Задачи вступительных экзаменов по математике. УдГУ-2001 [О. В. Баранова] (pdf) читать онлайн

О.

"SftjoAtvO'&A

“ 10.
Решение. Пусть 3х + 3~x = 6. Тогда 32+x + 32~x = 96, 9X +
9“x = 62 —2. Заметим, что 6 > 2, а числа 96, a, 62 —2 образуют
арифметическую прогрессию. И запишем ее характеристическое
13

свойство: а,2 = ai i>aa или 2а = 96 + 62 —2. Найдем, при каких а
уравнение Ь2 + 96 — 2 (a -f 1) = 0 имеет хотя бы один корень, не
меньший 2.
Дискриминант уравнения равен D = 81 + 8 (а + 1) = 89 + 8а,
больший из корней 6 =
^ 8-+-8-- при а > -Щ-. Решение задачи
равносильно решению системы:

^

89

8»
i —9 ~Ь у/89

а > 10.

8а ^ 2,

1 .7 . О т вет : (0 ;4 ).
Реш ение. Областью допустимых значений данной системы
служит множество точек плоскости (я, у), удовлетворяющих не­
равенству: я + у > 0. Заметим, что второе из неравенств имеет
место при условии 1 + (4 - у )2 > 0, т. е. у 6 [3; 5]. Кроме того,
легко видеть, что

< 1. Следовательно, 2Х+3/” 4 < 1, т.е.

х + у —4 < 0, откуда у/х + у < 2. Итак: х 2 + 2 < у/х -}- у < 2 &
у/ х

+ у = 2,

я = 0,

Второе из не­
2 /= 4.
равенств данной системы при найденных значениях неизвестных
также обращается в верное равенство.
1 8 Ответ: 0
Реш ение. Пусть
= t. Тогда
= 1 (придавая здесь я
различные значения, мы для t получим любое значение, кроме
х = 0. Но тогда

я = 0,

..

* =1) и

.

/ п

/( t)-2 /(--J =0.

(1)

Это соотношение справедливо для любых
кроме t = 0 и
t = 1. Заменяя в этом равенстве t на ( —|) , получим f ( —\) —
2f ( t ) = 0 или

2/ ( “ ) - 4 /(0 = °-

(2)

Сложив почленно равенства (1) и (2), получим: - 3 f ( t ) = 0,
откуда f ( t ) = 0. Причем, это равенство выполняется при всех
t 6 (—o o ;0 )U (l;0 )U (0 ;+ o o ). В частности, / ( 2 ) = 0 и s in /( 2 ) = 0.

14

Ответы д л я остальных вариантов
2.1. (1; 9]; 2.2. 2; 2.3. £; 2.4. 9; 2.5. 4:13; 2.6. о > 9; 2.7.
(0; 9); 2.8. 1; 3.1. (1; 25]; 3.2. 2; 3.3. f ; 3.4. 10; 3.5. 3 : 7;
3.6. а > 4 ; 3.7. (0; 2); 3.8. 0; 4.1. (1; 36]; 4.2. 1; 4.3. f; 4.4.
11; 4.5. 1:37; 4.6. а > 3 ; 4 . 7 . (0;3); 4.8. 1.
М А ТЕМ АТИ ЧЕСКИЙ Ф А КУ ЛЬТЕТ
Письменный экзамен
Вариант 1
1. Решите уравнение: 2х2 + 5|х| —3 = 0.
2. Решите уравнение:
log2 у/ х + 10 + 0,5 log2(x —10) = 1 + 0,5 log2 11.
3. Решите неравенство: (х —2) (я - З)2 > 0.
4. На стороне АВ треугольника АВС взяты две точки К
и Р так, что К Р = \АВ. На сторонах АС и ВС взяты
точки М и N так, что прямая АВ параллельна прямой
M N . В каком отношении точка М должна поделить отре­
зок Л С, чтобы площадь четырехугольника K M N P была
наибольшей?
5. Решите уравнение: 4 sin4 я -f 2 cos3 s+ 4 sin 2 ж—cosz + l = 0.
6. Произведение первых четырех членов знакопостоянной гео­
метрической прогрессии равно 4, а отношение суммы кубов
первых трех членов к первому равно 7. Найдите эту про­
грессию.

15

Вариант 2
1. Решите уравнение: 10ж2 - 7\х\ - 3 = 0.
2. Решите уравнение: log3 у/х + 8 + \ log3(a: —8) = 1 + log3 2.
3. Решите неравенство: (ж -f 1)(ж + 2)2 < 0.
4. На стороне А В треугольника А В С взяты две точки К
и Р так, что К Р = | АВ. На сторонах АС и В С взяты
точки М и N так, что прямая А В параллельна прямой
M N . В каком отношении точка М должна поделить отре­
зок АС, чтобы площадь четырехугольника К M N P была
наибольшей?
5. Решите уравнение:
4 cos4 х + 2 cos2 х sin х -f 4 cos2 x —sin x -f 1 = 0.
6. Произведение первых пяти членов геометрической
прогрессии равно 32, а сумма кубов первых трех членов
равна 14. Найдите эту прогрессию.

Вариант 3
1. Решите уравнение: Зж2 + 5|ж| - 2 = 0.
2. Решите уравнение:
3
log2 у / х + 7 + 0 ,5 log2(x - 7) = - + 0, 5 log2 15.
3. Решите неравенство: (ж —3)(ж —4)2 > 0.
4. На стороне А В треугольника А В С взяты две точки К
и Р так, что К Р = \ А В . На сторонах АС и В С взяты
точки М и N так, что прямая А В параллельна прямой
M N . В каком отношении точка М должна поделить отре­
зок АС, чтобы площадь четырехугольника К M N P была
наибольшей?
16

5. Реш ите уравнение: sin4 ж + 8 cos3 ж+ 4 sin2 ж —4 cos ж+ 4 = 0.
6. П роизведение первы х четы р ех членов знакопостоянной гео­
м етрической прогрессии равно 9, а отношение сумм ы кубов
п ервы х трех член ов к первому равно 13. Н айдите эту про­
грессию .
В ариант 4
1. Реш ите уравнение: Зж2 — 7|ж| — 10 = 0.
2. Реш ите уравнение: log6 у/х + 6 + \ log6(s - 6) = 3 loge 2.
3. Реш ите неравенство: (ж + 3)(ж + 4 )2 < 0.
4. Н а стороне А В т р еу го л ь н и к а А В С взяты две точки К
и Р так , что К Р = | А В . Н а сторонах А С и В С взяты
точки М и N так , что п р ям ая А В п ар ал лел ьн а прямой
M N . В каком отнош ении т о ч к а М дол ж н а поделить отре­
зок А С , чтобы площ адь четы рехугольника К M N P бы л а
наибольш ей?
5. Реш ите уравнение:
cos4 ж + 8 cos2 ж sin ж + 4 cos2 ж —4 sin ж + 4 = 0.
6. П роизведение первы х пяти членов геометрической
прогрессии равно 243, а сум м а кубов первых трех членов
равна 39. Н айдите эту прогрессию.
Р еш ен и е зад ан и й п ервого вари ан та
1 .1 . Ответ: ± | .
Решение. П усть |ж| =
t > 0. Т огда данное уравнение мож­
но переписать в виде: 3£2 + 5t —2 = 0. Это квадратное уравнение
имеет д в а корня: ti = —3 и t 2 = |* К орень
посторонний, а
второй корень д ает д в а реш ения нашей задачи._________ _
‘ Г.

17

О Т Е '.СА

Эта простая задача доставила немало неприятностей абиту­
риентам. Некоторые из них решали уравнение, раскрывая мо­
дуль, но при этом забывали отбросить посторонние корни. Часть
абитуриентов ограничилась случаем |х| = х (при этом никаких
ограничений на значения х не накладывалось). В таких случаях
задача считается нерешенной.
1.2. Ответ: 12.
Решение. Областью допустимых значений данного уравнения
служит интервал (10; +оо). Используя свойство суммы двух ло­
гарифмов с равными основаниями, это уравнение легко приве­
сти к виду: log2(x1 — 102) = log244. Данное преобразование не
является равносильным и может привести к приобретению по­
сторонних корней. Поэтому при решении данного уравнения ни
в коем случае нельзя забывать про ОДЗ! Уравнение х 2—102 = 44
имеет два корня: ±12, один из которых не входит в ОДЗ. Реше­
нием данного логарифмического уравнения служит только один
положительный корень.
Проверка решений этой задачи показала, что многие абитури­
енты слабо знают свойства логарифмических функций. В част­
ности, некоторые считают, что областью допустимых значений
логарифма служат все неотрицательные значения аргумента (а
на самом деле лишь положительные). Немало абитуриентов и
вовсе не удосужились найти ОДЗ. Но далеко не все поступаю­
щие, которые правильно нашли ОДЗ, производили отбор корней.
Все перечисленные ошибки относятся к разряду грубейших.
1.3. Ответ: х 6 (2; 3) U (3; +оо).
Решение. Так как множитель (я —З)2 может принимать толь­
ко неотрицательные значения, то данное неравенство равносильно системе:

( х - 2 > 0,

<
ч0
Внешняя простота этой системы
[ ( х - 3 ) 2 >0.
таит в себе «подводный камень»! Последнее неравенство выпол­
няется не всегда, а при х ф 3. Эта коварная тройка- постороннее
решение данного неравенства. Включение ее в ответ аннулиро­
вало решение всей задачи.
18

С другой стороны правильный ответ не есть гарантия пра­
вильно решенной задачи. Решение считалось неполным при не­
обоснованном исключении числа 3 из ответа.
1.4. Ответ: 5:3. считая от вершины А.
Решение. Так как M N ||
С
АВ (рис. 2), то четы­
рехугольник К M N P трапеция или параллело­
грамм.
Так как пло­
щадь этого четырехуголь­
ника не зависит от поло­
жения отрезка К Р на от­
Рис. 2
резке АВ
(при сохранении соотношения К Р = \ А В ) } то решение задачи
можно упростить. Выберем точку К так, что К = А (рис. 3).
ПУСТЬ Ж
=
х<
х 6 [0; 1). Так как
A M C N подобен А АС В
то 4U- — х. Кроме того
NB _ CB—CN _ 1 _ т

ш — ив~ — 1 х

S apnb = \ Р В • N B
sin ZB =
\ • §АВ
(1 - х) • СВ • sin ZB =
| ( 1 - x)S a abc •
Пусть S aabc = а. Тогда Samnb — S aabc — Sam cn Sanpb = a —x2*a—f (1—x)a. Задача свелась к тому, чтобы иссле­
довать на наибольшее значение функцию S(x) = а (^ + |ж - ж2)
на множестве [0;1). Так как S f(x) = 0 в точке х = §, и при
переходе через эту точку производная меняет знак с « + » на
« - »> то т а х 5 ( х ) = 5 (§) . Итак, % = %, значит, $ § = | .
Заметим, что было бы неправильно записать в ответ число
х = | (это не есть ответ на вопрос задачи, а лишь промежуточ­
ный результат.) Кроме того, при решении задачи таким спосо19

бом важным моментом является исследование знака производ­
ной функции S(x) на множестве [0;1). При отсутствии этого
этапа задача считалась нерешенной. Однако в решении задачи
производную можно и не использовать. Действительно, S(x) квадратичная функция с отрицательным старшим коэффициен­
том, следовательно, она имеет максимум. Необходимо лишь по­
казать, что максимум достигается на промежутке [0; 1).
1.5. Ответ: х = п + 27гп, п € Z.
Решение. Перепишем исходное уравнение в виде:
(2 sin2 х + I)2 + cos х (2 cos2 х - 1) = 0.
Так как (2sin2 ж+ 1 )2 > 1, cosz(2cos2 х —1) > —1, 2 cos2 ж —1 =
соб2ж, то полученное уравнение равносильно системе:
2 sin2 х + 1 = 1,

{

cos х cos 2х = —1.

Все решения этой системы находятся среди корней уравнения
sin ж = 0, при этом cos ж = 1, либо cos ж = —1. Рассмотрим эти
случаи отдельно.
Если совж = 1, т.е. ж = 2тгn, п Е Z, то соб2ж = 1. Та­
ким образом, ни одно число вида ж = 2тгп второму уравнению
не удовлетворяет. Все числа из множества корней уравнения
cos ж = —1 вида ж = 7Г + 2л-тг, п 6 Z, являются решениями
второго уравнения системы.
Заметим, что заменой cos ж = t можно свести это уравнение
к алгебраическому четвертой степени: 414 -f 2£3 - 12t2 —t + 9 = 0.
Здесь легко угадывается корень t — - 1. Важнейшим моментом в
решении задачи таким способом является обоснование того, что
других корней на отрезке [—1; 1] это уравнение не имеет.
1.6. Ответ:
1,
- 1 , - ^ 2 , - Щ , . . . ; 2,-Уз,

№,■■■; -2,
Решение. Пусть первый член в прогрессии равен и, а знаме­
натель прогрессии - q. По условию Ьп = ug71""1, u-uq-uq2-uq3 = 4,
20

ir+uV+tf’gi = ^' Из первого уравнения находим и2д3 = ±2. Слу­
чай и2?3 = —2 приводит к знакопеременной прогрессии. Задача
/ u2q3 = 2,
свелась к решению системы: < „,
,
Подстанов1 и2(1 + q3 + д6) = 7.
ка и2 = 4- и замена переменной q3 = t дает четыре решения
системы:
2,

(и = —2,

II

£

С3"1

и

£

II

1и =

I U = ~ 1»

"из "

\ и = 1,

При решении этой задачи часто встречалась потеря решений
(при решении уравнения и2 = ф ). Существенным пробелом ре­
шения считается отсутствие обоснования, что q > 0.

Ответы для остальных вариантов
2.1. ±1; 2.2. 10; 2.3. (-о о ;-2 ) U ( - 2 ,- 1 ) ; 2.4. 5; 2.5.
| + 2тги, л е Z; 2.6. ^ 2 ,^ 4 ,
...;
^ 1 2 ,2 ,...; 3.1.
± i ; 3.2. 13; 3.3. (3; 4) U (4;оо); 3.4. 2; 3.5. ж + 2ят»,
п 6 Z; 3.6. 1 , ^ 3 , ^ 9 , . . . ; -1 , —
—v^, . . . ; 3 , ^ 9 , ^ 3 , . . . ;
- 3, -\ / 9, —
; 4.1. ± f ; 4.2. 10; 4.3. (-о о ;- 4 ) U ( - 4 ;-3 );
4.4. 7; 4.5. f -Ь2тгта, тг £ Z; 4.6. ^3, ^ 9 , v ^ 7 ,... ;
v^36,
3,...

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Специальности: Прикладная математика
и информатика,
прикладная информатика
Устный экзамен
1. Решите уравнение: 8 sin2 х - 2 cos х = 5.
2. Из некоторой точки проведены два луча, образующих с
плоскостью углы, равные 30°, а между собой угол в 60°.
Найдите угол между их проекциями на плоскость.
21

3. Решите уравнение: sin х cos х + 2 = cos х + 2 sin х.
4. Около трапеции A B C D с основаниями A.D и ВС описана
окружность, центр которой лежит на основании AD. Опре­
делите площадь трапеции, если ее диагональ равна 8 см, а
боковая сторона равна б см.
5. Решите неравенство: log0t2(®2 + 2) < log0 2(3a: - 7).
6. Длины двух сторон треугольника равны а и Ь. Найти дли­
ну третьей стороны треугольника, если величина угла, ле­
жащего против этой стороны, в 2 раза больше величины
угла, лежащего против стороны Ь.
7. Решите уравнение: sin2 х + ctg2 х = 1.
8. В шаре с центром в точке О проведен диаметр АВ и две
равные хорды A M и A N , каждая под углом 60° к диа­
метру. Найдите площадь полной поверхности тетраэдра
M A N О, если отрезок M N виден из центра шара под углом
90°, а радиус шара равен 1см.
9. Найдите отрезок с целыми концами наименьшей длины, ко­
торому принадлежит число log10 50.
10. Два равносторонних треугольника имеют общую сторону,
расстояние между их вершинами, не лежащими на общей
стороне, составляет одну треть стороны. Найдите рассто­
яние между их общей стороной и отрезком, соединяющим
третьи вершины.
11. Решите уравнение: 3 • 2v'*+1 - 8 •

+ 4 = 0.

12. В окружность радиуса R вписан правильный п -угольник,
площадь которого равна 3R 2. Найдите п.
13. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 5.
22

14. Найдите объем конуса, если радиус описанного около него
шара равен Зсм, а образующая конуса наклонена к плос­
кости основания под углом 60°.
15. Решите уравнение: logr _2 9 = 2.
16. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под
углом 45°. Найдите отношение радиусов описанного и впи­
санного в конус шаров.
17. Решите уравнение: tg(x + \ ) -f- tg(z —J) = 1.
18. В прямоугольном параллелепипеде точка пересечения диа­
гоналей нижнего основания соединена с серединой бокового
ребра отрезком длины 4 см. Этот отрезок образует с осно­
ванием параллелепипеда угол 60° и с боковой гранью угол
45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипе­
да.
19. Решите неравенство: 3* + 3*+3 > 84.
20. Площадь полной поверхности прямоугольного параллеле­
пипеда равна 160 см2. Если увеличить каждое из ребер на
2 см, то полная поверхность увеличится на 136 см2. Найди­
те длину диагонали параллелепипеда.
21. При каких значениях т трехчлен 2х2—2т+5га будет иметь
положительные значения при любых действительных зна­
чениях х?
22. Высота треугольной пирамиды равна Зсм, а боковые ребра
наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите
объем пирамиды, если в основании ее лежит треугольник с
углами 45° и 60°.
23. Решите уравнение: x 21gx = 10ж.
23

24. Точка М делит сторону В С параллелограмма ABCD в
отношении 1:3, считая от вершины В. Отрезок AM пе­
ресекает диагональ B D в точке Q. Найдите площадь тре­
угольника BQ M , если площадь параллелограмма ABCD
равна S.
25. Сколько нужно взять членов прогрессии 105,98,91,8 4 ,... ,
чтобы сумма их была равна 0?
26. Основания трапеции равны 5 и 11см, одна из боковых сто­
рон 4см, а сумма углов при нижнем основании равна 90°.
Определите площадь трапеции.
27. Докажите тождество: 4 sin4 or = 4 sin2 а -f cos2 2а.
28. Около круга описана трапеция с углами при основании 45°
и 60°. Найдите отношение площади трапеции к площади
круга.
29. При каком соотношении между числами а и 6 имеет место
равенство log3b_a (3a - b) = 1?
30. Точка М делит пополам сторону В С параллелограмма
ABCD. Отрезок AM пересекает диагональ BD в точке
Q. Найдите площадь параллелограмма, если площадь тре­
угольника BQM равна S.
31. При каком значении к трехчлен х2—2(к+2)х+(2к2-\-Зк+4)
является квадратом двучлена?
32. В правильной четырехугольной пирамиде с ребром, равным
а, все грани равновелики. Найдите объем пирамиды.
з_

33. Решите неравенство: 2 * > 0.
34. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар.
Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно
4 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания
равен 45°. Определите полную поверхность пирамиды.
24

35. Докажите тождество: tg а + 2 ctg 2 а = ctg а.
36. Определите площадь полной поверхности прямой призмы,
у которой в основании лежит равнобедренный треугольник
с углом при вершине а и противоположной стороной а,
если диагональ одной из равных боковых граней наклонена
к плоскости основания под углом /3.
37. Решите уравнение: х2 + 4 — Ь\/х2 — 2 = 0.
38. Основанием пирамиды служит равнобокая трапеция, у ко­
торой боковые стороны равны верхнему основанию и равны
8 см, а острый угол равен 45°. Боковые ребра образуют с
плоскостью основания угол 60°. Определите площадь пол­
ной поверхности пирамиды.
39. Решите систему уравнений:
40. Дан треугольник А В С , в котором А В = 6 см, АС = 7 см,
В С = 8 см. Биссектриса угла С пресекает сторону АВ в
точке D. Определите площадь треугольника ACD.
41. Решите уравнение: lg2 100я + 21gz = 20.
42. Дана правильная четырехугольная пирамида с ребром при
основании I , все грани которой равновелики. Найти пол­
ную поверхность пирамиды.
43. Найдите число членов геометрической прогрессии, в которой г>! = 3 , q =
Ьп = I f .
44. В шаре проведен диаметр АВ и две равные хорды AM и
AiV, каждая под углом 60° к диаметру. Найдите объем те­
траэдра M AN О, если отрезок M N виден из центра шара
О под углом 90°, а длина хорды AM равна 2 см.

45. Решите неравенство: log3l_ 2 ® < 1.

25

46. Высота правильной треугольной призмы равна h. Прямая,
соединяющая центр верхнего основания с серединой сторо­
ны нижнего основания, наклонена к плоскости основания
под углом а. Найдите объем призмы.
47. Докажите, что если числа а2,62, с2 составляют арифмети­
ческую прогрессию, то числа
также соста­
вляют арифметическую прогрессию.
48. Периметр равнобокой трапеции втрое больше длины впи­
санной окружности. Найдите угол при основании трапеции.
49. Вычислите: 21°6^ ^ 4- log4 9.
50. В трапецию вписана окружность радиуса 9. Точки касания
с боковыми сторонами делят их соответственно в отноше­
нии 1:3 и 1:4, считая от верхнего основания. Найдите
площадь трапеции.
51. Решите уравнение: 2sin(^ 4- х) sin(^ —х) -f- sin2 х = 0.
52. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с и в
два раза больше высоты, проведенной из вершины прямого
угла. Найдите катеты.
53. Чему равно произведение: 52 5*5^ .. . 5 ^ ?
54. Круг радиуса г проходит через центр другого круга такого
же радиуса. Найдите площадь их общей части.
55. Решите уравнение: sin 2х = tg2 я (1 4- cos 2х).
56. Окружность радиуса г проходит через центр другой ок­
ружности такого же радиуса. Найдите площадь фигуры,
ограниченной этими окружностями.
57. Вычислите: 1 —2®, если \gx = 2 1 g sin f и а = j .

26

58. В четырехугольнике, вписанном в окружность, две проти­
воположные стороны равны 4 см каждая, а две другие 3
и 5 см. Найдите диагонали этого четырехугольника.
59. Постройте график функции: у = log3(:r —2)2.
60. Вокруг четырехугольника AB C D можно описать окруж­
ность, кроме того, АВ = 3 см, D C = 5 см, В С = AD =
4 см. Найдите площадь треугольника АВС.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Направление: Математика
УСТНЫЙ ЭКЗАМЕН
1. Решите уравнение: sin2 х + 2 sin х - 3 = 0.
2. Найдите наибольшее значение функции: 2/=3sin2x+2cos2x.
3. Решите уравнение: к ^ ^ я = 6.
4. Найдите точки максимума для функции: у = sin а; —х.
5. Решите неравенство: log3 \2х - 7| < 1. *■
6. Решите уравнение: 4х 4- 6х = 9х.
7. Решите уравнение: sin2 х —sin х = 0.
8. Постройте график функции: у = | ^ 2р
9. Решите неравенство: 9х < 3х + 2.
10. Решите уравнение: 2Х+2 + 22х_1 = 3 • 8х-1.
11. Найдите первый член и сумму п членов геометрической
прогрессии, в которой Ьп = 192, q = 2, п = 7.
12. Решите уравнение:

= 4 sin х + 6 cos х.
27

13. При каких значениях ж справедливо равенство ^(ж 2-10ж-{25) = 21g(5 - ж ) ?
14. Решите неравенство: ^ р з > 2^+3 +i •
Г3* - 22у = 77,
15. Решите систему уравнений: { ,
16. Что больше: гпг или Д - ?
lg 2
*6 2
17. Решите уравнение: 1 —cos ж = 2 sin f .
18. Постройте график функции: у = |2 - х - ж2|.
19. Найдите сумму: 502 - 492 + 482 - 472 + • • • + 22 - 1.
20. Решите уравнение: у/х2 —7ж = у/2.
21. Решите неравенство: |ж2 + х —6| < 2.
22. Как изменится знаменатель прогрессии, если порядок ее
членов заменить на обратный?
23. Решите уравнение: 5х" 1 = 10х • 2_х • 5Х+1.
24. Решите неравенство: у/2 —х > 1.
25. Решите уравнение: sin 5ж = sin 2ж cos Зж.
26. Найдите область допустимых значений аргумента ж для
функции у = log(§ + 1) - log(f - 1).
27. Решите уравнение: у/х —

= 1.

28. Постройте график функции: у = ж2 - 5|ж| + 4.
29. Найдите ж, если

9 = 2.

30. Решите уравнение: cos ж -f cos 2ж = 0.
28

31-60 - см. задачи с четными номерами для специальностей:
Прикладная математика и информатика, Прикладная информаг
тика.

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
Олимпиада «Абитуриент —юный экономист», 2001 г.
Вариант 1
1. Решите неравенство: V25 - х 2 • log2x-3 (х2 —4х + 4) < 0.
2

2. Найдите все пары чисел (я,у), удовлетворяющие уравне­
нию л/4 —х2(4у2 - 4у • cos 2пх + 1) = 0.
3. На два вакантных места в студенческом совете универси­
тета имелось четыре кандидата: Илья, Филипп, Алена и
Юрий. Выборы были тайными: на заседании совета были
розданы бюллетени с четырьмя именами, и каждый студент
вычеркнул две фамилии. По итогам голосования Филипп
набрал больше всех голосов - 10, а Илья меньше всех - 7.
Сколько студентов было на заседании?
4. Два отрезка, параллельные основанию треугольника, де­
лят площадь этого треугольника в отношении 1:2:1, счи­
тая от вершины. Найдите длины этих отрезков, если осно­
вание треугольника равно Ь.
5. При каких значениях параметра а каждое решение не­
равенства х 2 > х + о? является решением неравенства
(О.б)*2- 31 < (§)°+21?
6. Решите систему:

х 2 + 81 = 2яу2,
х2 + У2 + 81 = 18я + 3у.

Вариант 2
1. Решите неравенство: у/16 - х 2 • log3*-i (я2 —2х + 1) < 0.
29

2. Найдите все пары чисел (ж, у), удовлетворяющие уравне­
нию л/25 - ж2 (9у2 - 6у • cos |ж + 1) = 0.
3. На два вакантных места в совете директоров имелось че­
тыре кандидата: г-н Грин, 1>н Вайт, i^ h Смит и г-н Браун.
Выборы были тайными: на заседании совета были розданы
бюллетени с четырьмя фамилиями, и каждый член совета
вычеркнул две фамилии. По итогам голосования г-н Браун
набрал больше всех голосов - 8, а г-н Смит меньше всех б. Сколько человек было на заседании?
4. Два отрезка, параллельные основанию треугольника, де­
лят площадь этого треугольника в отношении 1 :1 :2 , счи­
тая от вершины. Найдите длины этих отрезков, если осно­
вание треугольника равно Ь.
5. При каких значениях параметра а каждое решение не­
равенства х2 > х + а2 является решением неравенства
(0 )7 ) х2-2х <

б. Решите систему:

( х2+

64'
6

= жу2,

| з 2 + у!f2 + 64 = 16ж + 4у.

Вариант 3
1. Решите неравенство: \/36 —х2 • log^ -s (ж2 —6ж + 9) < 0.
2

2. Найдите все пары чисел (я,у), удовлетворяющие уравне­
нию л/36 - ж2 (4у2 - 4у • cos |ж + l) = 0.
3. На два вакантных места в профкоме имелось четыре канди­
дата: г-н Иванов, г-н Петров, г^н Рыжов и г-н Сидоров. Вы­
боры были тайными: на заседании профкома были розданы
бюллетени с четырьмя фамилиями, и каждый член проф­
кома вычеркнул две фамилии. По итогам голосования г-н
Петров набрал больше всех голосов - 7, а г-н Рыжов меньше
всех - 4. Сколько человек было на заседании?
30

4. Два отрезка, параллельные основанию треугольника, де­
лят площадь этого треугольника в отношении 2:3:3, счи­
тая от вершины. Найдите длины этих отрезков, если осно­
вание треугольника равно Ь.
5. При каких значениях параметра а каждое решение не­
равенства х2 > Зх + а2 является решением неравенства
(0,625) i 2- 5x < (1,6)а+21?
6. Решите систему:

х2 4- 36 = Зху2,
х2 -f 2у2 + 36 = 12х + 4у.
Вариант 4

1. Решите неравенство: л/49 —х2 • logs*-2i (х2 - 10х -f 25) < 0.
2. Найдите все пары чисел (х,у), удовлетворяющие уравне­
нию л/4 —х2(9у2 - 6у • cos Зтгх + 1) = 0.
3. На два вакантных места в правлении компании имелось че­
тыре кандидата: г-н Мудрый, г-н Гениальный, г-н Талан­
тливый и г-н Ловкий. Выборы были тайными: на заседании
правления были розданы бюллетени с четырьмя фамилия­
ми, и каждый член профкома вычеркнул две фамилии. По
итогам голосования г-н Мудрый набрал больше всех голо­
сов - 9, а г-н Ловкий меньше всех - 6. Сколько человек
было на заседании?
4. Два отрезка, параллельные основанию треугольника, де­
лят площадь этого треугольника в отношении 2:1:5, счи­
тая от вершины. Найдите длины этих отрезков, если осно­
вание треугольника равно Ь.
5. При каких значениях параметра а каждое решение не­
равенства х2 > 5х + а2 является решением неравенства
(О.в)*2- 6* < (1,25)2о+х?
31

6. Решите систему:

х 2 + 4 = 4ху2,
х 2 + у2 4- 4 = 4х + у.

Решение заданий первого варианта
1.1. Ответ: х Е (§;3] и {5 }.

Решение. Областью допустимых значений данного неравен­
ства служит множество ( |; 2) U (2; |) U (§; 5 ] . Заметим, что со­
множитель %/25 —х 2 всегда принимает неотрицательные значе­
ния. Данное неравенство выполняется в двух случаях: когда
второй сомножитель принимает неположительные значения или
когда первый сомножитель равен нулю. При этом из решений по­
лучившихся таким образом неравенств и уравнения, надо взять
только те, которые входят в ОДЗ исходного неравенства.
Начнем с неравенства: log2x-3 (х2 - А х 4-4) < 0. Так как осно­
вание логарифма содержит х и так как свойства логарифмиче­
ской функции различны при основании большем или меньшем
единицы, то рассмотрим два случая.
а) Пусть х Е (§;2) U (2; | ) , т. е.
< 1. Тогда ло­
гарифмическое неравенство равносильно (в ОДЗ) квадратному:
х2 - 4х 4- 4 > 1, решения которого х Е (-оо; 1] U [3; оо) не при­
надлежат рассматриваемому множеству.
б) Пусть х 6 ( ! ;5 ], т.е.
> 1. Тогда множество решений
логарифмического неравенства совпадает с множеством решений
неравенства х2 — 4х + 4 < 1, т. е. х Е [1; 3]. Таким образом,
рассматриваемому промежутку принадлежит множество ( |; 3] .
Теперь рассмотрим уравнение у/25 - х 2 = 0. В ОДЗ данного
неравенства входит лишь один корень х = 5. Объединяя множе­
ства решений логарифмического неравенства и иррационального
уравнения, приходим к ответу задачи.
В самом начале решения этого неравенства многими была до­
пущена ошибка - сразу отброшен первый сомножитель, что при­
вело к расширению ОДЗ. Кроме того, теряется решение х = 5
(в этом случае первый сомножитель равен нулю, а второй при­
нимает положительные значения).
32

1.2.

От вет :

(2; у),

( - 2 ; у),

у £ К;

(&;^),

&=

- 1 ,0 ,1 ;

(2 + ^ ; —2), 71 = —2, —1 , 0 , 1 .

Реш ение. Решение данной задачи будем искать на множе­
стве: |х| < 2. Найдем значения неизвестных (я, у), при которых
каждый из множителей равен нулю.
л/4 - х 2= О я = ± 2, при этом у может принимать любые
действительные значения. Таким образом, пары (2; у), (—2; у)
определяют нули первого сомножителя. Преобразуем второй со­
множитель и перепишем равенство в виде:
(2у - cos 27гя)2 + (1 — cos2 2жх) = 0.
Так как 1 -c o s 2 27гя > 0, (2у—cos27rz)2 > 0, то данное равенство
равносильно системе:
I 2у = cos 27га;,
cos2 27га; = 1.
С учетом ОДЗ, получаем множество пар вида: (А;;^), к =
- 1 ,0 ,1 ; (| + 7i ; —|), п = - 2 , - 1 , 0 , 1 . Объединение корней ка^
ждого из сомножителей исходного уравнения приводит к ответу
задачи.
При решении этой задачи многие забыли о том, что нужно
найти пары чисел (а;, у), поэтому в ответ писали: х = ± 2, а это
неверно.
Еще одна не менее грубая ошибка: не был произведен отбор
корней с учетом ОДЗ. Эти два момента сделали такую простую
задачу едва ли не самой трудной.
1 .3 . Ответ: 17.
Реш ение. Пусть a i - число голосов, набранных Ильей, а 4 число голосов, набранных Филиппом, а 2 и аз - число голосов,
набранных Аленой и Юрием соответственно, х - число студен­
тов, присутствовавших на заседании. Не ограничивая общности,
можно считать, что а 2 < аз33

Так как число голосов, набранных всеми кандидатами, равно
2ж, то условие задачи можно переписать в виде:

(й\ И-а 2 И-аз ~Ьа4 =
а 1 < 0>2 < ^3 < ^4 ,

2х,

ai + - 2 т - а, ко­
торое перепишем в виде:
(т - \ ) 2 > \ - а. Первое
неравенство данной зада­
чи можно записать так:
( ж _ 1 ) 2 > а 2 + 1.

Рассмотрим многочлены
P i(z) = ( z - i ) 2 - a 2 - i и
Р2{х) = { х - \ ) 2+ а - \ . Их
графиками являются наг
раболы с осью симметрии
х = \ (см. рис. 5).
Легко видеть, что условие задачи будет выполнено тогда и
только тогда, когда вершина параболы Pi будет находиться ни­
же вершины параболы Р2. Запишем это условие в виде нера­
венства: а2 4- \
\ —а. Решение этого неравенства приводит к
ответу задачи.
1.6. Ответ: (9;3).
Решение. Перепишем второе уравнение системы в виде: (т —
9)2 = 3у - у2. Так как (т - 9)2 > 0, то у(3 - у) > 0, т.е.
У € [0; 3]. Из первого уравнения системы следует, что х мо­
жет принимать лишь положительные значения. Кроме того,
2у2 = х + ~ = {у/х - ^=)2 + 18 > 18, т.е. |у| > 3. Оба эти
условия выполняются при единственном значении у = 3. Если
исходная система имеет решения, то это будут пары вида (ж;3).
Подставив у = 3 в систему, получаем х = 9.
Систему можно решить немного иначе. Достаточно рассмо­
треть первое уравнение как квадратное относительно х .

Ответы для остальных вариантов.
2.1. (|;2 ]U {4 }; 2.2. (-5 ;» ), (5;у), у € R; (4 п ;|), » = - 1 ,0 ,1

35

£»■ M | o -

[0; +oo); 4.6. (2; 1).
ИНСТИТУТ ЭКОНОМ ИКИ И У П РАВЛ ЕН И Я
Специальности: Н ациональная эконом ика, Финансы
и кредит, Э коном ика труда, К ом м ерция,
Государственное
и м униципальное управление, М ировая эконом ика,
М ен едж м ен т организации.
Письменны й экзам ен
Д н ев н ое отделение
Вариант 1

1. Решите уравнение: 5 cos t -f cos 21 = 2.
2. Решите систему неравенств при всех значениях парамех2 - 9 < 0,
тра а :
х > log3 9°.
3. Стороны треугольника равны 29, 25 и 6 см. Найдите радиус
окружности, проведенной через середины сторон треуголь­
ника.
4. Решите уравнение: 16х2~х~г + э*2- * - 1 = 25 • 12х2~х~2.
5. Строительная компания получила заказ на строительство
некоторого количества одинаковых жилых домов с общей
жилой площадью 90 000 м2. Затраты на постройку одного
36

дома складываются из стоимости строительства фундамен­
та и наземной части. Стоимость строительства фундамента
для дома, имеющего жилую площадь 5 м2, пропорциональ­
на VS, стоимость строительства наземной части пропорци­
ональна Sy/S. Строительство дома на 40 000 м2 обходится
в 18 млн. руб. Причем в этом случае стоимость строи­
тельства фундамента составляет 20 процентов стоимости
строительства дома. Определить, сколько нужно постро­
ить домов, чтобы сумма затрат была наименьшей.
6. Решите неравенство: V% < 3 -f

\Jх + 2х*.

Вариант 2

1. Решите уравнение: 5 sin t - cos2£ = 2.
2. Решите систему неравенств при всех значениях параме-

Гж2— 16 > о,

тра а : <
[х < log28а.

3. Стороны треугольника равны 26, 34 и 12 см. Найдите ра­
диус окружности, проведенной через середины сторон тре­
угольника.
4. Решите уравнение 25х2“3х” 1 + Зб*2- 345*-1 = 61 • ЗО*2-3*” 2.
5. Строительная компания получила заказ на строительство
некоторого количества одинаковых жилых домов с общей
жилой площадью 160000 м2. Затраты на постройку одного
дома складываются из стоимости отделочных работ и стро­
ительства корпуса. Стоимость отделочных работ для до­
ма, имеющего жилую площадь S 2, пропорциональна y/Sy
стоимость строительства корпуса пропорциональна Sy/S.
Строительство дома на 40 000 м2 обходится в 17 млн. руб.
Причем в этом случае стоимость отделочных работ со­
ставляет 25 процентов стоимости строительства корпуса.
37

Определить, сколько нужно построить домов, чтобы сумма
затрат была наименьшей.
б. Решите неравенство: у/х < 1

у я -f 2ам.

Вариант 3
1. Решите уравнение: 7 cost —cos2t = 4.
2. Решите систему неравенств при всех значениях парамеж2 - 4 < О,
тра а :
х > log327a.

{

3. Стороны треугольника равны 23, 19 и 6 см. Найдите радиус
окружности, проведенной через середины сторон треуголь­
ника.
4. Решите уравнение: 2Б2х~х2+1 + 92а7_;г2+1 = 34 • 1Б2х~х2.
5. Строительная компания получила заказ на строительство
некоторого количества одинаковых коттеджей с общей жи­
лой площадью 40 000 м2. Затраты на постройку одного кот­
теджа складываются из стоимости строительства фунда­
мента и наземной части. Стоимость строительства фунда­
мента для коттеджа, имеющего жилую площадь S м2, про­
порциональна y/Sj стоимость строительства наземной ча­
сти пропорциональна Sy/S. Строительство коттеджа пло­
щадью 10 000 м2 обходится в 4,5 млн. руб. Причем в этом
случае стоимость строительства фундамента составляет 20
процентов стоимости строительства коттеджа. Определить,
сколько нужно построить коттеджей, чтобы сумма затрат
была наименьшей.
6. Решите неравенство: у/х < 2 -f \Jх + ам.

38

В ар и ан т 4
1. Решите уравнение: 7 sin £ + cos2£ = 4.
2. Решите систему неравенств при всех значениях парамеГа;2 —25 > О,
тра а : <
\ х < log24а.
3. Стороны треугольника равны 13,17 и 6 см. Найдите радиус
окружности, проведенной через середины сторон треуголь­
ника.
4 . Решите уравнение: i *2- * - 1 -f

_ 13 . gx2-a:-2>

5 . Строительная компания получила заказ на строительство
некоторого количества одинаковых коттеджей с общей жи­
лой площадью 250 000 м2. Затраты на постройку одного до­
ма складываются из стоимости отделочных работ и монта­
жа здания. Стоимость отделочных работ для дома, имею­
щего жилую площадь S м2, пропорциональна y/S, стои­
мость монтажа здания пропорциональна SV S. Строитель­
ство коттеджей общей площадью 40 000 м2 обходится в 61
млн. руб. Причем в этом случае стоимость отделочных
работ составляет 25 процентов стоимости монтажа здания.
Определить, сколько нужно построить коттеджей, чтобы
сумма затрат была наименьшей.
6. Решите неравенство: у/х < 3 + \ J х + ж*.
Реш ение заданий первого варианта
1 .1 . О тв ет: ± 7г + 27гп, п 6 Z.
Решение. Воспользуемся формулой cos2£ = 2 cos2£—1 и пере­
пишем уравнение в виде: 2 cos2 £+5 cos£-3 = 0. Замена перемен­
ной х = cos£ приводит уравнение к квадратному 2а?2-|-5х —3 = 0.
На отрезке [—1; 1] это уравнение имеет лишь один корень: х =
39

Обратная замена приводит к решению простейшего тригономе­
трического уравнения, что дает ответ задачи.
Самой распространенной ошибкой при решении этой задачи
было то, что квадратное уравнение решалось на всей числовой
оси. Это приводило к уравнению cost = —3, которое многие
решали!!!
Запись t = ± arccos(—3)-Ь2тг7г даже нельзя считать посторон­
ним решением, т. к. она вовсе не имеет смысла.
1 .2 . Ответ: а е ( - о о ; - § ] , х 6 (-3 ;3 ); а 6 ( - § ; § ) , х е
[2а; 3); а 6 [ f ; + o o ) , 0Решение. Заметим, что lofo 9а = 2а. Тогда данную систему
Гх2 _ g 2а.

’

Решением первого неравенства служит интервал (—3; 3), а
второго - промежуток [2а; +оо). В зависимости от расположения
точки х = 2а на числовой оси, получаем ответ задачи.
1.3. Ответ: Щ .
Решение.
Рассмотрим А АВС.
Точки М,
JV,
Р - середи­
ны сторон А В ,
В С и АС
соответственно (рис. 6).
Так
как стороны A M N P являют­
ся средними линиями
ААВС1
то площадь Sm n p =
\ S abcПо формуле Герона S abc
=
v /30 .(30 - 29) (30 - 25) (30 - 6)
=
60 (см2), S m n p = 15 (см2). ОкружРис. 6
ность, проходящая через точки М,
N 1 Ру будет описанной около A M N P . Ее радиус R можно вы­
числить по формуле R =
где а, 6, с - длины сторон тре2 9 . 25,6

угольника M N Р} a S - его площадь. Итак: R = ~2 -А\ ^ - = ^
(см). При решении этой задачи многие допустили ошибку, считая
окружность, проходящую через точки М, N и Р , вписанной в

ААВС.
40

1.4. Ответ: { —1; 0; 1; 2}.
Peuienue. Замена переменной t = х 2 - х - 2 приводит данное
уравнение к виду: 16 •16* + 9 •9* = 25 •12*.
Поделив обе части уравнения на 12*, получим уравнение
16‘(з )*+ 9 (| )* = 25, равносильное данному. Сделаем еще одну за­
мену переменных: и = (|)*, и > 0. Тогда уравнение примет вид:
16и + ^ = 25. Решение этого уравнения сводится к решению ква­
дратного уравнения 16и2 - 25и + 9 = 0, корни которого щ
^
и и2 = I позволяют найти соответствующие значения для ty а
именно: ti = —2, t2 = 0. Решение уравнений: х 2 —х —2 = —2 и
х 2 - х - 2 = 0 дает ответ задачи.
1.5 . Ответ: 9.
Решение. Предположим, что решено построить п одинако­
вых домов. Обозначим через х стоимость строительства одного
дома. Пусть у - общая стоимость строительства. Тогда спра­
ведливо равенство у = хп, а жилая площадь одного дома равна
S = -9°в°° (м2) . Стоимость одного дома складывается из стои­
мости и наземной части и стоимости v фундамента. При этом
х = и + v. По условию задачи v = a\/S, и = /35\/5, где а и
/? - коэффициенты пропорциональности. В частности, при стро­
ительстве дома на 40 000 м2, учитывая, что стоимость строи­
тельства фундамента составляет 20% стоимости строительства
дома, получаем: а •л/4 •104 = 0 ,2 •18 •106, т. е. а = 18 •103. Из
равенства 18-106 = а\/4 •104+/?4-104\/4 •104 получаем: (3 = 1,8.
Итак:
у = п(18 •103\/5 + 1,8 Sy/S)
5 =

9-104
71

'

Запишем у как функцию от п :

и найдем ее наименьшее значение.

Заметим, что у/п +

=

Причем знак равенства достигается лишь

41

тогда, когда у/п — =, т. е. для п = 9. Очевидно, что при этом
п функция у достигает своего наименьшего значения.
1.6. Отеетп: х Е [0;+оо).
Решение. Областью допустимых значений данного неравен­
ства служит промежуток [0;+оо). При этом, х + 2х* > х. Сле­
довательно, 3 + \ J х 4- 2x4 > yjх + 2x4 > у/х, т. е. при всех до­
пустимых значениях х данное неравенство справедливо.
Эта задача вызвала немало трудностей среди абитуриентов.
Многие из них начинали решение, возводя обе части неравенства
в квадрат. Попытка свести эту задачу к решению рационального
неравенства приводит к громоздким выкладкам. Многие бросали
решение, так и не доведя его до конца. Но обиднее всего было
читать решения, в которых все преобразования были сделаны
правильно, но при написании ответа не учитывалось ОДЗ.

Ответы для остальных вариантов
2.1. (-1 )п| + 7гп, n Е Z; 2.2. а Е (—оо;—|], х Е (-оо;За);
а € (—f; f], * € ( - о о ; - 4 ] ; а € ( |; + о о ) , * 6 (—оо; -4] U [4; +оо);
2.3.
2.4. { 2 ^ ; 0 ; 3 ; 2 ± ^ } ; 2.5. 16; 2.6. [0; +оо); 3.1.
± § + 2ят1, п 6 Z; 3.2. а € ( - о о ; - § ] , х £ (—2;2); а е (—§;§),
х € [За; 2); а € [§;+«>), 0; 3.3. j^ L ; 3.4. {- 2 ; 0; 2; 4}; 3.5.
16; 3.6. [0;+оо); 4.1. (-1 )п^ + 7Г7г, п Е Z; 4.2. а Е (—оо; —|],
х Е (—оо;2а); а Е (-§ ;§ ], х Е (—оо; —5]; а Е (§;+оо), х Е
(—0°; “ 5] U [5; 2а); 4.3.
4.4. {-1 ;0 ;1 ;2 }; 4.5. 25; 4.6.
[0;+оо).

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
Заочное отделение
Письменный экзамен
Вариант 1
1. Решите уравнение: co s(| - х) cos(?r + х) =
42

2. Решите уравнение:

= 0.

3. Найдите область определения функции:
1

У = lg(4 - х) 4- у/х + 3.
4. Решите уравнение:
6 • (0, lb )2- 2*-** - (0, 75)*2+2х_2 = 5logl2S 64 - 3.
5. Решите неравенство: у/х + 1 < 3 + уж + 2 х 4+1.
6. Стороны треугольника равны 29, 25 и 6 см. Найдите радиус
окружности, проведенной через середины сторон треуголь­
ника.
Вариант 2
1. Решите уравнение: sin(f —х) sin(7r + х) =
2. Решите уравнение:

= 0.

3. Найдите область определения функции:
У=

1

lg(2 - *)

+ у/ х + 1.

4. Решите уравнение: 12 • 3456-5*-*г _ 3*’+5*-б _ 2l°g» 27 _ 2.
5. Решите неравенство: у/х — 1 < 1 + у х -|- 2z« —1.
6. Стороны треугольника равны 26, 34 и 12 см. Найдите ра­
диус окружности, проведенной через середины сторон тре­
угольника.

43

Вариант 3
1. Решите уравнение: c o s ^ -f х) cos(тг - х) =
2. Решите уравнение:

= 0.

3. Найдите область определения функции:
1

У = lg(3 - х) + Vx + 2.
4. Решите уравнение:
6 • (0, 25)2~2х- х2 - (0,25)1421- 2 = 3log” 64 - 3.
5. Решите неравенство: у/х + 1 < 2 + \Ае +

я* + 1 .

6. Стороны треугольника равны 23,19 и 6 см. Найдите радиус
окружности, проведенной через середины сторон треуголь­
ника.

Вариант 4
1. Решите уравнение: sin(^L+ х) sin(?r - х) =
2. Решите уравнение:

= 0.

3. Найдите область определения функции:
1
У = lg(5 - х) + \/аГ+4.
4. Решите уравнение: 12 • 92а;+36 ^ —дх2-2х-35 = 41°бв427 _ 2.
5. Решите неравенство: у/х —1 < 3 + \/яН-я* —1.
44

6. Стороны треугольника равны 13, 17 и 6 см. Найдите радиус
окружности, проведенной через середины сторон треуголь­
ника.

Решение заданий первого варианта
1.1. О т в е т : ( - l ) n+1^ +
п Е Ъ.
Решение. В левой части уравнения применим формулы при­
ведения и двойного аргумента: cos(|- — a)cos(;r + i ) = —since •
cos x = - | s i n 2 x . Тогда уравнение примет вид: sin 2а; = —| , ре­
шение которого приводит к ответу.
В решении этой задачи было допущено много ошибок: ариф­
метических, а также вследствие неправильного использования
формул (приведения, преобразования произведения косинусов в
сумму и т. д.).
1.2. О т в е т : а Е (-оо ; 4) U (4; 6) U (6;-foo), £ б { 2 ; 3 } ; а = 4,
2 = 3; а = 6, х = 2.
Решение. Область допустимых значений данного уравнения:
х Е (—оо; | ) U (§ ;+ о о ). Отсюда следует, что корни числителя
х\ = 2, я2 = 3 являются решениями уравнения в случае, ко­
гда ни один из них не совпадает с нулем знаменателя, т. е. при
Га ф 2,
3*
нение имеет два решения. Осталось рассмотреть случаи, когда
а — 4 и а = 6. При а = 4 знаменатель обращается в нуль при
х = 2, а значит это посторонний корень. Аналогично показыва­
ется, что при а — 6 х = 3 - посторонний корень.
1.3. О т в е т : х Е [-3 ; 3) U (3; 4).
Решение. Область определения данной функции определяет­
ся системой:
4 - х > О,

(

4 - ж / 1,
х + 3 > 0.

Решение этой системы неравенств дает ответ задачи.

45

Среди ошибок, допущенных при решении этой задачи, наибо­
лее часто встречалось отсутствие условия х ф 3 (при котором
Ig(4 —ж) = 0). Кроме того, областью допустимых значений лога­
рифмической функции многие называют неотрицательные зна­
чения аргумента, т. е. 4 —х > 0 (вместо 4 - х > 0).
1.4. О твет: - 1 ± у/3 + log0|75 2.
Решение. Используя свойства логарифмов, преобразуем сла­
гаемое к виду: 5logl2s64 = 5loes3 43 = 5logs4 = 4. Введем пере­
менную t = (0,75)а;2+2а?~2, t > 0, тогда (0 ,75)2_2:г_х'2 = - и
исходное уравнение примет вид: f — t = 1. На множестве по­
ложительных чисел это уравнение имеет единственное решение:
t = 2. Вернемся к переменной х :
(О, 75)**+2x~2 = 2

х2 + 2х —2 —logo,75 2 = 0.

Корни этого уравнения и дают ответ задачи.
Здесь важно при решении уравнения t2 + t —6 = 0 отбросить
посторонний корень (£ = —3). Много ошибок встречалось и при
использовании логарифмических формул.
1.6. О твет: х € [0;+оо).
Решение. Решение неравенства будем искать на множестве
[0;+оо). На этом промежутке справедливо неравенство: х -+

2х* + 1 > i + l. Откуда следует, что 3 -+ у х + 2х* -+ 1 >
\jx + 2ж? -+ 1 > у/х -+ 1. Таким образом, исходное неравенство
справедливо при всех допустимых значениях х.
1.6. О твет: Щ-.
Решение. См. решение задачи 1.3 дневного отделения Инсти­
тута экономики и управления.

Ответы для остальных вариантов.
2.1. (- 1 )п+1п + f 71’ r c € Z ; 2 . 2 . a G ( - о о ;-1 2 ) U (-12; - 3 ) U
(-3 ;+ о о ); х 6 {1; 4}; а = —12, х = - 1 ; а = - 3 , х = - 4 ;
23
[-1 ; 1) U (1; 2); 2.4. = ^ 1 ; 2.5. [ 1 ;+ о о ) ;2 .6 .

..

46

3.1. ( - l ) n+1t + fn , n € S ; 3.2. a 6 (-o o ;6 ) U (6;8) U (8;+oo);
x € {3; 4}; a = 6, x = 4; о = 8, x = 3; 3.3. [-2; 2) U (2; 3); 3.4.
= 2^ S ; 3.5. [0; +oo); 3.6.

4.1. ( - l ) n+1| + fn , n € Z;

4.2. a 6 (—oo; —15)U(—15; —6)U(—6;+oo); x € { - 2 ; 5 } ; a = - 1 5 ,
x = —2; a = - 6 , x = —5; 4.3. [-4 ; 4) U (4; 5); 4.4.
4.5.

4-6- «$sИ Н С ТИ Т У Т ЭКО НО М И КИ И У П РА ВЛ ЕН И Я
Специальность: М атематические методы в экономике
Письменный экзамен
См. варианты письменного экзамена на математическом фаг
культете, специальность: Прикладная информатика.

И Н С ТИ Т У Т ЭКО НО М И КИ И У П РА ВЛ ЕН И Я
Специальность: М атематические методы в экономике
Устный экзамен
См. пакет задач для устного экзамена, проводившегося на
математическом факультете, по специальностям: Прикладная
математика и информатика, Прикладная математика.

Ф И ЗИ Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т
Олимпиада
Вариант 1
1. (2 балла). Решите неравенство: х —у/1 —\х\ < 0.
2. (2 балла). Сколько решений на отрезке [—1; 10] имеет урав­
нение cos34 х + 0 ,5\/3 = sin4 xl
3. (2 балла). Путешественник, стоящий на берегу реки ши­
риной 1 км, хочет переправиться на другой берег в прямо
противоположную точку. Сколько времени ему потребует­
ся на это, если скорость течения реки 2 км/ч, а плывет он
со скоростью 2,5 км/ч?

47

4. (3 балла). Решите систему:
log9( * 2 + 1) - 1о&(у - 2) = о,
log2(x2 - 2у2 + 10у - 7) = 2.
5. (3 балла). Две окружности касаются внутренним образом.
Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пе­
ресекает большую окружность в точках А и Z), и меньшую
- в точках В и С, причем А В : В С : C D = 2 : 4 : 5 . Найти
отношение радиуса большей окружности к радиусу мень­
шей окружности.
6. (4 балла). Найти все значения параметра р, при которых
уравнение (4р - 13)9^ -f- 4 •З*-1"0,5 —4р = 0 не имеет корней.
7. (4 балла). Решите уравнение: (х2 + 4я) + 11л/х + 2 = 34.
8. (5 баллов). Л уч света, выпущенный из точки (0; 0) в наг
правлении точки (2; 1), отражается от прямой х + 2у = 3
по закону «угол падения равен углу отражения». Найти
точку пересечения отраженного луча с осью абсцисс Ох.
Система координат Оху на плоскости - прямоугольная.

Вариант 2
1. (2 балла). Решите неравенство: х - у/3 - А\х\ < 0.
2. (2 балла). Сколько решений на отрезке [—1; 10] имеет урав­
нение sin34 х + 0, Ъу/ 2 = cos4х?
3. (2 балла). Турист переправился вплавь с одного берега ре­
ки на другой в прямо противоположную точку за 0,5 ч.
Какова ширина реки, если скорость ее течения 2 км/ч, а
турист плавает со скоростью 2,5 км/ч?

48

4. (3 балла). Решите систему:

{

logg(x2 + 2) + log81(y2 + 9) = 2,
21og4(x + у) - log2(x - у) = 0.

5. (3 балла). Две окружности касаются внутренним образом.
Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пе­
ресекает большую окружность в точках А и Z), и меньшую
- в точках В и С, причем АВ: ВС: CD = 1:4:2. Найти
отношение радиуса большей окружности к радиусу мень­
шей окружности.
6. (4 балла). Найти все значения параметра р, при которых
уравнение (3р - 13)4х -f 2Х+3 - 4р = О не имеет корней.
7. (4 балла). Решите уравнение: (ж2 + 12ж) + 7у/х + 6 = 66.
8. (5 баллов). Луч света, выпущенный из точки (0;0) в на­
правлении точки (4; 1), отражается от прямой х + 2у = 3
по закону «угол падения равен углу отражения». Найти
точку пересечения отраженного луча с осью абсцисс Ох.
Система координат Оху на плоскости - прямоугольная.

Вариант 3
1. (2 балла). Решите неравенство: 4ж —д/ l - 2|ж| < 0.
2. (2 балла). Сколько решений на отрезке [—1; 10] имеет урав­
нение 2 cos3
4 х —д/З = 2 sin4 ж?
3. (2 балла). Охотник переправился вплавь с одного берега
реки на другой в прямо противоположную точку за 50 мин.
Найдите скорость течения реки, если ее ширина 1,25 км., а
охотник плавает со скоростью 2,5 км/ч.
49

4. (3 балла). Решите систему:

{

Iog3(x - 2) - log9(y2 + 1) = О,

l°g2(У2 ~ 2х2 + 10ж - 7) = 2.

5. (3 балла). Две окружности касаются внутренним образом.
Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пе­
ресекает большую окружность в точках А и D, и меньшую
- в точках Б и С, причем A B :B C :C D = 1: 4:6. Найти
отношение радиуса большей окружности к радиусу мень­
шей окружности.
6. (4 балла). Найти все значения параметра р, при которых
уравнение 4р • 25х + 4 • 5Х+0,5 - 2 р + 11 = 0 не имеет корней.
7. (4 балла). Решите уравнение: (х2 + 10х) + 9у/х + 5 = 83.
8. (5 баллов). Луч света, выпущенный из точки (0;0) в на­
правлении точки (3; 2), отражается от прямой 2х + Зу = 6
по закону «угол падения равен углу отражения». Найти
точку пересечения отраженного луча с осью абсцисс Ох.
Система координат Оху на плоскости - прямоугольная.

Вариант 4
1. (З.балла). Решите неравенство: Зя — у/2

—

|я| < 0.

2. (2 балла). Сколько решений на отрезке [—1; 10] имеет урав­
нение 2 sin34 х —у/2 = 2 cos4 х ?
3. (2 балла). Спортсмен переправился вплавь с одного берега
реки на другой в прямо противоположную точку за 30 мин.
С какой скоростью он плыл, если ширина реки 750 м, а ско­
рость ее течения 2 км/ч?
50

4. (3 балла). Решите систему:
| logeil®2 + 9) + logg(y2 + 2) = 2,
\lo g 2(y ~ *) - 21og4(a + у) = 0.
5. (3 балла). Две окружности касаются внутренним образом.
Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пе­
ресекает большую окружность в точках А и D, и меньшую
- в точках Б и С, причем А В : В С :CD = 2 :4 :3 . Найти
отношение радиуса большей окружности к радиусу мень­
шей окружности.
6. (4 балла). Найти все значения параметра р, при которых
уравнение р • 4Х+1 -f 2Х+2,5 —5р + 11 = 0 не имеет корней.
7. (4 балла). Решите уравнение: (х2 -f 8х) + Ъл/х + 4 = 80.
8. (5 баллов). Луч света, выпущенный из точки (0;0) в на­
правлении точки (3; 1), отражается от прямой 2х + Зу = б
по закону «угол падения равен углу отражения». Найти
точку пересечения отраженного луча с осью абсцисс Ох.
Система координат О ху на плоскости - прямоугольная.

Решение заданий первого варианта
1.1. Ответ: х €

1; ^ р--^ .

Решение. ОДЗ: х € [—1; 1]. Поскольку выражение, стоящее
под модулем может принимать разные знаки, рассмотрим два
случая. Если х € [—1;0], то исходное неравенство равносильно
следующему: л/1 + х > х. Левая часть неравенства неотрица­
тельна, правая - неположительна. Следовательно, неравенство
справедливо на всем отрезке [—1; 0].
На множестве (0; 1] обе части неравенства л/Т —~х > х нео­
трицательны. Это означает, что обе части неравенства можно
возвести в квадрат, смысл неравенства при этом не изменится:
51

1 — х > ж2. Решением этого неравенства служат точки интер­
вала (-—2 ^ ; ~ 1^ ^ ) , но рассматриваемому промежутку при­
надлежит лишь интервал ^0; —

. Объединяя решения двух

случаев, получаем ответ.
Заметим, что при решении этого неравенства необходимо ис­
следовать взаимное расположение точек 1 и
на числовой
оси. Без этого исследования задача не считается решенной пол­
ностью.
1.2. О т в е т : 6 решений.
Решение. Использование равенства cos4 ж —sin4 х = cos2 х —
sin2 ж = cos2x приводит исходное уравнение к виду cos2z =
Среди решений х = ± ^ т г + ятг, п Е Z , этого уравнения
выберем те из них, которые принадлежат отрезку [-1; 10]. Для
этого надо решить относительно целых п неравенства:

Г—1 < ^ 7 Г
1

<

-f 7ГП

< 10,

— у^7Г - f 7Г71 <

10.

Приведем первое из них к виду: —£ — ^ < п <
Так
как J < g, то п удовлетворяет неравенству: —| < п < | | . В
промежутке [—f;f§ ] содержатся только три целых числа: 0; 1;

2.
Аналогично находим множество целых решений неравенства
- 1 < -~7г+7Г71 < 10 : п = 1; 2; 3. Объединив решения, получаем
ответ задачи.
Решение исходного уравнения не вызвало трудностей. А вот
при отделении корней было допущено много ошибок.
1.3. О т в е т : 40 мин.
с
в
Решение. Вектор перемещения А В
(рис. 7) можно представить в виде:
А В = АС + С В , где вектор С В
совпадает с направлением течения
А
реки, а вектор А С - с направление
перемещения
путешественника.
Рис. 7

52

Пусть t - время движения (в часах) путешественника от А
до В. Тогда длина отрезка АС = 2, bt км, СВ = 21 км. Из
теоремы Пифагора следует равенство: 6,25£2 - 4 £ 2 = 1. Условию
задачи удовлетворяет лишь положительный корень t ;= § этого
уравнения.
1 .4 . О т в ет : (-л /3 ;4 ), (л/3^4)._
Решение. Так как loggfy - 2) = 2 log9(у - 2), то исходную
систему можно привести к виду:
f х 2 + 1 = (у — 2)2,
\ ( у - 2)2 - 2у2 + 1 0у'- 7 = 4.
Применение потенцирования привело к расширению области до­
пустимых значений, поэтому в конце решения необходимо сде­
лать проверку.
,
t - i ii ..
Второе уравнение преобразбванной системы имеет два реше­
ния: г/i = 2, у 2 — 4. Корень у\ *= 2 - посторонний. Корню
? /2 = 4 соответствуют два значения: Si —л/З»
= \/3*
Проверка показывает, что (—л/3; 4) и (\/3 ;4 ) удовлетворя­
ют исходной системе. В этой задаче проверка является обязаг
тельным этапом решения. Либо необходимо выписать область
допустимых значений, что в данной задаче более сложно, чем
проверить найденные решения.
1 .5 . Ответ: 4.
■ -.. - .
Решение.
Пусть радиус меньшей
окружности равен г, а радиус боль­
шей окружности - i?,‘ АВ = 2о. То­
гда В С = 2г (рис. *8). Поскольку
A B :B C :C D = 2 :4 :5 , то ВС = 4а =
2г, C D = 5а, 0 \D = 0 \С + CZ) =
7а, А 0 \ — 4а. M N и AD - хорды
большей окружности, пересекающиеся
Рис. 8
в точке 0 \ . :
Для них справедливо (^отношение: М О \
AQ \ -O i D l т.е.
r(2i? -j .г) = 4а -7 ^ откуда, Л = 8cj а. Д j= 4... v -

53

1.6. Ответ: (J;3).
Решение. Сделаем замену переменной: 3х = у, у > 0, Тогда
получим уравнение: (4р - 13)у2 4* 4\/Зу - 4р = 0. Это уравнение
линейное при р = j и квадратное при остальных значениях р.
При р = ” уравнение имеет положительный корень у =
а
значит и исходное уравнение имеет корень.
Теперь рассмотрим р ф
Здесь важно не упустить все слу­
чаи, которые обеспечат отсутствие корней у исходного уравне­
ния: а) квадратное уравнение не имеет корней; б) оба корня не­
положительны. Случай а) имеет место, если D = 4(12 + 4 р (4 р 13)) = 16(3 + 4Р2 - 13р) < 0, т.е. при р € (*; 3).
Рассмотрим случай б). Если квадратное уравнение имеет хо­
тя бы один нулевой корень, то свободный член -4 р = 0, т. е.
р = 0. При этом второй корень у =
> 0 и решение х суще­
ствует Выпишем условия, при которых оба корня квадратного
уравнения отрицательны:
-1 3 р > 0 ,

^>о.
Эта система не имеет решений, а значит множество решений ис­
ходной задачи есть интервал (£;3).
Заметим, что в этой задаче легко получить правильный от­
вет при неправильном решении. Многие абитуриенты не рассмаг
тривали случай б) и случай линейного уравнения. При таком
решении задача не засчитывалась.
1.7. Ответ: 2.
Решение. Область определения исходного уравнения - про­
межуток [-2;+ оо). Нетрудно видеть, что х = 2 - корень дан­
ного уравнения. Покажем, что других корней нет: Так как на
прбмежутке [—2; +оо) левая часть - монотонно возрастающая
функция, причем 2 € [-2;-foo), значит исходное уравнение име­
ет единственный корень.

54

1.8. Ответ: Ц.

Решение. Пусть А ж В
- точки пересечения пря­

У

мой х + 2у = 3 с осями
координат (рис. 9). Луч
света движется вдоль пря­
мой OQ, Р - точка перех сечения отраженного луча
с осью Ох. Отразим ось
Рис. 9
абсцисс симметрично пря­
н и н АВ.
/ш .
мой
л
Пусть R - точка пересечения отраженной оси с прямой PQ.
Тогда AAQP = &AQR.
Действительно, AQ - общая сторона, Z0AQ = Z.QAR (по
построению), /IRQА = ZBQO (как вертикальные), Z.BQO =
Z.AQP (дополнительные до прямых углов при отражении луча
OQ от зеркала А В ). Таким образом, LAQP = ZEQA, что и
доказывает равенство треугольников.
Справедливо равенство: O P = ОА —РА = О А - ЛА, где
ОА = 3. Найдем RA. Д ля этого напишем уравнение прямой
RA. Ее угловой коэффициент к = tg(jr - 2а) =
где tg a =
Прямая АЛ проходит через точку А(3;0), поэтому
уравнение прямой имеет вид: у = - | х + 4. Координаты точки
Л пересечения прямых OQ и АЛ удовлетворяют системе урав­
нений;

Найдем расстояние между точками А и Л :
АЛ
Поэтому ОР = 3 - Л = If.
55

Ответы для остальных вариантов
2.1. [—f ; V7 —2) ; 2.2. 8; 2.3. 0,75 км.; 2.4. (5; 0); 2.5. 2; 2.6.
( i ;4 ) ; 2.7. 3; 2.8. *§; 3.1.
3.2. 8; 3.3. 2 км/ч;.
3.4. (
4
(4; V3); 3.5.
3.6. [0;
; 3.7. 4; 3.8. § ;
4.1. [ - 2 ; ^ ± ) ; 4.2. 6; 4.3. 2,5 км/ч.; 4.4. (0;5); 4.5. 3; 4.6.
[0; U ) ; 4.7. 5; 4.8. ff.

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Специальности: Физика, Физика конденсированного
состояния, Тепловые электрические сети
ПисЫменныН экзамен
Вариант 1
1. Решите уравнение: 2у/х2 —1 -f 4 = х2.
. % При каком, значении х функция у ^ l o g x , ^ ^ принимает
положительные значения?
~3. Решите уравнение: 2 cos2 2х -f ,cos 4x —2 = 0.
4. В квадрат вписан другой'квадрат. Один из острых углов между сторонами, квадратов равен ot* При каком значении а
-площадь .вписанного квадрата составляет § площади опи2
санного?
5. Вездеход, находящийся на пересеченной местности в 27 км
от прямолинейной шоссейной дороги, должен доставить
бригаду МЧС в населенный пункт, расположенный по шос­
се. Расстояние от точки шоссе, ближайшей, к вездеходу,
до населенного пункта равно 45 км. По пересеченной мест­
ности вездеход идет со скоростью 44 км/час, по шоссе со
скоростью 55 км/часГ На каком расстоянии от населенно­
го пункта вездеход должен выехать на шоссе, чтобы время
движения было наименьшим?
56

6. Сколько общих точек имеют графики функций у = 0 и
у = 9* - (a -f 2)3х 4- За —3 в зависимости от значения пара­
метра а?

Вариант 2
1. Решите уравнение: у/Зх2 —2 + 2 = ж2.
2. При каком значении х функция у = log2
отрицательные значения?

принимает

3. Решите уравнение: 2 sin2 2х - cos4x - 2 = 0.
4. В квадрат вписан другой квадрат. Один из острых углов ме­
жду сторонами квадратов равен а. При каком значении а
площадь вписанного квадрата составляет | площади опи­
санного?
5. Вездеход, находящийся на пересеченной местности в 24 км
от прямолинейной шоссейной дороги, должен доставить
пробы грунта в лабораторию, расположенную у шоссе. Рас­
стояние от лаборатории до вездехода равно 30 км. По пере­
сеченной местности вездеход идет со скоростью 20 км/час,
по шоссе со скоростью 52 км/час. На каком расстоянии от
лаборатории вездеход должен выехать на шоссе, чтобы вре­
мя движения было наименьшим?
6. Сколько общих точек имеют графики функций у = 0 и
у = 16х - (а + 5)4* + 9а - 36 в зависимости от значения
параметра а?

Вариант 3
1. Решите уравнение: у/Ьх2 —4 + 2 = х2.
2. При каком значении х функция у = logi
положительные значения?
57

принимает

3. Решите уравнение: 2 cos2 Зж -f cos 6ж - 2 = 0.
4. В квадрат вписан другой квадрат. Один из острых углов ме­
жду сторонами квадратов равен а. При каком значении а
площадь вписанного квадрата составляет | площади опи­
санного?
5. Вездеход, находящийся на пересеченной местности в 16 км
от прямолинейной шоссейной дороги, должен доставить
бригаду МЧС в населенный пункт, расположенный по шос­
се. Расстояние от точки шоссе, ближайшей к вездеходу,
до населенного пункта равно 40 км. По пересеченной мест­
ности вездеход идет со скоростью 36 км/час, по шоссе со
скоростью 60 км/час. На каком расстоянии от населенно­
го пункта вездеход должен выехать на шоссе, чтобы время
движения было наименьшим?
6. Сколько общих точек имеют графики функций у = 0 и
у = 4х —(а + 5)2х + 6а —6 в зависимости от значения пара­
метра а?

Вариант 4
1. Решите уравнение: у/5х2 — 1 -f 3 = ж2.
2. При каком значении ж функция у = log3
отрицательные значения?

принимает

3. Решите уравнение: 2 sin2 Зж —совбж —2 = 0.
4. В квадрат вписан другой квадрат. Один из острых углов ме­
жду сторонами квадратов равен а. При каком значении а
площадь вписанного квадрата составляет | площади опи­
санного?
5. Вездеход, находящийся на пересеченной местности в 20 км
от прямолинейной шоссейной дороги, должен доставить
58

пробы грунта в лабораторию, расположенную у шоссе. Рас­
стояние от лаборатории до вездехода равно 52 км. По пере­
сеченной местности вездеход идет со скоростью 27 км/час,
по шоссе со скоростью 45 км/час. На каком расстоянии от
лаборатории вездеход должен выехать на шоссе, чтобы вре­
мя движения было наименьшим?
6. Сколько общих точек имеют графики функций у = 0 и
у = 2ЪХ - (а + 6)5х + 8а — 16 в зависимости от значения
параметра а?

Решение заданий первого варианта
1.1. Ответ: ±\/10*
Решение. Запишем систему, равносильную исходному урав­
нению:

Биквадратное уравнение имеет четыре корня: х ^ 2 = ±л/Ш,
яз, 4 = ±л/2, причем только первые два удовлетворяют неравен­
ству системы.
1.2. Ответ: х £ (0; 1).
Решение. Исходная задача равносильна решению системы
неравенства:

Поскольку основание логарифма меньше единицы, а выражение
2х2 + 3 всегда положительно, то систему можно привести к виду:

59

Решая последнюю систему методом интервалов, находим, что
®€(0;1).
1 .3 . Ответ: ± ^ + тгп; ± ^ 7 г + 7гА:, п , к е Ъ .
Реш ение. Используя формулу cos4x = 2cos2 x — 1, приве­
дем уравнение к квадратному относительно cos2z : cos2 2х =
которое распадается на два. Уравнение cos2z = ^ имеет ре-

|,

/о

шения х =
4- тгп, п - целое; уравнение cos2z = —
дает
множество решений вида х = ± ^ 7 г + 7Г&, к - целое.
При решении этого уравнения многими не был рассмотрен
случай: cos 2а: = —
что привело к потере решений.
1 .4 . Ответ: arctg(2 — \/3)В

N

С

Рис. 10

Реш ение. Пусть квадрат
M N P Q вписан в квадрат
A B C D (рис. 10), QD =
a, P D = 6, PQ — с,
ZPQ D = a, C D = а +
b = d. Тогда ~ — t g a (в
Л P Q D ). Легко видеть,
что Л P Q D = А М С Р =
A M B N = A A M Q , как
прямоугольные треуголь­
ники с равными гипотену­
зами и взаимно перпенди­
кулярными сторонами.

S mnpq = с2 = a 2 + b2, S abcd = d2 = (а + 6)2, ^ = §. Тогда
справедливо равенство: 2 (а + Ь)2 = 3 (а 2 + b2) или а 2 + Ь2 —
4аЬ = 0. Поделим обе части уравнения на b2 и сделаем замену:
£ = tg a . Получим квадратное уравнение относительно t g a :
tg2 a —4 tg a-f-1 = 0. Его решения tg a i = 2 -1- \/3 и tg a 2 = 2 - \/3
связаны соотношением t g a i * t g a 2 = 1, т. e. tg a i = c tg a 2 или
oil -f- Oi2 = f . Таким образом углы oi\ и a 2 определяют один
геометрический случай. Так как a - острый угол, то равенство
tg a = 2 — у/3 определяет единственное значение угла.
60

1.5. О твет: 9 км.

Решение.

Время движе­
ния будет наименьшим,
если
по пересеченной
местности вездеход дви­
жется
прямолинейно.
Пусть
первоначально
вездеход
находился
в
точке В (рис. 11), А
- точка расположения
населенного пункта, D -

|
I

/

!/

В У

Рис. 11

точка выезда вездехода на шоссе, С - ближайшая к В точка
шоссе. Тогда В С ± АС, В С = 27, АС = 45. Пусть AD = х,
тогда CD = 45 —х, BD = 'у/27^+~(45^х)2. Время t\ движения
вездехода по пересеченной местности определяется из равенства:

11 = -44- =
^ ---- —, время t>2 движения вездехода по шоссе
- из равенства: ti =
Общее время движения вездехода до
пункта А :
Т(х) = ti -f t>2 —

44

+ 55’

Найдем минимальное значение этой функции на отрезке [0; 45]
с помощью производной

1_ 5х - 225 + 4л/272 + (45 - х)2
и

20V272 + (45 - х)2

Нетрудно увидеть, что Т '(х) = 0 при х = 9, 9 6 [0; 45].
Найдем значения функции Т в точке х = 9 и концах отрезка
[0; 45]:
г ( э ) _ V272 + 362 t 9 _ 9 • 26
44
55
5-44’
9%/34
V272 + 452
Г(0) =
44 ’

к *

5Л.44 ^ 55

61

44

Так как f < у /й , f < 7, то Г(9) < Г(0) и Г(9) < Т (45), т.е.
min Т(х) = Т(9). Значит, искомое расстояние AD = 9 (км).
[0545]

1.6. Ответ: a £ (—о о ;1 ]и { 4 } , одна точка; а £ (1; 4) U
(4; -foo), две точки.
. Решение. Количество общих точек графиков заданных функ­
ций определяется количеством различных действительных реше­
ний уравнения 9х - (а + 2)3* + За - 3 = 0.
Заменой 3х = t, t > 0, приведем его к квадратному уравне­
нию: £2 —(а + 2)£ + За —3 = 0. Поскольку дискриминант урав­
нения D = (а —4)2 принимает неотрицательные значения, то
возможны случаи, когда уравнение имеет: а) один кратный ко­
рень; б) два различных отрицательных корня; в) два различных
положительных корня; г) два корня разных знаков; д) хотя бы
один из корней равен нулю.
Случай а) возможен при D = 0, т. е. при а = 4. Тогда урав­
нение имеет один корень t = 3, ему соответствует решение х = 1.
В случае б) уравнение относительно х решений не имеет.
Условие существования положительных корней запишем с по­
мощью теоремы Виета:

а-Ф 4,
о + 2 > 0,

или

о € (1; 4) U (4;+оо).

Зо - 3 > О
Корни разных знаков существуют при одновременном выпол­
нении условий:

За - 3 < О
Так как t > 0, то уравнение относительно х имеет одно решение.
Случай д) имеет место при а = 1. При этом t\ = 0, и урав­
нение относительно х имеет одно решение. Приведенные рас­
суждения позволяют записать ответ задачи. Каждому решению
62

относительно х соответствует единственная общая точка графи­
ков заданных функций.
При решении этой задачи чаще всего терялся случай (при
а = 4) кратного корня. Немало было работ, в которых случай
г) рассматривался без учета того, что переменная t принимает
только положительные значения.
О тветы д л я остал ьн ы х вари ан тов
2.1. ±У б ; 2.2. ( - 1 ;0 ); 2.3. ( - 1 ) * | + ffc, ( - l ) n+1| + fn ,
к,п 6 Z; 2.4. arctg(3 —л/8); 2.5. 8км; 2.6. а € (—oo;4]U {13},
одна точка; а 6 (4; 13) U (13; +оо), две точки; 3.1. ± i/8 ; 3.2.
(0; 1); 3.3. ± ^ + §7rfc, i f f + firn, fc ,n € Z ;3 .4 . arc tg (4 -V l5 );
3.5. 28 км; 3.6. a G ( - o o ;l ] U { 7 ) , одна точка; a G (1;7)U
( 7 ;+ 00), две точки; 4.1. ±VT0; 4.2. (—1; 0); 4.3. ( - l ) * f - f ffc,
( - l ) n+1f + fn , k,n G Z; 4.4. aictg(5 - >/5 ); 4.5. 33 km; 4.6.
a G (-oo; 2] U {10}, одна точка; a G (2; 10) U (10;+oo), две точки.
Ф И ЗИ Ч ЕС К И Й Ф А К У Л ЬТЕТ
С п ец и ал ьн ость: П р и к л ад н ая и н ф ор м ати ка
Задания к письменному и устному экзамену см. на матема­
тическом факультете с одноименной специальностью.
Ф И ЗИ ЧЕСК И Й Ф А К У Л ЬТЕТ
С п ец и ал ьн ость: П р и к л а д н ая и н ф ор м ати ка
П л а т н а я ф о р м а обучения
П и сьм ен н ы й эк зам ен
В а р и ан т 1
1. Найдите область определения функции: у =
2. Решите уравнение: lg(4x“ l - 9) - lg 5 = lg(2x” 1 + 3) + lg2.

63

3. Решите неравенство: \х2 + Зж| + х 2 + 2 > 0.
4. Найдите все решения уравнения: (3 - 2 sin2 2

=

2.

5. Даны две концентрические окружности. Касательная к
меньшей окружности делит дугу большей окружности в от­
ношении 1:5. Найдите отношение площадей кругов, огра­
ниченных этими окружностями.
6. Найдите все значения параметра а, при которых система
х 2 + ay = 1,
Зж + 2у = 3
имеет единственное решение.

Вариант 2
1. Найдите область определения функции: у =
2. Решите уравнение: log49(49a? —4) = Iog49(4 -7х 1 - 1) +
3. Решите неравенство: |ж2 + 5ж| + х 2 + 2 > 0.
4. Найдите все решения уравнения: cos4z -f 2 cos2 х = 1.
5. Даны две концентрические окружности. Касательная к
меньшей окружности делит дугу большей окружности в от­
ношении 1:3. Найдите отношение площадей кругов, огра­
ниченных этими окружностями.
6. Найдите все значения параметра а, при которых система

{

х 2 -f 3ay — 1,
2х + у = 2

имеет единственное решение.
64

Вариант 3
1. Найдите область определения функции: у =
2. Решите уравнение: lg(32x —3х - 3) + lg 2 = lg(9x + 2).
3. Решите неравенство: \х2 + 7х\ + х2 + 3 > 0.
4. Найдите все решения уравнения: (3 - 2 sin2 4s) —

= 2.

5. Даны две концентрические окружности. Касательная к
меньшей окружности делит дугу большей окружности в от­
ношении 1:2. Найдите отношение площадей кругов, ограг
ииченных этими окружностями.
6. Найдите все значения параметра а, при которых система
х2 + ау = 1,
2у —За: = 3
имеет единственное решение.

Вариант 4
1. Найдите область определения функции: у =
2. Решите уравнение: log16(16x - 12) = log16(7 • 4Х~1 - 1) +
3. Решите неравенство: \х2 + 9я| + х2 + 4 > 0.
4. Найдите все решения уравнения: cos8x + 2 cos2 2х = 1.
5. Даны две концентрические окружности. Касательная к
меньшей окружности делит дугу большей окружности в от­
ношении 3:1. Найдите отношение площадей кругов, огра­
ниченных этими окружностями.

65

6. Найдите все значения параметра а, при которых система
( х 2 + 3ау = 1,
|т/ - 2х = 2
имеет единственное решение.

Решение заданий первого варианта
1.1. Ответ: [2 ;|).
Решение. Так как подкоренное выражение должно быть
неотрицательным, то задача сводится к решению неравенства:
> 0- Применение метода интервалов приводит к ответу за­
дачи.
1.2. Ответ: 1 + log2 13.
Решение. Областью допустимых значений этого уравнения
является интервал (1-f log2 3; -f-oo). Преобразуем исходное урав­
нение к виду 4х-1- 9 = 10(2х-1+3). Замена переменной 2х-1 = t ,
t > 0, приводит к решению квадратного уравнения t2 - 10£-39 =
О, положительный корень которого дает решение задачи. Здесь
необходимо показывать, что число х = 1 + log2 13 принадлежит

одз.
1.3. Ответ: (—оо;+оо).
Решение. Так как \х2 4- 3s| > 0, х 2 + 2 > 0, то данное нераг
венство выполняется на всей числовой оси.
Многие подошли к решению этой задачи формально: раскры­
вали модуль, что вело к решению двух неравенств. Нередко мно­
гие забывали, что каждое неравенство решается на своем множе­
стве. А это приводило к неверным выводам.
1.4. Ответ: J + j п,
+ тгк, п, к £ Z.
Решение. ОДЗ: х ф wn, п £ Z. Умножим обе части уравне­
ния на sin2 я. В области допустимых значений получим урав­
нение, равносильное данному. Используя основное тригономе­
трическое тождество, перепишем левую часть уравнения в ви­
де: 3 —2 sin2 2s = 1 —2 cos2 2s. В правой части получившегося
66

уравнения используем формулу понижения степени: 2sin2x =
1 - cos 2х. В результате уравнение 2 cos2 2х —cos 2х = 0 распадаг
ется на два простейших: cos2x = 0, cos2z = —| . Решение обоих
из них принадлежит ОДЗ.
В решении этой задачи многие делили обе части уравнения
2 cos2 2х = cos 2х на cos2x, что привело к потере решений. Раз­
ложение на множители позволяет избежать этой ошибки.
1.5. Ответ: | .
Решение.
Проведем че­
рез
точку
А
малой
окружности
касатель­
ную CD (рис. 12). Радиус
О А продолжим до пе­
ресечения
с
большей
окружностью (точка В ).
Заметим, что OA1.CD.
Из условия следует, что
- CBD = | , а в ДОАС
Z C O A = |( w CBD) = £.
Пусть ОС = R, О А ~ г. Тогда АС = § (катет, лежащий
против угла 30°), О А = г =
Найдем отношение площади
меньшего круга к большему:

|•

1.6. Ответ: £.
Решение. Исключив из системы у, получим квадратное урав­
нение 2x2-3 a x - f 3 a - 2 = 0, которое имеет единственное решение,
если его дискриминант равен 0: 9а2 - 24 + 16 = 0. Это условие
выполняется при единственном значении: а =
Осталось за­
метить, что решению х соответствует единственное значение у,
а значит и система имеет единственное решение.
Ответы для остальных вариантов
2.1. ( - 5 , 3]; 2.2. log7 3; 2.3. (-оо;+оо); 2.4. § + тгп, ± | +
67

п т , п , т 6 Z; 2.5.
2 .6 .
3.1. (±;4]; 3.2. log3 4; 3.3.
(-о о ;+ о о ); 3.4. f + fn ,
+
n , m e Z ; 3.5. ±; 3.6.
4 .1. ( - i ;5 ] ; 4.2. f ; 4.3. (-o o ;+ o o ); 4.4. fjj + f n, ± f 4- f to,
n ,m £ Z; 4.5. 5 ; 4.6.

НЕФТЯНОЙ ФАКУЛЬТЕТ
Письменный экзамен
Вариант 1
1. Найти все точки плоскости, координаты которых х ,у удо­
влетворяют равенству: у = \у —Зх2\.
2. Решите неравенство:

> 1.

3. Решите уравнение: (1 -f- cos 8я) sin 2х = cos2 4х.
4. Танкер наполняется нефтью с помощью нескольких насо­
сов равной производительности. Их включают последова­
тельно один за другим через равные промежутки времени и
они работают до наполнения танкера. Если бы все насосы
включили одновременно, то они заполнили бы танкер за 15
часов. Сколько времени работал насос, который включили
первым, если насос, который включили последним, работал
10 часов?
5. Внутри прямоугольного треугольника А В С {/.А С В - пря­
мой) взята точка О так, что треугольники АО В , О В С и
О АС равновеликие. Из точки О на катет А С опущен
перпендикуляр. В каком отношении основание перпенди­
куляра делит отрезок А С?
6. Найти корни уравнения 2х • 3 * = 72, принадлежащие
области определения функции у = sin у/9х —х2 —8.

68

Вариант 2
1. Найти все точки плоскости, координаты которых х ,у удо­
влетворяют равенству: у = |4х2 - у|.
2. Решите неравенство:

> 1.

3. Решите уравнение: (1 —cos 4а;) cos2x = sin2 2х.
4. Несколько насосов равной производительности одновремен­
но приступают к наполнению танкера. Они прекращают
работу один за другим через равные промежутки времени.
Если бы все насосы работали одинаковое время, то танкер
наполнился бы за 5 часов. Сколько времени работал пер­
вый насос, если последний из выключенных насосов рабо­
тал в 4 раза дольше первого?
5. Внутри прямоугольного треугольника А ВС (/.А С В -п р я­
мой) взята точка О так, что треугольники ЛОВ, О В С и
О АС равновеликие. Из точки О на катет В С опущен
перпендикуляр. В каком отношении основание перпенди­
куляра делит отрезок В С ?
1

д2 —10

6. Найти корни уравнения 2х 1*5 з = 200, принадлежащие
области определения функции у = собл/ 2 5 х —Зх2 —8.

Вариант 3
1. Найти все точки плоскости, координаты которых х,у удо­
влетворяют равенству: у = \у - 2х2|.
2. Решите неравенство: —

- !•

3. Решите уравнение: (1 —cos 8х) cos2x = sin2 4х.
4. Танкер наполняется нефтью с помощью нескольких насо­
сов равной производительности. Их включают последова­
тельно один за другим через равные промежутки времени и

69

они работают до наполнения танкера. Если бы все насосы
включили одновременно, то они заполнили бы танкер за 11
часов. Сколько времени работал насос, который включили
первым, если насос, который включили последним, рабо­
тал 6 часов?
5. Внутри прямоугольного треугольника А В С {/.А С В - пря­
мой) взята точка О так, что треугольники А О В , О ВС
и О АС равновеликие. Найти гипотенузу треугольника
А В С , если известно, что АО 2 -\-ОВ2 = 25 см2.
6. Найти корни уравнения 7~(х+2) •
= 56, принадлежа­
щие области определения функции у = sin у/1А — 5х - аЛ
В ариант 4
1. Найти все точки плоскости, координаты которых х, у удо­
влетворяют равенству: у = |6х2 —у|.
2. Решите неравенство: у+^-~11*^ 7^9д; > 1.
3. Решите уравнение: (1 + cos 6х) sin Зх = cos2 Зх.
4. Несколько насосов равной производительности одновремен­
но приступают к наполнению танкера. Они прекращают
работу один за другим через равные промежутки времени.
Если бы все насосы работали одинаковое время, то танкер
наполнился бы за 9 часов. Сколько времени работал пер­
вый насос, если последний из выключенных насосов рабо­
тал в 2 раза дольше первого?
5. Внутри прямоугольного треугольника А В С ( / А С В - пря­
мой) взята точка О так, что треугольники А О В , О ВС
и О А С равновеликие. Найти гипотенузу треугольника
А В С , если известно, что АО 2 + О В 2 = 30 см2.

70

дД+3

6. Найти корни уравнения 11 ®*3 7 = 363, принадлежащие
области определения функции у = cos л/6 —х 2 - 5х.

Решение заданий первого варианта
1.1. Ответ: (0;у) при у > х2 (х; §а;2) при у < За:2.
Решение. Так как в пра­
вой части равенства стоит
неотрицательная величина,
то искомые точки принад­
лежат верхней полуплоско­
сти у > 0 (рис. 13). Рас­
крывая модуль переходим к
системе:
У — У —За;2,
< у = Зх2 —у,

кУ>0,

Рис. 13

равносильной данному неравенству.
1.2. Ответ: [2; 3).
Решение. Так как логарифмическая функция определена
лишь при положительных значениях аргумента и lo^a: = 1
при х = 3, то областью допустимых значений данного неравен­
ства служит множество (0;3)U (3;+оо). Используя равенство
log39a; = 2 4- log3 a:, преобразуем данное неравенство к равно­
сильному:
д. > 0. Применяя метод интервалов (с учетом
ОДЗ), получим ответ задачи.
1.3. Ответ: | + \п , (—l ) fc^ -ffA ;, n ,k € Z .
Решение. Применение формулы понижения степени 1 4cos 8а: = 2 cos2 Ах приводит к уравнению, равносильному данно­
му: cos2 4а:(2 cos2х - 1) = 0. Приравняем к 0 каждый из сомно­
жителей левой части: cos24s = 0 и cos2а: =
Объединение
решений этих уравнений приводит к ответу задачи.
1.4. Ответ: 20 ч.
71

Решение. Пусть п - количество насосов, х - время (в ча­
сах) работы насоса, включенного первым, d - интервал (в часах)
между последовательными моментами включения насосов. Из
условия следует, что продолжительность работы насосов образу­
ют арифметическую прогрессию, т. е. 10 = х - (п — 1)d - время
работы последнего насоса, а продолжительность работы всех на­
сосов равна х + (—d) + . . . + х —[п - 1)d = пх С другой
стороны известно, что для наполнения танкера нужно 1Ъп часов
работы насосов, следовательно, пх = 15п. Исключив
из системы уравнений
( х — (п — 1)d = 10,
j s _ fciziH = 15
выражение (n — l)d, придем к уравнению х -

= 15, т. е.

х = 20.
1.5. Ответ:

2:1.

Решение. Из точки О треуголь­
ника А В С на катеты В С и
АС опустили перпендикуляры
О М и О К (рис. 14). Из усло­
вия задачи следует, что S ab с —
3S boc - Так как S abc = \А С •
В С , Sboc = \В С • ОМ, то
ОМ = ^АС. Рассмотрим че­
тырехугольник СК О М . В нем
ОМА-ВС , КСА.ВС, О КА.КС ,
МСА.КС, т.е. С К О М - пря­
моугольник.
Следовательно,
К С = О М = \А С . Тогда
А К :К С = 2:1.

1.6. Ответ: х = 3.
Решение. Найдем область определения данной функции. Она
совпадает с множеством решений неравенства: х 2 — 9х — 8 < 0,
д^Ц-1

т.е. х 6 [1; 8]. Перепишем исходное уравнение в виде: 2Х*3 s

72

=

23 ■З2. Легко видеть, что х = 3 - корень этого уравнения. Про­
логарифмируем обе части данного равенства: х lg 2 4lg 3 =
lg 72 или х 2 • lg 3 4- 5х lg 2 - lg24 = 0. Так как старший коэффи­
циент (lg 3) положительный, а свободный член (—lg 24) отрица­
тельный, то это уравнение имеет два различных корня. Один из
них нам известен: Xi = 3. С помощью теоремы Виета находим
второй корень х2 = - 3 Так как х2 < 0, то области опре­
деления функции принадлежит только первый корень. Задача
заметно усложняется, если корни квадратного уравнения вычи­
слять непосредственно. При решении задачи указанным спосо­
бом необходимо обосновать применение теоремы Виета.
Ответы для других вариантов
2.1. (0;у) при у > Ах2, (ж;2ж2) при у < 4ж2; 2.2. (2;3]; 2.3.
ffc, ± ! + тгп, п, к € Z; 2.4. 2; 2.5. 21; 2.6. 4; 3.1. (0; у) при
у > 2т2, (х,ж2) при у < 2т2; 3.2. [2;5); 3.3. ffc, ± | + тгтг,
п, к € Z; 3.4. 16; 3.5. 45; 3.6. -3 ; 4.1. (0;у) при у > 6ж2,
( s ;3 i2) при у < 6х2; 4.2. [2; 7); 4.3. | + | к, (-1 )”^ + |п ,
к,п е Z; 4.4. 6; 4.5. 54; 4.6. -2 .
НЕФТЯНОЙ ФАКУЛЬТЕТ
Платная форма обучения
Письменный экзамен
Вариант 1
1. Решите уравнение: (4 - ж2) 1о&(4 - 2ж) = 0.
2. Решите неравенство: у/х2 —2х > ж - | .
3. Найдите все положительные решения уравнения:

73

4.

Решите систему уравнений:

{

(х - у )(х 2 - у 2) = 48,

х + у = 3.

5. Решите уравнение: sin2 2< + 4 cos 2f = 1.
6. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 18см.
Высота, проведенная из вершины прямого угла, в 6 раз ко­
роче гипотенузы. Найдите катеты.

Вариант 2
1. Решите уравнение: (9 — я2) log2(9 - Зя) = 0.
2. Решите неравенство: V х 2 —Ах > х - 3.
3. Найдите все положительные решения уравнения:

4. Решите систему уравнений:
U(хx - 2 2yу))(х2
( x 2 —4у2) = 75,
I *х + 2у = 3.
5. Решите уравнение: cos2 3f + 2 sin 3t = 1.
6. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 25 см.
Высота, проведенная из вершины прямого угла, в 5 раз ко­
роче гипотенузы. Найдите катеты.

Вариант 3
1. Решите уравнение: ( 1 6 - я 2) 1о&(8 - 2я) = 0.

74

2. Решите неравенство: / х 2 —Зх > х —2.
3. Найдите все положит л ,ные решения уравнения:
^9о .*2+7®—4
*2+ 7®—4

4. Решите систему урэ нений:
( sx - у)(4х2 - у2) = 24,
Jx -f у = 6.
5. Решите уравнен е: sin2 4t + 3 cos4t = 1.
6. В прямоугольн м треугольнике гипотенуза равна 16 см.
Высота, прове .енная из вершины прямого угла, в 4 раза
короче гипоте узт:. Найдите катеты.

Вариант 4
1. Решите уравн лие: (25 - х2) log2(15 - Зх) = 0.
2. Решите нет .венство: у/х2 —5х > х —4.
3. Найдите все положительные решения уравнения:

4. Г зшите систему уравнений:
(х - Зу) (х2 - 9у2) = 36,
х -f Зу = 4.
5. Решите уравнение: cos2 5t + 6 sin 5t = 1.
6. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 9 см. Вы­
сота, проведенная из вершины прямого угла, в 3 раза короче
гипотенузы. Найдите катеты.
75

Реш ение заданий первого варианта
1.1. О т в е т : - 2 , —| .
Решение. Данное уравнение равносильно системе:
4 —я2 = О,
l°g3(4 - 2а?) = О,
4 - 2я > 0.
Среди решений уравнений х\ = —2, а?2 = 2, я3 = | только Я!
и яз удовлетворяют неравенству.
Включение постороннего корня яг = 2 в ответ считается гру­
бой ошибкой. Часто она возникает от того, что область опре­
деления логарифмической функции выписывается неправильно
(4 —2я > 0). К слову сказать, многие абитуриенты вообще не
различают множество положительных и неотрицательных чи­
сел. Во многих работах корень я = | так и не был найден.
1.2. О твет: я 6 (-оо; 0] U (§; +оо).
Решение. ОДЗ: я е (—оо; 0) U [2; -foo). Так как правая часть
неравенства может принимать разные знаки, то рассмотрим два
случая:
а) х —| > 0- Тогда обе части неравенства можно возвести в
квадрат. Смысл неравенства от этого не изменится: я2 —2я >
( x - i ) 2, т.е. х > §.
б) я —| < 0. Так как у/х2 —2я > 0 > я —| , то в этой ситуации
исходное неравенство равносильно системе:

{
*

<

5 >

я2 —2я > 0,

т. е. я € (—оо; 0]. Объединяя множества решений в обоих случагях, получим ответ задачи.
Многие смело возводили обе части неравенства в квадрат (не
учитывая знак правой части), что приводило к потере целого
промежутка (-оо; 0].
76

1.3. Ответ: х £ {3 ;4 } .
Решение. Так как при возведении степени в степень показате­
ли степеней перемножаются, а правую часть можно переписать
в виде 1 = 5°, то исходное уравнение равносильно равенству:
(2х2 - 5ж - 3)(4 - х) = 0. Из корней х\ = — х2 = 3, х3 = 4 в
ответ выписываем только положительные.
1 .4 . Ответ: (|; —|) ; { ~ Ы ) ■
Решение. Пользуясь формулой х2 — у2 = (ж — у) (ж + у ) , пе­
репишем систему в виде:
(а “ У)2 = 16,
х + у = 3.
Полученная система равносильна совокупности:
х - у = 4,
я + у = 3,
х - у = -4 ,
_ |ж + у = 3,
решение которой дает ответ задачи.
1 .5 . Ответ: f + f f c , к - целое.
Решение. Воспользуемся основным тригонометрическим то­
ждеством, которое приведет исходное уравнение к квадратному:
cos2£(4-cos2£) = 0. Так как |cos2£| < 1 при всех t, то cos2t = 0.
Решая это уравнение, получим ответ. Многие формально прирав­
нивали к нулю оба сомножителя и в ответе появлялись выраже­
ния типа: db^ arccos4 + тгп, которые не имеют никакого смысла.
Кроме того, правильно решить уравнение типа cos2£ = 0 для
некоторых оказалось непосильной задачей.
1 .6 . Ответ: 6 \ /3 i3 \ /6 Решение. Пусть С Н - высота, проведенная из вершины пря­
мого угла (рис. 15). Из условия задачи следует, что С Н = 3 (см).
Пусть В С = х, АС = у. Так как S a b c = \ A C -B C = \CH A B ,
то справедливо равенство: ху = 54.

77

Используя теорему Пифагора, запи­
шем систему:
ху = 54,
ж2 + у2 = 324.

{

Левую часть второго уравнения мож­
но переписать в виде: х2 + у2 = (х +
у)2 - 2ху = (х + у)2 - 108. К ответу
задачи приводит решение системы
(х + у = 12л/3»
1 ху —54.

Ответы для других вариантов
2.1. { —3; §} ; 2.2. (-oo;0]U (4,5;+oo); 2.3. {3 ;5 }2 .4 . ( 4 ;- ± ) ;
(—1; 2); 2.5. §fc, к - целое; 2.6. §(л/35 ± \/П ); 3.1. { —4; | } ;
3.2. (—оо;0] U (4;+оо); 3.3. { i ; 2 } ; 3.4. (2;2), (1;4); 3.5.
|+fjfe, Jfc -целое; 3.6. 4(^6±%/2); 4.1. { - 5 ; ^ } ; 4.2. (-oo;0]U
( ¥ ; + ° ° ) ; 4 -3 - { 2; 5>; 4 -4 -

( £ ;§ ) ; 4 -5 - Р . к - целое;

4.6. |(\/I5:fc \/3).

ЭКОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Специальность: Природоохранное обустройство
территорий
Письменный экзамен
Вариант 1
1. Найти множество точек на плоскости, координаты которых
хч У удовлетворяют соотношению: у = \у —2х\.
2. Решите неравенство: (х —3)у/х + 1 < 0.
78

3. Решите уравнение: 10 • 4х —9 • 2Х+1 - 4 = 0.
4. При каком значении параметра а прямая у = —х касается
параболы у = х 2 + ах + 1?
5. Основание прямой призмы - треугольник, в котором сторо­
ны длиной 10 см и 4 см образуют угол в 30°. Боковое ребро
призмы равно 6 см. Найдите площадь полной поверхности
призмы и ее объем.
6. Имеются контейнеры двух видов общей емкостью 7000 кг.
Если бы все контейнеры были первого вида, то емкость всех
контейнеров увеличилась бы на 1000 кг. Если бы все кон­
тейнеры были второго вида, то емкость уменьшилась бы на
4000 кг. Вычислить емкость всех контейнеров каждого вида
в отдельности.

Вариант 2
1. Найти множество точек на плоскости, координаты которых
ж, у удовлетворяют соотношению: у = \3х - у\.
2. Решите неравенство: (х —6)у/х + 4 < 0.
3. Решите уравнение: 2 • 36х_2 —Ц • б1-1 —1 = 0.
4. При каком значении параметра а прямая у = х касается
параболы у = х2 + ах + 4?
5. Найдите боковую поверхность и объем правильной 4-угольной пирамиды, у которой сторона основания 10 см, а боко­
вая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°.
6. Имеются контейнеры двух видов общей емкостью 8000 кг.
Если бы все контейнеры были первого вида, то емкость всех
контейнеров уменьшилась бы на 3000 кг. Если бы все кон­
тейнеры были второго вида, то емкость увеличилась бы на
2000 кг. Вычислить емкость всех контейнеров каждого вида
в отдельности.
79

Вариант 3
1. Найти множество точек на плоскости, координаты которых
х , у удовлетворяют соотношению: у = \у —4х|.
2. Решите неравенство: (х + 4)л/х —3 < 0.
3. Решите уравнение: 2 • 25х - 2 - 9 • 5х - 1 = 0.
4. При каком значении параметра а прямая у = —х касается
параболы у = х2 + ах + 9?
5. Основание прямой призмы - треугольник, в котором сторо­
ны длиной 5 см и 2 см образуют угол в 60°. Боковое ребро
призмы равно 4 см. Найдите площадь полной поверхности
призмы и ее объем.
6. Имеются контейнеры двух видов общей емкостью 6000 кг.
Если бы все контейнеры были первого вида, то емкость всех
контейнеров увеличилась бы на 2000 кг. Если бы все кон­
тейнеры были второго вида, то емкость уменьшилась бы на
2000 кг. Вычислить емкость всех контейнеров каждого вида
в отдельности.

Вариант 4
1. Найти множество точек на плоскости, координаты которых
х, у удовлетворяют соотношению: у = \6х - у\.
2. Решите неравенство: (х + 7)\/х —2 < 0.
3. Решите уравнение: 12 • 4х — 11 • 2Х+1 - 4 = 0.
4. При каком значении параметра а прямая у = х касается
параболы у = х2 + ах + 25?
5. Найдите боковую поверхность и объем правильной 4-уголь­
ной пирамиды, у которой сторона основания 12см, а боко­
вая грань наклонена к плоскости основания под углом 30°.

80

6. Имеются контейнеры двух видов общей емкостью 9000 кг.
Если бы все контейнеры были первого вида, то емкость всех
контейнеров уменьшилась бы на 7000 кг. Если бы все кон­
тейнеры были второго вида, то емкость увеличилась бы на
1000 кг. Вычислить емкость всех контейнеров каждого вида
в отдельности.

Решение заданий первого варианта
1.1. Ответ:

(0; у) при у > 2х; (х; х) при у < 2х.
Решение. Так как |у —
2х| > 0, то искомое мно­
жество точек находится
в верхней полуплоскости.
Если у > 2х, то х = 0
(рис. 16). При условии
у < 2х выполняется ра­
венство: у = х.

1.2. Ответ: х Е [—1; 3].
Решение. Решим систему, равносильную данному неравен(х + 1 > 0 ,
ству: <
Пересечение множества [—1;+оо) решений
х - 3 < 0.

первого неравенства с множеством (—оо; 3] решений второго дает
ответ задачи.
1.3. Ответ: х = 1.
Решение. Пусть 2х = t, t > 0. Тогда исходное уравнение
является квадратным относительно t : 10t2 — 18£ —4 = 0. От­
бросив посторонний (отрицательный) корень t = — найдем х.
Для этого нужно решить уравнение: 2х = 2, т.е. х = 1.
1.4. Ответ: a G { - 3 ; 1 ) .
Решение. Так как точка касания - общая точка графиков
прямой и параболы, то справедливо равенство: x2-f ax-f 1 = —х.
81

Кроме того, в этой точке должны совпадать производные обеих
функций: 2х + а = —1. Таким образом, задача свелась к реше„ f z 2 + ( a + 1)* + 1 = 0,
нию системы уравнений: <
Подставив из
1 2х + а = -1 .
второго уравнения выражение a-f-1 = —2х в первое, получим от­
вет.
1.5. Ответ: S = 104+ 12-\/29 —10\/3 см2, V = 60 см3.
Решение. Из условия задачи следует, что площадь основа­
ния призмы равна Sqch = ^ • 10 • 4 ■sin 30° = 10 ( см2 ). Поль­
зуясь теоремой косинусов, найдем третье ребро основания: а =
2\/29 —10л/3 (см). Таким образом, периметр основания призмы
равен Росн = 14 + 2 \/2 9 —10\/5 (см). Так как призма прямая,
то ее высота h равна 6 см, а площадь боковой поверхности равна S6ок = Росн • h = 84 + 12\/29 - 10%/3 ( см2), площадь полной
поверхности равна 5ПОлн = Збок + 25осн = 104 + 12\/29 —10л/3
( см2), а объем призмы равен V = 2SOCH• h = 60 ( см3 ).
1.6. Ответ: Емкость контейнеров первого вида 6400 кг,
второго - 600 кг.
Решение. Пусть х и у - емкости контейнеров первого и вто­
рого видов соответственно, п - количество контейнеров первого
вида, т - количество контейнеров второго вида. Тогда усло­
вие задачи можно записать в виде системы из трех уравнений с
четырьмя неизвестными:
пх + ту = 7000,
< (п + т )х = 8000,
(п + т )у = 3000.
Задача заключается в том, чтобы найти значения для пх (ем­
кость всех контейнеров первого вида) и ту (емкость всех кон­
тейнеров второго вида). Из двух последних равенств системы
следует, что | = §. Вычитая последовательно из первого Урав82

нения сначала второе, а затем третье, получим равенства:
Г771(х —у) = 1000,
|п ( х - у) = 4000,
откуда ^
Итак, х = |у , п = 4тп. Тогда первое уравнение
системы можно переписать в виде: Щ-утп+ту = 7000, т. е. т у =
600, пх = 6400.

Ответы для других вариантов
2.1. (0;у) при у > Зх; у = |х
2.4. {—3; 5}; 2.5. 100\/7 см2,
(0;у) при у > 4х; у = 2х при
{ -7 ; 5}; 3.5. 5\/3 + 4(7 + у / Щ
4.1. (0;у) при у > 6х; у = Зх
4.4. { -9 ; 11}; 4.5. 24>/Гб см2,

при т/ < Зх; 2.2. [-4;6]; 2.3. 1;
см3; 2.6. 2000; 6000; 3.1.
у < 4х; 3.2. [—3;4]; 3.3. 0; 3.4.
см2, 10\/3 см3; 3.6. 2000; 4000;
при у < 6х; 4.2. [-2;7]; 4.3. 1;
288л/б см3; 4.6. 250; 8750.

ЭКОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Спедиальность: Защита в чрезвычайных ситуациях
См. специальность: Социальная работа.

ФАКУЛЬТЕТ ПСИХОЛОГИИ И ПЕДАГОГИКИ
Специальности: Психология, Специальная психология,
Педагогика и психология
Письменный экзамен
Вариант 1
1. Решите неравенство: (я 2 —9)у/х + 4 > 0.
2. Н айдите область определения функции: у = log2
3. Д окаж ите тож дество: sin4 а 4- sin2 a cos2 а + cos2 а = 1.

83

■.

4. Решите систему уравнений:
f l * - 2 | + | y - 3 | = l,
(У = 3 + |ж - 2\.
5. Площадь ромба равна 120 см2, а его периметр равен 52 см.
Определите диагонали ромба.
6. Три бизнесмена заключили условие дележа прибыли. По
этому условию первый получает из прибыли вдвое мень­
ше, чем второй и третий вместе, а второй на 4000 долларов
меньше утроенной части третьего. Какую прибыль полу­
чил каждый бизнесмен, если известно, что получено 109 800
долларов доходов.
В ари ан т 2
1. Решите неравенство: (х2 - 16)у/х + 5 > 0.
2. Найдите область определения функции: у = logi g2~ ^f6 •
3. Докажите тождество: sin4 а —sin2 a cos2 а + cos 2а cos2 а =
cos2 2а.
4. Решите систему уравнений:
Г | * - 3 | + | у - 4 | = 1,
[у = 4 - + |« - 3 |.
5. Площадь ромба равна 30 см2, а его периметр равен 26см.
Определите диагонали ромба.
6. Три бизнесмена заключили условие дележа прибыли. По
этому условию первый получает из прибыли втрое мень­
ше, чем второй и третий вместе, а второй на 6000 долларов
меньше удвоенной части третьего. Какую прибыль полу­
чил каждый бизнесмен, если известно, что получено 55 200
долларов доходов.
84

Вариант 3
1. Решите неравенство: (х2 —2Ъ)у/х -f 6 > 0.
2. Найдите область определения функции: у = 1о& - ~^5j r^=-1-4-.
3. Докажите тождество: sin2 а + sin2 a cos2 а + cos4 а = 1.
4. Решите систему уравнений:
П®—1| + |у-2| = 1,
\ у = 2 + | ® - 1 |.
5. Площадь ромба равна 96 см2, а его периметр равен 40 см.
Определите диагонали ромба.
6. Три бизнесмена заключили условие дележа прибыли. По
этому условию первый получает из прибыли вдвое мень­
ше, чем второй и третий вместе, а второй на 3000 долларов
меньше утроенной части третьего. Какую прибыль полу­
чил каждый бизнесмен, если известно, что получено 55 200
долларов доходов.

Вариант 4
1. Решите неравенство: (х2 —36)у/х + 7 > 0.
2. Найдите область определения функции: у = logi *2*2^ 15.
3. Докажите тождество: cos4 а —sin2 a cos2 а —cos 2а sin2 а =
cos2 2а,
4. Решите систему уравнений:
f l * - 4 | + | y - l | = l,
= 1 + |® —4|.
85

5. Площадь ромба равна 24 см2, а его периметр равен 20см.
Определите диагонали ромба.
6. Три бизнесмена заключили условие дележа прибыли. По
этому условию первый получает из прибыли втрое мень­
ше, чем второй и третий вместе, а второй на 3000 долларов
меньше удвоенной части третьего. Какую прибыль полу­
чил каждый бизнесмен, если известно, что получено 42 600
долларов доходов.

Решение заданий первого варианта
1.1. Ответ: х 6 [—4; -3 ] U [3; +].
Решение. Решим систему, равносильную исходному неравен­
ству:
(х + 4 > 0,
\ х 2 - 9 > 0.
Первое из неравенств справедливо на промежутке [—4;+оо), вто­
рое выполняется при х € (—оо; -3 ] U [3;-foo). Пересечение этих
множеств дает ответ задачи.
Сокращение обеих частей неравенства на множитель у/х *f 4
приводит к грубым ошибкам в решении.
1.2. Ответ: х G (—1; 3) U (4;+оо).
Решение. Логарифмическая функция определена при поло­
жительных значениях аргумента, т. е. 37
> 0. Так как
х 2 — Зх - 4 = (х -f l)(z —4), то, применяя метод интервалов,
получаем ответ задачи.
1.3.
Решение. Перепишем данное равенство в виде: sin4 а = 1 —
cos2 а — sin2 а • cos2 а. Так как 1 - cos2 а = sin2 а, то правая
часть преобразовывается следующим образом: 1 —cos2 a —sin2 аcos2 а = sin2 о:(1 —cos2 а?) = sin4 а. Тождество доказано.
1.4. Ответ: (§; | ) , (§; | ) .
Решение. Из второго уравнения системы следует, что у —3 =
\х —2|, у > 3. Но тогда |у —3| = 2/ —3 и первое уравнение можно
86

представить в виде: 2(у — 3) = 1. Откуда у = | , | ж - 2| = | .
Решение этого уравнения дает два решения системы.
1.5. О т в е т : 10 и 24 см.
Решение. Пусть диагонали ромба равны d\ и с^* Из условия
задачи следует, что сторона ромба равна 13 см. Так как диаго­
нали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения де­
лятся пополам, то справедливо равенство:
= 4-132. Кроме
того, площадь ромба равна половине произведения диагоналей,
т. е. 5 = ^ 2- = 120. Составим систему:
f d\ + d\ = 676,
^ c£ic?2 = 240,
решение которой дает ответ задачи.
1 .6. О т в е т : Первый получил 36 600 долларов, второй 53 900 долларов, третий - 19 300 долларов.
Решение. Пусть третий бизнесмен получил 2 долларов. То­
гда из условия задачи следует, что второй получил (3z —4000),
первый - (2z —20 000), а вместе - (62 - 6000) долларов. Решив
уравнение: 62 —6000 = 109 800, получим ответ задачи.

Ответы для других вариантов
2.1. [—5; —4] U [4; +оо); 2.2. ( - 2 ;- 1 ) U (3;+ с »); 2.4. (§;$),
( !;§ ) ; 2.5. 12 и 5; 2.6. 13800; 25600; 15800; 3.1. [—6; —5] U
[5;+оо); 3.2. (—7 ;—2) U (2;+оо); 3.4. (£ ;§ ), ( § ;|) ; 3.5. 16 и
12; 3.6. 18400; 26850; 9950; 4.1. [-7; - 6]U[6;+oo); 4.2. (—5 ;3)U
(4; +оо); 4.4. ( | ; | ) , (§ ;§ ); 4.5. 8 и 6; 4.6. 10 650; 20 300; 11650.

ФАКУЛЬТЕТ ПСИХОЛОГИИ И ПЕДАГОГИКИ
Специальность: Технология и предпринимательство
Устный экзамен
См. специальность: Природопользование (географический
факультет).
87

ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Специальность: Картография
Приложение к билетам устного экзамена
1. Постройте график функции: у = щ .
2. Стороны прямоугольного треугольника образуют арифме­
тическую прогрессию, а меньший его катет равен 2 см. Най­
дите периметр треугольника.
3. Решите неравенство: |2х —3| < 2.
4. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 7 см,
диагональ боковой грани равна 5 см, диагональ основания
равна Зсм. Найдите площадь полной поверхности парал­
лелепипеда.
5. Решите систему уравнений:
6. В правильной треугольной пирамиде площадь боковой по­
верхности равна 96VS cm2, а площадь полной поверхности
112л/3см2. Найдите объем пирамиды.
7. Решите неравенство: х 2 + 9 < 6х.
8. Периметр равнобочной трапеции в 8 раз больше радиуса
вписанной окружности. Найдите угол при основании тра­
пеции.
9. Решите уравнение: у/х + 3 “ 1 = 0.
10. Определите площадь прямоугольного треугольника, если
медиана и высота, проведенные из прямого угла, делят этот
угол на три равные части, а сама медиана равна 15 см.
88

11. Решите неравенство:

< 0.

12. Диагональ осевого сечения цилиндра равна Зсм. Найдите
объем цилиндра с наибольшей площадью боковой поверх­
ности.
13. Решите уравнение: lg®4 — ^

= 2.

14. Около круга радиуса 4 описана трапеция с углами при осно­
вании 45° и 60°. Найдите периметр трапеции.
15. Решите неравенство:

|

16. Известно, что в треугольнике стороны составляют геоме­
трическую прогрессию. Докажите, что высоты этого тре­
угольника также составляют геометрическую прогрессию.
17. Решите неравенство: 0 < З®2-*-*6 < 1.
18. Диагональ равнобочной трапеции равна 4 см и образует с
боковой стороной прямой угол, а с большим основанием
угол 30°. Определите радиус описанной окружности.
19. Решите уравнение: х — у/х - 6 = 0.
20. В треугольнике А ВС высота AD на Зсм меньше сторо­
ны ВС. Сторона АС равна 6 см. Найдите периметр тре­
угольника А БС, если его площадь равна 18 см2.
21. Решите уравнение: sin® = cost .
22. К окружности радиуса 10 см проведены касательные из точ­
ки, расположенной на расстоянии 12 см от центра окружно­
сти. Найдите расстояние между точками касания.
23. Решите неравенство: logi

< 0.

24. В правильной треугольной пирамиде ребро равно Зсм и
площадь боковой поверхности 48 см2. Найдите высоту пи­
рамиды.

89

25. Решите неравенство:

> 3.

26. В правильной треугольной пирамиде дана высота Зсм и
площадь боковой поверхности 48 см2. Найдите объем пи­
рамиды.
27. Постройте график функции: у = у/(х —I)2.
28. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит ква­
драт. Диагональ параллелепипеда равна 2 см и образует
с прилежащей стороной основания угол 60°. Определите
высоту параллелепипеда.
29. Решите уравнение: 5 sin х - 2 cos а; = 0.
30. Основанием прямой призмы служит равнобочная трапеция
с острым углом 30°. Радиус вписанной в основание окруж­
ности равен 1 см. Определите площадь полной поверхности
призмы, если ее высота равна 2 см.
31. Решите систему уравнений:
32. Диагональ равнобокой трапеции равна 6 см и образует с
боковой стороной прямой угол, а с большим основанием
угол 60°. Найдите площадь трапеции.
33. Вычислите: cos ( f - a r c sin |).
34. ABCD - прямоугольник, большие стороны которого AD
и В С имеют длину 14 см. Точка Е лежит на стороне ВС,
причем АВ = B E . Определите, при какой длине меньшей
стороны прямоугольника площадь треугольника А ЕС бу­
дет максимальной.
35. Найдите точки минимума функции: у = х —cosx.
90

36* В параллелограмме острый угол равен 60° и расстояния от
точки пересечения диагоналей до неравных сторон равны 3
и 2 см. Найдите площадь параллелограмма.
37. Решите систему уравнений:
38. В параллелограмме острый угол равен 60° и расстояния от
точки пересечения диагоналей до неравных сторон равны 3
и 2 см. Найдите диагонали параллелограмма.
39. Докажите тождество: cos4 а -|- \ cos2( f -f 2а) = cos2 а.
40. Основанием прямой призмы служит равнобочная трапеция
с острым углом 60° и боковой стороной 4 см. Определите
объем призмы, если ее высота равна Зсм.
41. Решите неравенство: logi(a: —| ) < 2.
42. В треугольнике основание равно 60 см, высота 12 см и меди­
ана, проведенная к основанию, 13 см. Определите периметр
треугольника.
43. Решите уравнение: 32х - 8 • 3* —9 = 0.
44. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его
высота равна 2 см, а периметр 10см.
45. При каких значениях а уравнение За:2 —6а; + а = 0 будет
иметь два различных положительных корня?
46. Основанием пирамиды служит прямоугольный треуголь­
ник с острым углом 30°. Этот треугольник вписан в основа­
ние конуса с радиусом 1см. Вершина пирамиды совпадает
с серединой одной из образующих конуса. Найдите отноше­
ние объема конуса к объему пирамиды.
47. Найдите наименьшее значение функции: у = х + | .

91

48. Основанием пирамиды служит прямоугольный треуголь­
ник с катетами 9 и 12 см. Все двугранные углы при основа­
нии пирамиды равны 60°. Найдите высоту пирамиды.
49. Упростите выражение: ^/2(i~4^cos2a),

(|,7 г).

50. Найдите периметр равнобедренного треугольника, если его
основание б см, а высота, опущенная на основание, равна
длине отрезка, соединяющего середины основания и боко­
вой стороны.
51. Найдите область определения функции: у =
52. Объем правильной треугольной пирамиды равен 60см3.
Найдите ее высоту.
53. Решите систему уравнений:
54. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда рав­
ны б и 8 см. Диагональ параллелепипеда составляет с плос­
костью основания угол 45°. Определите объем параллеле­
пипеда.
55. Решите уравнение: lg(3z2 —7) —lg(3z - 7) = 1.
56. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды дли­
ной Зсм наклонено к плоскости основания под углом 45°.
Найдите объем пирамиды.
57. Решите уравнение: 5х —0 ,2х = 4.
58. Объем правильной четырехугольной пирамиды - 60 см3.
Угол наклона ее бокового ребра к плоскости основания par
вен 30°. Найдите боковое ребро пирамиды.
59. Решите уравнение: cos(7r - 0 ,5х) + cos(7r -f 0 ,5ж) = 0.
92

60. Площадь боковой поверхности правильной четырехуголь­
ной пирамиды равна 40 см2, высота пирамиды 10 см. Най­
дите объем пирамиды.

ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Специальность: Природопользование
Приложение к билетам устного экзамена
1. Решите неравенство: ^

> 3-д^ 10.

2. Сторона правильного треугольника равна Зсм. Из центра
его радиусом ^ см описана окружность. Определите пло­
щадь части треугольника, лежащей вне этой окружности.
3. Решите неравенство: log*. ^ 3 > 0.
4. Определите угол ромба, зная его площадь 4см 2 и площадь
вписанного в него круга 7гсм2.

5. Постройте график функции: у = log2 \х + 3|.
6. Из точки, отстоящей от центра круга на 8 см, проведены

касательные к кругу. Расстояние между точками касания
равно 4 см. Найдите радиус круга.
7. Решите уравнение: log2(За; - 1 ) - log2(4 - х) = 4 - log2(х —1 ).
8. Стороны треугольника равны 25 см, 24 см и 7 см. Опреде­

лите радиусы вписанного и описанного кругов.
9. Решите уравнение: y/lgx = lgy/x.
10. В равнобедренный треугольник вписан круг. Одна из сто­

рон треугольника разделена точкой касания на части, рав­
ные 6 и 8 см. Найдите площадь треугольника.
11. Решите неравенство: 0, 4х2-*-20 > 1 .
93

12. Диагонали прямого параллелепипеда равны 8 и 10 м, сто­
роны основания - 5 и 3 м. Найдите его объем.
13. Решите уравнение: (§ )3х_2х = ( | ) 2 .
14. Площадь основания конуса равна 47т, площадь осевого се­
чения 12. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
15. Решите неравенство: у/х2 —7х > -2 .
16. Диаметр конуса равен его образующей. Найдите объем ко­
нуса, если его высота равна 6 см.
17. Решите уравнение: у/(х + 6) (х + 1) = 6.
18. Около круга радиуса 1см описана прямоугольная трапе­
ция, наименьшая из сторон которой равна | . Определите
площадь трапеции.
19. Решите уравнение: sin2 Зх + sin х + cos2 Зх = 0.
20. Около круга радиуса 1 см описана прямоугольная трапе­
ция, наименьшая из сторон которой равна §. Площадь тра­
пеции равна |с м 2. Определите стороны трапеции.
21. Постройте график функции: у =

2 tir —

д.

22. Диаметр конуса равен его образующей, площадь полной по­
верхности равна 15 см2. Найдите объем конуса.
23. Упростите выражение yj 1 - sin2 f - f y 'l - cos2 f , если §7Г <
x <

37Г.

24. Основание прямого параллелепипеда - ромб, у которого
меньшая диагональ равна 2 см, острый угол равен 60°.
Площадь, боковой поверхности равна 12 см2. Найдите объ­
ем параллелепипеда.

94

25. Решите систему:

X2 - у2 = 5,
ху = 6.

26. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны
л/5, >/15, лДЗсм. Найдите его объем.
27. Решите неравенство: (5я —2) logi х < 0.
28. Площадь поверхности куба равна 96 см2. Найдите его объ­
ем.
29. Решите неравенство: (я —5)2 > 37 — (я — 10)2.
30. Периметр ромба равен 20 см, сумма диагоналей - 14 см.
Найдите площадь ромба.
31. Найдите сумму трехзначных натуральных чисел, меньших
200.
32. Периметр равнобокой трапеции вдвое больше длины впи­
санной окружности. Найдите синус угла при основании
трапеции.
33. Решите систему:
34. Стороны оснований правильной 3-угольной усеченной пира­
миды равны 3 и 6 см, высота равна 0,5 см. Найдите пло­
щадь ее полной поверхности.
35. Решите неравенство: 29х~ х3 < 1.
36. В равнобедренном треугольнике угол при основании ра­
вен 30°, а основание равно Зсм. Найдите отношение ра­
диусов вписанной и описанной окружностей.
37. Не вычисляя корней x i и Яг уравнения 2я2 + 5я - 3 = 0,
найдите я2 + я 2.
95

38. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной 1см,
высота пирамиды равна 2 см и проходит через вершину
основания. Найдите площадь полной поверхности пирами­
ды.
39. Решите уравнение: 2 cos2 х —sin 2х + 4 sin2 х = 2.
40. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 и
15 см, все боковые ребра имеют равные длины, высота пи­
рамиды равна 4 см. Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.
41. Решите уравнение: у/х2 —2х —3 = —х 2 + Ах — 3.
42. Параллельные стороны трапеции равны 2 и 4 см. Опреде­
лите длину отрезка, параллельного им и делящего площадь
трапеции пополам.
43. Найдите все г/, для которых х = —§ является решением
неравенства х 2 —^ > х -f £.
44. Около круга радиуса 6 см описан равнобедренный тре­
угольник с углом 120°. Определите его стороны.
45. Решите уравнение: (\/2 )4х+5 = (sin \ ) 3 .
46. Найдите площадь боковой поверхности правильной 4-уголь­
ной усеченной пирамиды, стороны оснований которой рав­
ны 10 см и 2 см, а высота Зсм.
47. Решите систему:
48. Основанием пирамиды служит прямоугольный треуголь­
ник с катетами, равными 6 и 8 см. Все двугранные углы
при основании пирамиды равны 60°. Найти высоту пира­
миды.
96

49. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
f ( x) = Зж4 - 4я3 —12х2 + 5
на отрезке [—2; 3].
50. В ромб, который делится своей диагональю на два равно­
сторонних треугольника, вписана окружность радиуса 1см.
Найдите длину стороны ромба,
51. Постройте график функции: у = щгц52. Около круга с радиусом 2 см описана равнобочная трапе­
ция, площадь которой 20 см2. Найдите длины сторон траг
пеции.
53. Решите уравнение:

= 0.

54. В прямой треугольной призме A B C A iB \C \ длины всех ре­
бер равны 1. Найдите угол между АА\ и ВС\ .
55. Решите неравенство: 27 > (^ )х .
56. Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга,
равна 6 см2. Определите длину боковой стороны этой тра­
пеции, если известно, что острый угол при ее основании
равен
57. Решите уравнение: 2 logg х = 3 log5 х + 2.
58. Дана призма А В С А \В \С \ , основанием служит треуголь­
ник ЛВС, у которого АВ = АС = 30 см, ВС = 36 см,
АА\ = 39 см. Вершина А\ одинаково удалена от вершин Л,
В и С. Найдите площадь полной поверхности призмы.
59. Решите уравнение: cos4 х - sin4 х =
60. Сторона основания правильной 4-угольноЙ пирамиды равна
6 см, площадь боковой поверхности равна 60 см2. Найдите
высоту пирамиды.
97

БИОЛОГО-ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Специальность: Химия
Приложение к билетам устного экзамена
1. Найдите угловые коэффициенты касательных к кривой у =
х 2 — х — 2 в точках пересечения этой кривой с осью абсцисс.
2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды дли­
ной 3 см образует с плоскостью основания угол 30°. Най­
дите объем пирамиды.
3. Постройте график функции: у = logifa; —2)2.
2

4. Периметр прямоугольного треугольника равен 132, а сумма
квадратов сторон треугольника - 6050. Найдите стороны
треугольника.
5. Решите уравнение: жlg 3 —1 = 2 lg 3 —lg(3x -f 1).
6. Дан треугольник со сторонами 10, 14, 17. Определите,
является ли этот треугольник тупоугольным?
7. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Сумма
их равна 62, а сумма их десятичных логарифмов равна 3.
Найдите эти числа.
8. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен
Угол наклона ее бокового ребра к плоскости основания ра­
вен 45°. Найдите боковое ребро.
9. Найдите точки, в которых касательная к графику функции
у = (х —1)2(х —2) параллельна оси абсцисс.
10. Площадь боковой поверхности правильной четырехуголь­
ной пирамиды равна 60 см2, высота пирамиды 8 см. Най­
дите сторону основания пирамиды.
98

И. Из круглого бревна, диаметр которого равен 60 см, требу­
ется вырезать балку прямоугольного сечения так, чтобы
площадь сечения была наибольшей. Найдите размеры это­
го сечения.
12. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а
высота 20 см. Найдите высоту, опущенную на боковую сто­
рону.
13. Найдите область определения функции: у = lg2a;(4 - я2).
14. Основанием прямой призмы служит равнобедренный тре­
угольник, основание которого равно 2 см и угол при основа­
нии равен 30°. Определите объем призмы, если ее боковая
поверхность равна сумме площадей ее оснований.
15. Решите неравенство: log0|5(5s —2) < log05(3 - 2ж).
16. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 4 см.
Двугранный угол при основании равен 45°. Найдите пол­
ную поверхность пирамиды.
17. Решите уравнение: log3 ^З*2- * - 9 -f

= log4 0,25.

18. Дана правильная треугольная пирамида, полная поверх­
ность которой равна 80 см2, угол между боковой гранью и
основанием пирамиды равен 60°. Найдите сторону основаг
ния пирамиды.
19. Решите систему уравнений: I

^

\lg * + lgy = 31g2.
20. Образующая конуса равна 3 см и составляет с плоскостью
основания угол 45°. Определите объем конуса.
21. Найдите ж, если logar256 = - l | .
99

22. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°, а сум­
ма длин его высоты и образующей равна 12 см. Найдите
полную поверхность конуса.
23. Решите уравнение: 9х* 1 + 92х~1 = 54 • 27х-1.
24. В параллелограмме даны острый угол 30° и расстояния
1см и 2 см от точки пересечения диагоналей до неравных
сторон. Определите площадь параллелограмма.
25. Решите неравенство: logi

< 0.

26. В треугольнике основание равно 60 см, высота 12 см и меди­
ана, проведенная к основанию, 13 см. Определите боковые
стороны треугольника.
27. Решите уравнение: 3 • 22^ ^ -1) —2 ^ —8 = 0.
28. В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат
на сторонах первого, а стороны составляют со стороной ква­
драта углы по 30°. Какую часть площади данного квадрата
составляет площадь вписанного?
29. Решите уравнение: 2х2_6х" 2'5 = 16\/230. В прямоугольник со сторонами 3 и 4 см вписан другой пря­
моугольник, стороны которого относятся как 1:3. Найдите
стороны этого прямоугольника.
31. Решите неравенство: Iog2

> 0.

32. Объем конуса равен 60 см3. Высота его разделена на три
равные части и через точки деления проведены плоскости,
параллельные основанию. Найдите объем средней части.
33. Найдите наибольшее значение функции: у = 2cosx.
100

34. В правильную треугольную призму вписан шар. Найдите
отношение поверхности шара к полной поверхности приз­
мы.
35. Решите неравенство: 4^ + 3 > у+зГб36. Найдите стороны прямоугольного треугольника, если из­
вестны его периметр 8 см и высота 1см.
37. Упростите выражение:
38. Основаниями правильной усеченной пирамиды служат ква­
драты со сторонами 4 см и Зсм. Боковые ребра наклонены
к плоскости основания под углом 30°. Определите объем
усеченной пирамиды.
39. Решите уравнения: 1 + соэ2ж = 2 cos я.
40. На боковых сторонах С А и С В равнобедренного треуголь­
ника АВС отложены равные отрезки СМ и C N . Опреде­
лите длину этих отрезков, зная периметр 18 см треуголь­
ника А В С , его основание А В = 10 см и периметр 14 см
четырехугольника A M N В .
41. Решите уравнение: tg 5ж + tg Зж = 0.
42. Внутри круга, радиус которого равен 13 см, дана точка М,
отстоящая от центра круга на 5 см. Через точку М про­
ведена хорда АВ = 25 см. Определите длину отрезков, на
которых хорда АВ делится точкой М.
43. Решите уравнение: sin (ж + f ) • cos (я - | ) = 1 .
44. Из точки вне круга проведены две секущие, внутренний от­
резок первой равен 47 м, а внешний 9 м, внутренний отрезок
второй секущей на 72 м больше внешнего ее отрезка. Опре­
делите длину второй секущей.
101

45. Решите уравнение:

= 1-

46. Дана прямоугольная трапеция с основаниями 5 и 8 см и
меньшей боковой стороной 4 см. Определите расстояния от
точки пересечения диагоналей трапеции до основания и до
меньшей боковой стороны.
47. Решите неравенство: |ж —1| < 1 —х.
48. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если ос­
нование его 12 см, а высота, опущенная на основание, равна
прямой, соединяющей середины основания и боковой сторо­
ны.
49. Определите, при каких значениях а уравнение х 2 - а 2( х 1) —х = 0 имеет корни, равные по абсолютной величине.
50. Около круга радиуса 5 см описан равнобедренный треуголь­
ник с углом 120°. Определите его стороны.
51. Решите уравнение:

= 4.

52. Периметр ромба равен 10 см, сумма его диагоналей 8 см.
Найдите площадь ромба.
53. Решите уравнение: (я - \ ) 2 - 3 [х —

=4.

54. Стороны треугольника равны 25, 24 и 7 см. Определите
радиус вписанной окружности.
55. Решите уравнение: sin х • sin 2х -f cos Зх = 0.
56. Вычислите площадь трапеции, параллельные стороны ко­
торой равны 16 см и 44см, а непараллельные - 17 см и 25 см.
57. Первый член геометрической прогрессии равен 3, а послед­
ний равен 24. Определите знаменатель прогрессии, если ее
сумма на 43 больше знаменателя.
102

58. Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма кате­
тов равна сумме диаметров вписанной и описанной окруж­
ностей.
59. Найдите сумму всех двузначных чисел, не делящихся на 3.
60. Большое основание трапеции 12 см, меньшее - 8 см, углы
при большем основании 30° и 45°. Найдите площадь траг
пеции.

ФАКУЛЬТЕТ СОЦИАЛЬНОЙ РАБОТЫ
Специальность: Социальная работа
Письменный экзамен
Вариант 1
1. Решите уравнение: х 2 —12х + 8 log2 16 = 0.
2. Решите неравенство:
3. В студенческой группе доля девушек составляет 20 про­
центов от числа юношей. Какой процент от общего числа
студентов составляют юноши?
4. Найдите tg a , если sin 2а? =
5. При каких значениях х функции f (x) = х —7 и (Дя) =
4 + 3>/х —7 принимают равные значения?
6. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника на 2 см
больше длины гипотенузы. Найдите стороны треугольни­
ка, если его периметр равен 12 см.

Вариант 2
1. Решите уравнение: х 2 - 20ж 4- 32 log2 8 = 0.
103

2. Решите неравенство:
3. В студенческой группе доля девушек составляет 25 про­
центов от числа юношей. Какой процент от общего числа
студентов составляют юноши?
4. Найдите t g a , если sin 2 а =
5. При каких значениях х функции f(x) = х — б и д(х) =
5 + 4л/х —6 принимают равные значения?
6. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника на 4 см
больше длины гипотенузы. Найдите стороны треугольни­
ка, если его периметр равен 24 см.

Вариант 3
1. Решите уравнение: х2 + 8я + 3 log2 16 = 0.

•

2. Решите неравенство:

3. В студенческой группе доля девушек составляет 15 про­
центов от числа юношей. Какой процент от общего числа
студентов составляют юноши?
4. Найдите tg a , если sin 2 а = ^ .
5. При каких значениях х функции f(x) = х —3 и д(х) =
6 4- Ъу/х —3 принимают равные значения?
6. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника на 6 см
больше длины гипотенузы. Найдите стороны треугольни­
ка, если его периметр равен 36 см.

Вариант 4
1. Решите уравнение: х2 —30л; + 27 log2 8 = 0.
2. Решите неравенство:

ar-f-3

104

3. В студенческой группе доля девушек составляет 30 про­
центов от числа юношей. Какой процент от общего числа
студентов составляют юноши?
4. Найдите t g a , если sin 2 а = ^ .
5. При каких значениях х функции f ( x ) = х - 2 и д(х) =
7 + Ъу/ х - 2 принимают равные значения?
6. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника на 8 см
больше длины гипотенузы. Найдите стороны треугольни­
ка, если его периметр равен 48 см.

Решение заданий первого варианта
1.1 . Ответ: i 6 {4;8}.
Решение. Так как log2 16 = 4, то исходное уравнение есть
ничто иное, как «хитрая» запись квадратного: х 2 —12х + 32 = 0,
решение которого дает ответ задачи.
1.2. Ответ: х £ (—1; 1) U (2;+оо).
Решение. Соберем все слагаемые в левой части неравенства
и приведем их к общему знаменателю:
> 0* Так как
3х —9 = 0 при х = 2, то, применяя метод интервалов, получим
ответ задачи.
1 .3. Ответ: 831%.
Решение. Пусть п - число девушек в группе. Тогда из усло­
вия задачи следует, что в группе 5п юношей, а всего в группе
6п студентов. Если 6п - 100%, то число юношей 5п составляет
8 3 от общего числа студентов группы.
1.4. Ответ: 4 ± у/Тъ.
Решение. Пользуясь формулой sin 2а = щ |г ^ , перепишем
условие задачи в виде равенства tg2 а - 8 tg а + 1 = 0. Решение
этого уравнения приводит к ответу задачи.
1.5. Ответ: х = 23.
105

Решение. Решение задачи сводится к решению уравнения
х —7 = 4 + 3\/а; —7 на множестве [7;+оо). Сделаем замену пере­
менных: t =• у/х —7, t > 0. Квадратное уравнение t2 —3£ —4 = О
имеет только один положительный корень: t = 4, которому со­
ответствует единственное значение х = 23.
1.6. Ответ: 3 и 4.
Решение. Пусть а и b - длины катетов, а с - длина гипоте­
нузы. Перепишем условие задачи:

( а + 6 = с + 2,
а-—
}- 6 + с = 12,
а2 + Ь2 = с2,
откуда следует, что с = 5. Кроме того, а + 6 = 7. Перепишем
последнее уравнение системы: а2 + (а — 7)2 = 25. Решая его,
получим ответ задачи.

Ответы для остальных вариантов
2.1. {8; 12}; 2.2. (—2; 2) U (3;+оо); 2.3. 80%; 2.4. 5 ± л/24;
2.5. 31; 2.6. 6 и 8; 3.1. { - 2 ;- 6 } ; 3.2. ( - 4 ; - 3 ) U (4;+оо); 3.3.
8бЦ%; 3.4. 6 ± V35; 3.5. 39; 3.6. 12 и 9; 4.1. {3; 27>; 4.2.
(—3; 2) U (3;+оо); 4.3. 7бЦ%; 4.4. 7 ± у/48; 4.5. 51; 4.6. 12 и
16.

ФАКУЛЬТЕТ СОЦИОЛОГИИ И ФИЛОСОФИИ
Специальность: Социология
Письменный экзамен
См. специальность: Социальная работа.

106

Содержание
Вступительный экзамен по математике............................3
Программа устного эк зам ен а.............................................. 5
Математический ф акультет................................................. 7
Институт экономики и управления................................. 29
Физический ф акультет.........................................................47
Нефтяной ф ак у л ьтет........................................................... 68
Экологический ф ак у л ьтет..................................................78
Факультет психологии и педагогики............................... 83
Географический ф акул ьтет................................................93
Биолого-химический ф ак у л ьтет....................................... 98
Факультет социальной работы........................................ 103
Факультет социологии и философии............................. 106

Лицензия ЛР№ 020411 от 16.02.97. Сдано в производство 10.05.2002.
Печать офсетная. Формат 60x84 71б.
Усл.печ.л. 6,27. Уч.изд.л. 7.
Заказ № 111. Тираж 500 экз.
Издательский дом “Удмуртский университет”,
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 2.