медианы АВ через /. В результате этого
движения тетраэдр переходит в новое положение, изо­
браженное на рис. 10.8. (Заметим, что / переставляет
вершины каждой из пар 2, 4 и 1, 3.) На рис. 10.9 (со­
ответственно на рис. 10.10) изображено положение,
в которое переходит тетраэдр в результате последова­
тельного выполнения движений г и f (соответственно
/иг).

157

ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК

Читателю следует проверить, что все двенадцать
самосовмещений тетраэдра являются комбинациями
движений г и /, т. е. г и f порождают группу тетраэд­
ра. Отметим, в частности, что опрокидывание относи­
тельно каждой из трех медиан можно представить
4
2

в виде слова от г и /. Но эти движения, как мы уже
видели, дают конкретное представление четверной
группы (стр. 153). Следовательно, четверная группа
является подгруппой группы тетраэдра.
2

3

Рис.

10.10.

Образующие элементы г и / можно представлять
себе как отображения множества, состоящего из че­
тырех вершин, на себя:
/ 1 2 3 4\
' - ( г з м ) - ' 1 2 3 » - 0 2,(1 3)'
/ 1 2 3 4',
Н

з

4,

2Н

3>-

Отметим, что как г, так и f являются произведениями
двух циклов, содержащих по два символа каждый.

158

ГЛАВА 10

Мы не в состоянии еще полностью оценить значение
этого факта, которое прояснится в дальнейшем
(стр. 193) при обсуждении симметрической и знако­
переменной групп. Пока отметим только, что группу
тетраэдра часто обозначают через Л4, чтобы указать
на совпадение ее со знакопеременной4) группой от
четырех символов.
Граф группы тетраэдра Л4. Построение графа груп­
пы Л4 будет проводиться аналогично построению гра­
фа группы диэдра (стр. 76).

Рассмотрим усеченный тетраэдр, изображенный на
рис. 10.11,а). Треугольник при каждой вершине соот­
ветствует вращению порядка 3. На рис. 10.11, б) мы
снабдили стороны треугольников стрелками, чтобы на­
помнить о вращении вокруг фиксированной вершины
тетраэдра. Когда мы увидим, как из этого представ­
ления самосовмещений получается граф, станет ясно,
почему мы выбрали именно такие направления, кото­
рые показаны на рисунке. Отрезок, соединяющий два
треугольника, можно рассматривать как представле­
ние опрокидывания относительно медианы (порядок
этого движения равен 2). Напоминаем, что образую­
щие порядка 2 изображались на графе группы как
один отрезок без стрелки; поэтому мы не ставим
стрелок и на соответствующих ребрах тетраэдра, изо­
браженного на рис. 10.11, б).
!) По-английски
знакопеременная
group», откуда и возникло обозначение Л .

группа — «alternative
— Прим,

перев.

ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК

159

Заметим, что грани усеченного тетраэдра — это
треугольники и шестиугольники. Чтобы перейти к дву­
мерному представлению, сплющим наш тетраэдр так,
чтобы в середине оказался треугольник или шести­
угольник (рис. 10.12). В этих плоских представлениях
каждый направленный отрезок, соответствующий вра­
щению г на 120°, изображается непрерывной линией,
а каждый отрезок, соответствующий опрокидыванию /
порядка 2, — пунктирной линией. Две сети, изобра­
женные на рис. 10.12, топологически эквивалентны.

Мы утверждаем, что эти сети являются графами
группы тетраэдра Л4. Очень важно, чтобы читатель
отдавал себе отчет в том, что построение модели, пред­
ставляющей самосовмещения, не обязательно приво­
дит к графу группы. В каждом конкретном случае
следует проверять, что полученная сеть удовлетворяет
всем требованиям, которым, как мы установили рань­
ше, должен удовлетворять граф группы.
Определяющие соотношения для группы тетраэд­
ра Л4. В гл. 7 мы подробно рассмотрели группу диэд­
ра £>3. Аналогичные соображения показывают, что
группа Л4 полностью определяется следующими дан­
ными:
(1) Л4 порождается двумя образующими, обозна­
чаемыми через г и f\
(2) эти образующие удовлетворяют определяю­
щим соотношениям
r3= I,

P = I,

rfrfrf = I

[или (г/)3= /]•

160

ГЛАВА 10

У п р а ж н е н и е 51. Пользуясь графом группы Л4,
убедитесь, что rfr2-r2fr = f. Докажите то же самое,
используя соотношения г3 = f2 = (rf)3 = /.
На этом мьг заканчиваем рассмотрение самосовмещений правильного тетраэдра. Краткие замечания по
поводу групп, связанных с кубом и октаэдром, приве­
дены на стр. 188, в приложении будут рассмотрены
некоторые существенные особенности группы икосаэд­
ра (и группы додекаэдра).

ГЛАВА 11

НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ

Мы займемся теперь гомоморфными отображения­
ми группы, обращая особое внимание на то, как дей­
ствует отображение на подгруппах группы.
В развитии и применении теории групп особую
роль играли некоторые подгруппы специального вида.
В 1830 г. Галуа1), занимаясь исследованием корней
алгебраических уравнений, выявил значение этих осо­
бых подгрупп, так называемых нормальных2) (или
самосопряженных, или инвариантных) подгрупп. Он
показал, что каждому алгебраическому уравнению со­
ответствует группа конечного порядка, а природа
корней уравнения зависит от того, каковы нормальные
подгруппы этой группы, т. е. в основе изучения свойств
решений соответствующего алгебраического уравне­
ния лежит рассмотрение нормальных подгрупп.
Исследуем нормальные подгруппы с двух точек
зрения: (1) с точки зрения гомоморфных отображе­
ний, (2) с точки зрения разбиения группы на смеж­
ные классы по нормальной подгруппе. Как мы
увидим, оба эти подхода соответствуют различным
аспектам одного и того же основного структурного
!) Эварист Галуа (1811—1832) был одним из первых, кто
предложил такой подход к математике, при котором центр тяже­
сти переносится на общие теоремы об абстрактных структурах.
Благодаря такому подходу он установил условия разрешимости
в радикалах произвольных алгебраических уравнений. При этом
им было введено понятие п о л я и найдено соответствие между
полями и группами, сохранившее значение до настоящего вре­
мени (оно известно теперь под названием «теория Галуа»). Галуа
был убит на дуэли в возрасте 21 года.
2) Нормальные подгруппы часто называют «нормальными де­
лителями».— П р и м , п е р е в ,
6 Зак.

1090

162

ГЛАВА И

свойства. Первый подход опирается на выявление ря­
да соотношений между элементами группы путем «вы­
числений», опирающихся на групповые аксиомы. Мы
уже проводили подобные вычисления, когда, напри­
мер, решали групповые уравнения и получали опреде­
ляющие соотношения группы.
Нормальные подгруппы и гомоморфные отображе­
ния. Начнем исследование нормальных подгрупп с
рассмотрения некоторых групповых гомоморфизмов.

Рис.

ил.

Группа диэдра D3 с элементами I, а, а2, b,
Ьа, Ьа2 и определяющими соотношениями
а3= ь2= ф а )2= /.

Мы потребуем, чтобы эти гомоморфизмы отображали
некоторые специальные подгруппы в единицу группыобраза, и посмотрим, к каким результатам приведут
эти условия.
Конкретно, рассмотрим группу диэдра Z)3 порядка 6
(рис. 11.1). Эта группа имеет подгруппу Н = {/, Ь).
Предположим, что f — гомоморфное отображение
группы D3 на группу G, такое, что все элементы под­
группы Н переходят в I группы G, т. е.
/(/) = /

и

/(&) = /-

Посмотрим, во что при гомоморфизме f переходят эле­
менты, не принадлежащие подгруппе Н. Мы утверж­
даем, что
/(« )= /Действительно,
a = Ia = (baf а = babaa, или а = (Ьа) (Ьа2),
Так как f — гомоморфизм, то для любых элементов
г и s этой группы

/(rs) = /(r)/(s);

НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ

163

следовательно,
f{a) = f (Ьа • ba2) = f (ba) f (ba2) =
= f{b)f(a)f{b)f(a2) = f{a)f(a2) [так как /(6) = /] =
= / (а3) = /(/) = /,
как и утверждалось. Поэтому
f(a2) = f(a)f(a) = I,
f(ba) = f(b)f(a) = f(a) = I,
f(ba2) = f(b)f(a2) = f(a2) = I i
так что каждый элемент группы D3 отображается в I.
Это доказывает, что любой гомоморфизм группы D3y
который переводит подгруппу Н в I, отображает в I
всю группу D3.
Рассмотрим теперь гомоморфизм группы D3 в груп­
пу G, который переводит в / некоторую другую под­
группу, скажем подгруппу К = {/, а, а2}. Из соотно­
шений
f(/) = /(a) = /(a 2) = /
следует, что
f(ba) = f(b)f(a) = f(b),
f(ba2) = f(b)f(a2) = f(b),
и этот гомоморфизм можно представить в виде
/ / a a2 b ba Ьа2 \
\1 I I с с с ) ’
где с = f(b). Так как
c2 = f(b)f(b) = f(b2) = f (I )=I ,
то множество, состоящее из элементов / и с, является
циклической группой второго порядка1). Таким обра­
зом, гомоморфное отображение группы D3, которое
!) Мы неявно предполагаем, что с = } ( Ь) ф1. Конечно, су­
ществует (тривиальное) отображение f, такое, что f { b ) = I , но
равенство f(b) = / не является непременным следствием равен­
ства /(а ) = /,

164

ГЛАВА 11

переводит подгруппу К в I, не обязательно отобра­
жает в I всю группу D3; оно может отображать груп­
пу D3 на циклическую группу второго порядка.
Эти результаты показывают, что между подгруп­
пами К и Н в D3 имеется существенное различие.
В дальнейшем мы увидим, что подгруппа К действи­
тельно обладает некоторой особенностью, которую
можно охарактеризовать как «неизменяемость» (инва­
риантность) некоторого связанного с ней объекта, в то
время как соответствующий объект подгруппы Н бу­
дет «изменяемым»; в связи с этим подгруппу К на­
зывают нормальной, или инвариантной. Изучить суще­
ственные свойства нормальных подгрупп нам помо­
жет рассмотрение смежных классов по таким под­
группам.
В гл. 8 мы уже имели дело со смежными классами
по подгруппе и выписали все левые и правые смеж­
ные классы группы диэдра D3 порядка 6 по подгруп­
пе Н. Было отмечено, что классы аН и На не совпа­
дают (как множества) (стр. 117); левый смежный
класс аН — это множество
{al, ab} = {a, Ьа2},
а правый смежный класс На — это множество
{1а, Ьа} = {а, Ьа}.
Что можно сказать о левых и правых смежных клас­
сах группы D3 по подгруппе К порядка 3? Вот они:
Левые смежные классы

/с = {/, а, а2},
ЬК = {Ь, Ьа, Ьа2};

Правые смежные классы

к = {1, а, а2},
Kb={b, ab, а2Ь} = {Ь, Ьа2, Ьа].

Левые и правые смежные классы по подгруппе К со­
впадают, т. е. ЬК = КЬ.
Гомоморфное отображение f группы D3 на цикли­
ческую группу порядка 2 действует следующим об­
разом:
смежный класс /С—►/,
смежный класс Ы{ = смежный класс Kb-+f(b).

НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ

165

На рис, 11.2 значком О отмечены те элементы группы
диэдра D3, которые принадлежат смежному классу К,
а значком □ — те элементы, которые принадлежат
смежному классу ЬК. На рис. 11.3 одинаковыми

Рис.

11.2.

значками обозначены элементы, принадлежащие од­
ному и тому же левому или правому смежному классу
группы D3 по подгруппе Я.
Из этого примера видно, что представление груп­
пы D3 в виде объединения смежных классов по К

На левом рисунке, отвечающем левым смежным классам,
символом О обозначены элементы из Я, символом □ —эле­
менты из аН и символом Л —элементы из а2Н.
На правом рисунке, отвечающем правым смежным клас­
сам, символом О обозначены элементы из Я, символом
□ —элементы из На и символом Л —элементы из На2.

остается неизменным, иначе, инвариантным, вне за­
висимости от того, представляется ли группа в виде
объединения левых или правых смежных классов.
Вообще подгруппа К группы G называется нор­
мальной, или инвариантной, если каждый левый смеж­
ный класс аК группы G по К совпадает с соответ­
ствующим правым классом Ка. Отметим, в частности,

166

ГЛАВА If

что подгруппа, состоящая из одного элемента /, нор­
мальна, поскольку для каждого элемента g группы G
классы gl и Ig совпадают (каждый из них состоит из
единственного элемента g ). Вся группа G также
является своей нормальной подгруппой, поскольку
любой левый смежный класс gG и любой правый
смежный класс Gg совпадает со всей группой G.
В следующей теореме устанавливается связь меж­
ду нормальными подгруппами и гомоморфными ото­
бражениями.
Т е о р е м а 6. Пусть / — гомоморфное отображение
группы G на группу Н\ тогда множество К всех таких
элементов х группы G, что f(x) = / (где I — единица
группы Н)> является нормальной подгруппой груп­
пы G.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Убедимся сначала, что К
является подгруппой группы G. Для этого проверим
выполнение двух указанных на стр. 107 условий, ко­
торым должна удовлетворять подгруппа. Затем дока­
жем, что подгруппа К нормальна.
( 1 ) Замкнутость. Нужно показать, что если Xi и
Хг — два произвольных элемента из /С, то xLx2 также
принадлежит К. Для этого покажем, что если f(x i) =
= / и f(x 2) = /, то f(xix2) = /. Поскольку/ — гомомор­
физм,
/ (*i*2) = / (*1) f (*2) = / • / = / .
Тем самым доказана замкнутость множества К.
(2) Обратимость. Покажем, что если элемент х
принадлежит множеству К, то его обратный г -1 также
принадлежит /С, т. е. если f(x) = / , то и f(x~l) = /.
Так как / — гомоморфизм, то /(/) = 1 (см. упр. 37,
стр. 137) и
/ (X-1) = / • f (*- 1) = f(x)f (х-1) = / (XX-1) = /(/) = /.
Таким образом, для К выполняется свойство обрати­
мости.
Теперь докажем, что К является нормальной под­
группой группы G. Для этого мы должны показать,
что уК = Ку для любого элемента у группы G. (На­

НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ

167

помним, что определение нормальной подгруппы со­
держит лишь требование совпадения левых и правых
смежных классов по этой подгруппе.)
т
Пусть Xi — произвольный, но фиксированный эле­
мент подгруппы К. Тогда Х\у является элементом
смежного класса
Ку —{Х\У, Х2у, х3у, ...}.
Мы хотим показать, что элемент Xiy принадлежит
смежному классу
уК = {ухь ух2, ух3, ...};
для этого решим относительно г уравнение
yz = х ху
и покажем, что z является элементом подгруппы К.
Элемент
z —У~1Х[У
является решением этого уравнения, и остается лишь
показать, что f{z) = I. Но
f (z) = f (у~1х1у) = (поскольку / —гомоморфизм)
= / (у~г) / (ай) / (у) = (поскольку Х\ принадлежит К)
= / (у~г) / (у) = (поскольку / —гомоморфизм)
=/(/)=/.
Таким образом, D3//(, определенное формулой
х-> хК,
есть гомоморфное отображение группы D3 на группу
D3/K. (Покажите, что ху —►хуК = хК-уК.)
Название «факторгруппа» и обозначение D3/K
объясняются аналогией между разложением группы
в объединение смежных классов
D3= К U ЬК

172

ГЛАВА 11

и факторизацией чисел, т. е. их разложением в про­
изведение двух сомножителей1), так что мы «как бы»
имеем
D3 =(I + b)K = IK + bK = K + bK.
Вообще если группа L представлена как объеди­
нение
L = J\]rJ\]sJ\] . . . U vJ
смежных классов по нормальной подгруппе /, то эти
классы образуют факторгруппу2), обозначаемую че­
рез L/7. Эта факторгруппа однозначно определяется
двумя группами: L и /.
У п р а ж н е н и е 56. Образуйте произведение двух
подгрупп R и S группы G так же, как это делается
для смежных классов. Покажите, что
(a) множество R-S является подгруппой тогда и
только тогда, когда R-S = S-R\
(b) если одна из подгрупп R или 5 нормальна, то
R-S = S ' R является подгруппой.
Групповые соотношения и факторгруппы. Выразим
некоторые из полученных результатов о нормальных
подгруппах, гомоморфных отображениях и фактор­
группах с помощью групповых соотношений и графов
групп.
На рис. 11.4 изображен граф группы диэдра D3.
Факторгруппа D3/K содержит всего два элемента
К = {/, а, а2} и ЬК = {Ь, Ьа, Ъа2},
в то время как группа D3 содержит шесть элементов,
представленных в виде вершин ее графа. Если мы
*) Этой же аналогией объясняется другое название нормаль­
ной подгруппы — «нормальный делитель». — Прим. ред.
2) Легко проверить, что для факторгруппы выполняются все
групповые аксиомы. Действительно, 1) замкнутость относительно
бинарной операции умножения смежных классов уже была пока­
зана (стр. 170); 2) ассоциативность сразу следует из ассоциатив­
ности умножения в L; 3) единицей является сама нормальная
подгруппа /; 4) обратный к rJ смежный класс есть г~Ч. — Прим,
ред .

НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ

173

к определяющим соотношениям группы D3 присоеди­
ним соотношение
а=*1,
элементы в смежных классах К и ЬК примут вид
{/, а = /, а 2 = /}

и {Ь, bl = b, Ы = Ь},

т. е. мы добились не только того, что все элементы
подгруппы К превратились в элемент /, но и того, что
все элементы смежного класса ЬК превратились в эле­
мент Ь. Иными словами, дополнительное соотношение

а = I склеивает все элементы подгруппы К в един­
ственный элемент /, а все элементы смежного класса
bFС— в единственный элемент Ь. Так как Ь2 = /, то
добавление соотношения а ^ I приводит нас к цикли­
ческой группе порядка 2 , т. е. группе, изоморфной
группе D3//(. Таким образом, ввести дополнительное
соотношение а = 1 — это все равно, что гомоморфно
отобразить группу Z>3 на Из/К так, чтобы в единицу
факторгруппы перешли в точности элементы под­
группы К.
Можно считать, что введение соотношения а = /
приводит к такой деформации графа, при которой
вершины, соответствующие элементам подгруппы К,
сливаются с вершиной, соответствующей элементу /.
Такой процесс можно представлять себе как «стяги­
вание» в точку образующей а, и это легче всего
сделать, если сначала придать графу трехмерную
форму, а затем «стянуть» все a-отрезки в точку.

174

Гл а в а it

Постепенная деформация изображена (слева напра­
во) на рис. 11.5. Видно, что присоединение соотноше­
ния а = I (т. е. обращение подгруппы К в единицу
группы D3/K) превращает граф в утроенный граф ци­
клической группы порядка 2 , у которого одна верЬ.Ьа Ьа2 (ЬК)

/ I'

__

А

\ I/
*
/

а , а 2 [К )

шина соответствует смежному классу /С, а другая —
смежному классу ЬК. Итак, с помощью деформации
графа группы D3 мы приходим к графическому пред­
ставлению факторгруппы D3/K, изображенному на
рис. 11 .6.
смежный класс К

смежный класс ЬК

Рис. 11.6.
Посмотрим, в какой мере эти результаты спра­
ведливы для бесконечных групп. Рассмотрим адди­
тивную циклическую группу N всех целых чисел и
возьмем в качестве ее нормальной подгруппы множе­
ство Е всех четных чисел. Представим группу N в виде
объединения смежных классов по нормальной под­
группе £, т. е.
N =E\JaE, где а не принадлежит Е;
см. стр. 118. (Можно не сомневаться, что Е — нор­
мальная подгруппа группы N, поскольку каждая под­
группа абелевой, или коммутативной, группы нор­
мальна.) Смежный класс аЕ совпадает с множеством
О всех нечетных чисел и, следовательно,
N = Е U О.

НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ

175

Образуют ли смежные классы £ и О группу? Нам
нужно убедиться в том, что каждое из произведений
£ • £, Е • О, О - £, 0 - 0
есть либо смежный класс £, либо смежный класс О
и что выполняются аксиомы группы. Вспомним, что
бинарная операция группы N — это сложение. Тогда
£ •£ = £, так как Е-Е есть множество всех сумм
двух четных чисел;
£ • 0 = 0, так как Е -0 есть множество всех сумм
четного инечетного чисел;
0-Е = О, так как 0 -Е есть множество всех сумм
нечетного и четного чисел;
0 - 0 = £, так как 0 - 0 есть множество всех сумм
двух нечетных чисел.
Таблица 11.4 — это таблица умножения для смеж­
ных классов £ и О. Таким образом, у факторгруппы
N/E такая же таблица умножения, как у циклической
группы порядка 2 (£ играет роль единицы). В гл. 8
мы видели, что бесконечная циклическая группа не
имеет конечных подгрупп] теперь мы видим, что ко­
нечная группа может быть ее факторгруппой.
Таблица

1 1.4

Е

0

Е

Е

0

0

0

Е

Построим теперь факторгруппу N/E с помощью
графа группы N (рис. 11.7), следуя схеме, использо­
ванной в предыдущем примере, и найдем дополнитель­
но соотношение, эквивалентное обращению нормаль­
ной подгруппы £ в единицу.
Если обозначить через а образующую группы и
ввести соотношение
а2= /,
то
а~2 = 1, а4 = / 7 а~4 = /, а6 = / и т. д.

176

ГЛАВА 11

Присоединенное соотношение отображает четные сте­
пени элемента а в /; другими словами, подгруппа Е
аддитивной циклической группы N отображается в /.
Определенная этим расширенным множеством соот­
ношений группа (факторгруппа N/E) есть в точности
циклическая группа порядка 2. (Мы говорили о соот­
ношении, присоединенном к «исходному» множеству
- 2 - 1 0
Рис.

1

2

11.7.

В гр у п п е н ет с о о т н о ш е н и й .

соотношений, лишь для того, чтобы сохранить схему
рассуждений предыдущего примера (группа D3). Но
в нашем случае «исходное» множество соотношений
«пусто» — группа Соо свободна; см. стр. 81.)
Какое действие на граф группы N оказывает пе­
реход всех элементов подгруппы Е в элемент /? Чтобы

Рис.

11.8.

ответить на этот вопрос, придадим графу удобную
фюрму и затем склеим Еершины, соответствующие
элементам подгруппы Е, с вершиной, соответствующей
вершине /. Остальные вершины, соответствующие эле­
ментам класса смежности О, также склеиваются
в одну точку (рис. 11.8). При этом граф группы N пре­
вращается в бесконечно много раз повторенный граф
циклической группы порядка 2, одна из вершин кото­
рого соответствует смежному классу £, а другая —

НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ

177

смежному классу О. На рис. 11.9 изображен граф
факторгруппы N/E.
Если вместо соотношения а2 = I мы присоединим
соотношение а 3 = /, то в / будет обращаться подгруп­
па Т всех чисел, кратных 3. Граф, приведенный к
Смежный классЕ

Рис.

Смежный класс О

11.9.

удобному нам виду, и граф, полученный после склеи­
вания вершин, соответствующих элементам подгруп­
пы Г, с вершиной, соответствующей элементу /, изо­
бражены на рис. 11.10. Полученный граф есть граф
факторгруппы N/T.

Рис.

11.10.

Г —подгруппа, состоящая из всех чисел, кратных 3; U —смежный
класс аТ, где а имеет вид Зя + 1; V —смежный класс ЬТ, где b
имеет вид 3п + 2.

Изучение групп D$ к N приводит нас к такому
способу построения факторгрупп:
(1) Рассмотрим группу G с заданными образую­
щими и определяющими соотношениями.
(2) Введем- новое соотношение, т. е. приравняем
элементу I некоторое слово от образующих группы G.
(3) Из этого нового соотношения следует, что ста­
новятся равными I еще и некоторые другие элементы
группы G. Множество всех элементов g группы G, для
которых равенство g = / является следствием

ГЛАБА 11

178

добавленного соотношения и групповых аксиом, обра­
зует нормальную подгруппу К группы G.
(4)
Соотношения из п. (1) и (2) в совокупности
определяют факторгруппу G//C
Это некоторая разновидность определения фактор­
группы с помощью гомоморфного отображения, так
как условия п. (2 ) и (3) вместе эквивалентны зада­
нию гомоморфного отображения группы G на фактор­
группу G//C, при котором в I отображаются в точно­
сти все элементы нормальной подгруппы К.
Мы можем следующим образом обобщить этот
способ:
(1) Рассмотрим группу G с заданными образую­
щими и п определяющими соотношениями
R\ —I,

R 2 ~ I , ...» Rn = I .

(2) Введем 5 дополнительных соотношений
Rn+1

I* Rn+2~R •••> Rn+s = />

приравнивая к I слова от образующих группы G.
(3) Множество всех элементов g группы G, для
которых равенство g = I является следствием доба­
вленных соотношений и групповых аксиом, образует
нормальную подгруппу К группы G.
(4) Все п + s соотношений R i = /, R 2 = /, .. .
. . . , Rn+s = / определяют факторгруппу G/K.
Мы не будем приводить полного доказательства
этих утверждений и ограничимся лишь тем, что ука­
жем, как присоединение новых соотношений опреде­
ляет нормальную подгруппу К группы G. Рассмотрим
сначала элементы g группы G, для которых равенство
g = I является следствием некоторого присоединен­
ного соотношения, скажем Rn+\ = I. Так как Rn+\ —
слово от образующих группы G, то R n+1 соответствует
некоторому элементу х группы G. Согласно нашему
новому соотношению, х = /; следовательно,
= /,
уху~х = / и ух~1у~] = / , где у — произвольный элемент
группы G. Таким образом,
/ = [ у ,щ \

у+ у~ \ у2х~'у2 \ ...}

НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ

170

есть множество элементов g , для которых соотноше­
ние g = I является прямым следствием соотношения
R n+1 = I. Ясно, что произведение любых двух элемен­
тов множества J снова равно /, произведение любых
двух таких произведений также равно / и т. д., т. е.
если К — множество элементов группы G, порожден­
ное элементами из множества /, то каждый элемент
из К равен /, и это равенство есть следствие соотно­
шения R n+1 = / 1). Мы предоставляем читателю само­
стоятельно убедиться, что К — подгруппа группы G.
Будет ли К нормальной подгруппой? Подгруппа К
нормальна тогда и только тогда, когда
уК = Ку или уКу~х= К ,
где у — произвольный элемент группы G. Покажем,
что если ki — некоторое конкретное слово из Д, то
ykxy~l снова принадлежит Д. Наш метод применим
к любому элементу из К и основан на том факте, что
любой элемент из К является словом от элементов
множества J. Пусть мы выбрали слово
К = {У\хУ\Х){У2хУ^) {у3х Уз 1) •

Тогда
y k ^ - ' = у {у^ху-') (у-'у) (у2х у -1) (у-'у) (у3ху-') у - \
так как у~1у = /. Поскольку {yy\)~i = y^y~i, мы имеем
\)КУ~Х= (УУ\)х {УУ\)~' (УУ2) х (УУ2)~'‘(УУз)х {УУз)~' =
= (слово от элементов из J) =
= (элемент подгруппы Д).
Процедура, примененная нами для доказательства
того, что ykxy~x принадлежит Д, применима к любому
элементу yky~\ где k — элемент из Д, и, значит, ка­
ждый элемент множества уКу ~1 принадлежит подгруп­
пе Д. Кроме того, этот метод применим к любому эле­
менту у группы G; в частности, если k — произволь­
ный элемент подгруппы Д, то y~xk(y~x)~x принадлежит
J) Ср. с множеством Д, описанным на стр. 86.

ГЛАВА И

180

К. Таким образом, для любого элемента k подгруппы
К существует элемент k в /С, такой, что
k = y~lk (гг1)-1 = y~lky,
или
k = yky~\
Это показывает, что каждый элемент подгруппы К
принадлежит множеству уКу~1. Следовательно, К =
= уКу ~1 и /С— нормальная подгруппа группы G.
t
*

i

i

t

t

!
i

■

■ ■( f i i
■ f ♦
t^
t
■ i t L
t
- t t if
" * i " i1
P и с. 11.11.

— *----Г
__ ___ c

A

Фi

i •
(D
1i Uy
-i
i
!
>

A
i
i
i
fry
1
1

A
I
1

1
1
A
ф
Ф n-ф 1
i
T1
1
1
Р ис :. 11.12.

Чтобы проиллюстрировать наши общие рассужде­
ния об определении факторгруппы с помощью допол­
нительных определяющих соотношений, рассмотрим
такой пример:
(1) В качестве группы G возьмем группу «город­
ских улиц» (стр. 102) с образующими г и s и опре­
деляющим соотношением rsr~ls~l = I (рис. 11 . 11 ).
(2 ) Присоединим соотношения г2 = /, s 2 = I.
(3) Множество таких элементов g группы G, для
которых равенство g = I является следствием этих
новых соотношений и групповых аксиом, порождается
элементами г2 и s 2 и равно множеству всех элементов
вида r2ms2n, где т и п принимают значения 0, ± 1,
± 2 , ... (т. е. множеству всех слов, в которые обра­
зующие г и s входят с четными степенями). Эти эле­
менты образуют нормальную подгруппу К. На графе
рис. 11.12 соответствующие вершины отмечены круж­
ками. (Мы опустили стрелки, поскольку они несуще­
ственны при изучении распределения элементов по
смежным классам.)

НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ

181

(4)
Факторгруппа G/К определяется расширенным
множеством соотношений
г2 = /, s2 = /,
= /.
Первые два соотношения дают равенства г = г*1,
s = s_1, а последнее можно переписать в виде rsrs =
= (rs)2 = I. Читатель без труда узнает в них опреде­
ляющие соотношения четверной группы (стр. 96).
Графически распределение элементов по смежным
классам факторгруппы G/К показано на рис. 11.13.
а

ф

6

ф

о

- ж— ф

*

ф

%

д

■ф

Ф ер ф а 0 ш
Рис.

11.13.

Символом О обозначены эле­
менты из К (вида r 2tns 2 n )\ сим­
волом
□ — элементы
из гК
(вида
s 2n )\ символом X —
элементы из s K (вида r z m s^n ^ *)»
символом Л — элементы из r s K
(вида r2m+ ' s 2n+ ').

I

I

I

I

-ф- g о ф ф ш
-x g у А ж Д

У п р а ж н е н и е 57. Пусть G — некоторая группа
и G/K— ее факторгруппа. Что можно сказать о ком­
мутативности следующих групп?
(a) G//C, если G коммутативна.
(b) G/К, если G некоммутативна.
(c) G, если G/К коммутативна.
(d) G, если G/К некоммутативна.
У п р а ж н е н и е 58. Пусть группа G с образую­
щими х и у определена соотношением х2у~ъ = /. По­
кажите, что G некоммутативна. [Указание: используй­
те результаты предыдущего упражнения, подобрав
подходящую 'Некоммутативную группу, изоморфную
некоторой факторгруппе G/К.]

ГЛАВА 12

ГРУППА КВАТЕРНИОНОВ

Каждая подгруппа коммутативной группы нор­
мальна. Существуют ли неабелевы группы, у которых
все подгруппы нормальны? Существуют ли такие не­
абелевы группы, ни одна собственная подгруппа кото­
рых не является нормальной? Группы обоих указан­
ных типов действительно существуют. Наименьшая
неабелева группа, все подгруппы которой нормаль­
ны,— это так называемая группа кватернионов, от­
крытая Гамильтоном1). Она имеет порядок 8. Наи­
меньшая неабелева группа без собственных нормаль­
ных подгрупп — это группа икосаэдра порядка 60.
Группа икосаэдра хорошо известна в математике
благодаря той роли, которую она сыграла в исследо­
ваниях Галуа о разрешимости уравнения пятой степе­
ни общего вида. Галуа показал, что свойства реше­
ний любого алгебраического уравнения зависят от
группы подстановок, связанной с этим уравнением,
и что разрешимость уравнения в сущности опреде­
ляется наличием или отсутствием нормальных под­
групп и свойствами факторгрупп по этим подгруп­
пам. Для уравнений пятой степени общего вида, на­
пример, решающим оказывается то обстоятельство,
что группа икосаэдра не имеет собственных нормаль­
ных подгрупп. Эту группу мы рассмотрим в прило­
жении.
Основные свойства группы кватернионов Q по­
рядка 8 были описаны в 40-х годах прошлого века
Гамильтоном. Сделав ряд важнейших открытий в об­
ласти оптики и динамики, он обратился к математи0 Уильям Роуэн Гамильтон (1805—1865).

ГРУППА КВАТЕРНИОНОВ

183

ческим исследованиям. Гамильтон изучал вопрос о
возможности обобщения комплексных чисел (т. е. чи­
сел вида а + ib, где i = У — 1 ), надеясь получить
с помощью этих обобщенных комплексных чисел та­
кое же удобное описание вращений в трехмерном
пространстве, какое достигается с помощью обычных
комплексных чисел для вращений в плоскости. Га­
мильтон показал, что для этого необходимо ввести
две дополнительные «единицы», / и k. В то время как
обычные комплексные числа строятся с помощью двух
«единиц», 1 и i, обобщенные гиперкомплексные числа
Гамильтона строятся с помощью четырех «единиц»,
1, /, /, k\ отсюда и их название «кватернионы». Ква­
тернион q есть линейная комбинация четырех единиц,
т. е. комбинация вида
q = а + /р + jy + £6,
где а, Р, у, 6 — действительные числа. Эти гиперкомплексные числа и в самом деле представляют враще­
ния в трехмерном пространстве (а также и в четырех­
мерном пространстве).
По определению они удовлетворяют следующим
основным соотношениям:
i2 = р = k2 = ijk = — 1 ;
отсюда можно вывести, что
lj = k,

jk = i, ki = j

и
ji = —k,

kj = — i, ik = —/.

Таким образом, не все кватернионные единицы и,
следовательно, не все кватернионы перестановочны.
Это и не удивительно в свете того факта, что враще­
ния в трехмерном пространстве, вообще говоря, не
коммутируют между собой.
Группа кватернионов Q состоит из восьми эле­
ментов:
1 , - 1, г,
/, - / , k, - к

184

ГЛАВА 12

(четырех кватернионных «единиц» и четырех проти­
воположных им элементов).
Для удобства положим
i = a, j = b, 1 = /;
тогда ab = ij = k и группа Q определяется соотноше­
ниями
а2 = b2 = (ab)2.
Перепишем все восемь ее элементов:
/, а, Ьу aby Ьа, а2, а3, 63.
Нетрудно построить граф группы кватернионов, если
заметить, что
а 4= 64= (аб)4 = /.
Выписанные соотношения можно вывести из основных
соотношений этой группы. (Относительно подробно­
стей см. решение упр. 21.) Соотношения а4 = Ъ4 = /
аг-Ь2

—

♦ —

Ь

a2- Ь2- lab)2

Рис.

12.1.

сразу наводят на мысль, что искомый граф состоит
из двух связанных между собой четырехугольников.
Граф группы кватернионов Q представлен на рис. 12.1.
Следует помнить, что это лишь проекция на плоскость
его трехмерного изображения. На самом деле 6-от­
резки проходят один над другим, не пересекаясь (но
изобразить это на плоском рисунке в принципе не­
возможно).
Из теоремы Лагранжа следует, что любая соб­
ственная подгруппа группы Q имеет порядок 2 или 4.
Единственная абстрактная группа (стр. 142) поряд­
ка 2 — это циклическая группа Сг, а единственными

ГРУППА КВАТЕРНИОНОВ

185

абстрактными группами порядка 4, как нетрудно по­
казать1), являются циклическая группа С4 и четвер­
ная группа. Мы уже определили порядки всех эле­
ментов группы Q, и теперь это поможет нам найти все
ее подгруппы. Используя граф группы как компакт­
ную запись таблицы умножения, выясняем, что а2 —
единственный элемент группы Q, пор-ядок которого ра­
вен 2 ; элемент /, конечно, имеет порядок 1 , а осталь­
ные шесть элементов — порядок 4. Таким образом,
группа Q содержит одну подгруппу, изоморфную цик­
лической подгруппе С2, и три подгруппы, изоморфные
группе С4 (порожденные элементами а, b, ab соот­
ветственно).
Остается еще выяснить, есть ли у группы Q под­
группы, изоморфные четверной группе. Ответ на этот
вопрос отрицательный, поскольку мы знаем, что чет­
верная группа содержит три различных элемента по­
рядка 2 (стр. 96).
Мы утверждаем, что все подгруппы некоммута­
тивной группы Q нормальны. Рассмотрим прежде все­
го единственную подгруппу порядка 2 :
Я = {/, а2}.
Будет ли она нормальной подгруппой? Да. Чтобы до­
казать это, построим гомоморфное отображение груп­
пы Q на группу Q*, при котором Н отображается
в единицу группы Q*. Как и в примерах гл. 11, мы до­
бавим соотношение, эквивалентное обращению в I
всех элементов подгруппы Н (и только их). В данном
случае это должно быть соотношение а2 = I. Расши­
ренное множество соотношений
_________
/ = а2 = 62 = (ab) 2
( 1)
9 Действительно, пусть /, а, Ь, с — элементы группы G по­
рядка 4. Если среди них найдется элемент, скажем а, порядка 4,
то группа G — циклическая группа С4 = {а, а2, а3, аА= /}. Если же
нет, То по теореме Лагранжа порядок подгруппы Н =
= {/, х, х~\ х2, jr 2, ...} , порожденной каждым из элементов группы,
равен 2, т. е. имеем а2 = Ъ2 — с1 = /, а = сг1, Ъ — Ь~1, с = с~1. Из
аксиом группы тогда следует, что а Ь ф \ уа,Ь\ следовательно,
аЬ = с и, аналогично, Ьа = с. Итак, аЪ = Ьа, и в группе G выпол­
нены все соотношения, определяющие четверную группу. Так как
других соотношений нет, то G совпадает с четверной группой. —

Прим, ред,

186

ГЛАВА 12

определяет факторгруппу Q*. Подгруппа Н будет нор­
мальной подгруппой группы Q в том и только том
случае, когда Q* есть группа порядка 4, т. е. в том и
только том случае, когда элементы группы Q* есть
смежные классы группы Q по подгруппе Н порядка 2.
Но в определяющих соотношениях (1) группы Q* мы
сразу узнаем определяющие соотношения четверной
группы, и поэтому подгруппа Н группы Q нормальна.
Все циклические подгруппы порядка 4 также нор­
мальны, поскольку порядок группы Q равен 2-4 (см.
упр. 52, стр. 168). Таким образом, все подгруппы1)
неабелевой группы Q являются нормальными.
Любая неабелева группа, все подгруппы которой
нормальны, называется гамильтоновой группой. Груп­
па кватернионов Q — это гамильтонова группа наи­
меньшего возможного порядка (а именно порядка 8).
Можно показать, что любая конечная гамильтонова
группа получается из группы кватернионов и абеле­
вых групп с помощью конструкции, называемой пря­
мым произведением групп.
1) Из приведенных рассуждений не следует делать вывода,
что если Н — нормальная подгруппа группы G , то любая другая,
изоморфная ей подгруппа группы G также нормальна. Группа S4,
о которой пойдет речь в гл. 13, имеет четыре подгруппы, изоморф­
ные четверной группе, но л и ш ь о д н а и з н и х является нормальной
подгруппой группы S 4.

ГЛАВА 13

СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ
ГРУППЫ

В этой главе мы более подробно изучим группу
всех отображений заданного конечного множества на
себя. Такая группа называется симметрической груп­
пой. Если исходное множество содержит п элементов,
то соответствующая симметрическая группа обозна­
чается через S n-

Рис.

13.1.

Предположим, что задано множество из двух эле­
ментов. Каковы все те отображения, или подстанов­
ки, которые составляют группу S2? В ней всего лишь
два элемента — отображения

:;i - а
Геометрически их можно представлять себе как со­
вмещения прямолинейного отрезка; см. рис. 13.1. Эта
группа самосовмещений является циклической груп­
пой С2, т. е. группа S 2 изоморфна группе С2.
Рассмотрим теперь группу S3. Когда мы отобра­
жаем на себя- множество {аь а2, аз}, нам предостав­
ляются три возможности для выбора образа элемен­
та ai — это а ь а2 или а3. Как бы мы ни поступили,
образом элемента а 2 должен быть один из двух остав­
шихся элементов. (Имеется лишь два элемента, кото­
рые могут стать образом элемента а2, поскольку

ГЛАВА 13

188

отображение должно быть взаимно однозначным.)
И наконец, образ элемента аз определяется уже одно­
значно. Итак, существует 3-2*1 = 6 различных ото­
бражений множества, состоящего из трех элементов,
на себя. Вот они:
/1
VI
/1
V3

2 3 \ /1
2 ЗУ>
2 3\ /1
21/’

U

U

2 3\
3 1
2 3\
13/’

/1 2 3\
12/’
/1 2 3\
VI 3 2 / *

U

Эти отображения геометрически можно представлять
как самосовмещения равностороннего треугольника

Рис.

13.2.

(см. рис. 13.2). Мы узнаем в этой группе группу ди­
эдра D3. Таким образом, группа S3 изоморфна груп­
пе А з .
Сформулируем без доказательства или каких-либо
пояснений некоторые утверждения относительно груп­
пы S4.
( 1 ) Множество всех самосовмещений куба яв­
ляется группой, изоморфной группе S4.
(2) Множество всех самосовмещений правильного
октаэдра является группой, изоморфной группе S4.
(3) Тот факт, что группы самосовмещений этих
двух многогранников (стр. 155) изоморфны одной и
той же группе S4, связан с тем, что куб и правильный

СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ГРУППЫ

J89

октаэдр являются двойственными фигурами1). (Еще
одна пара двойственных многогранников указана в
приложении.)
В общем случае, когда отображается на себя мно­
жество {аи аъ . . . , ап}, образ элемента а\ можно вы­
брать п способами, образ элемента а2 можно выбрать
п — 1 способами и т. д. В конце концов для выбора
образа элемента ап остается единственная возмож­
ность, так как остальные п — 1 элементов уже «за­
няты» образами элементов аи а2, . . . , ап~i. Следова­
тельно, симметрическая группа S n состоит из
п (п — 1 ) (п — 2 ) ... 3• 2 • 1 различных отображений, или
подстановок. Если использовать обозначение
п(п — \){п —2) . . . 3*2* 1 = /г!,
где п\ читается как «п факториал», то можно сказать,
что порядок группы S n равен п\.
Симметрические многочлены. Существует связь
между симметрическими группами и симметрическими
многочленами. В качестве примера симметрического
многочлена от двух переменных рассмотрим
d2 =

(#, -

X2f .

Значение d2 зависит от значений
и х2. Однако зна­
чение d2 не изменится, если мы поменяем между собой
Xi и х2. Такая операция на самом деле означает, что
мы отображаем множество {хи х2} на себя так, что
Xi-+x 2 и х2 -+хи а затем каждый элемент в записи
многочлена d2 заменяем его образом. Так как
*) Шесть граней куба являются квадратами, и центры этих
квадратов составляют вершины правильного октаэдра, т. е. гео­
метрической фигуры с восемью гранями (одинаковыми равносто­
ронними треугольниками) и шестью вершинами. Обратно, центры
восьми граней правильного октаэдра составляют вершины куба.
Эти многогранники называют д в о й с т в е н н ы м и ; любое самосовмещение одного из них является самосовмещекием другого. Тетра­
эдр двойствен самому себе (см. стр. 135— 142 книги О. Оре
«Графы и их применение», «Мир», М., 1965).

190

ГЛАВА 13

существует всего два отображения множества {*1, х2}
на себя,
и
то значение многочлена d2 не меняется при замене
элементов на их образы при любом отображении из
симметрической группы S2.
Примером симметрического многочлена от трех
переменных служит
d 3 = (х, - х2)2(х, - х3)2(х2 - х3)2.
Легко показать, что значение многочлена d3 не ме­
няется при замене элементов хи я2, х3 их образами
при любом отображении из группы S 3.
В общем случае симметрический многочлен от п
переменных — это многочлен, значение которого не
меняется при замене п переменных их образами при
любом отображении (или подстановке) из симметри­
ческой группы S n•
Транспозиции. Когда мы выражаем элементы сим­
метрической группы с помощью циклов специального
вида — так называемых транспозиций, — то отчетливо
проявляются некоторые интересные особенности ее
структуры. В гл. 10 мы показали, что любое отобра­
жение конечного множества на себя можно записать
в виде произведения циклов от непересекающихся
множеств символов, например,
12345
2 4 5 13
В цикл (12 4) входят три символа, а в цикл (3 5) —
только два. Цикл, в который входят лишь два различ­
ных символа, называется транспозицией. Мы покажем,
что любой цикл можно представить в виде произведе­
ния транспозиций. Так как каждое отображение из
симметрической группы есть произведение циклов, то
любой элемент симметрической группы можно пред­
ставить в виде произведения (последовательное вы­
полнение) транспозиций.

СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ГРУППЫ

191

В качестве иллюстрации этого утверждения прове­
рим, что (1 2 4) = (1 2)(1 4). Для этого проследим,
как отображаются символы 1, 2, 4:
(1 2)
(1 4)
(1 2)(1 4)
1-*2, затем 2 -* 2 , окончательно 1 -* 2 ,
2-*1, затем 1->4, окончательно 2 - 4 ,
4 ^ 4 , затем 4 - И , окончательно 4 — 1.
Таким образом, подстановка (1 2)(1 4) действует
следующим образом: 1 —►2, 2 —>4, 4 —►1, т. е. как цикл
(1 2 4), что и утверждалось.
Любой цикл из трех различных символов можно
представить в виде произведения двух транспозиций:
(a b с) = (а b) (а с).
Аналогично, цикл из четырех символов можно
представить с помощью трех транспозиций:
(а b с d) = (a b)(a с) (a d).
Вообще, цикл из п символов представляется в виде
последовательности п — 1 транспозиций:
(а, а2 . . . а„) = (а, а2)(а1 а3) . . . {ах ап).
У п р а ж н е н и е 59. Покажите, что если подста­
новка на множестве из п символов представима в виде
произведения г циклов, в которые входят все п сим­
волов, но ни один из символов не входит в два цикла,
то ее можно представить как последовательность п — г
транспозиций.
Заметим, что представление отображения или под­
становки в виде произведения транспозиций не един­
ственно. Например, отображение

сU 23)
3 1
можно представить так:
(1 2 3) = (1 2)(1 3) или
(2 3 1) = (2 3) (2 1) или (3 1 2) = (3 1)(3 2).

ГЛАВА 13

192

Но мы видим, что в каждом из этих представлений
число транспозиций одно и то же, и можно было бы
высказать предположение, что каждая подстановка
характеризуется этим числом транспозиций. Однако
простой пример показывает, что это не так:
(1 2)(1 3) (2 3) = (1 3).

В действительности существует бесконечно много спо­
собов такого представления — чтобы убедиться в этом,
достаточно принять во внимание тождества
(a b)(a Ь) = 1 и (а Ь) = (с а) {с Ь){с а).
Покажем теперь, что либо каждое представление
заданной подстановки в виде произведения транспо­
зиций содержит четное число транспозиций, либо каж­
дое такое представление содержит нечетное число
транспозиций. Рассмотрим многочлен
&3 = O l -

Х2) ( * !

-

Х3) (х2- Х3)

от трех переменных x if х2, х3. (Мы ограничимся рас­
смотрением случая трех переменных, но наши рассуж­
дения без труда переносятся и на случай п перемен­
ных.) Посмотрим, как устроен многочлен g3: он пред­
ставляет собой произведение всех разностей Xj — хи,
где / < k. Ясно, что любое четное число транспозиций
переменных оставляет многочлен g3 без изменения,
в то время как нечетное число таких транспозиций
переводит его в многочлен —g3. Рассмотрим теперь
любую подстановку трех переменных хи *2, х3 или,
что равносильно, любую подстановку трех индексов
1, 2, 3. Каждая такая подстановка есть элемент груп­
пы S3, и ее можно записать в виде последователь­
ности транспозиций. Если некоторая подстановка р
не изменяет многочлена g3, то любое ее представле­
ние в виде произведения транспозиций должно со­
держать четное число транспозиций. Если же р пре­
образует многочлен g3 в —g3, то любое представление
ее с помощью транспозиций будет содержать нечет­
ное число транспозиций. Отсюда мы заключаем, что
одна и та же подстановка не может быть одновре­

СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ГРУППЫ

193

менно записана в виде произведения четного и нечет­
ного числа транспозиций.
Подстановка называется четной, если число транс­
позиций в любом из ее представлений четно; в про­
тивном случае она называется нечетной. Тождествен­
ную подстановку (единицу группы) будем считать
четной, так как в нее не входит ни одна транспози­
ция. Четность или нечетность данной подстановки не
зависит ог ее конкретного представления с помощью
транспозиций.
У п р а ж н е н и е 60. Покажите, что любая подста­
новка на множестве из п символов может быть пред­
ставлена в виде произведения, в которое могут вхо­
дить лишь транспозиции (ai a2), (ai a3), .. . , (ax an).
Выведите отсюда, что эти п — 1 транспозиций можно
взять в качестве множества образующих группы S n.
[Указание: используйте следующее тождество: (ab) =
= (са) (cb) (са).]
Знакопеременные группы. Множество Ап всех чет­
ных подстановок на множестве из п символов пред­
ставляет особенный интерес. Ясно, что это подмно­
жество симметрической группы S n. Мы утверждаем,
что Ап является подгруппой группы S n. Чтобы дока­
зать это, проверим, что Ап удовлетворяет двум усло­
виям, характеризующим подгруппу.
(1) Замкнутость. Если pi и /?2— подстановки из
Лп, представимые в виде произведений п{ и п2 транс­
позиций соответственно, то их произведение /ч/?2
можно записать с помощью
+ п% транспозиций.
Если пх и п2 — четные числа, то и п\ + п2 четно, от­
куда можно заключить, что подстановка р\Р2 четная
и, следовательно, эта
подстановка
принадле­
жит Ап.
(2) Обратимость. Подстановка р имеет обратную
/г-1 (в группе Sn); рр~~* = / можно представить только
с помощью четного числа транспозиций, поскольку / —
четная подстановка. Значит, если р — четная подста­
новка, то р~1 также должна быть четной, т. е. у каж­
дого элемента из группы Ап есть обратный в Лп.

191

ГЛАВА 13

Подгруппа А п группы S n называется знакопере­
менной группой. Причины такого названия станут яс­
ными в скором времени, когда мы обратимся к зна­
копеременным многочленам.
Порядок группы S n равен п\ (см. стр. 189). Мы
утверждаем, что порядок группы Ап равен у я!, т. е.
S n(одержит у я! четных подстановок и \ п \ нечетных.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а — транспозиция из
симметрической группы S n (я> 1), скажем а= (1 2) =
= (1 2) (3 ) (4) . . . (я). Умножим каждый элемент
группы S n слева на а = (1 2 ). В результате мы снова
получим множество всех элементов из 5 и ни один из
них не повторяется дважды. (Это доказано в теоре­
ме 1, стр. 53.) Но произведение любой четной подста­
новки из S n и элемента (1 2 ) является нечетной под­
становкой, а произведение нечетной подстановки и эле­
мента (1 2 ) является четной подстановкой. Множество
нечетных подстановок и множество четных при этом
умножении взаимно однозначно отображаются одно
на другое. Это возможно лишь при том условии, что
количество четных и нечетных подстановок одинаково.
Следовательно, порядок группы Ап равен у я!, как и
утверждалось.
В упр. 52 было доказано, что если G — группа по­
рядка 2п и Я — ее подгруппа порядка я, то последняя
будет нормальной подгруппой группы G. Так как по­
рядок группы Ап равен у/г!, а порядок группы S
равен я!, то знакопеременная группа Ап является нор­
мальной подгруппой симметрической группы S n. Мы
уже отмечали, что симметрические группы и нормаль­
ные подгруппы играют важную роль в теории Галуа
о разрешимости алгебраических уравнений. Теоремы
о строении знакопеременных групп — одна из основ­
ных составных частей этой теории.
Геометрическая реализация группы А3. Симметри­
ческая группа S3 изоморфна группе диэдра D3; см.
стр. 188. Поэтому S 3 можно представлять геометриче­
ски как симметрии или самосовмещения равносто-

СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ГРУППЫ

195

роннего треугольника; А3— подгруппа порядка у*3! =
= 3, которая содержит все четные подстановки груп­
пы S 3. Положения треугольника, изображенные на
рис. 13.3 в верхнем ряду, соответствуют четным под­
становкам, т. е. произведениям четного числа транс­
позиций вершин треугольника. Читатель может ка­
ждую транспозицию вершин представлять себе как
опрокидывание треугольника относительно некоторой
подходящей высоты. Положения треугольника, изо­
браженные в верхней части рисунка, являются ре­
зультатом четного числа опрокидываний, а положе2
3
1
Четные подстановки:

1
(12 3И12)(13)

( 13 2) = ( 13) ( 12)

Нечетные подстановки: / \

3L---- ^
(13)

Рис.

(2 3)

12

2L------*3
( 12)

13.3.

ния в нижней части — результатом нечетного числа
опрокидываний.
Знакопеременные многочлены. Существует тесная
связь между знакопеременными группами и знакопе­
ременными многочленами. В предыдущих рассужде­
ниях о нечетных и четных подстановках мы ввели
знакопеременный многочлен g 3. В качестве примера
знакопеременного многочлена от двух переменных
рассмотрим многочлен
g2= xx- х2.
Если мы переставляем х{ и х2 нечетное число раз,
то многочлен g 2 преобразуется в —g 2, если же х { и
л'2 меняются местами четное число раз, то многочлен
g 2 не меняется.
Совокупность всех подстановок на множестве из
двух переменных х{ и х2 является симметрической
группой S2, и мы можем следующим образом перефорТ

196

ГЛАВА 13

мулировать наше утверждение относительно много­
члена g 2 = *i — х2: многочлен g2 инвариантен относи­
тельно подстановок из знакопеременной группы А2 и
преобразуется в многочлен —g2 под действием нечет­
ных подстановок из группы S2.
Этот результат можно обобщить на случай зна­
копеременного многочлена gn от п переменных, где
ёп = (*1 - х2) (*1 - х3) (Xi - х 4) . . . (х{ - хп) X
X {,х2 х3) (Х2 X4) . . . {х2 хп) X
X (х3- х 4) . . . (х3- хп) X
X
- Хп).
Многочлен gn инвариантен относительно подста­
новок из знакопеременной группы Ап и преобразуется
в многочлен —g n под действием нечетных подстано­
вок из группы S n.
Мы закончим этот раздел, посвященный знакопе­
ременным группам, кратким обсуждением интересных
свойств группы Л4, группы тетраэдра (см. стр. 155).
В основном нас будет интересовать утверждение, об­
ратное к теореме Лагранжа. На стр. 120 мы поста­
вили такой вопрос: если порядок группы G равен g,
a h — делитель числа g , то обязательно ли группа G
имеет подгруппу порядка /1? Группу Л4 можно исполь­
зовать для доказательства того факта, что это обра­
щение не верно. Эта группа имеет порядок 12, но
в ней нет подгрупп порядка 6. Таким образом, утвер­
ждение, обратное к теореме Лагранжа, не верно.
Однако некоторое достаточное условие для того,
чтобы группа G порядка g имела подгруппу порядка
А, где А— делитель числа g, указывается в следующей
теореме Силова 1).
Пусть G — группа порядка g и А— делитель числа
g\ если А = рп, где р — простое число, а п — положи­
тельное целое число, то G содержит подгруппу по­
рядка А.
!) Л. Силов, норвежский математик, опубликовал эту тео­
рему в 1872 г. Для частного случая п = 1 теорема была еще
раньше доказана Коши.

СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ГРУППЫ

19 7

Порядок группы А4 равен 12; простыми делителями
числа 12 являются 2 и 3. По теореме Силова мы мо­
жем лишь утверждать, что группа А4 содержит под­
группы порядка 2, 22 = 4 и 3, но ничего не можем
сказать о подгруппе порядка 6.
Мы наметим основные шаги доказательства того
факта, что группа А4 не содержит подгруппы порядка
6. Читателю предлагается воспроизвести недостающие
детали.
(1) Все элементы группы А4 (кроме элемента I)
имеют порядок 2 или 3. [Указание: рассмотрите пред­
ставление каждого элемента с помощью циклов', см.
упр. 62.]
(2) Ни один из элементов порядка 3 не принадле­
жит нормальной подгруппе. [Указание: покажите, что
любой гомоморфизм, который отображает элемент
порядка 3 группы А4 в /, обязательно отображает в /
всю группу А4]
(3) Множество элементов порядка 2 из группы А\
составляет четверную группу (порядка 4).
(4) Так как любая собственная нормальная под­
группа группы А4 содержит только элементы порядка
2, то максимальный возможный порядок такой нор­
мальной подгруппы равен четырем.
(5) Группа А4 не имеет подгрупп порядка 6.
У п р а ж н е н и е 61. Докажите утверждение из
п. (5), т. е. докажите, что группа А4 не имеет под­
групп порядка 6. (Разумеется, можно использовать
результаты предыдущих четырех пунктов.)
У п р а ж н е н и е 62. Рассмотрите подстановки на
множестве символов а, b, с, d. Докажите, что (а) если
х = (а b с) , то х3 = /; (Ь) если х = (a b) (с d) , то х2 = /.
[Это упражнение связано с утверждением из п. (1);
см. выше.]
В вопросах,разрешимости алгебраических уравне­
ний важную роль играет группа Л5, знакопеременная
группа на пяти символах. Это группа икосаэдра, наи­
меньшая неабелева группа, не содержащая собствен­
ных нормальных подгрупп. Некоторые сведения о
группе А$ и ее графе читатель найдет в приложении.

ГЛАВА 14

ГРУППЫ ПУТЕЙ

Пути в пространстве. В этой главе мы рассмотрим
группы путей. Мы хотим показать, что определение
группы с помощью образующих и соотношений совер­
шенно естественно возникает и при изучении некото­
рых топологических вопросов. Изложение понятий,
связанных с группами путей, будет существенно опи­
раться на пространственную интуицию читателя1).
Мы будем рассматривать замкнутые пути, кото­
рые начинаются и кончаются в фиксированной точке
Р (начальной, или базисной точке) пространства.
Термину «путь» мы отдаем предпочтение перед терми­
ном «кривая», подчеркивая тем самым, что на пути
задано определенное направление. Это согласуется
с нашими прежними рассмотрениями путей вдоль
направленных отрезков графа группы. Форма пути
для нас не существенна. Напротив, мы даже заинте­
ресованы в допустимых изменениях его формы. Назо­
вем два пути а\ и «2, исходящие из точки Р, равными
и будем говорить, что это «один и тот же путь»,
если путь ах можно при помощи непрерывной дефор­
мации превратить в путь а2. Мы уже называли такие
пути топологически эквивалентными (см. стр. 72).
Они называются также гомотопными.
С первого взгляда может показаться, что все за­
мкнутые пути равны, или гомотопны. Если взять точ­
ку Р в «пустом» пространстве, то любой замкнутый
путь, исходящий из точки Р, можно непрерывным об­
разом (не допуская разрывов) стянуть в эту точку.
!) См. по этому поводу статью В. Г. Болтянского и В. А. Еф­
ремовича «Очерк основных идей топологии» в сб. «Математиче­
ское просвещение», вып. 2—4, 6, 1959. — П р и м , п е р е в ,

ГРУППЫ ПУТЕЙ

199

Если же в пространстве содержится «препятствие»,
то положение меняется. Предположим, например, что
нам «запрещено» выходить за пределы некоторой
плоскости и что в этой плоскости задан круг, через
который не может проходить никакой путь. Тогда лю­
бой путь а\у который не обходит этот круг, можно не­
прерывным образом стянуть в точку Р. Но путь а2,
огибающий этот круг, нельзя ни стянуть в точку Р,
не «разрывая» пути и не проходя при этом через «за­
претную» область, ни деформировать в путь ах (см.
рис. 14.1).

Рис.

14.1.

Рис.

14.2.

Бинарная операция на путях в пространстве. Рас­
смотрим теперь замкнутые пути в трехмерном про­
странстве и определим бинарную операцию для лю­
бых двух замкнутых путей а,\ и а2, исходящих из точ­
ки Р (см. рис. 14.2), следующим образом:
(a) оторвем конечную точку пути аА от точки Р
(рис. 14.3,0));
(b) оторвем начальную точку пути а2 от точки Р
(рис. 14.3,6));
(c) соединим конечную точку пути а\ с начальной
точкой пути а2\ в результате мы получим замкнутый
путь (рис. 14.3, в)).
Назовем путь Ь произведением путей а\ и а2 и будем
писать а{а2 = Ь. Легко проверить, что эта операция
ассоциативна.
Мы хотим построить группу, элементами которой
являются множества или классы гомотопных путей,
так что нам нужно определить бинарную операцию на
классах путей. (Два замкнутых пути принадлежат
одному и тому же классу, если их можно непрерывно
деформировать один в другой.) Изучая классы путей,

200

ГЛАВА 14

мы будем использовать по одному элементу от клас­
са в качестве представителя всего класса. (Аналогич­
ные ситуации встречались нам и раньше, например
на стр. 29 мы использовали одно вращение в каче­
стве представителя целого класса А вращений, а на
стр. 86 — одно слово в качестве представителя це­
лого класса эквивалентных слов.) Поэтому мы опре­
делим произведение двух классов гомотопных путей

• Рис.

14.3.

следующим образом: если а\ — путь из первого клас­
са, а2— путь из второго класса, а b = а\а2— их про­
изведение, то класс всех путей, гомотопных пути b =
= а\а2, будет произведением этих двух классов.
Следует проверить, что это определение корректно,
т. е. что произведение двух классов не зависит от вы­
бора путей-представителей в каждом из сомножите­
лей. Пусть а{ и а2— два пути и b = а\а2. Предполо­
жим, что а* —произвольный путь из того же класса,
что и а{ (а* можно непрерывной деформацией пере­
вести в а}), и а* —произвольный путь из того же
класса, что и а2. Интуиция подсказывает нам, что
,*
**
,
путь-произведение о =а\а2 гомотопен пути о = а\а2.
Таким образом, произведение двух классов не зави­
сит от того, какие конкретные пути а\ и а2 выбраны
в качестве представителей этих классов.
Введем теперь в пространство некоторое «препят­
ствие»: пути могут проходить через все точки трех­
мерного пространства, кроме точек, принадлежащих
некоторой замкнутой кривой А. (Для определенности
будем считать, что А — окружность.) Чтобы наши

ГРУППЫ ПУТЕЙ

201

дальнейшие рассуждения были более понятными, со­
ветуем читателю представлять себе кривую А как не­
кую непреодолимую преграду. Множество точек трех­
мерного пространства, которое останется, если выки­
нуть точки, принадлежащие кривой Л, называется
многообразием. Рассмотрим замкнутые пути в много­
образии, которые начинаются и кончаются в точке Р,
и определим их гомотопические классы. Мы изучаем
пути, проходящие только через точки нашего мно­
гообразия, а А рассматриваем как непреодолимую
преграду. Тогда возникают по меньшей мере две су­
щественно различные ситуации, которым соответ­
ствуют пути а\ и а2 на рис. 14.4 (разрыв на линии А

а2
Рис.

14.4.

показывает, что путь а2 проходит над Л, а разрыв на
пути а2 — что он проходит под кривой Л):
(1) путь а\ m o o i c h o стянуть в точку Р с помощью
непрерывной деформации;
(2 ) путь а2 нельзя непрерывно деформировать в
точку Р, не проходя через непреодолимую преграду.
Таким образом, существует по крайней мере два
гомотопических класса замкнутых путей, исходящих
из точки Р: один класс состоит из всех путей, которые
можно непрерывно деформировать в Р (он обозна­
чается через [/]), а второй состоит из всех путей, ко­
торые можно непрерывно деформировать в путь а2>
но нельзя стянуть в Р (он обозначается через [а]).
Пути из класса [а] один раз зацепляют кривую Л.
Мы использовали символ [а] для обозначения со­
вокупности всех путей, гомотопных пути а2у т. е. всех
путей, один раз зацепляющих окружность Л, как по­
казано на рис. 14.4. Произвольный путь из этого

202

ГЛАВА 14

множества, или класса, можно взять в качестве пред­
ставителя всего этого класса. Мы будем употреблять
для него символ а (выбирать какой-либо специальный
путь нет необходимости). Вообще, если р — любой
путь, то [р] обозначает класс путей, гомотопных пути р.
Обратный путь. Покажем, что для любого класса
[Ь] гомотопных путей многообразия существует класс
[Ь]”1, обратный к [Ь], такой, что произведение любого
пути из [Ь] и любого пути из [Ь]~1 принадлежит классу
[/]. Иными словами, [/] оказывается единицей группы,

Рис.

14.5.

элементами которой являются классы гомотопных
путей.
Опишем сначала путь, обратный к каждому от­
дельному пути, а затем покажем, что для любого
пути, гомотопного данному, обратный путь лежит в
том же самом классе, что и обратный к исходному
пути. Если b — произвольный путь, исходящий из
точки Р, то через Ь~1 обозначим путь, полученный из
пути b лишь переменой направления. Покажем, что
пути bb~l и b~lb принадлежат классу [/] для любого
пути Ь.
Рассмотрим, например, путь а на рис. 14.5. Мы
изобразили обратный к нему путь пунктирной линией.
(На самом деле пунктирная и сплошная линии сов­
падают, на них лишь заданы противоположные на­
правления; мы разделили их лишь для наглядности.)
Образуем описанным ранее способом произведения
аа~х и а~1а. Получающиеся при этом пути изображе­
ны на рис. 14.6, а) и 14.6,6). (Здесь снова каждый из
этих путей отличается лишь направлением, и для на­
глядности мы разделили их.) Нетрудно заметить, что
вне зависимости от того, как данный путь р располо­
жен по отношению к окружности, пути рр~1 и р~хр

ГРУППЫ ПУТЕЙ•

203

можно стянуть в точку. Ясно также, что любой сомно­
житель в произведении рр~х (или р~1р) можно заме­
нить некоторым эквивалентным ему путем, т. е. если
путь b гомотопен пути р, а с гомотопен р~\ то путь
Ьс можно стянуть в точку и он принадлежит классу

Рис.

14.6, а)

Рис.

14.6,6)

[/]. Таким образом, класс, обратный к классу гомотоп­
ных путей [р], — это совокупность всех путей, гомо­
топных пути / г 1. Тогда произведение (в том виде, как
оно было определено выше) любого класса и обрат­
ного к нему равно классу [/]. Читателю предоставля­
ется проверить, что [/] — единица, т. е. что [1][Ь] =
= [^] [Л = [^], где [Ь]—произвольный класс гомотопных
путей.

Рис.

14.7.

Рис.

14.8.

Рассмотрим теперь класс путей, представляемый
элементом аа, или а2. Так как произведение классов
[а]-[а] не зависит от выбора того или иного предста­
вителя, мы образуем произведение двух разных пу­
тей из класса [а}\ эти пути на рис. 14.7 помечены сим­
волами а и а*. Напоминаем, что произведение а*а
получается соединением конечной точки пути а* с на­
чальной точкой пути а\ см. рис. 14.8. Заметим теперь,
что путь а*а проходит над и под окружностью А сле­
дующим образом (в направлении, указанном стрел­
ками): он начинается в точке Л проходит над дугой

204

ГЛАВА 14

окружности Л, затем под ней, затем снова над и снова
под и возвращается в точку Р. Таким образом, путь
а*а, или путь а2, дважды зацепляет окружность А.
Его можно деформировать в путь, показанный
на рис. 14.9, и, конечно, нельзя деформировать ни
в путь класса [/], ни в путь класса [а]. Путь а2
принадлежит новому классу, который мы обозначим
через [а2] или [а]2. Представителем обратного к нему

Рис.

14.9.

класса [а-2] = [а]~2 будет путь, который делает двой­
ную петлю вокруг дуги окружности А в направлении,
противоположном направлению пути а2. Другими сло­
вами, после выхода из точки Р путь а~2 проходит
сначала под А , затем над Л, затем снова под и снова
нас9, а потом возвращается в точку Р.
Обозначим через [а]3 класс путей, гомотопных про­
изведению пути из [а]2 и пути из [а]. Легко видеть, что
путь из класса [а]3 делает тройную петлю (трижды
зацепляет А) вокруг дуги окружности Л, а [а]-3 —
класс путей, которые трижды обходят вокруг дуги
окружности Л, но в противоположном направлении.
Аналогичным образом можно построить классы [а]4,
[а]-4, [а]5, [а]~ь и т. д.
Множество всех гомотопических классов путей
в нашем многообразии образует группу.
Элементы группы. Классы замкнутых путей, ко­
торые можно непрерывно деформировать один в дру­
гой. Эти пути лежат в многообразии, определенном
окружностью Л; все они начинаются и кончаются
в точке Р.
Ассоциативная бинарная операция. Объединение
в один путь двух путей-представителей посредством

Гр у п п ы

путей

205

соединения конечной точки первого с начальной точ­
кой второго.
Единица. Класс [/] замкнутых путей, которые мож­
но непрерывно стянуть в точку Р.
Обратные элементы. Каждому классу путей соот­
ветствует единственный обратный класс, такой, что
произведение любой пары представителей этих клас­
сов принадлежит классу [/].
Элементы этой группы — классы
Ясно, что наша группа порождается классом [а] и изо­
морфна бесконечной циклической группе С.
Многообразие, определенное двумя окружностями.
Рассмотрим теперь многообразие, которое получается

Рис . 14.10.

из трехмерного пространства выкидыванием двух непересекающихся и несцепленных окружностей; см.
рис. 14.10. Оно состоит из всех точек трехмерного
пространства, за исключением точек этих окружностей
А и В. Как и прежде, нас интересуют замкнутые
пути в этом многообразии, начинающиеся и кончаю­
щиеся в фиксированной точке Р многообразия. Зам­
кнутые пути, зацепляющие лишь одну из этих
окружностей,—это пути уже рассмотренного нами ти­
па. Обозначим классы таких путей, связанных с окруж­
ностью А , через [а], [а]2 и т. д , а связанных с окруж­
ностью В — через [6], [bf и т. д. К новому типу приво­
дят пути, зацепляющие обе окружности. Построим
пути ab и Ъа и выясним, можно ли один из этих путей
непрерывно деформировать в другой. Решить этот во­
прос— все равно, что выяснить, будет ли группа

ГЛАВА 14

206

путей, связанная с нашим новым многообразием, ком­
мутативной.

р
Ри с . 14.11.

Чтобы найти путь ab, соединим конечную точку
пути а из класса [а] с начальной точкой пути Ъ из
класса [Ь]\ см. рис. 14.11. Выпишем последователь­

ность прохождения этих путей под и над соответ­
ствующими окружностями:
над А, под А
над J3, под В
ь,а

Ъ

Аналогично образуем путь Ъа\ см. рис. 14.12. Распро­
страним понятие обратного пути на наше новое мно­
гообразие. Назовем путь, который проходит по пути
Ьа, но в направлении, противоположном его стрелкам,
обратным к пути Ьа и обозначим его через (Ьа)~1. Мы

ГРУППЫ ПУТЕЙ

207

предоставляем читателю убедиться, что оба пути
(ba)(ba)~l и (ba)~x(ba)
можно стянуть в точку Р, т. е. что оба они принадле­
жат классу [/]. Читатель может также проверить, ис­
пользуя рис. 14.13, что
( b i) - '= а-'Ь~'.
Вернемся теперь к вопросу о коммутативности:
равны ли пути ab и Ьа, т. е. можно ли путь ab не­

прерывно деформировать в путь Ьа? Используя то,
что мы знаем об обратных путях, сформулируем этот
вопрос так: выполняется ли в нашем многообразии
соотношение
{ab)(ba)~l = / ,

или aba~lb~l = I ?

Чтобы ответить на этот вопрос, изучим путь
аЬа- 1Ь-1, изображенный на рис. 14.14. Он получается

соединением конечной точки пути ab с начальной точ­
кой пути а- 1Ь-1 = (Ьа)-1. Этот путь можно деформиро­
вать в путь, изображенный на рис. 14.15. (Здесь мы
полагаемся на геометрическую интуицию читателя;

208

ГЛАВА 14

к тому же можно взять модель, сделанную из двух
колец и куска бечевки, и убедиться в том, что это дей­
ствительно так.) Путь такого типа, изображенный
на рис. 14.14, называется зацепленным в многообра­
зии, определенном двумя несцепленными окружностя­
ми А и В. Таким образом, мы убедились, что путь

aba~lb~l нельзя стянуть к точке Р, и тем самым уста­
новили, что ассоциированная с нашим многообразием
группа путей некоммутативна.
Новое многообразие с двумя сцепленными окруж­
ностями. Рассмотрим многообразие, определенное
двумя сцепленными окружностями А и В ; см.

рис. 14.16. Теперь мы уже не можем стянуть одну из
них в точку, не затронув другую. Как и раньше, наши
классы состоят из путей в многообразии всех точек
трехмерного пространства, за исключением точек, ле­
жащих на окружностях А и В. Снова мы рассматри­
ваем лишь замкнутые пути, начинающиеся и кончаю­
щиеся в фиксированной точке Р этого многообразия.
Построим пути ab и Ьа, чтобы выяснить, будет ли
в этом новом многообразии выполняться равенство
ab = Ьа. Тем же способом, что и раньше, строим путь

ГРУППЫ ПУТЕЙ

209

aba~xb~x. Заметим, что он проходит в нашем новом
«сцепленном» многообразии через те же точки, через
которые проходил соответствующий путь в прежнем
«несцепленном» многообразии (ср. рис. 14.15 и 14.17).
Мы утверждаем, что путь aba~xb~x можно непрерыв­
ной деформацией стянуть в точку Р, т. е. что путь
aba~xb~x принадлежит классу [/].
Легче всего убедиться в этом, обратившись к мо­
дели. Если надеть петлю из бечевки на два сцеплен­
ных кольца так, как это показано на рис. 14.17 (петля

тогда изобразит путь aba~xb~x), то можно освободить
бечевку от колец, не разрывая бечевки и не ломая ко­
лец. Чтобы убедиться в этом, подвинем петлю X вдоль
окружности А в направлении против часовой стрелки
к петле У, проходя сначала над окружностью В, а за­
тем под ней. Когда петля X подойдет к У, мы увидим,
что путь не зацепляет окружности В. Относительно
окружности А путь расположен так: он начинается
в точке Р, проходит над А , под Л, под А и над Л. Та­
кая последовательность показывает, что путь не зацепляет окружность А. Таким образом, путь aba~xb~x
принадлежит классу [/] и [ab] = [а][Ь] = [Ь][а] = [Ьа].
Группа путей, соответствующая нашему многооб­
разию, определенному двумя сцепленными окружно­
стями, имеет две образующие — пути а и b (точнее,
классы путей [а] и [b]). Эти образующие удовлетво­
ряют соотношению aba~xb~x = /. С такой группой мы
уже встречались — это группа С», группа «городских
улиц» (см. стр. 102).
1/2 8 Зак. 1090 .

210

ГЛАВА 14

Зацепленные пути в многообразии. Мы видели, что
путь aba~lb~l в многообразии, определенном двумя
несцепленными окружностями, зацеплен, но тот же
путь, рассматриваемый как путь в многообразии,
определенном двумя сцепленными окружностями, не
зацеплен. Таким образом, будет ли данный путь за­
цеплен, зависит не только от пути, но и от многооб­
разия, в котором он расположен1).
1) Рисунки 14.15 и 14.17 позволяют продемонстрировать та­
кой фокус. Возьмите два кольца,, которые можно замыкать и
размыкать, и наденьте на них кусок бечевки так, как это пока­
зано на рис. 14.15. Связав концы, вы получите замкнутую петлю.
Петля в этот момент зацеплена вокруг обоих колец. Затем
разомкните одно кольцо, скажем В , и сцепите его с кольцом А
так, чтобы получилась конфигурация, изображенная на рис. 14.17.
В этом новом многообразии петля не зацеплена, и ее можно
снять с колец, ко всеобщему изумлению.

ГЛАВА 15

ГРУППЫ И ОРНАМЕНТЫ

Как мы видели, изучение групп приводит по суще­
ству к рассмотрению некоторых основных структур
и соотношений между ними. Поэтому неудивительно,
что с конкретными реализациями групп так часто при­
ходится сталкиваться в декоративном искусстве. Фак­
тически покрывающий всю плоскость узор, составлен­
ный из повторяющихся частей, каждая из которых
воспроизводит один и тот же основной рисунок, соот­
ветствует некоторой группе. Узоры (орнаменты) такого
типа часто используют для обоев, тканей, в архитек­
турных украшениях и т. п. Таким образом, в повсе­
дневной жизни мы, можно сказать, постоянно окру­
жены группами. Чрезвычайно полно такие группы
представлены в архитектуре дворца Альгамбра в Гре­
наде. Мавританские зодчие, строившие его в трина­
дцатом веке, использовали в декоративном убранстве
дворца узоры, соответствующие всем возможным
«группам орнаментов» (распространимых на всю пло­
скость).
Отметим, к сведению читателей, что всего суще­
ствует двадцать четыре группы орнаментов; графы
семи из них представляют собой периодически повто­
ряющийся рисунок, заполняющий лишь бесконечную
полосу в плоскости, графы остальных семнадцати за­
полняют всю плоскость.
Эти группы иногда называют плоскими кристалло­
графическими группами, так как расположение ато­
мов на гранях кристаллических пород (в кристаллах
кварца, например) представляет собой какую-либо из
повторяющихся конфигураций «орнаментного» типа.
7*8*

212

ГЛАВА 15

В этой главе мы ограничимся рассмотрением орна­
ментов, связанных с графами, которые заполняют всю
плоскость. Одним из способов построения таких орна­
ментов является «замощение» плоскости равными пра­
вильными многоугольниками. Можно показать, что
существует лишь три возможности такого рода, пока­
занные на рис. 15.1 (см. упр. 63). Отметим, что две
первые конфигурации двойственны друг другу в том

смысле, что точки, служащие центрами многоуголь­
ников, из которых состоит один орнамент, являются
вершинами многоугольников второго орнамента; тре­
тья конфигурация двойственна сама себе.
У п р а ж н е н и е 63. Предположим, что плоскость
«замощена» правильными /г-угольниками так, что два
соседних многоугольника имеют в точности одно об­
щее ребро. Покажите, что п может принимать лишь
значения 3, 4 и 6.
Нас интересуют не столько сами исходные конфи­
гурации, по которым строится орнамент, сколько со­
ответствующие им группы. Как мы увидим, те или
иные орнаменты связаны со структурой некоторых
групп движений; элементы такой группы перемещают
фундаментальную область (исходную конфигурацию)
так, чтобы получалось полное покрытие плоскости,
подобно тому как пол покрывается плитками одина­
ковой основной формы. Пусть наша фундаментальная
область — это квадрат S. Рассмотрим два основных
его движения:

ГРУППЫ И ОРНАМЕНТЫ

213

г — сдвиг квадрата S вправо на длину его стороны
(рис. 15.2);
s — сдвиг квадрата S вверх на длину его стороны
(рис. 15.3).

Рис.

15.2.

Рис.

Положение области S
в результате движения г.

15.3.

Положение области S в результате движения s.

Можно покрыть плоскость областями, равными S,
используя все возможные произведения двух поро­
ждающих движений. [Замечание. Наше «произведе­
ние»— это результат применения операции последо­
вательного выполнения. Так как у нас есть всего одна
♦

j

♦
\r

J

k

h

js

I

1 1/

l

j

f
\r

♦

4

—— r
I

--

- -$

♦ J

-ii ^ i : ^ ' r: .i ; i
■ >
i i
а)

dj

Р и с , 15.4.
а) Фундаментальная область 5 и ее сдвиги с помощью г и
б) Граф группы с образующими г и s и определяющим соотноше­
нием r s r ~ ls~~1 —I.

фундаментальная область, а мы хотим заполнить всю
плоскость, то мы представляем себе, что S оставляет
свой «отпечаток» на каждом из мест, в которое она
попадает.] На рис. 15.4, а) показана часть плоскости,
покрытая квадратами с помощью образующих дви­
жений г и s. На рисунке отмечены образы центра

ГЛАВА 15

214

основной области. Отметим, что эти точки-образы со­
ответствуют вершинам графа группы таких движений
фундаментальной области, при которых ее образы
покрывают всю плоскость. Читатель легко распознает
в этой группе группу «городских улиц» Clo (см.
стр. 102).
Мы должны четко представлять себе различие
между двумя рисунками. На рис. 15.4, а) изображена
картина заполнения плоскости дубликатами фунда­
ментальной области S, в то время как рисунок 15.4,6)
изображает граф группы движений, а именно таких
сдвигов области S, в результате которых создается

Рис.

15.5.

Положение области S
в результате движе­
ния а.

Рис.

15.6.

Положение области S
в результате движе­
ния Ь.

эта картина «шахматной доски». Причиной сходства
этих двух изображений является отношение двойственности между ними (одно получается из другого
следующим образом: каждому многоугольнику нужно
поставить в соответствие его центр и соединить полученные точки отрезками; вспомните куб и октаэдр;
стр. 189).
Мы можем заполнить образами нашей области
бесконечную «шахматную доску» также с помощью
движений, отличных от сдвигов. Это означает, что раз­
личные группы могут быть связаны с одним и тем же
покрытием плоскости квадратами. Например, пусть
а — опрокидывание области S относительно ее сто­
роны S\\ см. рис. 15.5. Тогда движение аа = a2 воавращает квадрат S в исходное положение, т. е. а2 = L
Аналогично, если b обозначает опрокидывание обла­
сти S вокруг стороны s2 (см. рис. 15.6), то Ь2 = I.
Результат последовательного выполнения движений
а и b (в различном порядке) показан на рис. 15.7.

ГРУППЫ И ОРНАМЕНТЫ

215

Конечно, а и b не перестановочны между собой. Пред­
положим теперь, что мы ввели в рассмотрение третье
основное движение с: сдвиг квадрата S вверх на дли­
ну его стороны. С помощью трех движений а, b и с
получается в точности та же картина замощения пло­

скости («шахматная доска»), что и с помощью двух
сдвигов г и s, но соответствующие группы различны.
Граф группы, порожденной движениями а, Ь и с, по­
казан на рис. 15.8.

Рис.

15.8.

Выберем теперь другую фундаментальную об­
ласть— равнобедренный прямоугольный треугольник,
а за образующие движения примем:
г — вращение на 90° (против часовой стрелки)
вокруг вершины прямого угла (см. рис. 15.9);
s — вращение на 180° вокруг середины гипотенузы
(рис. 15.10). Ясно, что порядок элемента г равен че­
тырем, a s — двум.
Движения г и s фундаментального равнобедрен­
ного прямоугольного треугольника задают некоторое
покрытие плоскости. Получающаяся при этом кар-

216

ГЛАВА 15

тина и граф соответствующей группы движений изо­
бражены на рис. 15.11. Заметим, что этот последний
граф дает новый план замощения плоскости — много­
угольниками двух типов, а не одного. Здесь в каждой
вершине сходятся квадрат и два восьмиугольника.

Как же в общем случае получаются орнаменты?
Они получаются из графов групп движений, осуще­
ствляющих полное покрытие плоскости некоторой
фундаментальной областью. Орнамент, определённый

Рис.

15.11.

графом, изображенным на рис. 15.11, показан на
рис. 15.12.
Приведем еще один пример орнамента, заполняю­
щего всю плоскость, в образовании которого прини­
мают участие геометрические фигуры нескольких ти­
пов. Возьмем в качестве фундаментальной области
ромб, один из углов которого равен 60°, а в качестве
образующих — два движения:
г — вращение на 120° (против часовой стрелки)
вокруг вершины одного из углов в 120°;

ГРУППЫ И ОРНАМЕНТЫ

217

s — вращение на 120° (против часовой стрелки)
вокруг вершины другого угла в 120°.
Заметим, что г3 = 53 = /; см. рис. 15.13.

О дин из сем н а д ц ат и р азл ич ны х орнам ентов.

На рис. 15.14 изображены покрытие плоскости
ромбами и1 граф группы движений, порожденной эле­
ментами г и s.

У п р а ж н е н и е 64. Найдите множество опреде­
ляющих соотношений для этой группы с образующи­
ми г и s.
Граф на рис. 15.14 показывает, что наша схема
орнамента в каждой вершине имеет два различных
треугольника (один — состоящий из r-отрезков и
другой — из 5-отрезков) и два шестиугольника.

s

Рис.

15.14.

Рис.

15.15.

ГРУППЫ И ОРНАМЕНТЫ

219

Рис. 15.15 на несколько большей площади изобра­
жает соответствующий орнамент.
В заключение рассмотрим пример такой кристал­
лографической группы, что в каждой вершине ее гра­
фа сходятся многоугольники трех типов. В качестве
фундаментальной области здесь взят треугольник

Рис.

15.17.

с углами 30°, 60° и 90°, а в качестве образующих дви­
жений— опрокидывания относительно каждой из
трех сторон треугольника. Рис. 15.16 показывает, что
граф этой группы заполняет всю плоскость, причем
в каждой его вершине сходятся квадрат, шестиуголь­
ник и двенадцатиугольник. Орнамент, соответствую­
щий этому графу, представлен на рис. 15.17.
У п р а ж н е н и е 65. Найдите множество опреде­
ляющих соотношений для этой группы с образующи­
ми а, b и с.

ПРИ

Л

ОЖЕН

ИЕ

ГРУППА ДО ДЕ КА Э ДР А И ИКОСАЭДРА:
ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ ГРУППА Л5 ПОРЯДКА 60

Структура группы, связанной с додекаэдром и ико­
саэдром, существенно отличается от структуры всех
групп, которые мы изучали до сих пор. Галуа, иссле­
дуя разрешимость алгебраических уравнений, обна­
ружил, что хотя у группы движений правильного ико­
саэдра много собственные подгрупп, но ни одна из
них не является нормальной подгруппой. Группа, не
имеющая собственных нормальных подгрупп, назы­
вается простой.
Группы самосовмещений додекаэдра и икосаэдра
изоморфны друг другу, поскольку эти фигуры двой­
ственны (стр. 189) — «центры» двенадцати правиль­
ных пятиугольников, сбсТагвляющих грани додекаэд­
ра, являются вершинами икосаэдра, а «центры» две­
надцати равносторонних: треугольников, образующих
грани икосаэдра, являю тся вершинами додекаэдра.
Группы самосовмещений обеих фигур «совпадают».
Определим теперь ч и сло элементов в группе ико­
саэдра. Для этого зафиксируем положение одной из
вершин икосаэдра; враидсние на 72° против часовой
стрелки (имеющее порядок 5) порождает все самосовмещения, которые оставляю т на месте указанную
вершину; см. рис. 16.1. Поскольку в это положение
может быть переведена л ю б а я из двенадцати вершин,
то порядок группы икоссгэдра равен 60 !).
Порядок группы Л5 р а в е н j • 5! = 60 (см. стр. 194),
и мы утверждаем, что груп п а икосаэдра изоморфна
!) Это следует из того, чгто все движения, переводящие не­
которую вершину с в верш ину
образуют смежный класс по
подгруппе, состоящей из движ ений, оставляющих а на месте. —•
П ри м . ред,

ГРУППА ДОДЕКАЭДРА И ИКОСАЭДРА

221

группе Л5. В справедливости этого утверждения чи­
татель сможет убедиться, следуя тому методу дока­
зательства, который кратко изложен в оставшейся
части приложения.
Мы введем в рассмотрение множество, состоящее
из пяти геометрических объектов и обладающее тем
свойством, что любое самосовмещение икосаэдра вызывает чет­
ную подстановку на этом мно­
жестве. У икосаэдра 30 ребер и
15 медиан, т. е. отрезков, соеди­
няющих вершины противополож­
ных ребер. В правильном ико­
саэдре эти пятнадцать медиан
разбиваются на пять множеств,
каждое состоящее из трех взаим­
но перпендикулярных медиан,
т. е. на пять ортогональных триад.
Самосовмещения икосаэдра вы­
зывают четные подстановки на множестве этих пя­
ти триад; действительно, каждое самосовмещение при­
надлежит к одному из следующих трех типов:
Самосовмещ ения

Четные

подст ановки

(1) Вращение вокруг диаго­
нали, соединяющей противопо­
ложные вершины
(2) Вращение вокруг отрез­
ка, соединяющего центры двух
противоположных граней
(3)
ны

Циклическая
перестановка
пяти триад, т. е. (a b c d e ) =
='(а6) ( а с ) ( a d ) ( а е )
Циклическая
перестановка
трех из пяти триад, т. е.
(abc) = (ab) (ас)
(каждая из
остальных двух переходит в
себя)
Вращение вокруг медиа­ Перестановка двух пар триад,
т. е. ( a b ) ( c d )

Всего существует 24 движения типа (1) (каждое
из них имеет порядок 5), 20 движений типа (2) (ка­
ждое порядка 3) и 15 движений типа (3) (порядка2).
Чтобы найти граф группы икосаэдра, прежде все­
го представим эти самосовмещения графически подоб­
но тому, как мы поступали в случае тетраэдра (см.
стр. 155). Начнем с того, что изобразим усеченный

222

ПРИЛОЖЕНИЕ

икосаэдр, т. е. икосаэдр, у которого каждая вер­
шина заменена пятиугольником, соответствующим
вращению г порядка 5. Линии, соединяющие вершины
этих двенадцати пятиугольников, соответствуют опро­
кидываниям порядка 2 , замещающим вершины, ле­
жащие на оси, вокруг которой происходят вращения.

Чтобы превратить эту конфигурацию в плоскую сеть,
мы поместим внутри одного из пятиугольников все
остальные и придем, наконец, к сети, изображенной
на рис. 16.2.
Мы предлагаем читателю изучить внутреннюю
структуру этой группы; здесь окажет помощь граф
группы, играющий роль компактной таблицы умно­
жения. Чтобы навести читателя на некоторые сооб­
ражения по поводу этой структуры, мы поставили при
каждой вершине графа цифру, указывающую порядок
соответствующего элемента группы. (Элемент / вы­
бран произвольным образом.) С помощью этого гра­

ГРУППА ДОДЕКАЭДРА И ИКОСАЭДРА

223

фа группы As можно показать, что группа икосаэдра
порождается двумя элементами г и f и определяется
тремя соотношениями
Г5 = / ,

/2 = /,

(г/ ) 3 = / .

Исходя из такого задания группы, можно установить,
что As — простая группа. Для этого прежде всего
нужно доказать, что если g — произвольный гомомор­
физм группы As, то как соотношение g(r) = I, так и
соотношение g(f) = I влекут за собой равенство
g{a) = 0 для всех элементов а из группы Л5; затем
нужно убедиться в том, что если g(x) = I для неко­
торого элемента х группы Л5, то либо g{r) = I, либо

РЕШ ЕНИ Я УП РАЖ Н ЕН И Й

Упр. 1. (а) Нет. (Ь) Да. (с) Нет. (d) Да.
Упр. 2. Вращение b ® с — это вращение по часовой стрелке
на 450°. Оно переводит квадрат в то же положение, что и вра­
щение по часовой стрелке на 90°; таким образом, b ® с — а. Вра­
щение а ® с представляет собой вращение на 360°; оно возвра­
щает квадрат в исходное положение.
■Упр. 3. 0 является единицей, так как х + 0 = 0 - Ь* = * для
любого действительного числа х.
Упр. 4. Мы сразу же видим, что обратным к 1 является эле;
мент 1; действительно,
1-1 = 1 (mod р).
Пусть х ф 1— одно из чисел 2, 3, 4, . . . , р — 1; рассмотрим р
целых чисел х, х 2, х 3, . . . , х р . Так как числа х и р не имеют
общих делителей (взаимно просты), ни одно из этих р чисел
не делится на р \ следовательно, остатки от деления этих чисел
на р находятся среди р — 1 чисел 1, 2, .
р — 1, и хотя бы
два из них, скажем х т и х я, дают один и тот же остаток. Для
определенности пусть 0 < г < s ^ р. Тогда
Xs - x r =

x r {xs ~ r -

\)

= О (mod р),

где х т Ф 0 ( mod/7), Xs Ф 0 (modp) и X s — х г > 0 .
x r (x s ~ r — 1) = 0 (mod р) и х г Ф 0 (mod р), то

Поскольку

x s~r — 1 = 0 (mod р).
(Здесь мы используем тот факт, что a b сравнимо с нулем по
модулю простого числа р тогда и только тогда, когда или
а == 0 (mod/?), или 6 = 0 (mod;?); читателю следует проверить
это утверждение и сформулировать его иначе, используя понятие
кратных числа р.)
Пусть теперь у — остаток от деления числа x s~r~x на р.
Тогда
x s ~ r ~ 1 == у (mod р),
и если мы умножим обе части этого сравнения на
xs~ r

= ху (mod р).

х,

то получим

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ

225

[Следует проверить, что если a s s Ъ (mod р), то ха as xb (mod/?).]
С другой стороны, мы показали, что xs~r — I == 0 (mod р), от­
куда следует, что

xs~r = 1 (mod р).
Поэтому ху а= 1 (mod р).
Упр. 5. (а) Умножая слева на элемент с г 1, получаем равен­
Ьх— а~]с. Затем умножаем слева на Ь~1 и получаем
х — Ь~хагхс. (Ь) х = a~lcb'\ (с) х = cb~larlt (d) Умножим обе
части первого соотношения справа на х\ тогда ах = Ьх3 = Ы — Ь,
или ах = Ь\ следовательно, х = а~]Ь. (е) / =.л:4 = ах , значит,
х = or1. (f) Умножаем слева на х и получаем / = xabc. Повтор­
ным умножением справа на соответствующие элементы мы по­
следовательно получаем
ство

c ~ l = xab,

= ха,

х = с ~ 1Ь~1а ~ 1.

Упр. 6. Из основных свойств таблицы умножения и групповых
аксиом получаем:
(a) vw — /, или ' tiy-1 = v\ uw — s, или и == лиг1 = sa; vz = г,
или z = v~xr\ таким образом, х = uz — (sv) (v~xr) — sr.
(b) uw = /, или u~x — w\ uz = г, или z = u~xr — wr\ VW — 5,
или v = s o r 1; таким образом, x — vz = (stur1) (wr) = sr.
(c) uz = /, или tT1 = z; uw = s, или w =
= zs\ vz = r,
или

V — r z ~ 1; т а к и м

W

о б р а з о м , х = V W — ( r z ~ l ) ( z s ) =* rs.

Z

W

Z

W

2

и

S .... • X

и

/■■... г

и

5 ’"‘■«/

V

/

.... ■г

V

S"

V

л:*»

1

(а)

(с)

(Ь)

Упр. 7.

1|

2

3 14

1

1 2

3

4

2

2

4

1

3

3

3

1

4

2

4

4

3

2

1

Упр. 8. (а) Циклическая группа, (b) Циклическая группа,
(с) Не является группой, так как не содержит единицы аддитив­
ной группы, а именно нуля, (d) Циклическая группа.

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ

226
Упр. 9.

Упр. 10.
1 '

г

г2

/

fr

fr2

1

/

г

г2

f

fr

/г2

г

Г

г2

/

/г

fr 2

/

г2

г2

/

г

/г2

/

/г

fr 2

/

г

г2

/

г

г2

/

/г

г2

/

г

!
fr

/г

fr 2

/г2

/г2

Таблица умножения показывает, что мы имеем дело с груп­
пой. (Например, каждый элемент а имеет единственный обрат­
ный, т. е. такой элемент от1, что аа~] = а~1а = /.) Отметим, что
группа коммутативна.

Упр. 11. Слово rsr соответствует следующим путям (за на­
чальные точки берутся последовательно Л, В, С):
и з Л в Я в С в Л — замкнутый;
из 5 в С в 5 в С - незамкнутый;
из С в Л в Л в В —незамкнутый,

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ

227

Упр. 12. Как следствие соотношения frfr~2 = I получаем
Г2 = /г2 = ( ^ г - 2 ) r 2 = f r f .
Отсюда вытекает, что fr2f — f (frf) f, или, поскольку f2 = /, что

fr2f — г\ значит,
r2= ( f r 2f) (fr2f) = fr*f.
Следовательно, fr*f ^ frf , откуда вытекает, что г4 = г и г3 = /.
Наконец,

/ вГ3 . г(г2)явг(М)>
что дает оставшееся соотношение из множества Л.
Упр. 13. (а) Мы можем записать
(г/3)2 = ( хух~1) ( х у х - 1) = ху (х ~ 1х ) у х ~ 1 = ху 2х ~ \
(г/3)3 = (ху2х ~ 1) ( х ух *1) = х у 3х~~1.
Заменяя у3 в правой части второго уравнения на хух~\ получим

х ( хух~1) х ~ 1 = г/9,

х2у х ~ 2 = у9.

или

Так как соотношение х2 = I влечет за собой равенство х~2 = /,
то мы можем отсюда заключить, что у = у 9, или г/8 = /, как и
утверждалось. (Порядок элемента у не превосходит 8.)
(Ь) Имеем у2п = (у11) 2 = (хух~1) (хух~1) = ху2х~{. Аналогично,
у3п = {уп ) ъ = ху3х~К Продолжая таким же образом, приходим
к соотношениям
( уП)П =

= х упх ~ х = х (х г /х -1) х:-1 = х2у х~ 2 = г/ (так как х2 — /) .

Следовательно, уп*= у и
= /.
элемента у не превосходит п2 — 1.)
Упр. 14. (а)
Имеем

(Таким

образом,

порядок

Используем тот же метод, что и в упр. 13.

(uvu~l) (uvu~l) = (v4)2,

или

uv2u ~l — ( у4)2.

Продолжая таким же образом, получаем последовательно
uv3u~l = ( у4) 3 и uv*u~l = ( у4) 4. Заменяя у4 на исш-1, приходим к
равенству u(uvu~])u~l = yIG, или ц2£Ш~2 = у16. Так как мы знаем,
что и3 = /, но ничего не знаем относительно и2, то мы должны
продолжать такое последовательное умножение, пока в левой
части не появится и3. Таким образом,

(u2vu~2) (u2vu~2) = ( у16)2,

или

u2v2u ~2 = (у 16)2.

Далее, мы последовательно получаем u2v3u~2 = (и1-6) 3 и u2v*u~2 »
= (у16) 4. Отсюда
и2 ( цум™1) м ~2 = ( у16) 4,

или

u3vu~3~ v 6i.

Из того что ц 3 = / , мы можем теперь заключить, что v = у 64, и л и
/, Таким образом, порядок элемента v не превосходит 63.

у63 =

228

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ
(Ь) П о с т у п а е м , к а к и р а н ь ш е;

v2k = {vk)2 = {uvu l){uvu l) = uv2u
v k2 = (vk)k = uvku ~ l = и { u v iT 1) и
Т огда

.m ,

v
= /;
порядок эл ем ента
v н е п р е в о с х о д и т k m — 1.
[Замечание: у п р а ж н е н и я 13 и 14 и л л ю с т р и р у ю т с о о т н о ш е н и е ,
с п р а в е д л и в о е в л ю б о й г р у п п е: ( uvu~l) n — uvnu~\]

т . e.

У п р. 15. И з у п р . 13 мы з н а е м , ч т о у — э л е м е н т к о н е ч н о г о п о ­
р я д к а и у8 = /. Э т о п о д с к а з ы в а е т в ы б о р в о с ь м и у г о л ь н и к а в к а ­
ч еств е о сн о в н о й ф и гуры гр а ф а . М е т о д р еш ен и я ста н о в и т ся теп ер ь
о ч е в и д н ы м , и мы в к о н ц е к о н ц о в п р и х о д и м к с л е д у ю щ е м у г р а ф у :

У п р. 16. И з у п р . 14 мы з н а е м , ч т о п о р я д о к э л е м е н т а / не
п р е в о с х о д и т k n — 1. П у с т ь г — п о р я д о к t. (М ы п р е д п о л а г а е м , ч то
г > 1, т а к к ак в п р о т и в н о м с л у ч а е п р и х о д и т с я и м ет ь д е л о с о с о ­
бы м сл уч аем t = /.)
И з т о г о ч т о tr = / , п о л у ч а е м р а в е н с т в о
/-1 = tr- 1. А н а л о г и ч н о ,
соотн ош ен и е s n = /
влечет за
собой
s-\ ^ s n - i' ( З д е с ь мы с н о в а п р е д п о л а г а е м , ч то п > 1, ч т обы
и ск л ю ч и т ь т р и в и а л ь н ы й с л у ч а й s = / . ) С л е д о в а т е л ь н о , в л ю б о м
с л о в е W м о ж н о за м е н и т ь s _1 на s n_1 и t~{ н а tr~ l и, зн а ч и т ,
л ю б о е с л о в о , о п р е д е л я ю щ е е эл е м е н т н а ш е й г р у п п ы , м о ж е т бы т ь
в ы р а ж е н о ч е р е з п о л о ж и т е л ь н ы е с т е п е н и эл е м е н т о в s и /. Т е п ер ь
м о ж н о у м н о ж и т ь з а д а н н о е с о о т н о ш е н и е sts~l = tk с п р а в а на s и
п о л у ч и т ь с о о т н о ш е н и е st = tks. Т а к и м о б р а з о м , в л ю б о м с л о в е
мы м о ж е м п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь с и м в о л о в st за м е н и т ь на tks. Е с л и
п овтор я ть эт у п р о ц ед у р у в д ан н ом сл ове, со д е р ж а щ е м п о сл ед о в а ­

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ

229

т е л ь н о с т ь с и м в о л о в st, т о в к о н ц е к о н ц о в мы п р и д е м к с л о в у ,
в к о т о р о м в с е степ ен и э л е м е н т а t с т о я т с л е в а о т с т е п е н е й э л е ­
м е н т а s. Т а к и м о б р а зо м , л ю б о й эл е м е н т в н а ш ей г р у п п е м о ж н о
з а п и с а т ь к а к с л о в о вида txsy. К р о м е т о г о , д л я зн а ч е н и я х с у ­
щ е с т в у е т л и ш ь г в о з м о ж н о с т е й (т а к к ак tr = / ) , а д л я
л и ш ь п в о з м о ж н о с т е й ; с л е д о в а т е л ь н о , в г р у п п е н е б о л е е ч ем гп
р а з л и ч н ы х э л е м е н т о в . Т ак к а к г ^ k n — 1, т о п о р я д о к н а ш ей
гр уп п ы н е п р е в о с х о д и т ( k n — 1 )п.
У п р . 17 . И з реш ения уп р . 14 с л е д у е т , ч то t7 = / . Н о т а к к ак
7 — п р о с т о е ч и сл о , то п о р я д о к э л е м е н т а t р а в е н 7 1) . Р е з у л ь т а т
у п р . 16 п о з в о л я е т зак лю чи ть, ч т о п о р я д о к н а ш е й г р у п п ы р а в е н 2 1 .
Г р а ф н а ш е й гру п п ы м о ж н о с т р о и т ь , о с н о в ы в а я с ь н а т р е х сем и-,
у г о л ь н и к а х и ли н а семи т р е у г о л ь н и к а х ( с о о т в е т с т в у ю щ и х с о о т ­
н о ш е н и я м s 3 = I и t7= I ) . З д е с ь и з о б р а ж е н г р а ф н а ш ей г р у п п ы
п о р я д к а 2 1 , осн о в а н н ы й н а с е м и т р е у г о л ь н и к а х :

У п р . 18.
М ы м ож ем и сп о л ь зо в а т ь гр а ф группы
С 2 X Сз
(р и с . 7 . 6 ) , ч т о б ы вы числить с л е д у ю щ и е с т е п е н и э л е м е н т а g = fr:
= fr,
g 2 = (/r)2 = r 2.

g

g3

= g g J = {fr) Г2= f;

Таким о б р а зо м ,

g 4 = {fry = ( r 2) 2 = r;
ff'-W -tfrJr-fr* ;
g e = ( g 3) 2 =

/2= /.

g п о р о ж д а е т ц и к л и ч е с к у ю г р у п п у С б.

1) Д е й с т в и т е л ь н о , есл и ta — / , т о а д е л и т с я на п о р я д о к d
э л е м е н т а t. Е с л и бы э т о б ы л о н е т а к , т о , п о д е л и в а н а d , мы
п о л у ч и л и б ы а = dq + г, г д е 0 < г < d. Н о т о г д а бы мы и м ел и
tr ~ ta~ dQ = ta (td) - * = / , ч то п р о т и в о р е ч и т о п р е д е л е н и ю п о р я д к а
э л е м е н т а . В ч а ст н о сти , в н а ш е м с л у ч а е 7 д о л ж н о д е л и т ь с я н а
п о р я д о к э л е м е н т а t, т. е. d д е й с т в и т е л ь н о р а в е н 7. — Прим,
ред.

230

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ

Упр. 19. (а) Группа С 2 X С 4 получается из группы С 2 (с об­
разующей а и определяющим соотношением а2 = /) и группы С 4
(с образующей b и определяющим соотношением 64 = /) . По
определению прямого произведения групп а и b должны комму­
тировать, т. е. a b = Ь а у или a b a ~ l b~l = /. Таким образом, группа
С 2 X С 4 имеет образующие а п Ь, связанные соотношениями
а9- = Ь* = а&а^б-1 = /. Этим соотношениям соответствует граф
коммутативной группы порядка 8:

(Ь) Группа С3 X С3 получается из группы, порожденной эле­
ментом а , удовлетворяющим соотношению а3 = /, и группы, поро­
жденной элементом 6, удовлетворяющим соотношению Ьъ = /. Так
как а и 6 в группе С3 X Сз коммутируют, то a b a ~ l b~x = /. Таким
образом, группа С3 X Сз порождается элементами а и Ь, удовле­
творяющими соотношениям а3 = b3 = a b a ~ lb ' 1 = /. Для этой
группы порядка 9 мы имеем два таких графа:

(Будут ли они топологически эквивалентны?)
Упр. 20. С2: а2 = /. D3: г3 = / 2 = (г /)2 = / . Так как элемент а
перестановочен в группе С2 X
и с г и с f, то а г а ~ хг х = / и
a f a ' l f~l = /. Если в группе С2 X Ь 3 существуют такие элементы х
и г/, что х & = у 2 = ( х у ) 2 = / (определяющие соотношения груп­
пы £>б), то D6 содержится в С2 X £>3. Поскольку равенство яг = га
влечет за собой ( а г ) 2 = а 2г 2 = г 2 и порядок элемента г2 равен 3,
то порядок элемента а г = х равен 6. Обозначим через у элемент /,
Выясним, будет ли ( х у ) 2 = ( a r f ) 2 = I. Имеем
(arf)2 = a 2 (rf)2 =

/ • / = /.

231

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ

Таким образом, элементы х — аг и у = f удовлетворяют опреде­
ляющим соотношениям группы А , и последняя содержится в
группе С2 X АДля доказательства того, что А = С2 X А , надо только по­
казать следующее: группа С2 X А содержит столько же элемен­
тов, сколько группа А (а именно 12). Так как а перестановочен
и с г и с /, то любое слово от этих трех образующих эквива­
лентно слову, которое получается из него перемещением всех
степеней элемента а влево, в то время как степени элементов г.
и f остаются в прежнем порядке; например, farfr2a2f = a?frfr2f<
Таким образом, число элементов в группе С2 X А равно произ­
ведению числа элементов в группе С2 (2) на число элементов
в группе А (6).

Упр. 21. Из того что а2 = b2, мы заключаем, что а = а~1Ь2,
а = Ь2а~х и ab~x = агхЬ. Из того что а2 = abab, мы заключаем, что
а = bab и ab~1 = Ьа. Таким образом, агхЬ = Ьа. Следовательно,
(ab)2 = abab = (a~lb2) b (b2a~l) b =
= a ~ xb5 (ba) = a

(a” 1^ =»

(a6) a = a6

(так как a2 = fr2), и потому a2 = (ab)2 = a6. Отсюда следует, что
a4 = / и b4 = /. Таким образом, наш граф содержит связанные
четырехугольники, соответствующие соотношениям а4 = Ь4 = /.
Это граф некоммутативной группы порядка 8, так называемой
группы кватернионов, которую мы подробно рассматриваем
в гл. 12:
а

а 2 - Ь2 - (a b )2

Упр. 22.

/
(а) Д.
(Ь) Пусть g обозначает элемент rf. Мы можем написать
р — g 2_
r = g p i = gf и г х = fg. Таким образом, любое слово
от г и / можно выразить через f и g. Обратно, если р = g 2 = /,
т0 р = (г /)2 = /, и в любом слове от f и g мы можем заменить
g на rf и прийти к слову только от г и f.
Упр. 23. Единица: если а принадлежит Я, то асг1 — / при­
надлежит А

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ

232
О б рат и м ос т ь :

если

6

принадлежит Я, то Я г 1 =

6 "1

также

принадлежит Я.
З а м к н у т о с т ь : если а и b — элементы множества Я, то 6 " 1
также принадлежит Я, а потому и a ( 6 _1) _1 = a b принадлежит Я.

Упр. 24. (а) З а м к н у т о с т ь : / ( 6 а) = ( 6 а ) / = 6 а, (6 а ) 2 = /.
О б р а т и м о с т ь : ( 6 а ) " 1 = 6 а, так как ( 6 а ) 2 = /.
( b ) /, а, а 2 (они образуют циклическую группу С3).
(c) Подгрупп порядка 4 нет. Такая подгруппа должна была
бы содержать самое меньшее по одному элементу из следующих
двух множеств: {а , а 2} и {6 , 6 а, 6 а2}. Но любая пара, в которую
входит один элемент из первого множества и один элемент из
второго множества, порождает всю группу.
Упр. 25. Элементы группы С5 : а, а2, а3, а4, а 5 = /. Порядок
элемента а равен 5, а порядок любого элемента a k ф ! группы С5
н е п р е в о с х о д и т 5, так как при & = 2, 3 и 4 (a ft) 5 — (a5) A = /.
Если допустить, что порядок элемента a h ( 1 < & < 5 ) равен
п < 5, то мы придем к противоречию: ( ak) n — a kn = /, где k n не
кратно 5. Таким образом, порядок каждого элемента группы С5
(кроме I) равен 5. Отсюда следует, что любая подгруппа груп­
пы С& в которую входит х ф 1 , содержит пять различных элемен­
тов и не может быть собственной подгруппой.
Упр. 26. (а) З а м к н у т о с т ь : З т + З п = 3 ( т + п ) .
Обратимость:

3m -f (—3 m ) = 0.

(b) З а м к н у т о с т ь : j n -f k n = .(/.+ k ) n .
Обратимость:

&n + (—&я) = 0.

Упр. 27. Обозначим через /? f| S множество общих элементов
групп R и 5.
З а м к н у т о с т ь : Пусть /1 и
принадлежат R П5. Это означает,
что t\ и / 2 являются элементами как R , так и S. Поскольку Я и
5 — группы, элемент t \ t 2 принадлежит как R , так и 5, а потому
и R П S.
О б р а т и м о с т ь : Если t принадлежит Я П5, то t и, следова­
тельно,
являются элементами как группы R , так и группы 5 .
Таким образом, t~l принадлежит R ПS.
Упр. 28. (а) Сложение является ассоциативной бинарной опе­
рацией на нашем множестве, поскольку (a + i b ) 4 - ( х -f i y ) =»
= (а + х.) + i ( b + у), и если а, 6 , х, у — целые, т о а + х и б + г/ —
также целые числа.
Е д и н и ц а : (a 4 - t'6 ) 4 - 0 = а 4 - / 6 = 0 .4 - (а 4 - t‘6 ).
О б р а т н ы е : - (а 4 - / 6 ) + (—а — ib ) = 0.
(b) З а м к н у т о с т ь : (г + /5 ) + (х 4 - /г/) = (г + х) + /(s + у ),
числа г 4 - х и s 4 - у оба четны, если четны г, s, х,
О б р а т и м о с т ь : (г + /5 ) + (—г — is) = 0 .
Упр. 29. Предположим, что смежные классы гЯ и sH имеют
хотя бы один общий элемент, скажем г/ц = sh2. Тогда
=
= Л2 Л1“ 1 является элементом группы Я и s ~ ]rh = h2h ^ lh пробе­
гает множество всех элементов подгруппы Я, когда Н последова-

реш ения

упраж нений

233

тельно пробегает это множество. Следовательно, из очевидного
равенства s (s““ V /г) = s
или rh — s (h2h~ 1/г), вытекает,
что rH — sH. Таким образом, если два смежных класса имеют
хотя бы один общий элемент, то они совпадают.

Упр. 30. (а) П у с т ь г/ —- смежный класс, г/ = [rju г/г, .. .}Пусть с — rjk (т. е. с принадлежит смежному классу /7). Тогда
смежный
класс
cJ можно
записать
так:
cJ = (rjk)J =*
= {г(/ь/ 1), r(jkj2), ...}. Ho ikiu /fe/2, . . . — это все элементы под­
группы / , только в другом порядке. Таким образом, cJ = г/, как
и утверждалось.
(Ь) Если г 1с принадлежит /, то мы можем записать, что
г 1с = /ft, где /ft — некоторый элемент группы /. Умножая это
равенство слева на г, получаем с — гД, а это показывает, что с
принадлежит смежному классу г/. Таким образом, смежные клас­
сы cJ и г/ совпадают.
Предположим теперь, что смежные классы cJ и г/ совпадают.
Тогда произвольный элемент c j k из cJ равен некоторому элементу
г/п из г/, т. е. c j h = r/m где j k и / п — элементы подгруппы / .
Умножая это равенство слева на г-1 и справа на / J 1, мы полу­
= j J k 1' Так как j k и /„ принадлежат

чаем, что г- 1 с/^ = /п,

подгруппе / , то ей принадлежат и

и j j ^ 1 = г“ ]с.

Упр. 31. Доказательство может быть основано на такой идее:
показать, что если х / и y J — два различных левых смежных
класса группы L, то /дг1 и /г г 1 — два различных правых смежных
класса. Или в противоположной формулировке: если Jx~l и / у 1
совпадают, то x J и y J тоже совпадают. Чтобы убедиться в этом,
предположим, что некоторый элемент из смежного класса J x l
равен некоторому элементу из / у 1, скажем ] \ х ~ 1 = j 2y ~ l. Тогда
х~~{ = / 1"_1/2г/_1 и х - y / J 1/] —у(]’2 1и) является элементом смеж­
ного класса y J . Таким образом, если совпадают смежные классы
J x ~ l и / у 1, то левые смежные классы x J и y J имеют общий
элемент х и, следовательно, также совпадают, так как никакие
два различных смежных класса не имеют общих элементов. По­
этому и соответствующие правые смежные классы различны.
Упр. 32. Левые смежные классы:
К = {/, а, а2}

и

ЬК = {Ь, Ьа, Ьа2}.

и

КЬ = {6, аб, а26}.

Правые смежные классы:

К = {/,

а, а 2}

Так как (Ьа)2 = baba = /, то 6а = а_16-1 = а2Ь. Аналогично
ab = Ьа2. Таким образом, левые и правые смежные классы сов­
падают.

Упр. 33. (а) Замкнутость. Для любых двух элементов из Н
справедливо равенство a ja k = a j + k t Так как / -f- k = n q - f r t где

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ

234

и г — целые числа, такие, что 0 ^ г < п, то
= ( a n ) qa r — a r
является элементом из Я.
Обратимость. Если элемент а> принадлежит Я, то a n ~i также
принадлежит Я и a j a n ~ j = а п — I.
(Ь) Если g — порядок группы Я, а п — порядок некоторого
элемента этой группы, то по теореме Лагранжа и по п. (a) g
кратно п. Иными словами, порядок элемента конечной группы
является делителем порядка группы.

q

Упр. 34. (а) Так как g — элемент порядка п и 1 есть еди­
ничный элемент группы «остатков», то g n ss 1 (mod/?), или
g n — 1 = 0 (mod р) .
(Ь) Так как п — порядок элемента g , то число р — 1 должно
быть кратно п (см. упр. ЗЗЬ), скажем р — 1 = kn. Тогда по­
скольку g n = 1 (mod/?), то обязательно ( g n ) k = 1 (mod/?),
т. е. g p ~ l — 1 = 0 (mod /?), или
— 1 кратно р.
Упр. 35. Так как а не кратно р , то а ф 0 (mod/?); следова­
тельно, a = r ( mo d р) , где г — одно из чисел 1, 2, . . . , /? —• 1, и,
значит, а — г
0 (modp). Рассмотрим теперь
а р ~~1 —r p ~ l = (а

— г) ( а р ~ 2 + ар” 3г + ... + гр“ 2).

Так как а — г = 0 (mod р) , то а р ~ х — г р~1 = 0 (mod р) (по мо­
дулю простого числа ab = 0 тогда и только тогда, когда или