ЕГЭ 2024. Математика. Сборник заданий: 900 заданий с ответами [Вадим Витальевич Кочагин] (pdf) читать постранично, страница - 28

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


 [Настройки текста]  [Cбросить фильтры]

годовых, причем х + у = 20%. В январе 2014 года
клиент открыл счет в банке, положив на него некоторую
сумму. В январе 2015 года, по прошествии года с того мо­
мента, клиент снял со счета десятую часть этой суммы.
Найдите значение х, при котором сумма на счету клиента
в январе 2016 года станет максимально возможной.
Решение.
Пусть в январе 2014 года клиент положил на счет
S руб. Составим таблицу.
О ставш аяся сумма, руб.

Время

S + 0,01xS
S + 0,01xS - 0,1S = 0,9S +
+ 0,01xS
0 ,9 S + 0,01xS + 0,01i/ x
x (0 ,9 S + 0,01xS)

Январь 2015 года
Снял десятую часть
Январь 2016 года

Преобразуем
выражение
0 ,9 5 + 0 ,0 1 x 5 + 0,01г/ х
х ( 0 , 9 5 + 0 , 0 1 x 5 ) = ( 0 , 9 5 + 0 , 0 1 х 5 ) ( 1 + 0,01г/),
где у = 20 - х . Имеем: (0,9 5 + 0,01х5)(1 + 0,01(20 - х)).
Раскроем скобки и получим квадратичную функцию
от х: f(x ) = -O.OOOlSx2 + 0,0 0 3 Sx + 1,08S.
Данная функция принимает наибольшее значение в
вершине параболы х верш = - — , т.е.
0,0035 ^ 35
*веРш- _2 . o,0 0 0 1 S ~ 0 ,2 S
Ответ: 15.
КРЕДИТЫ
В экономических задачах на ЕГЭ, связанных с кре­
дитами, обычно нужно установить связи между следу­
ющими условиями:
1) суммой (5), взятой в кредит;
2) погашением процентов по кредиту (выплата банку
за пользование его деньгами);
207

II. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ИЗ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ (7-11 классы)

3) погашением долга по кредиту (погашение суммы S);
4) регулярные периодические (в конце каждого пе­
риода) выплаты, состоящие из погашения процентов и
погашения долга по кредиту;
5) срок кредита.
В таких задачах может потребоваться найти:
— сумму выплат по процентам банку;
— сумму периодических выплат банку;
— срок, в течение которого при данных условиях
кредита и платежа клиент сможет полностью распла­
титься с банком, и т.д.
При решении задач важно понимать условия креди­
тования: каждый период требуется выполнять одинако­
вые выплаты (аннуитетные платежи) или выплаты бу­
дут уменьшаться от периода к периоду (дифференциро­
ванные платежи).
ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЕ ПЛАТЕЖИ
Задание 5. Клиент в банке взял в кредит 400 тыс.
рублей на 4 месяца. Причем каждый платежный пери­
од долг сначала возрастает на 10% по сравнению с кон­
цом предыдущего платежного периода, а затем вносится
оплата так, что долг становится на одну и ту же вели­
чину меньше долга на конец предыдущего платежного
периода. Сколько составит переплата клиента банку?
Решение.
За 4 месяца нужно погасить весь кредит, т.е. отда­
вать каждый месяц по 100 тыс. рублей. Кроме того,
нужно каждый месяц выплачивать проценты за поль­
зование кредитом. Занесем данные в таблицу.

Месяц

Долг в
начале
периода,
тыс. руб.

Начислен­
ные процен­
ты, тыс.
руб.

Выплата
по долгу,
тыс. руб.

Регулярная
выплата, тыс.
руб.

1

400

0,1-400 = 40

м

100+40 = 140

2

300

0,1-300 = 30

208

=100

4
100

100+30 = 130

1. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Месяц

Долг в
начале
периода,
ты с. руб.

Начислен­
ные процен­
ты, тыс.
руб.

Вы плата
по долгу,
тыс. руб.

Регулярная
вы пл ата, тыс.
руб.

3

200

0 ,1 -2 0 0 = 20

100

1 0 0 + 2 0 = 120

4

100

0 ,1 -1 0 0 = 10

10 0

1 0 0 + 1 0 = 110

Все выплаты банку составят 140 + 130 4- 120 + 110 =
= 500 тыс. рублей. Переплата составит 100 тыс. рублей.
Ответ: 100 тыс. руб.
Задание 6. В июле планируется взять кредит в бан­
ке на сумму 1 млн рублей на некоторый срок (целое
число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по срав­
нению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо вы­
платить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и
ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что
общая сумма выплат после его погашения равнялась
1,5 млн рублей?
Решение.
По условию задачи в июле каждого года долг дол­
жен быть на одну и ту же величину меньше долга на
июль предыдущего года, т.е. выплата в счет погашения
долга в каждый период одна и та же, равная 1 (диф­
ференцированные платежи), где п — количество перио­
дов (лет) выплаты кредита. Заполним таблицу с первой
строки слева направо.

Год

Долг в
начале
периода,
млн руб.

Начисленные
проценты, млн
руб.

1

1

0 ,1

Вы плата Регулярная вы п л а­
по долгу,
та, млн руб.
млн руб.
1

п

0 ,1 + -

Т1
209

II. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ИЗ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ (7 - 1 1 классы)

1
=

п

. 0,1- М

о д -М +1 =
1

п

п

п

п

=од+М

п

п

...

II

п

одН ) =

1-2

3

0,1 - —

п

и

п

О

i- I

2

В ы п л ата
Р егулярн ая вы п л а­
по долгу,
та, млн руб.
млн руб.

V = 12

Начисленные
проценты, млн
руб.

о
м
1

Д олг в
начале
Год
периода,
млн dv6.

...

!

»4-м1)=

(»- 1)
п

.

0,1

01