ЕГЭ 2024. Математика. Сборник заданий: 900 заданий с ответами [Вадим Витальевич Кочагин] (pdf) читать постранично, страница - 26

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


 [Настройки текста]  [Cбросить фильтры]

радиусом 2.

194

6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Ответ: окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 2.

К*

2) Пусть число z - x - v y i . Так как |z -3 | = 2, то
+ yi) - 3| = 2. После сложения получим |(х - 3 ) + у/| = 2.

По определению модуля комплексного числа
^ ( jc- З ) 2 + у 2 = 2 . Избавимся от корня: (х - З ) 2 + у 2 = 4 .
Это уравнение задает окружность с центром в точ­
ке (3;0) и радиусом 2.

Ответ: окружность с центром в точке (3; 0) и радиусом 2.
195

I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 - 1 1 классы)

3) Пусть число z = х +y i . Так как |z - (2 - 3 /)| = 2 ,
то |.г + у / - ( 2 - 3 / ) | = 2. | ( х - 2 ) + (у + 3 )/| = 2 ,

У1(х - 2 ) 2 +(у + 3)2 = 2 , ( х - 2 ) 2 + (^ + 3 )2 = 4 .
Решением исходного уравнения |z - ( 2 - 3 / ) | = 2 явля­
ется окружность с центром в точке (2; -3 ) и радиусом 2.

Ответ: окружность с центром в точке (2; -3 ) и ра­
диусом 2.

196

б. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Задние 7.
Изобразите на комплексной плоскости решение
уравнения |z - ( - 2 + 8/)| = |z - 4 |.
Решение.
1 способ. Пусть z = x +yi, подставим г в исходное
уравнение:
|( jc + у / ) - (-2 + 8/ )| = |(х +yi) - 4 |. После выполнения опе­
раций получим уравнение \(х + 2) + (у - 8);| = |(* - 4) +yi |.
По определению модуля комплексного числа получим
^( х + 2 )' + ( y - S ) =yj(x- 4) +у2
х 2 +4х +4+у2-16у +64 =х 2-8х +16 +у2
12jc- 16jy = -52

у= -х+ 34
4

,

3 х + 5 —.
1
Ответ: прямая у - —
2 способ. Если использовать определение модуля
комплексного числа (как расстояние до начала коорди­
нат до точки с координатами (х ; у)), то решить уравнение |(x+2) + (.y-8)i| = |(;c-4)+.y/| — означает найти
точки, равноудаленные от точек А(—2; 8) и J3(4; 0), т.е.
все точки, лежащие на серединном перпендикуляре
3

1

к отрезку АВ. Таким образом, прямая у - —Jt + 3 —
4
4
является серединным перпендикуляром к отрезку АВ.
197

I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10 -1 1 классы)

Задание 8.
Изобразите на комплексной плоскости
уравнения |z - ( - 2 + 8/)| = |z - 4| = |z + 2 |.

решение

Р еш ение.
Если использовать определение модуля комплексно­
го числа (как расстояние до начета координат до точки
с координатами (х ; у )), то решить уравнение
| z - ( - 2 + 8z)| = |z - 4 | = |z + 2| — значит, найти точку, рав­
ноудаленную от точек А ( - 2; 8), В(4; 0), С(-2; 0).
Эта точка является центром окружности, описанной око­
ло треугольника АВС. Так как треугольник является пря­
моугольным, то искомая точка — середина гипотенузы АВ.
198

6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Ответ: точка Е( 1; 4).
Задание 9.
Про комплексное число г известно, что |z - 3| = 2. Най­
дите наименьшее и наибольшее значения |z|.
Решение.
Решением исходного уравнения | z-3| = 2 является
окружность ( х - 3 ) 2 + у 2 = 4 с центром в точке (3; 0)
и радиусом 2. Надо найти наименьшее и наибольшее
значения |z |, т.е. наименьшее и наибольшее расстояние
от начала координат до точек окружности.
Если число z является решением исходного уравне­
ния, то его модуль может принимать значения от 1
включительно до 5 включительно, 1 < |z| < 5. Получим,
что |z| принимает наименьшее значение, равное 1, при
z = 1+ 0 /.
|z| принимает наибольшее значение, равное 5, при
z = 5 + 0 z.
199

I ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)

Ответ: наименьшее значение |z равно 1, наибольшее
значение |z| равно 5.
Задание 10.
Про комплексное число z известно, что |z-5| = |z -2 |.
Найдите наименьшее значение |z|.
Р еш ени е.
1 способ (аналитический). Пусть z = x + y i , подста­
вим в исходное уравнение |(х + y i) - 5| = |(х + yi) - 2|. По
определению модуля получим \1(х ~ 5) 2 + / = \1(х ~ 2 )2 + у 2 .
Решив это уравнение, получим х = 3,5.
Наименьшее

значение

|z| = yjx2 + у 2

принимается

при х = 3,5 и у = 0 и равно 3,5.
Ответ: 3,5.
2 способ ( графический)
Так как модулем комплексного числа z - x \ y i назы­
вается расстояние от начала координат до точки с коор­
динатами ( х ;у ) и известно, что |(*-5 )+ .у г | = |( х - 2 ) + у / |,
200

6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

то в задании требуется найти точки, равноудаленные от
точек с координатами В (5; 0) и А (2; 0).
Все такие точки лежат на серединном перпендику­
ляре к отрезку АВ.
У* к
3 2 1------г~----- _
-2
-1
0

1
1
1

А
ж
V
2

3,5
1 , 1
1 ’9 \
3
4

В
ж
V

W
1

6 х

1

5

-1-2-

Ответ: наименьшее значение z равно 3,5.
Задание 11.
Про комплексное число z известно, что |z - (-2 + 8/)| = |z - 4 |.
Найдите наименьшее значение |z|.
Решение.
Рассмотрим точки А (-2; 8) и В(4; 0).
В решении Задания 7 получено, что множеством то­
чек, удовлетворяющих исходному уравнению, является
серединный перпендикуляр к отрезку АВ:

Так как модулем комплексного числа z = х + yi на­
зывается расстояние от начала координат до точки
201

I ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10-11 классы)

с координатами (х;у), то в задаче требуется найти рас­
стояние от начала координат до серединного перпенди­
куляра к отрезку АВ.

Серединный перпендикуляр пересекает оси Оу и Ох,
1

13

соответственно в точках С(0; 3—) и D (---- ; О)Искомое расстояние равно высоте ОН треугольника
СDO.

Рассмотрим треугольник DOH : ОН = OD : sinLHDO.
Прямая у = —х + 3 — образует с положительным