ЕГЭ 2024. Математика. Сборник заданий: 900 заданий с ответами [Вадим Витальевич Кочагин] (pdf) читать постранично, страница - 26
Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!
[Настройки текста] [Cбросить фильтры]
194
6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Ответ: окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 2.
К*
2) Пусть число z - x - v y i . Так как |z -3 | = 2, то
+ yi) - 3| = 2. После сложения получим |(х - 3 ) + у/| = 2.
По определению модуля комплексного числа
^ ( jc- З ) 2 + у 2 = 2 . Избавимся от корня: (х - З ) 2 + у 2 = 4 .
Это уравнение задает окружность с центром в точ
ке (3;0) и радиусом 2.
Ответ: окружность с центром в точке (3; 0) и радиусом 2.
195
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 - 1 1 классы)
3) Пусть число z = х +y i . Так как |z - (2 - 3 /)| = 2 ,
то |.г + у / - ( 2 - 3 / ) | = 2. | ( х - 2 ) + (у + 3 )/| = 2 ,
У1(х - 2 ) 2 +(у + 3)2 = 2 , ( х - 2 ) 2 + (^ + 3 )2 = 4 .
Решением исходного уравнения |z - ( 2 - 3 / ) | = 2 явля
ется окружность с центром в точке (2; -3 ) и радиусом 2.
Ответ: окружность с центром в точке (2; -3 ) и ра
диусом 2.
196
б. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Задние 7.
Изобразите на комплексной плоскости решение
уравнения |z - ( - 2 + 8/)| = |z - 4 |.
Решение.
1 способ. Пусть z = x +yi, подставим г в исходное
уравнение:
|( jc + у / ) - (-2 + 8/ )| = |(х +yi) - 4 |. После выполнения опе
раций получим уравнение \(х + 2) + (у - 8);| = |(* - 4) +yi |.
По определению модуля комплексного числа получим
^( х + 2 )' + ( y - S ) =yj(x- 4) +у2
х 2 +4х +4+у2-16у +64 =х 2-8х +16 +у2
12jc- 16jy = -52
у= -х+ 34
4
,
3 х + 5 —.
1
Ответ: прямая у - —
2 способ. Если использовать определение модуля
комплексного числа (как расстояние до начала коорди
нат до точки с координатами (х ; у)), то решить уравнение |(x+2) + (.y-8)i| = |(;c-4)+.y/| — означает найти
точки, равноудаленные от точек А(—2; 8) и J3(4; 0), т.е.
все точки, лежащие на серединном перпендикуляре
3
1
к отрезку АВ. Таким образом, прямая у - —Jt + 3 —
4
4
является серединным перпендикуляром к отрезку АВ.
197
I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10 -1 1 классы)
Задание 8.
Изобразите на комплексной плоскости
уравнения |z - ( - 2 + 8/)| = |z - 4| = |z + 2 |.
решение
Р еш ение.
Если использовать определение модуля комплексно
го числа (как расстояние до начета координат до точки
с координатами (х ; у )), то решить уравнение
| z - ( - 2 + 8z)| = |z - 4 | = |z + 2| — значит, найти точку, рав
ноудаленную от точек А ( - 2; 8), В(4; 0), С(-2; 0).
Эта точка является центром окружности, описанной око
ло треугольника АВС. Так как треугольник является пря
моугольным, то искомая точка — середина гипотенузы АВ.
198
6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Ответ: точка Е( 1; 4).
Задание 9.
Про комплексное число г известно, что |z - 3| = 2. Най
дите наименьшее и наибольшее значения |z|.
Решение.
Решением исходного уравнения | z-3| = 2 является
окружность ( х - 3 ) 2 + у 2 = 4 с центром в точке (3; 0)
и радиусом 2. Надо найти наименьшее и наибольшее
значения |z |, т.е. наименьшее и наибольшее расстояние
от начала координат до точек окружности.
Если число z является решением исходного уравне
ния, то его модуль может принимать значения от 1
включительно до 5 включительно, 1 < |z| < 5. Получим,
что |z| принимает наименьшее значение, равное 1, при
z = 1+ 0 /.
|z| принимает наибольшее значение, равное 5, при
z = 5 + 0 z.
199
I ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)
Ответ: наименьшее значение |z равно 1, наибольшее
значение |z| равно 5.
Задание 10.
Про комплексное число z известно, что |z-5| = |z -2 |.
Найдите наименьшее значение |z|.
Р еш ени е.
1 способ (аналитический). Пусть z = x + y i , подста
вим в исходное уравнение |(х + y i) - 5| = |(х + yi) - 2|. По
определению модуля получим \1(х ~ 5) 2 + / = \1(х ~ 2 )2 + у 2 .
Решив это уравнение, получим х = 3,5.
Наименьшее
значение
|z| = yjx2 + у 2
принимается
при х = 3,5 и у = 0 и равно 3,5.
Ответ: 3,5.
2 способ ( графический)
Так как модулем комплексного числа z - x \ y i назы
вается расстояние от начала координат до точки с коор
динатами ( х ;у ) и известно, что |(*-5 )+ .у г | = |( х - 2 ) + у / |,
200
6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
то в задании требуется найти точки, равноудаленные от
точек с координатами В (5; 0) и А (2; 0).
Все такие точки лежат на серединном перпендику
ляре к отрезку АВ.
У* к
3 2 1------г~----- _
-2
-1
0
1
1
1
А
ж
V
2
3,5
1 , 1
1 ’9 \
3
4
В
ж
V
W
1
“
6 х
1
5
-1-2-
Ответ: наименьшее значение z равно 3,5.
Задание 11.
Про комплексное число z известно, что |z - (-2 + 8/)| = |z - 4 |.
Найдите наименьшее значение |z|.
Решение.
Рассмотрим точки А (-2; 8) и В(4; 0).
В решении Задания 7 получено, что множеством то
чек, удовлетворяющих исходному уравнению, является
серединный перпендикуляр к отрезку АВ:
Так как модулем комплексного числа z = х + yi на
зывается расстояние от начала координат до точки
201
I ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10-11 классы)
с координатами (х;у), то в задаче требуется найти рас
стояние от начала координат до серединного перпенди
куляра к отрезку АВ.
Серединный перпендикуляр пересекает оси Оу и Ох,
1
13
соответственно в точках С(0; 3—) и D (---- ; О)Искомое расстояние равно высоте ОН треугольника
СDO.
Рассмотрим треугольник DOH : ОН = OD : sinLHDO.
Прямая у = —х + 3 — образует с положительным
Последние комментарии
10 часов 48 минут назад
10 часов 50 минут назад
23 часов 33 минут назад
1 день 2 часов назад
2 дней 12 часов назад
2 дней 21 часов назад