С точки зрения логики. 9 логико-философских очерков [Уиллард Ван Орман Куайн] (pdf) читать онлайн

М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б РА ЗО ВА Н И Я Р О С С И Й С К О Й Ф ЕД ЕРА Ц И И
ТО М С КИ Й ГОСУДАРСТВЕННЫ Й У Н И В ЕРС И ТЕТ

Уиллард Вэн Орман КУАЙН

С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ЛОГИКИ
9 логико-философских очерков
Перевод с английского
В.А . Ладова и В А . Суровцева

Под общей редакцией В. А. Суровцева

И ЗД А Т Е Л ЬС Т В О Т О М С К О Г О У Н И В Е Р С И Т Е Т А

2003

FROM A LOGICAL POINT OF VIEW
9 Logico-Philosophical Essays
Willard Van Orman QUINE
P rofessor o f P hilosop hy
Harvard U niversity

Harvard University Press
Cambridge, Massachusetts - 1953
УДК I

ББК 1025
K88

Куайн Уиллард B jh Орман
С т о ч к и зр ен и я л о ги к и : 9 л о ги к о -ф и л о с о ф с к и х о ч е р к о в / П ер. с
ан гл. В .А . Л а д о в а и В .А . С у р о вц ев а; П о д о б щ . ред. В .А . С у р о вц ев а. Т ом ск : И зд -в о Том . у н -т а, 20 0 3 . - 166 с. - (Б и б л и о т е к а а н а л и т и ч е с к о й
ф и л о со ф и и ).
ISBN 5-7511-1730-1
Очередной выпуск библиотеки аналитической философии представляет
русскоязычному читателю классический текст, в котором осуществлена попыт­
ка синтеза американского прагматизма с методами аналитической философии.
Издание приурочено к 50-летию выхода книги на языке оригинала и предназна­
чено для философов, логиков, лингвистов.
УДК 1
М>К 1025

И н)а nut' подготовлено при поддержке грантов РГНФ X? 03-03-00363а%
РФФИ № 03-06-S03S9, Президента ГФ М МК-2417.2003.06.

ISBN 5-7511-1730-1

© Перевод на русский язык
В.А. Ладов, В.А. Суровцев, 2003

ПРЕДИСЛОВИЕ

Несколько из этих очерков уже было в целостном виде напечатано в
журналах, другие - в различной степени новые. Ч ерез них проходят две
главные темы. Одна - это проблема значения, затрагиваемая, в частно­
сти, в понятии аналитического высказывания. Другая - это понятие онто­
логического обязательства, затрагиваемое в проблеме универсалий.
Некоторые из опубликованных прежде статей, которые, видимо, сто­
ило бы включить в этот сборник, представляли двойную проблему. С од­
ной стороны, они как статьи частично дублировали друг друга, поскольку
писались так, чтобы избавить читателя от лишнего обращения к библиоте­
ке. С другой стороны, они содержали такие разделы, которые впоследствии
я посчитал плохо выражающими мысль или даже хуже. В результате пока­
залось оправданным несколько очерков воспроизвести достаточно целост­
но под их первоначальными заголовками, тогда как другие нужно было
переработать, отбраковать, совместить, дополнить новым материалом и
перераспределить согласно новым принципам объединения и разъедине­
ния, что привело к их новому названию. О происхождении того, что не
является новым, смотри “Источники очерков” на последних страницах.
О бе темы, обозначенны е в начале предисловия, прослеживаются на
протяжении книги с все больш ей помощью технических средств логики.
П оэтом у на полпути наступает момент, когда изложение этих тем необхо­
д им о прервать с целью некоторой элементарной технической подготовки
в логике. “ Н овые основания для математической логики” перепечатаны
как по этой причине, так и ради самих себя; ибо данная работа фигурировала
в последую щ ей литературе, и в отдельном оттиске все еще есть потребность.
Ее воспроизведение здесь дает также повод для дополнительных замечаний,
касающихся последующ их поисков и соотносящих “Новые основания” с
другими теориями множеств. Однако вторжение чистой логики решительно
ограничивалось.

Содерж ание этого тома, как подробно указано на последних страни­
цах, по больш ей части перепечатано или принято с соответствую щ им и
изменениями из R eview o f M etaphysics, P h ilo so p h ica l Review, J o u rn a l o f
Philosophy, A m erican M a th em atical Monthly, J o u rn a l o f S y m b o lic Logic,
P ro ceed in g s o f the A m erican A ca d em y o fA rts a n d S cien ces и P h ilo so p h ica l
Studies. Я благодарю редакторов этих сем и периодических изданий и
издательство “The University o f M innesota P ress” за их л ю б езн о е разре­
ш ение на дальнейш ее использование этого материала.
Я обязан профессорам Рудольфу Карнапу и Д ональду Д эвидсону за
полезную критику ранних набросков “Новых оснований” и “Д вух догм ”,
соответственно и проф ессору Паулю Бернайсу за указанную им ош ибку в
первом издании “Новых оснований” . Критика аналитичности, которой в
основной своей части посвящена работа “Д ве догмы ”, - результат нефор­
мального общ ения, устного и письменного, которое с 1939 года и далее я
имел с проф ессорами Карнапом, А лонзо Черчем, Н ельсоном Гудменом,
Альфредом Тарским и М ортоном Уайтом, им я определённо обязан сти­
мулом к написанию этого очерка и, вероятно, его содерж анием. Гудмену
я также благодарен за критику двух статей, из которых отчасти составле­
на “Логика и овещ ествление универсалий”; Уайту - за обсуж дени е, кото­
рое повлияло на нынешнюю форму этого очерка.
Я выражаю благодарность миссис Мартин Д ж ун за распечатку текста
и распорядителям Гарвардского фонда за предоставленный мне грант. Я
благодарен миссис Дональде П. Куимби и м иссис С. М аршалл Коэн за
помощь в корректуре.
У.В. Куайн
Кем бридж , М ассачусет с

I. О т о м , что е с т ь ........................................................................................................ ..... 7
II. Д в е д о гм ы э м п и р и з м а ...................................................................................... ...... 24
III. П р о б л е м а зн а ч е н и я в л и н г в и с т и к е .......................................................... ...... 49
IV. Т о ж д е с т в о , о с т ен сн я и i и п о с т ази р о в ан и е ........................................... ...... 65
V . Н о в ы е о с н о в а н и я д л я м а т ем ат и ч е с к и й л о г и к и ................................. .......79
V I. Л о г и к а и о в е щ е с т в л е н и е у н и в е р с а л и й ................................................... ......99
V II. З а м е т к и п о т е о р и и р е ф е р е н ц и и ............................................................... ...... 124
V III. Р е ф е р е н ц и я и м о д а л ь н о с т ь ....................................................................... ......132
IX ..З н а ч е н и е и э к зи с те н ц и а л ь н ы й в ы в о д ..................................................... ......151
И с т о ч н и к и о ч е р к о в ........................................................................................... ....... 158
Б и б л и о гр а ф и ч е с к и й у к а з а т е л ь .................................................................... ...... 160

О ТОМ, ЧТО ЕСТЬ

Онтологический вопрос необычен своей простотой. Его мож но сф ор­
мулировать в трёх однослож ны х словах: ‘Что же есть?’ Более того, отве­
тить м ож но одним словом: В с ё ’, и каждый сочтет этот ответ истинным.
Однако это значит просто сказать, что есть всё, что есть. Во всяком слу­
чае, остается м есто для разногласий, и поэтому данный вопрос столетия­
ми остается животрепещ ущим.
П редполож им теперь, что два философа, некто МакЛ"и я, различают­
ся относительно взглядов на онтологию. Предположим, М акЛ'утвержда­
ет, что сущ ествует нечто такое, чего, как упверждаю я, нет. МакЛ' может,
вполне согласованно со своей точкой зрения, описать наше различие во
мнениях, сказав, что я отказываюсь признать определенны е сущ ности. Я,
конечно, протестовал бы, говоря, что в своей формулировке нашего не­
согласия он ош ибается, ибо ссылается на признание мной существования
того вида сущ ностей, которых, как я утверждаю, нет. Но то, что я нахожу
его формулировку нашего несогласия ош ибочной, несущ ественно, ибо в
лю бом случае я склонен считать, что в своей онтологии он ош ибается.
С другой стороны, если я попытаюсь сформулировать наше различие
во мнениях, то, по-видимому, окажусь в затруднительном положении. Я
не могу принять, что сущ ествую т некоторые вещи, которые МакЛ-д оп ус­
кает, а я нет, ибо, принимая, что такие вещи есть, я противоречил бы сво­
ем у собствен ном у их отрицанию.
Если бы это соображ ение было обоснованны м, оказалось бы, что в
лю бом онтологическом споре приверженец отрицаю щ ей стороны нахо­
дился бы в затруднительном положении, не будучи сп особен допустить
то, с чем его оппонент не согласен.
В этом и состоит старая платоновская загадка небытия. Небытие дол ­
ж но в каком-то смы сле быть. Иначе, что это, чего нет? Эту запутанную
доктрину мож но назвать бородой П лат она, и она исторически доказала
свою ж ёсткость, часто притупляя лезвие бритвы Оккама.

Примерно такой ход мысли приводит философ ов типа МакЛ’ а к тому,
чтобы признать бытие там, где они, в противном случае, вполне могли бы
довольствоваться признанием отсутствия чего бы то ни было. Гак, возьмем
Пегаса Если бы Пегаса не было, доказывает МакЛ-, мы, когда используем
данное слово, не могли бы говорить о чем бы то ни бы ло, следовательно,
бессм ы сленно бы ло бы говорить даже то, что Пегаса нет. Таким образом,
думая показать, что последовательно отрицать Пегаса нельзя, он делает
вывод, что Пегас есть.
На самом деле МакЛ' не может соверш енно убедить себя в том, что
какая-то пространственно-временная область, близкая или далёкая, содер­
жит крылатого коня во плоти и крови. Тогда, под давлением последую ­
щих характеристик Пегаса, он говорит, что Пегас - это идея в сознаниях
людей. Однако здесь возникает явное смеш ение. Ради спора мы можем
согласиться, что есть некая сущ ность, и даже сущ ность, единственная в
своем роде (хотя скорее всего это невероятно), которая является менталь­
ной идеей Пегаса, однако эта ментальная сущ ность не есть то, о чем гово­
рят, когда отрицают Пегаса.
МакЛ" никогда не смеш ивает Парфенон с идеей П арфенона. Парфе­
нон - это физическая вещь; идея I [арфенона - ментальна (по крайней мере
согласно версии идей М акХ а, а я не могу предложить лучш ей). Парфе­
нон видим, идея Парфенона невидима. Мы не в состоянии легко вообра­
зить две вещи более несходные и менее подлежащие смеш ению , чем Пар­
ф енон и идея Парфенона. Но, когда мы переходим от П арфенона к Пегасу,
смеш ение возникает, и лишь по одной причине: МакЛ- скорее позволит
себе обманываться самой грубой и вопиющ ей подделкой, нежели призна­
ет небытие Пегаса.
П редставление о том, что Пегас долж ен быть, поскольку иначе было
бы бессм ы сленно говорить даж е то, что Пегаса нет, видимо, и приводит
М акХ’а к элементарному смеш ению . Более проницательные умы, прини­
мая тот же образ в качестве исходного пункта, выдвигают теории о Пега­
се, двусмы сленность которых не столь очевидна, как в случае с МакЛ"ом,
и, поэтому их более слож но искоренить. Например, одного из таких про­
ницательных умов зовут Вимен. Пегас, утверждает Вимен, бытийствует в
качестве неактуализированной возможности. Сказав о П егасе, что тако­
вого нет, мы более точно говорим, что Пегас не обладает специальным
свойством быть действительным. Высказывание о том, что П егас не д ей ­
ствителен, логически уравнивается с высказыванием, что П арф енон не
является красным. Во всяком случае, мы говорим нечто о сущ ности, чьё
бытие не ставится под сомнение.

Вим ен, меж ду прочим, - это один из философ ов, объединивш ихся
для того, чтобы разрушить старое д оброе слово ‘сущ ествует’. Несмотря
на свою поддерж ку неактуализированных возмож ностей, он ограничива­
ет слово ‘сущ ествование’ действительностью - сохраняя, таким образом,
иллю зию онтологического согласия меж ду ним и нами, отвергающ ими
остальную часть его раздутого универсума. В нашем привычном смысле
употребления слова ‘существует’ мы все были склонны говорить, что Пегас
не сущ ествует, подразумевая просто то, что такой сущ ности нет вообщ е.
Если бы П егас существовал, он действительно находился бы в простран­
стве и времени, но только потому, что слово ‘П егас’ имеет пространствен­
но-временны е коннотации, а не потому, что пространственно-временные
коннотации имеет слово ‘сущ ествует’. Если ссылка на пространство и
время отсутствует, когда мы утверждаем существование кубического корня
из 27, то это просто потому, что кубический корень не является простран­
ственно-врем енной вещью, а не потому, что мы двусмысленно употр еб­
ляем слово ‘сущ ествует’1. Однако Вимен все-таки прилагает усилия к со­
гласию, сердечно даруя нам несуществование Пегаса, чтобы затем, в про­
тивоположность тому, что мы подразумеваем под его несуществованием,
утверждать, что Пегас есть. Существование - это одно, говорит он, а бы­
тие - другое. Единственный известный мне сп особ совладать с таким ту­
пиковым исходом - это от дат ь Вимену слово ‘сущ ествует’. Я попыта­
ю сь не использовать его снова, у меня же есть слово ‘есть’. Но хватит о
лексикографии, вернемся к онтологии Вимена.
П еренаселенны й универсум Вимена во многих отнош ениях не при­
влекателен. Он раздраж ает эстетическое чувство тех, кто имеет вкус к
пустынным ландш афтам, но это не худш ее. Трущобы возмож ного у Ви­
мена - это благодатная почва для любых элементов. Пусть, к примеру, в
дверях застрял толстый человек, пусть здесь же застрял и лысый. Это
один и тот же возможный человек или их двое? Как мы решим? Сколько
лю дей мож ет оказаться в этом дверном проеме? Худых больш е, чем тол­
стых. А сколько одинаковых? Или одинаковость делает их одним? В оз­
м ож но ли, чтобы две вещи были одинаковыми? Или же, как говорят, две

' Импульс к терминологическому различию между существованием, примененным к
объектам, актуализированным в проспранстве и времени, и сущ ествованием (сабсистентностью или бытием), примененным к другим сущностям, вероятно, возникает, в частно­
сти, из идеи, что наблюдение уместно только относительно вопросов сущ ествования пер­
вого рода. Но эта идея соверш енно опровергается контрпримером типа ‘пропорция числа
кентавров к числу единорогов'. Если бы такая пропорция была, она была бы абстрактной
сущ ностью , то есть числом. Однако, только исследуя природу, мы заключаем, что как чис­
ло кентавров, так и число единорогов равно 0, и, следовательно, что такой пропорции нет

вещи не совп адаю т ? Или же в конечном счете понятие тож дества просто
не применимо к неактуализированным возможностям? Н о какой смысл
можно найти в разговоре о сущ ностях, относительно которых нельзя о с ­
мысленно говорить об их сам огож дественности и о б их отличии от дру­
гих вещей? С такими элементами просто нельзя ничего сделать. Н екото­
рая попытка реабилитации может быть осущ ествлена посредством фре[еанской терапии единичных понятий2, но я чувствую, что было бы лучше
просто расчистить трущобы Вимена и с этим покончить.
В озм ож н ость вместе с другими модальностями (необходи м остью ,
невозможностью и случайностью) ставит проблемы, в отнош ении которых
я не считаю, что мы должны от них отвернуться. Но мы, по крайней мере,
можем ограничить модальности до целых высказываний. Мы можем пред­
варить наречием ‘возможно’ целое высказывание и с успехом заняться се­
мантическим анализом такого употребления, но от такого анализа, который
должен дать надежду на расширение наш ею универсума, чтобы включить
так называемые возмож ные сущности, действительной пользы мало Я
подозреваю, что главный мотив такого расширения заключается просто в
старом представлении, что Пегас, например, должен быть, поскольку иначе
было бы бессмы сленно говорить даже о том, что его нет.
Однако весь комфорт от категорий вименовского универсума возмож ­
ностей, по-видимому, сводится к нулю, когда мы вносим незначительное
изменение в пример и говорим не о П егасе, а о круглом квадратном купо­
ле Беркли-колледжа. Если бы Пегаса не было, бы ло бы бессм ы сленно го­
ворить о том, что его нет, но тогда, в тех же словах, если бы не было круг­
лого квадратного купола Беркли-колледжа, было бы бессм ы слен но гово­
рить, что нет и его. Н о, в отличие от Пегаса, круглый квадратный купол
Беркли-колледжа нельзя допустить даже в качестве неактуализированно
возмож ного. М ожем ли мы теперь приписать Вим ену также и допущ ение
области неактуализированных невозмож ностей? Если да, то относитель­
но них можно задать весьма много затруднительных вопросов. Мы могли
бы надеяться поймать Вимена на противоречии, заставляя его признать,
что некоторые из этих сущ ностей являются сразу круглыми н квадратны­
ми. Н о находчивый Вимен выбирает другой ход дилеммы и признает, что
бессмы сленно было бы говорить о том, что круглого квадратного купола
на Беркли-колледже нет. Он говорит, что фраза ‘круглый квадратный ку­
пол’ не имеет смысла.
Вим ен - не первый, кто воспользовался этой альтернативой. Доктри­
на бессм ы сленности противоречий имеет свою историю. Более того, дан-

ная традиция сохраняется авторами, которые, по-видимому, не разделяют
мотивов Вимена. И все же я был бы удивлён, если бы первая попытка
такой доктрины, по сути, не основывалась на тех же мотивах, которые мы
наблюдали у Вимена. Эта доктрина определённо не имеет внутренней
привлекательности; она привела своих приверженцев к таким экзотичес­
ким крайностям, как сом нени е в методе доказательства посредством
redu ctio a d absurdum - сомнение, в котором я нахожу redu ctio a d absurdum
самой доктрины.
Кроме того, доктрина бессмы сленности противоречий имеет сильный
методологический недостаток. Она в принципе делает невозмож ной даже
разработку эффективного теста на то, что является осмысленным, а что нет Она навсег да закрыла бы для нас возможность разработки системати­
ческих способов решения того, осмыслено сочленение знаков или же нет, даже индивидуально для нас, не говоря уже о других. И бо из открытия в
области математической логики, принадлежащего Черчу (Church [2]), сле­
дует, что не мож ет быть общ еприменимого теста на противоречивость.
Я пренебреж ительно отозвался о бороде Платона и намекал на ее спу­
танность. Я подробно остановился на неудобствах, с ней связанных. При­
шло время принять меры.
Рассел в своей теории так называемых единичных дескрипций ясно
показал, как м ож но было бы осмы сленно употреблять мнимые имена, не
предполагая, что есть якобы именуемые ими сущ ности. Имена, к кото­
рым непосредственно применяется расселовская теория, - это сложные
описательные имена типа ‘автор У эверли', ‘нынешний король Ф ранции’,
‘круглый квадратный купол Беркли-колледжа’. Рассел систематически
анализирует такие фразы как фрагменты целостных предложений, в ко­
торых они встречаются. П редложение ‘Автор Уэверли был п оэтом ’, на­
пример, в качестве целого объясняется как означаю щ ее ‘Некто (лучше:
нечто) написал Уэверли и был поэтом, и ничто другое не написало У эвер­
ли'. (Суть этого дополнительного предложения в том, чтобы утверждать
единственность, подразумеваемую определенным артиклем ‘the’ в '[the]
автор У эверли '.) П редложение ‘Круглый квадратный купол Беркли-кол­
леджа розовы й’ объясняется так: ‘Нечто есть круглое и квадратное, явля­
ется куполом Беркли-колледжа и является розовым, и ничто другое не
является круглым и квадратным и куполом Беркли-колледжа” .
С помощ ью такого анализа мнимое имя, дескриптивная фраза, пере­
фразируется в конт екст е в качестве так называемого неполного символа.
Нет униф ицированного выражения, предлагаемого как анализ дескрип­
1 Подробнее о теории дескрипций см ниже, с 84 и далее, с 156 и далее.

тивной фразы, но высказывание в качестве целого, которое бы ло контек­
стом этой фразы, все же получает значение - истинное или лож ное - в
полной мерс
Н епроанализированное высказывание ‘Автор Уэверли был п оэтом ’
содерж ит часть ‘автор Усверли', которая, как ош ибочно полагают МакЛ"и
Вимен, требует объективной референции для того, чтобы вообщ е быть
осмысленной. Но в расселовском переводе ‘Нечто написало Уэверли и было
поэтом, и ничто другое не написало У м ерли' бремя объективной реф е­
ренции, которое накладывалось на дескриптивную фразу, теперь берут на
себя слова того вида, которые логики называют связанными переменны ­
ми, переменными квантификации, а именно слова типа ‘неч то’, ‘ничто’,
все'. Эти слова, далекие от претензии на роль имён автора Уэверли, не
претендую т и на то, чтобы вообщ е быть именами; с характерной для них
преднамеренной неоднозначностью они отсылают к сущ ностям вообще'1.
Эти квантификационные слова, или связанные переменны е, являются,
конечно, основополагаю щ ей частью языка, и их осмы сленность, по край­
ней мере в контексте, неоспорима. Тем не менее их осмы сленность не пред­
полагает ни бытия автора Уэверли, ни бытия круглого квадратного купола
Беркли-колледжа, ни бытия любых других наперёд заданных объектов.
Там, где рассматриваются дескрипции, нет больш е каких-либо зат­
руднений в утверж дении или отрицании бытия. Высказывание ‘Автор
Уэверли ест ь’ объясняется Расселом как означаю щ ее ‘Некто (или, точнее,
нечто) написал Уэверли и ничто другое не написало У эверли’ . ‘Автора
Уэверли нет’ объясняется, соответственно, как альтернатива ‘Либо ни одна
вещь не написала Уэверли, либо две или более вещи написали Уэверли'
Эта альтернатива ложна, но осмысленна, и она не содерж ит выражения,
претендую щ его на роль имени автора Уэверли. Высказывание ‘Круглый
квадратный купол Беркли-колледжа не сущ ествует’ анализируется анало­
гично. Таким образом, старое представление, что высказывание о небы­
тии аннулирует само себя, оказывается за бортом Когда высказывание о
бытии или небытии анализируется посредством расселовской теории д е с ­
крипций, оно перестает содержать какое-либо выражение, даж е претен­
дую щ ее на роль имени той якобы сущ ности, о бытии которой идет речь,
поэтому осмы сленность высказывания не может более рассматриваться
как предполагающая, что такая сущ ность есть.
А как же ‘П егас’? Это слово, а не дескриптивная фраза, и аргумент
Рассела не применим к нему непосредственно. Однако легко м ож но с д е ­
лать так, чтобы его применить. Мы только должны перефразировать ‘П е­
4 Болес точную трактовку связанных переменных см. ниже, с. 80, 99 и далее.

гас’ в дескрипцию любым способом , который кажется адекватным, что­
бы выделить нашу о нём идею; скажем, ‘крылатый конь, пойманный Белероф онтом ’. Подставив такую фразу вместо слова ‘П егас’, мы можем
затем продолжить анализ высказывания ‘Пегас ест ь ’ или ‘Пегаса нет’ в
точности по аналогии с расселовским анализом ‘Автор Уэверчи есть’ и
‘Автора Уэверли нет’.
Для того чтобы подвести имя, состоящ ее из одного слова, или мни­
мое имя типа ‘П егас’ под теорию дескрипций Рассела, мы, конечно, дол­
жны быть, преж де всего, способны перевести это слово в дескрипцию.
Но в этом нет действительного ограничения. Если бы понятие о ‘П егасе’
было бы исходным или столь тёмным, что ни один из известных с п о с о ­
бов не предлагал бы подходящ его перевода в дескриптивную фразу, нам
все же м ог бы пригодиться искусственный и кажущийся тривиальным
прием. Мы могли бы апеллировать к ex hypothesis неаналиэируемому и
нередуцируем ом у свойству быт ь П егасом , применяя для его выражения
глагольную ф орму ‘являться П егасом’ или ‘пегаситься’. Сущ ествитель­
ное ‘П егас’ могло бы тогда трактоваться как производное и в конечном
счёте отож дествляем ое с дескрипцией: ‘вещь, которая является 11егасом’
или ‘вещь, которая пегасится” .
Если покажется, что введение предиката типа ‘пегасится’ обязывает
нас признать, что на небесах Платона или в умах лю дей есть соотв етс1вую щ ее свойство пегасинья, то пусть так и будет. Ведь ни я, ни Вимен, ни
Маю\' не заходили так далеко, чтобы говорить о бытии или небытии уни­
версалий, но говорили скорее о бытии Пегаса. Если с точки зрения пега­
синья мы можем интерпретировать существительное ‘П егас’ как дескрип­
цию, подчиняю щ ую ся теории дескрипций Рассела, мы избавляемся от
старого представления, что о небытии Пегаса нельзя говорить, не пред­
полагая, что в каком-то смысле Пегас есть.
Наше доказательство является теперь достаточно общ им МакЛ1 и
Вим ен предполагали, что мы не можем осмы сленно утверждать высказы­
вание формы ‘Того-то нет’ с простым или дескриптивным единичным
существительным на месте ‘того-то’, если этого ‘того-то’ нет. Теперь это
предполож ение выглядит соверш енно безосновательным, так как рассмат­
риваемое единичное сущ ествительное всегда м ож но тривиальным или
иным сп особом расширить д о единичной дескрипции и затем проанали­
зировать а-1а Рассел.
Мы обязаны принять онтологию, содерж ащ ую числа, когда говорим,
что есть простые числа больш е миллиона; мы обязаны принять онтоло’ Д альнейш ие замечания по поводу такой ассимиляции всех единичных терминов
дескрипциями см. ниже, с. 157; а также Quine [2, р. 2 1 8 -224]

гию, содерж ащ ую кентавров, когда говорим, что есть кентавры; мы обя­
заны принять онтологию, содерж ащ ую Пегаса, когда говорим, что Пегас
есть. Н о мы не обязаны принять онтологию, содерж ащ ую П егаса, автора
Ут ерпи или круглый квадратный купол Беркли-колледжа, когда говорим,
что Пегаса, автора У теряй или круглого квадратного купола Беркли-колледжа нет Нам больш е не нужно работать, подчиняясь иллюзии, что о с ­
мысленность высказывания, содерж ащ его единичный термин, предпола­
гает сущность, именуемую этим термином. Единичный термин, чтобы быть
значимым, не нуждается в том, чтобы именовать.
П одозрения на этот счет могли посетить Вимена и МакЛ"а даже и без
помощи Рассела, если бы только они заметили - как это делаю т лишь
немногие, - что пропасть м еж ду значением [m eaning] и им енованием
[namingj имеет м есто даже в случае того единичного термина, который
является подлинным именем объекта. С ледую щ его примера из Ф реге
(Frege [3]) будет достаточно. Фраза ‘Вечерняя зв езда’ им енует некоторый
крупный физический объект сферической формы, который мчится через
пространство за многие миллионы миль отсюда. Фраза ‘Утренняя зв езд а’
именует ту же сам ую вещь, как, вероятно, впервые было зам ечено какимто наблюдательным жителем Вавилона. Но эти две фразы не могут рас­
сматриваться как имеющие одно и то же значение, иначе такой вавилоня­
нин мог бы обойтись б ез своих наблюдений и довольствоваться размыш­
лением о значении собственных слов. Тогда значения, будучи отличны
друг от друга, должны быть чем-то иным, нежели именуемый объект, ко­
торый в обоих случаях один и тот же.
Смеш ение значения с именованием не только заставляло М акХ ’а д у ­
мать, что он не смож ет осмы сленно отвергать Пегаса; оно, б ез сомнения,
способствовало возникновению его абсурдного представления о том, что
Пегас - это идея, ментальная сущность. Суть его смеш ения в следую щ ем .
Он спутал якобы именуемый объект Пегас со значением слова ‘П егас’,
заключая, таким образом, что Пегас должен быть, чтобы это слово имело
значение. Но какого же сорта вещами являются значения? Это спорный
вопрос. Однако можно было бы вполне правдоподобно объяснить значе­
ния как идеи сознания, предполагая, что мы, в свою очередь, мож ем про­
яснить смысл идеи идей сознания. Таким образом , П егас, первоначально
смеш иваемый со значением, оказывается идеей сознания. Еще бол ее при­
мечательно, что Вимен, при той же самой первоначальной мотивации, как
и у МакЛ”а, избежал этой особой ошибки, но взамен запутался в неактуализированных возможностях.
Обратимся теперь к онтологической проблеме универсалий, к вопро­
су о том, есть ли такие сущ ности, как свойства, отнош ения, классы, чис­

ла, функции. МакЛ", и это достаточно характерно, думает, что есть. Говоря
о свойствах, он произносит: “Есть красные дома, красные розы, красные
закаты; на это указывает доф илософ ский здравый смысл, с которым мы
все должны согласиться. Но эти дома, розы и закаты имею т нечто общ ее;
это общ ее как раз и есть то, что я подразумеваю под свойством красности” . Таким образом , для МакЛ”а бытие свойств оказывается даж е более
очевидным и тривиальным, чем очевидный и тривиальный факт бытия
красных дом ов, роз и закатов. Я думаю , в этом состоит характеристика
метафизики или, по крайней мере, той ее части, которая называется онто­
логией. Тот, кто считает, что высказывание на эту тему вообщ е является
истинным, долж ен считать его тривиально истинным. Его онтология яв­
ляется основой для концептуальной схемы, посредством которой он ин­
терпретирует всякий опыт, даже самый заурядный. О бсуж даем ое в рам­
ках некоторой концептуальной схемы онтологическое высказывание (а
как ещ е возмож но суж дение?) принимается как сам о собой разум ею щ ее­
ся и вообщ е не нуждается в особом оправдании. Онтологические выска­
зывания непосредственно следую т из всего комплекса случайных выска­
зываний о заурядном факте, так же как (во всяком случае с точки зрения
концептуальной схемы МакЛ"а) ‘Некое свойство есть’ следует из ‘Есть
красные дом а, красные розы, красные закаты’.
О бсуж даем ое в другой концептуальной схем е онтологическое выска­
зывание, ценное для сознания МакЛ^а, может с равной степенью непос­
редственности и тривиальности признаваться ложным. М ожно допустить
сущ ествование красных домов, роз и закатов, но отрицать, исключая о б ­
щ епринятую и обманчивую манеру речи, что они имеют нечто общ ее.
Слова ‘д о м а ’, ‘розы ’, ‘закаты’ истинны относительно различных индиви­
дуальных сущ ностей, таких как дома, розы и закаты, а слово ‘красный’
или словосочетание ‘красный объект’ истинно относительно каждой из
различных индивидуальных сущ ностей, таких как красные дома, крас­
ные розы, красные закаты; но сверх того нет никакой сущ ности, индиви­
дуальной или какой-то иной, которая именовалась бы словом ‘краснота’
или, в этой связи, словами ‘дом ность’, ‘розовость’, ‘закатность’. То, что и
дома, и розы, и закаты (каж дое из них) являются красными, мож но при­
нять в качестве окончательного и нередуцируемого; и м ож но утверждать,
•что МакЛ", если учитывать реальную объяснительную силу, находится не
п лучш ей ситуации относительно всех тех тайных сущ ностей, которые он
закрепляет за такими именами, как ‘красность’.
О дно из средств, при помощ и которого МакЛ- м ог естественны м обиазом попытаться навязать нам свою онтологию универсалий, было уст­
ранено уж е д о того, как мы обратились к их, универсалий, проблеме. МакЛ"

не может доказать, что такие предикаты, как ‘красный’ или ‘является крас­
ным’, с употреблением которых мы все согласны, должны рассматривать­
ся как имена, причем каждое из них как имя отдельной универсальной
сущ ности, чтобы они вообщ е имели смысл. И бо мы видели, что быть име­
нем чего-то - это гораздо более специфическая черта, нежели быть о с ­
мысленным. Он даж е не может упрекнуть нас (по крайней мере, не с по­
мощью эт ого аргумента) в том, что мы ввели свойство пегасинья, приме­
няя предикат ‘негаситься’.
Однако МакЛ'находит другую хитрость. “Согласимся, - говорит он, с различием меж ду значением и именованием, о котором вы так печетесь.
Согласимся даже с тем, что ‘быть красным’, ‘пегаситься’ и т. д. не являют­
ся именами свойств. Н о все же вы признаете, что они имеют значения. Но
эти значения, именуем ые или же нет, все равно являются универсалиями,
и я рискну сказать, что некоторые из них как раз и могли бы быть теми
самыми вещами, которые я называю свойствами, или чем-то таким, что в
конечном счёте им еет то же сам ое предназначение” .
Для М аю Га это необыкновенно проницательная речь; и единствен­
ный сп особ противостоять ей, насколько мне известно, заключается в том,
чтобы отказаться принимать значения. Однако я не чувствую внутреннего
сопротивления тому, чтобы отказываться от допущ ения значений, ибо тем
самым я не отрицаю, что слова и высказывания осмысленны. МакЛ' и я
можем вполне соглашаться, классифицируя лингвистические формы на
осмысленные и бессмы сленны е, даже при том, что МакЛ' будет понимать
осмысленность как обладание (в определенном смысле слова ‘обладание’)
некоторой абстрактной сущ ностью , которую он называет значением, тог­
да как я - нет. Я по-преж нему волен утверждать, что то, что данн ое линг­
вистическое выражение осмы сленно (или значимо, как я предпочитаю
говорить, чтобы не давать повод для гипостазирования значений в каче­
стве сущ ностей), - это предельное и нередуцируемое положение дел; или
я могу предпринять анализ этого выражения непосредственно с точки зр е­
ния того, как поступаю т люди при наличии рассматриваемого лингвисти­
ческого выражения и других, сходных с ним выражений.
Полезные способы , с помощью которых лю ди обы чно говорят или
кажется, что говорят, о значениях, сводятся к двум; обладание значением,
т.е. значимость, и сходст во значения, т.е. синонимия. То, что называется
приданием выражению значения, - это просто п роизнесени е синонима,
обычно сформулированного в более ясном, чем исходный, языке. Если у
нас аллергия на значения как таковые, то мы можем прямо говорить о
выражениях как о значимых или незначимых и как о разноименны х или
синонимичных друг другу. Проблема объяснения прилагательных ‘значи-

мый’ и ‘синонимичны й’ с какой-то степенью ясности и строгости (что,
как это вижу я, предпочтительно с точки зрения поведения) столь же труд­
на, сколь и важ на\ Н о объяснительная ценность особы х нередуцируемых
промежуточных сущ ностей, называемых значениями, несомненно, иллю­
зорна.
Д о сих пор я доказывал, что мы можем значимо употреблять в пред­
ложениях единичные термины, не предполагая, что есть сущ ности, для
именования которых эти термины предназначены. Я доказывал далее, что
мы мож ем использовать общ ие термины, например предикаты, без того,
чтобы признавать их именами абстрактных сущ ностей. Еще я доказывал,
что мы можем рассматривать выражения как значимые и как разноим ён­
ные или синонимичные друг другу, не поощряя признания сферы сущ но­
стей. называемых значениями. В этом пункте МакА”а начинает интересо­
вать, есть ли вообщ е какой-то предел нашему онтологическому иммуни­
тету? М ожем ли мы сказать, что нет ничего такого, что обязывало бы д о ­
пустить универсалии или другие сущ ности, которые мы можем найти не­
желательными?
Я уж е предлагал отрицательный ответ на этот вопрос, говоря о свя­
занных переменны х или переменных квантификации в отнош ении тео­
рии дескрипций Рассела. Мы можем с лёгкостью взять на себя онтологи­
ческие обязательства, говоря, например, что ест ь нечто т акое (связан­
ная переменная), что общ им имеют красные дома и закаты; или что есть
нечт о, являющееся простым числом, большим миллиона. Но это, по сути,
единст венны й сп особ, которым, используя связанные переменны е, мы
можем взять на себя онтологические обязательства. Употребление мни­
мых имен не является критерием, ибо, если не оправдается предпосылка
о соответствую щ ей сущ ности среди вещей, которые мы утверждаем с
точки зрения связанных переменных, мы без колебаний можем отверг­
нуть их именуемость. Фактически в онтологическом вопросе имена во­
общ е не играют никакой роли, ибо, как я показал в связи с ‘П егасом ’ и
‘пегаситься’. имена могут быть преобразованы в дескрипции, а Рассел
показал, что дескрипции мож но устранить. В се, что мы говорим с пом о­
щью имён, мож ет быть сказано в языке, который вообщ е избегает имён.
Принимать за сущ ность - просто-напросто значит считать значением пе­
ременной. С точки зрения категорий традиционной грамматики этот под­
ход, грубо говоря, означает, что быть - значит попадать в область реф е­
ренции местоим ения. М естоимения - это основны е средства реф ерен­
ции; сущ ествительны е лучше было бы называть протоместоимениями.
Переменные квантификации (‘нечто’, ‘ничто’, ‘в се’) охватывают всю нашу

онтологию , какой бы она ни была; и мы вынуждены принять о с о б у ю он ­
тологическую предпосылку, если и только если то, на что мы ссылаемся
как на предполож енное, долж но рассматриваться среди сущ н остей , по
области которых пробегают наши переменные, чтобы сделать одн о из на­
ших утверждений истинным.
Мы можем сказать, например, что некоторые собаки белые, и при этом
не связывать себя признанием в качестве сущ ностей ни вида собак, ни
белизны. В высказывании ‘Некоторые собаки белы е’ говорится, что неко­
торые вещи, являющиеся собаками, суть белые; и для того, чтобы это выс­
казывание было истинным, вещи, которые охватывает связанная перемен­
ная ‘нечто’, должны включать некоторых белых собак, но не должны вклю­
чать вид собак или белизну. С другой стороны, когда мы говорим, что
некоторые зоологические виды скрещиваются, мы в качестве сущ ностей
обязаны признать некоторые виды, хотя они и являются абстрактными.
Наше обязательство остается до тех пор, пока мы не придумаем некото­
рого способа перефразировки высказывания, чтобы показать, что кажу­
щаяся референция к видам со стороны нашей связанной переменной пред­
ставляет собой лишь манеру речи, которую мож но устранить7.
Классическая математика, как ясно иллюстрирует пример с просты ­
ми числами, больш ими миллиона, по ш ею увязла в обязательствах к онто­
логии абстрактных сущностей. Знаменитые средневековые дебаты об ун и ­
версалиях вспыхнули с новой силой в современной ф илософ ии математи­
ки. Этот вопрос сейчас выглядит яснее, чем раньше, поскольку теперь у
нас есть более четкий стандарт, согласно которому мы реш аем, с какой
онтолог ией связывает себя та или иная теория или форма дискурса. Т ео­
рия обязывает к тем и только к тем сущностям, на которые долж ны быть
способны указывать связанные переменные этой теории, для того чтобы
сделанные в ней утверждения были истинными.
Поскольку стандарт онтологической предпосылки не был отчетливо
прояснен в философской традиции, постольку современны е философы
математики в целом не осознали, что они обсуж даю т ту же сам ую старую
проблему универсалий в новой, проясненной форме. Н о фундаменталь­
ный раскол среди современны х взглядов на основания математики совер­
ш енно явно сводится к несогласиям относительно той области сущ н ос­
тей, на которую позволительно указывать связанным переменны м.
Три главные средневековые позиции по вопросу универсалий о бозн а­
чаются историками как реализм, концептуачизм и номинализм П о сущ е­
ству эти же самые доктрины вновь возникают в X X веке в изысканиях по
7 Подробнее об тгом см. очерк VI.

! ф илософ ии математики под новыми именами: логицизм, интуиционизм и
формализм.
Реализм, как это слово употребляется в связи со средневековым сп о­
ром об универсалиях, представляет собой платонистскую доктрину, что
универсалии, или абстрактные сущности, независимы от сознания, с о ­
знание мож ет открывать их, но не может их создать. Л оги ци зм , представ­
ленный Ф реге, Расселом, Уайтхедом, Черчем и Карнапом, закрывает гла­
за на то, что связанные переменные указывают на абстрактные сущ ности
безотносительно к тому, известны они или же нет, специфицированы или
не специфицированы.
Концепт уализм считает, что универсалии есть, но они суть создания
ума. Инт уиционизм, разделяемый в наше время в той или иной форме
Пуанкаре, Брауэром, Вейлем и другими, придерживается того, что свя­
занные переменны е указывают на абстрактные сущ ности, только когда
эти сущ н ости индивидуально приготовлены из заранее определенны х
ингредиентов. Как сформулировал Френкель, логицизм считает, что классы
открываются, тогда как интуиционизм считает, что они изобретаю тся, это действительно хорош ее высказывание о старой оппозиции реализма
и концептуализма. Это противостояние - не просто каламбур, в рамках
классической математики оно проводит сущ ностное различение, одну из
сторон которого можно по желанию принять. Логицисты, или реалисты,
на основе своих предпосылок способны получить восходящ ие порядки
бесконечности Кантора; интуиционисты вынуждены остановиться на низ­
шем порядке бесконечности и, как косвенное следствие, отказаться даже
от некоторых классических законов действительных чисел8. С оврем ен­
ный спор меж ду логицизмом и интуиционизмом возник фактически из-за
несогласия относительно бесконечности.
Ф орм али гч, ассоциируемый с именем Гильберта, вторит интуицио­
низму в сожалении по поводу слишком несдерж анного отнош ения логицистов к универсалиям. Н о формализм находит неудовлетворительным и
интуиционизм. Это могло случиться по одной из двух противоположных
причин. Ф ормалист мог подобно логицисту протестовать против причи­
нения вреда классической математике или подобно номиналист ам в про­
шлом вообщ е протестовать относительно допущ ения абстрактных сущ ­
ностей, даж е в ограниченном смысле как созданий ума. Результат один и
тот же: ф ормалист расценивает классическую математику как игру с б ес­
содерж ательны ми значками. Такая игра со значками все же мож ет быть
полезной - а насколько полезной, она уже показала, выступая в качестве

опоры для физиков и техников. Но полезность не влечёт значим ости в
лю бом буквальном лингвистическом смысле. Не влечёт значим ости и яв­
ный успех математиков в производстве теорем и в поиске о&ьективной
основы согласования результатов друг с другом. Адекватная основа для
согласия среди математиков мож ет быть найдена просто в тех правилах,
которые управляют манипуляциями со значками - эти синтаксические
правила, в отличие от самих значков, вполне значимы и осмы сленны 9.
Я доказывал, что тип онтологии, который мы принимаем, мож ет быть
важным - особен н о в связи с математикой, хотя она и была лишь приме­
ром. Но как же мы выбираем меж ду конкурирующими онтологиями? От­
вет на это вопрос, конечно, не обеспечивается семантической формулой
“б ы т ь -зн а ч и т быть значением переменной” . Напротив, эта формула слу­
жит скорее критерием согласованности данного замечания или доктрины
с априорным онтологическим стандартом. Мы рассматриваем связанные
переменные в связи с онтологией не для того, чтобы знать, что есть, но
для того, чтобы знать, что данное замечание или доктрина, наша или чьято ещ е, говори т , что же есть; а это, собственно, проблема, затрагивающая
язык. В опрос же о том, что есть, - это другой вопрос.
При обсуж дении того, что есть, все же находятся причины дей ство­
вать в семантическом ключе. Одна из них в том, чтобы избежать затрудне­
ния, упомянутого в начале этого очерка, затруднения относительно моей
н есп особн ости допустить, что есть вещи, которые МакЛ' признает, а я нет. Д о тех пор пока я придерживаюсь своей онтологии, противополож ­
ной онтологии МакЛГа, я не могу позволить своим связанным перем ен­
ным указывать на сущ ности, относящ иеся не к м оей онтологии, а к онто­
логии М аю Га Тем не менее я могу последовательно описать наше н есог­
ласие, характеризуя высказывания, которые утверждает МакЛ' Ям огу го­
ворить о предположениях МакЛ" а просто при условии, что моя онтология
допускает лингвистические формы или, по крайней мере, конкретные п ос­
ледовательности значков и звуков.
Другая причина для перехода на семантический уровень состоит в
поисках общ его основания для спора. Разногласие в онтологии включает
основополагаю щ ее расхождение в концептуальных схемах; тем не менее
я и МакЛ', несмотря на это основополагающ ее разногласие, находим наши
схемы, в их промежуточных и продвинутых ответвлениях, достаточно сход­
ными для того, чтобы позволить нам успеш но осущ ествлять коммуника­
цию по таким темам, как политика, погода и в особен н ости язык. В той
мере, в какой наш основополагающ ий спор по поводу онтологии может

9
См.: Goodman and Quine. Дальнейшее обсуждение общ их вопросов, затронутых на
последних двух страницах, см.: Bem ays [1]. Fraenkel, Black.

быть переведен в семантический спор о словах и о том, что с ними д е ­
лать, сведение спора к сомнительным аргументам мож но отложить.
Не удивительно тогда, что онтологический спор долж ен заканчивать­
ся спором о языке. Однако мы не должны спешить с выводом, что вопрос
о т ом , что же есть, зависит от слов. Переводимость данного вопроса на
язык семантики - не показатель того, что он является лингвистическим.
Видеть Неаполь - значит носи' является
индивидом или неклассом; в этом случае мы можем интерпретировать
‘(дг е у ) ’ как устанавливающее, что х есть индивидуальное у?.
Форма ‘(— |— )’ с любыми высказываниями, записанными на месте
пропусков, может читаться как ‘Неверно, что — и — ’, т.е. ‘Не — или не
-— ’, т.е. ‘Если — , то не — ’. Первое прочтение самое лучшее, ибо наиме­
нее подвержено двусмысленностям при использовании английского язы­
ка. Это сложное высказывание ложно, если и только если оба составляю­
щих его высказывания истинны.
Наконец, квантор ‘(.х)’ может прочитываться как ‘для всех х ', а лучше 'при любом
Таким образом, '(х)(х е _у)’ означает ‘Всё является членом у ’Общее высказывание ‘(дс) — ’ является истинным, если и только если

1 См ниже, с . 117.

! Такая интерпретация вместе с последующим постулатом Р1 приводит к смешению
каждого индивида со своим единичным классом, но такое смеш ение безвредно

формула 1— которой предшествует квантор, истинна для всех значений
переменной V .
Формулы этого элементарного языка рекурсивно описываемы следу­
ющим образом: если любые переменные подставлены на место ‘а ' и ' (Г в
‘(а 6 Р )\ то результат является формулой; если любые формулы подстав­
лены на место ' ф' и ‘ ц/ в '(ф \ ц/)\ то результат является формулой; и если
переменная подставлена на место ‘сг\ а формула —на место ‘ф' в '(с$ф\
то результат является формулой. Формулы, описанные таким способом,
являются предложениями данного языка.
Если вся математика переводима в логику Principia, а эта логика дол­
жна быть переводима в этот элементарный язык, тогда каждое предложе­
ние, сконструированное лишь с помощью математических и логических
приёмов, должно быть в конечном счёте переводимо в формулу в только
что определённом смысле. Я сделаю переводимость Principia явной, по­
казывая, каким образом ряд наиболее важных понятий этой логики мо­
жет быть сконструирован из данных примитивов. В свою очередь, конст­
руирование математических понятий может тогда быть оставлено
Principia.
Определения, являющиеся посредником любой такой конструкции
производных понятий, должны рассматриваться как сторонние соглаше­
ния, сокращающие запись. Вводимые ими новые обозначения должны
рассматриваться как внешние по отношению к нашему базовому языку;
единственное, так сказать неофициальное оправдание нашего введения
таких обозначений, - это гарантия их однозначной устранимости в пользу
базовой записи. Форма, в которой выражено определение, пока она ука­
зывает на способ устранимости, несущественна. Вообще, цель определе­
ния, вероятно, состоит в сокращении записи; но в данном примере цель
заключается в том, чтобы обозначить определённые производные поня­
тия, которые играют важную роль в Principia и других работах.
При формулировке определений греческие буквы ‘а \ ' р ,
'ф', 'ц /,
'X' и ‘of будут использоваться для указания на выражения. Буквы 'ф', ‘ у/,
'х ' и 'со' будут указывать на любые формулы, a 'ex’, ' р и ' / будут указы­
вать на любые переменные. Когда они вставляются между знаков, при­
надлежащих самому логическому языку, то целое указывает на выраже­
ние, образованное вставкой тех выражений, на которые указывают эти
греческие буквы. Так, ‘( $ у/)’ будет указывать на формулу, которая образо­
вана подстановкой формул фн у, какими бы они ни были, на место соот­
ветствующих пробелов в ‘( | )’. Само выражение '(ф \(//)' является не фор­
мулой, а существительным, описывающим формулу; оно представляет
собой сокращение описания ‘формула, образованная написанием левой.

круглой скобки, за которой следует формула ф, за которой следует штрих,
за которым следует формула ц/, за которой следует правая круглая скоб­
ка’. Аналогично и для ‘(а е Р )\ ‘(а)ф\ *((«)(« е /?)
и т. д. Такого
использования греческих букв в рассматриваемом языке нет, но оно обес­
печивает средство для обсуждения этого языка.
Первое определение вводит привычную запись отрицания:
D1.

~ф

для

(ф |ф).

Посредством этой конвенции помещением
перед любой форму­
лой ^вводится сокращение для формулы (ф\ф). Поскольку отрицание аль­
тернатив (ф\ц>) ложно, если и только если ф и \у оба истинны, постольку,
по определению,выражение ~ф будет ложным или истинным, в соответ­
ствии с тем истинным или ложным будет ф. Таким образом, знак
мож­
но прочитывать как ‘не’ или ‘ложно, что’.
Следующее определение вводит конъюнкцию:
D2.

( ф. I//)

для

~{ф \ у/).

Поскольку (ф\ у) ложно, если и только если ф и ц/ истинны, то (ф. у/),
по определению, будет истинно, если и только если фи ((/истинны. Таким
образом, точку можно читать как ‘и’.
Следующее определение вводит так называемую материальную им­
пликацию:
D3.

(ф => у/)

для

{ф | - у ) .

(0г> у/), по определению, ложно, если и только если ^истинно, а (сложно.
Связка ‘з ’, таким образом, может прочитываться как ‘если-то’ при усло­
вии, что мы понимаем эти слова просто в описательном или фактуальном
смысле и не подразумеваем какой-либо необходимой связи между анте­
цедентом и консеквентом.
Следующее определение вводит дизъюнкцию:
D4.

(ф v у/)

для

(~ф э if/).

Легко видеть, что (ф v ц/), по определению, истинно тогда и только
тогда, когда ф и у/оЪл не являются ложными. Таким образом, мы можем
прочитывать ‘v ’ как ‘или’ при условии, что это слово понимается в том
смысле, который допускает совместную истинность альтернатив.

Следующее определение вводит так называемое м а т е р и а ль н о е т ож ­
дество:

D5.

( ф s у/)

для

((ф | у/) | (ф v у/)).

Небольшое исследование показывает, что (ф = ((у е Д)).

Таким образом, (х с у ) означает, что х является подклассом у или вклю­
чен в у в том смысле, что каждый член х является членом у.
Далее вводится ра вен ст во :
D8.

(а = Р)

для

{Ш ае

у)).

Так, ‘(х = у )' означает, что .у принадлежит каждому классу, которому
принадлежит х. Адекватность этого определяющего условия становится
ясной из того факта, что если у принадлежит каждому классу, которому
принадлежит х, то у, в частности, принадлежит и классу, чьим единствен­
ным членом является х.

Строго говоря, D7 и D8 нарушают требование однозначной устрани­
мости; так, элиминируя выражение ‘(х э у ) ’ или ‘(z = >)’, мы не знаем,
какую букву для /выбрать в определении. Конечно, выбор безразличен к
значению, поскольку отобранная буква отличается от переменных, входя­
щих иным способом; однако это безразличие не должно посредством оп­
ределений провозиться контрабандой. Относительно алфавита следует
принять некоторое произвольное соглашение, предназначенное для того,
чтобы руководить выбором такой отдельной буквы в общем случае3.
Следующее вводимое приспособление - дескрипция. При заданном
условии ‘— которое удовлетворяет только один объект х, подразумева­
ется, что дескрипция ‘( 1х) — ’ обозначает такой объект. Оператор ‘( 1х)'
может, таким образом, прочитываться как ‘тот объект х, который’. Деск­
рипция ( Та)ф вводится формально только как часть контекстов, которые
определены как целое, следующим образом:
D9.

( ( ~>а)фе р)

для

( 3 tf ( ( r 6 Р) • («Х (« = У)= Ф))-

D10.

(Р е(П а)ф )

для

( 3 ^ ( ( / ? e ^ . ( a ’) ( ( a = ^ = ^ ) .

Пусть ‘-— ’ будет условием для х. Тогда *(*)((* = г) = — )’ означает,
что любой объект х совпадает с г, если и только если данное условие со­
блюдено; другими словами, г является одним-единственным объектом х
таким, ч т о ...... . Тогда ‘( *7jc)-— е у)', определяемое в D9 как ‘(3z((z е у ) .
(х)((х = z) = — ))’, означает, что у имеет элемент, который является однимединственным объектом х таким, что — ; следовательно, у имеет в качестве
члена этот [the] х такой, что ---- . Таким образом, D9 задает подразумевае­
мое значение. Соответственно, видно, что D10 объясняет
‘(у е ( Тс)— )’ в том смысле, что у является членом этого х такого, что — .
Если условие ‘— ’ не выполняется одним и только одним объектом х, оба
контекста '( ( ~)х)— е у)' и ‘(у е ( ~)х)— )’ становятся тривиально ложными.
Такие контексты, как ( а с р) и (а = р), определённые для перемен­
ных, теперь становятся приемлемыми также и для дескрипций; следова­
тельно, ( ( 1а)ф е Р), ( ( 7а)ф с ( 7Р)ф), (Р=(Та)ф) и т. д. сводятся к прими­
тивным терминам посредством определения включения и равенства в D7’ Так, мы можем, в общем, поставить условием, что когда определение требует пере­
менных в определяющем, которые запрещены в определяемом, самое первое вхождение
должно быть передано буквой, которая в алфавите стоит следую щ ей после всех букв оп­
ределяемого, следующее вхождение должно быть передано последующ ей буквой алфави­
та и т.д. А лфавит - это ‘о ’, ‘А’....... 'а1', ... V , ‘а " ’, ... Тогда, в частности, '(х с у )’ и
'(г “ w )’ являются сокращениями для ‘( г ) ( ( г e i ) d ( z e у))' и '(c/)((z е o') о (if е i/))’

8 вместе с определениями D 9-I0, объясняющими (7а)ф и т. д. в контек­
стах, от которых зависят D7-8. Такое расширение D7-8 и сходных опре­
делений до дескрипций требует только общего соглашения, утверждаю­
щего, что определения, применяемые к переменным, должны сохранять­
ся также и для дескрипций.
Под это соглашение подпадает также само D9, когда /? берётся как
дескрипция; таким образом, мы получаем выражения формы ( ( 7а)ф е
(
Но здесь, чтобы решить, что при объяснении ( ( а)ф е
дол­
жно применяться первым, D9 или D 10, требование однозначной устрани­
мости предусматривает еще одну конвенцию. Мы можем принять произ­
вольное соглашение первым в таких случаях применять D9. За исключе­
нием вырожденных случаев, для значения порядок оказывается несуще­
ственным.
Среди контекстов, обеспечиваемых нашей примитивной символикой,
форма контекста (а)ф специфична тем, что переменная а не придаёт
ему неопределённости или вариативности, напротив, идиома ‘для всех
х' включает переменную как сущностную черту, и замена переменной
на константу или комплексное выражение приводит к бессмыслице. Оп­
ределенные ранее формы контекста (3a)i//n ( Та) ^разделяю т эти черты,
ибо D6 и D9-10 сводят такие вхождения а к форме контекста (а)у/. Пе­
ременная в таком контексте называется связанной, в других местах свободной.
Поэтому по мере обращения к базовой записи свободные перемен­
ные ограничиваются до контекстов формы ( а е р). Определения D9-10
обеспечивают употребление дескрипций как раз в таких контекстах. Тем
самым дескрипции становятся приемлемыми также и для всех последую­
щих форм контекста, которые могут быть разработаны для свободных
переменных с помощью определения, как в D7-8. Таким образом, наши
определения обеспечивают употребление дескрипции в любой позиции,
которая приемлема для свободной переменной. Это вполне соответствует
нашей цели, ибо, как только что отмечалось, дескрипции или другие слож­
ные выражения никогда не требуются в позиции связанных переменных.
Представленная мной теория дескрипций по существу принадлежит
Расселу, но значительно проще в деталях4.
Следующее вводимое понятие - это операция абстракции, посред­
ством которой, при условии ‘— ’ относительно х, мы образуем класс
х — , чьи члены являются как раз теми объектами л:, которые удовлетво-

ряют условию. Оператор ‘ * ’ может прочитываться как ‘класс всех объек­
тов х , таких что’. Класс * — посредством описания определим как тот
к л а с с у , которому будет принадлежать любой объект*, если и только если

...... , символически:

DII.

аФ

Для

РДК«)((«€ Р ) = ФУ

С помощью абстракции понятия булевой алгебры классов определимы
теперь так же, как в Principia: дополнение - х есть у
(х и у )е с т ь £ ((z € *) v

(2

е х ), объединение

е у )),универсальный класс Vесть £ (х = jc), нуль-

класс Л есть -V и т. д. Далее, класс {*}, чьим единственным членом явля­
ется х , и класс {х,у}, чьими единственными членами являются х неопре­
делимы следующим образом:
D12.

{а}

D13.

{ а ,Р ) для

для

$ ( Р = а),
у ({у= a) v (у= (J)).

О т нош ения могут быть введены просто как классы упорядоченных
пар, если мы сможем изобрести определение упорядоченной пары. Ясно,
что этой цели будет служить любое определение, если оно установит раз­
личие пар (х ; у ) и ( 2; w) во всех случаях, за исключением тех, где х ecTbz,
а у есть w. Определение, которое, как легко видеть, удовлетворяет этому
требованию, было разработано Куратовским’:

D14.

{сг,Р) для

{{а }, {а, Р ) ) .

То есть пара (дс; у ) - это класс, который в качестве членов содержит
два класса; один из этих классов содержит х как единственный член, а
другой как единственные члены содержит* и у.
Следующей мы можем ввести операцию о т н о си т ел ь н о й абстрак­
ции, посредством которой при условии ‘ — ’ относительно х н у мы об­
разуем отношение * у — , при котором какой-то х имеет отношение к
какому-то у , если и только если х и у удовлетворяют этому условию.
Поскольку отношения должны рассматриваться как классы упорядочен­
ных пар, отношение * у — описываемо как класс всех тех пар (дс;.у),
которые — ; символически:

1
Для этой цели определение впервые было предложено Винером, но в деталях оно
отличается от представленного здесь

л

DI5.

а р ф

для р

(ЗаХЗМг= (а; Д ) . Ф).

Идиома ‘л: имеет отношение z к у ' не нуждается в специальном опре­
делении, ибо она становится просто ‘((х; у) е z)’6.
Представленных здесь определений достаточно для того, чтобы пос­
ледующие понятия математической логики сделать непосредственно при­
менимыми с помощью определений из Principia. Обратимся теперь к воп­
росу о теоремах. В формальной системе математической логики вывод
должен специфицировать определенные формулы, которые должны выс­
тупать в качестве теорем, а также специфицировать определенные связи
вывода, посредством которых последующая формула определяется как
теорема при определенных, соответствующим образом соотносящихся с
ней формул (конечных по числу), заданных в качестве теорем Исходные
формулы могут быть просто перечислены как постулаты или охарактери­
зованы как совокупное целое, но эта характеристика должна включать
только непосредственно наблюдаемые черты символизма. Вывод теорем
осуществляется тогда пошаговым сравнением записи формул.
Формулы, которые требуются в качестве теорем, - это, конечно, как
раз те формулы, которые являются обоснованными при заданных интер­
претациях примитивных знаков, обоснованными в том смысле, что они
оказываются истинными высказываниями или же открытыми предложе­
ниями, которые истинны для всех значений свободных переменных. Вви­
ду того, что вся логика и вся математика выразимы в этом базовом языке,
обоснованные формулы при соответствующем переводе охватывают все
обоснованные предложения логики и математики. Однако Гёдель (Goel
[2]) показал, что эта совокупность принципов никогда не может быть точ­
но воспроизведена посредством теорем формальной системы в смысле
только что описанной 'формальной системы’. Адекватность нашей сис­
тематизации должна тогда измеряться некоторым стандартным сокраще­
нием совокупности обоснованных формул. Достаточный стандарт пре­
доставляет Principia, ибо базис Principia предположительно оказывается
адекватным для вывода всей кодифицированной математической теории,
за исключением окраин, требующих аксиомы бесконечности и аксиомы
выбора в качестве дополнительных предпосылок.
6
Указанная выше трактовка двухместных отношений непосредственно распростра­
н и в и на отнош ения любой более высокой местности. Ибо трехместное отношение меж­
ду х ,у и г можно трактовать как двухместное отношение между х и парой (у, z)\ четырех­
местное отнош ение между x , y , z и w можно затем трактовать как трехместное отношение
между х, у и парой (z,w) и т.д.

Представленная здесь система адекватна принятому стандарту. Она
включает один постулат, а именно принцип экстенсиональности:
Р1

((х с у) => ((у с х) => (х = у))),

согласно которому класс предопределен своими членами. Система вклю­
чает также три правила, специфицирующие все множество формул, кото­
рые должны устанавливаться как первоначальные теоремы:
Rl

((Ф \ W 1*))1((), который и есть V. В системе Цермело класс
не охватывает более чем бесконечно малую часть универсума системы.
Другая система, предложенная фон Нейманом14, делит универсум на
те вещи, которые могут быть членами, и те, которые не могут. Первые я
буду называть элементами. Постулаты элементности применяются, та­
ким образом, по сути дела для обеспечения того, чтобы все то, что суще­
ствует для Цермело, являлось элементом для фон Неймана. Последую­
щие постулаты принимаются для существования классов вообще, суще­
ствования элементов и в некоторых других отношениях. Следствие этих
постулатов должно обеспечивать существование класса всех элементов,
удовлетворяющих любому условию ф, чьи связанные переменные огра­
ничены до элементов в качестве своих значений.
Спустя годы после того, как основная часть данного очерка была впер­
вые опубликована, система, основанная на Р 1, R l-2 , R3' и R4-5, стала
упоминаться в литературе как NF (“New foundations”); я тоже буду ис­
пользовать эту аббревиатуру. NF имеет некоторые очевидные преимуще­
ства перед системой Цермело, как в пункте, что в ней существуют клас­
сы, так и в пункте направленности ее правил на существование классов,
избегающих затруднительных конструкций. Система фон Неймана имеет
14 Его система была представлена Бернайсом (Bemays [2]) в форме, ближе соответ­
ствующей модели данного очерка

равные или даже большие преимущества в вопросе о существовании клас­
сов; однако все затруднения, приписываемые доказательству существо­
вания классов в системе Цермело, переходят на доказательство элементности в системе фон Неймана.
Теперь перейдём к тому, что мы можем умножить наши преимуще­
ства и выйти с еще более сильной и более удобной системой, модифици­
руя NF таким способом, каким фон Нейман модифицировал систему Цер­
мело. В результате получается система моей Математической логики'1.
Я буду называть ее ML. В этой системе R3' из NF заменяется двумя пра­
вилами: правилом существования классов и правилом элементное™. Пра­
вило существования классов обеспечивает существование класса всех эле­
ментов, удовлетворяющих любому условию ф, стратифицированному или
нет, символически оно может быть передано просто как R3" с заменой в
ней 'у e z' на l(3z)(y е z)’. Правило элементности таково, что оно обеспечи­
вает элементностью как раз те классы, которые существуют в NF.
Превосходство ML над NF может быть проиллюстрировано, если
вкратце обратиться к теме натуральных чисел,т. е. О, 1,2, 3 ,... Предполо­
жим, мы каким-то образом определили 0 и х + 1. Тогда мы могли бы,
следуя Фреге (Frege [1]), определить натуральное число как то, что при­
надлежит каждому классу у такому, что у содержит 0 и содержит х + 1
всякий раз, когда он содержит*. То есть сказать, что г является натураль­
ным числом, значит сказать, что
(3)

О)([0 е у . (х)(х е у э х + I € у)] з z е у).

Очевидно, что (3) становится истинным, когда z берется как любое из
О, 1,2, 3,... И наоборот, доказывается, что (3) становится истинным толь­
ко тогда, когда z берется как либо 0, либо 1, либо 2, либо 3, либо... д о к а­
зательство этого следствия, в частности, состоит в рассмотрении у в (3)
как класса, чьими членами являются только 0, 1,2, 3,... Но является ли
это последнее доказательство обоснованным для NF? В системе, такой
как NF, где некоторые предполагаемые классы существуют, а некоторые
нет, мы бы очень желали знать, существует ли класс, чьими членами яв­
ляются все и только О, 1, 2, 3, ... Если такого класса нет, то (3) перестаёт
быть адекватным переводом ‘г есть натуральное число’, (3) становится
истинным для других значений ‘z \ помимо 0, 1, 2, 3, ... С другой сторо­
ны, в ML, где 0, 1, 2, 3, ... являются элементами и все классы элементов
рассматриваются как существующие, такого затруднения не возникает.
Затруднение, которое только что было выдвинуто интуитивно, вос­
производится в NF на уровне формального доказательства, связанного с
19 Пересмотренная редакция, содержащая поправку, предложена Х ао Ваном

м ат ем ат ической индукцией. Математическая индукция представляет со­

бой закон, говорящий о том, что любое условие ф, которое имеет силу для
О и для х + 1, всякий раз имея силу для х, имеет силу также и для всякого
натурального числа. Логическое доказательство этого закона проводится
просто определением ‘z есть натуральное число’, как в (3), и затем рас­
смотрением у в (3) в качестве класса вещей, выполняющих ф. Но этого
доказательства недостаточно в NF для нестратифицированного ф из-за
отсутствия какой-либо уверенности в существовании в точности тех ве­
щей, которые выполняют ф. С другой стороны, в ML такого недостатка
нет, ибо для любого заданного ф, стратифицированного или нет, ML обес­
печивает существование класса все тех элементов, которые выполняют ф.
Математическая индукция в отношении нестратифицированного ф
может оказаться важной. Это, к примеру, случается при доказательстве
того, что не существует последнего натурального числа, т.е. что z ф z +1
для всякого z, удовлетворяющего (3). Эта теорема выдвинута в ML и эк­
вивалентна утверждению о том, что Л не удовлетворяет (3). В NF мы мо­
жем доказать каждое из ‘Л ф О’, ‘Л ф Г , ‘Л ф 2’, ‘Л ф 3’, ... и каждое из
‘О * 1’, ‘ 1 ф 2’, ‘2 ф 3’, ..., a d infm itum , но не известен способ обеспечить
так, чтобы в NF Л не удовлетворяло (3) или чтобы z ф z + 1 для всякого z,
удовлетворяющего (З)'6.
Таким образом, ML, по-видимому, существенно сильнее, чем NF. Воз­
растающая сила приводит к возрастанию риска скрытого противоречия.
Опасность в самом деле реальна. Первая полностью и строго развитая тео­
рия классов - теория Фреге - продемонстрировала противоречивость из-за
парадокса Рассела17. Разные более современные теории классов посред­
ством более тонких и трудоемких доказательств также показывают свою
противоречивость; в частности, такой удел постиг и мою более раннюю
версию ML18. Важно, следовательно, найти доказательство непротиворе­
чивости, хотя мы должны осознавать, что любое доказательство непроти­
воречивости относительно в том смысле, что мы не можем быть уверены в
нём более, чем уверены в непротиворечивости логической системы, в рам­
ках которой проводится само доказательство непротиворечивости.
Поэтому, в частности, приятно отметить, что Хао Ван показал непро­
тиворечивость ML, если непротиворечива NF. Это означает, что нет при­
чин отказаться от вполне удобной ML в пользу NF. Но в то же время NF
сохраняет интерес как канал для последующей очевидности непротиво­
16 Подробнее на эту тему смотри мою работу [7], а в ней ссылки на Россера и Хао
Вана.
17 См.: Frege [2], т 2, прил
" См : Rosser, а также Kleene and Rosser

речивости ML; ибо NF, будучи более слабой, с большей готовностью, чем
ML, стремится к дальнейшему доказательству относительной непротиво­
речивости. Было бы неплохо, например, найти доказательство того, что
NF непротиворечива, если непротиворечива система фон Неймана или
лучше система Цермело.
Другой намек на то, что NF слабее ML и что она сама вела бы к более
легкому доказательству относительной непротиворечивости, можно ви­
деть в том факте, что R3', которое реально является бесконечной связкой
постулатов, как было показано Гальпериным, эквивалентна конечному
списку постулатов. Его список включает одиннадцать постулатов, хотя
когда их число конечно, оно становится безразличным, ибо, используя
конъюнкцию, их можно записать как один, включая Р1. Это подразумева­
ет, что NF сводится только к теории истинностных функций и теории кван­
тификации плюс единственному постулату теории классов. С другой сто­
роны, не обнаружен способ, посредством которого можно было бы свес­
ти ML к теории истинностных функций, теории квантификации и к ко­
нечному списку постулатов теории классов.
Несколькими страницами выше предполагалось, что ML относится к
NF примерно так, как система фон Неймана относится к системе Церме­
ло. Но следует заметить, что ML превосходит систему фон Неймана по
вопросу о существовании классов. ML обеспечивает существование класса
элементов, везде удовлетворяющих любому условию ф, тогда как в систе­
ме фон Неймана существование класса подчиняется условию, что свя­
занные переменные ф ограничиваются элементами. Это значимое огра­
ничение, ибо его следствием является то, что система фон Неймана, как
показал Мостовский, подвержена весьма серьёзному затруднению с ма­
тематической индукцией, на которое указывалось выше для NF. Таким
образом, в некоторой степени система фон Неймана по силе соответству­
ет скорее NF, чем ML. Это соответствие предполагается также тем фак­
том, что система фон Неймана похожа на NF, будучи производна от ко­
нечного множества постулатов, сверх и помимо теорий истинностных фун­
кций и квантификации. Таким образом, ML оказывается более строго раз­
работанной теорией классов. По этой причине еще более приветствуется
доказательство Хао Ваном непротиворечивости ML относительно NF

ЛОГИКА И ОВЕЩЕСТВЛЕНИЕ УНИВЕРСАЛИЙ
1
Есть те, кто чувствует, что наша способность понимать общие терми­
ны и видеть, что один конкретный объект похож на другой, необъяснима,
если нет универсалий как объектов схватывания. Есть и те, кому не удает­
ся обнаружить в таком обращении к области сущностей, сверх и помимо
области конкретных объектов в пространстве и времени, какую-либо
объяснительную ценность.
Без решения этого вопроса все-таки можно указать отдельные формы
дискурса, которые эксплицитно предполагают сущности того или иного
заданного вида, скажем универсалии, и нацелены на их рассмотрение;
можно было бы указать и на другие формы дискурса, которые эксплицит­
но не предполагают таких сущностей. Некоторый критерий решения это­
го вопроса, определённый стандарт онтологических обязательств нужен,
если мы каким-то образом обязаны осмысленно говорить, что данная те­
ория зависит или обходится без допущения таких-то и таких-то объектов.
Ранее мы видели1, что такой критерий нужно искать не в единичных тер­
минах данного дискурса, не в том, что подразумевается под именами, но,
скорее, в квантификации. В этом разделе мы займёмся более подробным
исследованием данной позиции.
Кванторы ‘(З.г)’ и '(*)’ означают ‘существует некоторая сущность х
такая, что’ и ‘каждая сущность х такова, что’. Здесь буква V , называемая
связанной переменной, скорее подобна местоимению; она используется
при кванторе, чтобы приспособить квантор для последующей перекрёст­
ной референции; затем в последующем тексте она используется для от­
сылки к соответствующему квантору. Связь между квантификацией и сущ­
ностями вне языка, будь они универсалиями или отдельными вещами,
состоит в том факте, что истинность или ложность квантифицированного

вы сказы вани я ч асти ч н о зави си т от того, что обл асть, к которой примени­
мы ф разы ‘некоторая с у щ н о с т ь х ' и ‘каж дая с у щ н о с т ь х ', т а к назы ваемую
область зн ачени я перем енной , мы считаем об л астью сущ н остей . Когда
математики класси ческой о риентац ии что-то говорят об у ни версалиях или
утверж даю т, что они есть, это подразум евает тольк о то, что универсалии
требую тся им в качестве значени й их связан ны х п ерем ен н ы х. Говоря, на­
прим ер,

(Эл:) (дг есть простое число . х > 1,000,000),
мы утверждаем, что существует нечто, являющееся простым числом и
превышающее миллион; любая такая сущность есть число и, следователь­
но, универсалия. В общем случае сущность допускается теорией, если и
только если она оказывается среди значений переменных, для того что­
бы такие высказывания, утверждаемые в теории, были истинными.
Я не подразумеваю зависимости существования от языка. Рассматри­
вать нужно не онтологическое состояние дел, а онтологические обяза­
тельства дискурса. То, что есть, зависит, в общем, не от употребления
языка, но от того, о чём говорят как о существующем
Заданный выше критерий онтологического обязательства в первую
очередь касается дискурса, а не людей. Во-первых, человек может оши­
баться, разделяя онтологические обязательства своего дискурса, относясь
к нему заведомо несерьезно. Отец, рассказывающий сказку о Золушке, обя­
зан допускать в свою онтологию добрую фею и карету из тыквы не более,
чем истинность самой сказки. Другой, более сложный случай, в котором
человек свободен от онтологических обязательств собственного дискурса,
состоит в следующем: он показывает, как некое особое употребление, ко­
торое он придает квантификации, включая prima facie обязательства к оп­
ределенным объектам, может быть расширено до выражений, несовмести­
мых с такими обязательствами (см., например, §4, ниже). В таком случае
об этих по видимости предполагаемых объектах можно оправданно ска­
зать, что они объясняются как удобные фикции, манеры речи.
Контексты квантификации \ х ) (...дг...)’ и ‘(Здг) (...дг...)’ не исчерпыва­
ют способы, которыми переменная V может входить в дискурс. Пере­
менная также существенна для выражения единичной дескрипции ‘тот
объектх, который...’, выражения абстракции класса ‘класс всех объектов
х, которые...’ и других случаев. Тем не менее употребление переменных
при квантификации является исчерпывающим в том смысле, что всякое
использование связанных переменных сводимо к этой разновидности.
Каждое высказывание, содержащее переменную, может быть переведено
по известным правилам в высказывание, в котором эта переменная ис-

пользуется только в квантификации2. Все другие употребления связанных
переменных могут быть объяснены как сокращения контекстов, в которых
эти переменные фигурируют только в качестве переменных квантификации.
Равным образом истинно то, что любое высказывание, содержащее
переменные, может быть переведено посредством одних правил в выска­
зывание, в котором переменные употребляются только в отношении аб­
стракции класса’, и посредством уже других правил, - в высказывание, в
котором переменные употребляются только в отношении абстракции фун­
кции (Church [1]). Какую бы из этих ролей переменных ни принимать в
качестве фундаментальной, мы все еще можем придерживаться критерия
онтологического обязательства, выделенного выше курсивом.
Остроумный метод, изобретенный Шёнфинкелем и развитый Карри
и другими, позволяет вообще отделаться от переменных, прибегая к по­
мощи системы констант, называемых комбинаторами, которые выража­
ют определенные логические функции. Сформулированный выше крите­
рий онтологического обязательства, конечно, не применим к дискурсу,
сконструированному с помощью комбинаторов. Однако как только нам
становится известен систематический метод прямого и обратного пере­
вода высказываний, в которых употребляются комбинаторы, в высказы­
вания, в которых употребляются переменные, нет никакого затруднения с
тем, чтобы изобрести эквивалентный критерий онтологического обяза­
тельства для комбинаторного дискурса. Сущности, предполагаемые теми
высказываниями, которые используют комбинаторы, при таком рассуж­
дении преобразуются как раз в те случаи, которые должны считаться ар­
гументами или значениями, для того чтобы рассматриваемые высказыва­
ния были истинными.
Однако наш критерий онтологического обязательства первично и
фундаментально применяется к знакомой нам кванторной форме дискур­
са. Настаивать на корректности критерия при таком применении-значит
на самом деле просто сказать, что нельзя провести различие между ‘су­
ществует’ в ‘существуют универсалии’, ‘существуют единороги’, ‘суще­
ствуют гиппопотамы’ и ‘существуют’ в ‘(Зле)’, ‘существуют сущности х,
такие что’. Оспаривать применимость критерия к знакомой кванторной
форме дискурса - значит просто сказать, либо что знакомая кванторная
запись заново используется в некотором новом смысле (в каком именно,
нас не должно волновать), либо что знакомое ‘существует’ в ‘существуют
универсалии’ и т. д. заново используется в каком-то новом смысле (в ка­
ком именно, нас опять же не должно волновать).

Если то, чего мы добиваемся, есть стандарт для нашего собственного
руководства в оценивании онтологических обязательств той или иной из
наших теорий и в изменении этих обязательств посредством пересмотра
этих теорий, то имеющийся критерий вполне годится для этих целей, ибо
кванторная форма - это удобная стандартная форма, в которую укладыва­
ется любая теория. Если мы предпочитаем другую языковую форму, на­
пример форму комбинаторов, мы все же можем и сюда ввести критерий
онтологического обязательства, поскольку склонны принять соответству­
ющие систематические корреляции между идиомами языка, отклоняю­
щегося от нормы, и знакомого языка квантификации.
Другой вопрос - использование критерия в целях полемики. Так, рас­
смотрим человека, который открыто отвергает универсалии, но все же
без колебаний использует любой и весь дискурсивный аппарат, который
может позволить себе самый безудержный платоник. Он может, если мы
распространяем на него наш критерий онтологического обязательства,
протестовать, что нежелательные обязательства, которые мы приписыва­
ем ему, зависят от непредусмотренных интерпретаций его высказываний.
Если следовать букве, его позиция неопровержима, поскольку ему доста­
точно лишить нас перевода, без которого мы не можем надеяться на по­
нимание того, к чему он клонит. Не удивительно, что мы оказались бы в
затруднении решить, относительно каких объектов данного дискурса пред­
полагается, что они есть, утратив всякое понимание того, как перевести
этот дискурс в ту разновидность языка, которой принадлежит слово ‘су­
ществует’ .
Есть ещб и философствующие сторонники естественного языка. Их
языку подчеркнуто принадлежит ‘существует’, но они с подозрением от­
носятся к критерию онтологического обязательства, который включает
реальный или воображаемый перевод высказываний в кванторную фор­
му. Проблема в данном случае состоит в том, что идиоматическое упот­
ребление 'существует’ в обыденном языке не знает связей, сравнимых с
теми, которые можно рационально придать научному дискурсу, тщатель­
но сформулировав в терминах квантификации. Филологическая прора­
ботка нефилософского употребления слов - как раз то, что нужно многим
ценным исследованиям, но она проходит мимо одного важного аспекта
философского анализа, считая его не относящимся к делу, а именно кре­
ативного аспекта, включенного в последовательное совершенствование
научного языка. В этом аспекте философского анализа любой пересмотр
символики и её употреблений, который будет упрощать теорию, облег­
чать вычисления, устранять философскую путаницу, применим свобод­
но, поскольку высказывания науки могут быть переведены в пересмот-

ренный способ выражения без утраты содержания, уместного для науч­
ного предприятия. Обыденный язык действительно остается фундамен­
тальным, и не только генетически, но также как средство окончательного
прояснения более искусственного употребления, поскольку именно в нём
разрабатывается перефразировка. Но когда мы объясняем законы логи­
ческого вывода, исследования, типа исследования целого числа у Фреге,
действительного числа у Дедекинда или предела у Вейерштрасса, или
единичную дескрипцию у Рассела*, мы имеем дело скорее не с обыден­
ным языком, но с тем или иным, данным или предполагаемым, усовер­
шенствованным научным языком. И только в этом духе, указывая на ту
или иную, реальную или воображаемую, логическую схематизацию той
или иной части науки или же всей науки, мы можем с полным правом
исследовать онтологические предпосылки. Философствующие привержен­
цы обыденного языка правы, сомневаясь в конечной адекватности любо­
го критерия онтологических предпосылок для обыденного языка, но они
ошибаются, предполагая, что по поводу философского вопроса об онто­
логических предпосылках ничего более сказать нельзя.
В свободной манере мы часто можем говорить об онтологических
предпосылках на уровне обыденного языка, но это имеет смысл как раз
постольку, поскольку в виду имеется некий наиболее вероятный, наибо­
лее очевидный способ схематизации рассматриваемого дискурса в направ­
лении квантификации. ‘Существует’обыденного языка может сослужить
службу плохого проводника, как, впрочем, и все остальные слова, если
мы следуем за ними чисто как филологи, не принимая во внимание путе­
водителей, уже подготовленных логической схематизацией.
Относительно действительно чуждого языка L может случиться так,
что, несмотря на все прилагаемые усилия, мы не сможем выявить даже в
самой грубой и отдаленной форме смысл онтологического обязательства.
Вполне может случиться, что нет объективного способа так соотнести L
со знакомым нам типом языка, чтобы определить в L какой-либо твердый
аналог квантификации или ‘существует’. Такое соотнесение могло бы быть
проблемой даже для того, кто с легкостью говорит на обоих языках как на
родных и может интерпретировать, давая прямой и обратный перевод,
смысловые отрывки на деловом уровне. В этом случае искать онтологи­
ческие обязательства в L —значит только просто выносить характерные
черты концептуальной схемы нашего культурного круга за пределы её
значимой области. Сущностность, объектность чужды концептуальной
схеме говорящего на языке L.

2
В кванторной логике, как она обычно устанавливается, принципы
предлагаются в следующем виде:
( 1) [(х)(Г'х zj G x ). (3x)Fx] гз (3x)Gx.
'Fx' и ‘GV стоят на месте любых предложений, например ‘х - к и т ’и'л
плавает’. Буквы ‘F и ‘С ’ иногда рассматриваются как переменные, при­
нимающие в качестве значений свойства или классы, например китообразность и плавучесть или семейство китов и класс плавающих вещей.
Отличие свойств от классов состоит в том, что тогда как классы тожде­
ственны, если они имеют одни и те же члены, свойства могут быть раз­
личны, даже если они наличествуют у всех и только этих вещей. Соответ­
ственно, применяя принцип отождествления неразличимых5 к теории кван­
тификации в качестве значений
‘G ’ и т.д., мы стремимся использо­
вать классы, а не свойства. Тогда константные выражения, стоящие на
месте 'F \ ‘G’ и т. д., а именно предикаты или общие термины, такие как
‘есть кит’ и ‘плавает’, начинают рассматриваться как имена классов, ибо
вещи, чьи имена замешают переменные, являются значениями перемен­
ных. Черчу (Church [6]) принадлежит интересное предположение, что тогда
как предикаты именуют классы, классы могут рассматриваться скорее как
то, что имеет свойства, которые являются значениями предикатов.
Но лучший ход, однако, другой. Мы можем смотреть на (1) и сходные
общезначимые формы просто как на схемы или диаграммы, олицетворяю­
щие форму каждого из различных истинных высказываний, например:
(2) [(.т)(х имеет массу г> х протяжен) . (3.xК* имеет массу)] э (Э*Х*
протяжен).
Не нужно рассматривать ‘имеет массу’ и ‘протяжен’ в (2) как имена
классов или чего-то еще, не нужно рассматривать 'F' и ‘G’ в (1) как пере­
менные, имеющие классы или что-то иное в качестве своих значений. Для
этого переформулируем наш критерий онтологического обязательства
сущность предполагается теорией, если и только если она требуется сре­
ди значений связанных переменных для того, чтобы сделать истинными
высказывания, утверждаемые в теории. 'F и ‘С ’ не являются связывае­
мыми переменными, и поэтому их нужно считать не более чем фиктив­
ными предикатами, пропусками в схеме предложения.
В наиболее элементарной части логики, а именно в логике истиннос­
тных функций6, все принципы обычно формулируются с помощью ‘p','q

и т. д., занимающих место высказываний, например '[(р r> q ) . ~q] ~q’.
Буквы ‘р \ 'q ' и т. д. иногда рассматриваются как принимающие в каче­
стве значений сущности некоторого рода; и поскольку константные вы­
ражения, на месте которых стоят 'р \ 'q' и т. д., являются высказывания­
ми, эти предполагаемые значения должны быть сущностями, именами
которых являются высказывания. Иногда эти сущности называют пропо­
зициями. При таком употреблении слово ‘пропозиция’ не является сино­
нимом слова ‘высказывание’ (как это обычно бывает), но, скорее, указы­
вает на гипотетическую абстрактную сущность определенного вида. Или
же, особенно у Фреге (Frege [3]), высказывания всегда рассматривались
как имена одной из двух сущностей, так называемых истинностных зна­
чений: истины и лжи. И та, и другая линии искусственны, но из этих двух
фрегеанская предпочтительней, поскольку она соответствует принципу
отождествления неразличимых. Пропозиции, если уж с ними необходи­
мо иметь дело, лучше, как указывал Фреге, рассматривать как смыслы
высказываний, а не как то, что именуетсявысказываниями.
Но самый лучший ход - вернуться к точке зрения здравого смысла,
согласно которому имена являются одним видом выражения, а высказы­
вания - другим. Нет необходимости ни в том, чтобы рассматривать выс­
казывания как имена, ни в том, чтобы рассматривать 'р ', 'с/' и т. д. как
переменные, которые в качестве значений принимают сущности, именуе­
мые высказываниями, ибо ‘р \ 'q' и т. д. не используются как связанные
переменные, подлежащие квантификации Подобно
'G ' и т. д. мы
можем рассматривать 'р', ‘q' и т. д. как буквенные схемы; мы можем так­
же - подобно (1) - рассматривать ‘[(р э q ) . ~q] з ~q' не как предложение,
а как схему или диаграмму такую, что все действительные высказывания
изображенной формы являются истинными. В схеме буквы 'р \ 'q' и т. д.
занимают место высказываний, являющихся компонентами, подобно тому,
как буквы 1Р , ‘С ’ и т. д. занимают в схемах место предикатов; в логике
истинностных функций или квантификации нет ничего, что заставляло
бы нас рассматривать высказывания или предикаты в качестве имен ка­
ких-либо сущностей или заставляло бы нас рассматривать эти буквенные
схемы как переменные, принимающие любые такие сущности в качестве
значений. Значений требует только связанная переменная.
Прервем наше пространное рассуждение, чтобы прояснить некото­
рые существенные различия. Рассмотрим выражения:
(1)

х + 3 > 7, (2)

(x){Fx-Dp).

Первое из них является предложением. На самом деле оно не являет­
ся закрытым предложением или высказыванием, потому что ‘х ’ - свобод­

но; но это - открытое предложение, способное входить в контекст квантифика­
ции, образовывая часть высказывания. Другое выражение (x)(Fx п р ) , если
следовать установке относительно ‘F и 'р', рекомендованной в предыду­
щем параграфе, вообще не предложение, но схема Схема (x)(Fx з р) не мо­
жет бы I ь вставлена в область квантификации, чтобы образовать часть выска­
зывания, ибо буквы в схеме не являются связываемыми переменными.
Пуква V является связываемой переменной, значениями которой, как
мы можем временно предположить с целью примера 'х + 3 > 7’, являются
числа. Переменная стоит на месте имен чисел, например арабских; зна­
чения переменной суть сами числа. Подобно тому, как данная буква стоит
на месте цифр (и дру|их имен чисел), так и буква 'р' стоит на месте выс­
казываний (и предложений вообще). Если бы высказывания подобно циф­
рам мыслились как имена определенных сущностей и ‘р \ подобно V,
мыслилась как связываемая переменная, то значениями 'р' были бы такие
сущности, именами которых являются высказывания. Но если мы тракту­
ем '/?' в качестве буквенной схемы, несвязываемой фиктивным высказы­
ванием, то мысль о том, что высказывания именуют, устраняется Истин­
ным остается то, что ‘р ’ стоит на месте высказываний, как V стоит на
месте цифр; но тогда как связываемая ‘х’ имеет в качестве значений чис­
ла, несвязываемая 'р' вообще не имеет значений. Буквы квалифицируют­
ся как подлинные переменные, требующие область объектов, только если
предполагается их связать, с тем чтобы получить действительные выска­
зывания о таких объектах.
'F функционирует с 'р' на равных началах. Если предикаты мыслят­
ся как имена определенных сущностей и 'F трактуется как связываемая
переменная, то значениями ‘F' являются такие сущности, именами кото­
рых являются предикаты. Но если мы трактуем ‘F как буквенную схему,
как не связываемый, фиктивный предикат, мы устраняем мысль о том,
что предикаты именуют и именуют значения ‘P . ‘F просто стоит на ме­
сте предикатов, или, говоря более фундаментальным языком, ‘Fx’ стоит
на месте предложений.
В конце концов, если бы мы не озаботились тем, чтобы эксплицитно
или имплицитно использовать V с кванторами, то статус, приписывае­
мый ‘р ' и 'F , равным образом подходил бы и для V . Это означало бы,
что V трактуется в 'х + 3 > 7’ и в сходных контекстах как фиктивная
цифра, устраняющая мысль о существовании чисел, именами которых
являются цифры. В этом случае 'х + 3 > 7’ стало бы, как и '(x)(Fx э р)\
просто схемой или фиктивным высказыванием, разделяющим форму под­
линных высказываний (типа ‘2 + 3 > 7’), но не способным, будучи кванти­
фицированным, стать высказыванием.

Оба приведённых выше выражения ‘.х + 3 > 7’ и '( x ) ( F x ^ p )' по стату­
су радикально отличны от таких выражений, как
(3)

(3 а)(ф v у/)

в смысле очерка V. (3) занимав!, гак сказать, семантический уровень, сле­
дующий за уровнем 'х + 3 > 7’ и '(x)(Fx о р )’: оно выступает именем
предложения или сводится к таковому, как только мы осуществляем ка­
кой-либо частный выбор выражений, на которые указывают греческие
буквы. Но схема типа '(x )(F x z)p )\ напротив, не является ни именем пред­
ложения, ни именем чего-либо ещё; сама она является псевдопредложе­
нием, предназначенным для того, чтобы явно обнаружить форму, кото­
рую обнаруживают различные предложения. Схемы относятся к предло­
жениям не как имена к своим объектам, но как монеты в 50 долларов к
пятицентовым монетам
Подобно V греческие буквы являются переменными, но только в рам­
ках той части языка, которая специально предназначена для того, чтобы
говорить о языке. Недавно мы мыслили ‘х ’ как переменную, которая в
качестве значений принимает числа; соответственно, и греческие буквы
являются переменными, которые в качестве значений принимают пред­
ложения или другие выражения, и, таким образом, занимают место имен
(например, цитат) таких выражений. Заметим, что греческие буквы явля­
ются подлинными связываемыми переменными, подходящими к таким
вербально выраженным кванторам, как ‘безразлично, каким высказыва­
нием может быть ф \ ‘существует высказывание ((/такое, что’.
Таким образом, 'ф' противостоит 'р' двумя основными способами.
Во-первых, 'ф' является переменной, значениями которой служат пред­
ложения; 'р \ используемое схематически, вообще не является перемен­
ной (в смысле принятия значений). Во-вторых, 'ф' грамматически подоб­
но существительным, занимая место имен предложений; ‘р ’ граммати­
чески подобно предложениям, занимая место предложений.
Это последнее противопоставление опасно затемнено использовани­
ем (3), которое показывает греческие буквы 'ф' и ' ц? в позициях предло­
жений, а не существительных. Однако такое употребление, помимо спе­
циального и искусственного соглашения очерка V (с. 81), касающегося
включения греческих букв в число знаков логического языка, было бы
бессмысленным. Согласно этому соглашению, (3) предстаёт в качестве
сокращения явного существительного:
результат подстановки переменной а и предложений ф и у/на место
соответствующих пробелов в ‘(3 )( v ) ’.

Ясно, что здесь греческие буквы занимают позицию существитель­
ных (указывая на переменную и два высказывания), в свою очередь, и
целое является существительным. В некоторых своих работах, например
в [I J, я настаивал на том, чтобы вводящее в заблуждение употребление (3)
снабдить средством безопасности в форме модифицированных значков
кавычек, скажем, гак:
r(3 a )(^ v у/)1.
Эти значки как раз и предполагают, что целое, как при обычном цити­
ровании, является существительным, указывающим на выражение; к тому
же они явным образом изолируют те части текста, в которых должно быть
дополнительно объяснено комбинированное использование греческих
букв и логических знаков. Однако в большинстве работ этими квазика­
вычками пренебрегают Примером того, как поступают большинство ло­
гиков, в общем и целом озабоченных сохранением семантических разли­
чий, служит очерк V (хотя обычно с немецкими или жирными латински­
ми буквами вместо греческих).
Об использовании греческих букв достаточно. Оно возникнет как
практический приём в §5-6 и сейчас не имеет отношения к делу. Разли­
чие между предложением и схемой, которое интересует нас на данных
страницах, - это не различие между употреблением и упоминанием вы­
ражений; значение последнего обнаруживается совершенно в другом ме­
сте. Значение того, чтобы сохранить статус схем для 'р \ 'q ' и т.д. и для
' F , 'G ' и т.д., а не трактовать эти буква как связанные переменные, тем
самым заключается в том, что а) нам запрещается квантифицировать эти
буквы и б) мы избавляемся от взгляда на высказывания и предикаты как
на имена чего бы то ни было.
3
До сих пор читатель, несомненно, должен был думать, что рекомен­
дации, касающиеся схематического статуса 'р \ 'q' и т.д. и ‘F , ‘G’ и т.д.,
вызваны отказом допускать такие сущности, как классы и истинностные
значения. Но это неверно. Как мы сейчас увидим, есть хорошая причина
такие сущности допустить, допустить их имена и допустить связанные
переменные, которые принимают такие сущности - во всяком случае клас­
сы - в качестве своих значений. Я возражаю только против трактовки
самих по себе высказываний и предикатов как имен таких или любых
иных сущностей и, таким образом, против отождествления со связывае-

мымн переменными ‘р \ ‘q ’ и т.д. теории истинностных функций и 'F ,
‘G’ и т.д. теории квантификации. Для связываемых переменных у нас есть
‘х \ 'у' и т.д., и если мы хотим провести различие между переменными
для индивидов и переменными для классов или истинностных значений,
мы можем добавить отдельный алфавит, но есть причины для сохранения
схематического статуса 'р \ 'q' и т.д. и 'F , 'G' и т.д.
Одна из причин заключается в том, что объяснение 70t’ в качестве
утверждающего членство л в классе во многих теориях классов может
завести в технический тупик. Ибо есть теории классов, в которых не вся­
кое выразимое условие относительно х определяет класс, и теории, в ко­
торых не каждый объект подходит для членства в классах7. В такой тео­
рии ‘F.r’ может репрезентировать вообще любое условие относительно
любого объекта д-, тогда как 'х € у ' не может.
Но главный недостаток ассимиляции буквенных схем к связанным
переменным состоит в том, что она приводит к ложному рассмотрению
онтологических обязательств большей части нашего дискурса. Когда мы
говорим, что некоторые собаки белые:
(4)

(Зл)(х является собакой . х является белым),

мы не обязываем себя к таким абстрактным сущностями, как вид собак
или класс белых вещей8. Следовательно, ошибочно объяснять слова ‘со­
бака’ и ‘белое’ как имена таких сущностей. Однако мы делаем именно
это, если, представляя форму (4) в виде '(3x)(Fx . Gx)', мыслим 'F и 'G'
как связываемые переменные классов.
Там, где нам действительно нужны были бы переменные классов,
пригодные для связывания, мы, конечно, могли бы перейти к эксплицит­
ной форме ‘(Вдг)(.г е у . х е г)’. (К тому же вместо ‘у ' и ‘г’ мы можем
использовать особый вид переменных для классов.) Хотя мы и не призна­
ём общие термины ‘собака’ и ‘белое’ в качестве имен вида собак и класса
белых вещей, подлинные имена этих абстрактных сущностей не нужно
далеко искать, а именно это единичные термины "вид собак’ и ‘класс бе­
лых вещей’. Единичные термины, именующие сущности надлежащим об­
разом, вполне заменимы на переменные, которые допускают эти сущности
в качестве значений; и в качестве примера формы ‘(3*X* е у . х е z ) ’ мы,
соответственно, получаем:
(5)

(3jc)(jc е вид собак . х е класс белых вещей).

’ См., налрнмер. выше с. 90, 94 и далее
* См выше. с. 18

К тому же (5) подобно (4) является примером формы ‘(3jc)(Fx . С*)’,
но (4) не является примером формы ‘(Зх)(* е у . х е г)’.
Я допускаю, что (4) и (5) как целостные высказывания эквивалентны,
но они различаются тем, что (4) прямо принадлежит той части языка, ко­
торая нейтральна относительно вопроса о существовании классов, тогда
как (5) специально приспособлено для того, чтобы соответствовать той
части языка более высокого уровня, где классы предполагаются в каче­
стве значений переменных. Само (5) оказывается только выродившимся
образцом этой, более высокого уровня, части языка в двух отношении;
оно действительно не содержит квантификации по классам и, взятое как
целостное высказывание, оно эквивалентно (4)
Если мы хотим соскользнуть из онтологически наивной сферы эле­
ментарной логики в теорию классов или других абстрактных сущностей
с минимумом замечаний, ассимиляция буквенных схем к связанным пе­
ременным, против которой я выступал, действительно должна принести
пользу. Этого можно было бы желать либо из-за недостойного мотива
утаить, либо из-за куда более достойного мотива обдумать источники.
Руководствуясь последним мотивом, в § 4-5 я фактически использую эту
процедуру Но данная процедур» полезна для этой цели именно из-за ее
недостатков.
Тот факт, что классы являются универсалиями или абстрактными
сущностями, иногда затемняется тем, что о классах говорят как о про­
стых совокупностях или собраниях, так, класс камней, скажем, уподобля­
ется просто куче камней. Действительно, куча является конкретным объек­
том, таким же конкретным, как камни, которые ее составляют; но класс
камней в куче нельзя, собственно, отождествить с этой кучей. Если бы
это было возможно, тогда в тех же выражениях с этой же кучей мог бы
быть отождествлен и другой класс, а именно класс молекул камней этой
кучи Но в действительности эти классы должны различаться, ибо от нас
требовалось бы сказать, что один класс имеет только, скажем, сотню чле­
нов. тогда как другой триллионы. Классы, следовательно, являются аб­
страктными сущностями; если угодно, мы можем называть их совокуп­
ностями или собраниями, но они - универсалии. То есть если классы есть.
В некоторых случаях абсолютно непосредственно требуется дискурс
о классах1’. Один из таких случаев возникает тогда, когда мы определяем
предка с точки зрения родителя по методу Фреге: х является предком у,
если х принадлежит каждому классу, который содержит у и всех родите­
лей в качестве своих членов10. Таким образом, здесь есть серьёзный мо­
4 См выше, с. 17
10 О тметим аналогию между этим определением и (3) на с. 96.

тив для квантификации по классам и в равной степени есть место для
единичных терминов, которые именуют классы, - таких единичных тер­
минов, как ‘вид собак’ и ‘класс предков Наполеона’.
Вернуть общим терминам или предикатам статус имен классов не
значит отрицать, что часто (или всегда, за исключением универсумов те­
ории классов, упомянутых двумя страницами ранее) существуют опреде­
ленные классы, связанные с предикатами иначе, чем тем способом, кото­
рый вторые рассматривает как имена первых. Такие случаи возникают
при обсуждении объема общего термина или предиката, т.е. класса всех
вещей, для которых предикат является истинным. Один из таких случаев
возникает тогда, когда мы рассматриваем тему общезначимости схем чи­
стой теории квантификации, ибо кванторная схема общезначима, когда
она оказывается истинной для всех значений её свободных (но связывае­
мых) переменных всех заданных классов в качестве объёма предикатных
буквенных схем. Таким образом, общая теория общезначимости кванти­
фикации апеллирует к классам, но индивидуальные высказывания, пред­
ставленные схемами теории квантификации, в этом не нуждаются, выс­
казывание (4), взятое само по себе, не включает обращения к абстрактно­
му объёму предиката.
Сходным образом в теории общезначимости есть случай говорить об
истинностных значениях высказываний, например при определении фун­
кционально-истинностной общезначимости Но нет необходимости в том,
чтобы трактовать высказывания как имена этих значений или как имена
вообще. Когда мы просто утверждаем высказывание, мы тем самым не
апеллируем к какой-то сущности типа истинностного значения, если она
не является специальным предметом высказывания.
В особых системах можно, действительно удобно и элегантно, объяс­
нять высказывания как имена, например высказывания 2 и I в системе
Черча (Church [1]). Для особой системы, вероятно, лучше считать, что
рассмотрение 2 и 1 в качестве имен служит цели высказываний, и я не
спорю с этим. Подобным образом, Фреге можно представить как того,
кто заставляет свои единичные термины (плюс членство) выполнять ра­
боту обших терминов; и если это, ради элегантности, вновь рассматри­
вать как средство включения логики более низкого порядка в качестве
особой системы в логику более высокого порядка, то возразить нечего.
Оставляя специальные системы в стороне, все же было бы желательным
проанализировать дискурс таким способом, который не приписывает осо­
бых онтологических предпосылок тем частям дискурса, которые от них
свободны.

Основная часть логических рассуждений располагается на уровне, не
предполагающем абстрактных сущностей. Такое рассуждение большей
частью проходит с помощью теории квантификации, законы которой мо|у т быть представлены посредством схем, fie включающих квантифика­
цию по переменным классов. Большинство из того, что в общем случае
формулируется в терминах классов, отношений и даже чисел, может быть
легко схематически переформулировано в рамках теории квантификации
плюс, вероятно, теория равенства". Поэтому всеохватную теорию рефе­
ренции я рассматриваю как ущербную, если она заставляет нас указывать
на абстрактные сущности с самого начала, а не только там, где есть ре­
альная потребность в таком указании. Отсюда мое желание общие терми­
ны и абстрактные единичные термины развести.
Даже в теории общ езначимости случается так, что обращение к ис­
тинностным значениям высказываний и объемам предикатов в конечном
счёте можно устранить. Ибо функционально-истинностную общезначи­
мость можно переопределить с помощью хорошо известного табличного
метода вычисления, а в теории квантификации общезначимость можно
переопределить просто обращением к правилам доказательства (поскольку
Гёдель (G odel [1]) доказал их полноту). Это - хороший пример устране­
ния онтологических предпосылок в одной частной области.
Вообще-то, я считаю, что показать, каким образом целенаправлен­
ность определённых разделов математики может пересекаться с усечён­
ной онтологией, столь же важно, как показать, каким образом прежде не­
конструктивные доказательства в математике могут быть дополнены кон­
структивными. И нтерес в таком развитии темы зависит от всё возрастаю­
щей нетерпимости к абстрактным сущностям не более, чем от всё возра-1
стающей нетерпимости к неконструктивному доказательству. Важно по­
нять наш инструментарий, держать отчёт о различных предпосылках раз­
личных частей нашей теории и устранять их там, где мы можем. Таких
образом, мы в итоге лучше подготовимся к тому, чтобы обнаружить пол­
ную несостоятельность некоего допущения, которое всегда принималось
ad hoc и не соответствовало интуиции.

4
Может случиться так, что теорию, не имеющую дело ни с чем, кроме
конкретных индивидов, посредством метода отождествления неразличи­
мых возможно подходящим образом объяснить как рассматривающую
универсалии. Так, рассмотрим теорию тел, сравнимых с точки зрения
длины. Значениями связанных переменных являются физические объек­
" См. ниже, с 122

ты, а единственным предикатом - *£’, где 'Lxy' означает ‘х длиннее у ’.
Если ~Lxv . ~Lyx, тогда всё, что можно истинно скачать об х и рамках
данной теории, равным образом имеет силу для у и наоборот. Следова­
тельно, ‘~ L xy . ~Lyx' удобно рассматривать как ‘дг = у’. Такое отождествле­
ние сводится к объяснению значений наших переменных как универса­
лий, а именно длин вместо физических объектов.
Другой пример такого отождествления неразличимых достиж им н
теории инскрипции, формальном синтаксисе, в котором значениями свя­
занных переменных являются конкретные инскрипции. Важный преди­
кат здесь -э т о ‘С ’, где ‘Cxyz' означает, что х состой! из части, символи­
чески подобной у, за которой следует часть, символически подобная г.
Условие взаимозаменимости или неразличимости оказывается символи­
ческим подобием, выразимым следующим образом:

(z){w)(Cxy\v = Cyzw . Czxw = Czyw . Czwx = Cz»y).
Трактуя это условие как 'х = у ', мы превращаем нашу теорию инск­
рипций в теорию символических форм, где значениями переменных яв­
ляются уже не индивидуальные инскрипции, а их абстрактные символи­
ческие очертания.
Такой метод абстрагирования универсалий вполне согласуется с но­
минализмом, философией, в соответствии с которой на самом деле уни­
версалий нет вообще. Ибо универсалии могут рассматриваться здесь про­
сто как манера речи, через метафорическое употребление знака тожде­
ства для того, что на самом деле не тождественно, но сходно по длине в
первом примере или символически подобно - во втором. Абстрагируя
универсалии посредством отождествления неразличимых, мы не более
чем перефразируем ту же самую старую систему отдельных вещей.
Однако этот наивный вид абстракции, к несчастью, не годится для
абстрагирования не взаимоисключающих классов. Ибо когда класс абст­
рагируется посредством этого метода, его цельность удерживается посред­
ством неразличимости его членов с точки зрения рассматриваемой тео­
рии, поэтому лю бое пересечение двух таких классов безвозвратно сплав­
ляло бы их в единый класс.
Другой более смелый способ абстрагирования универсалий получа­
ется, если в качестве связанных переменных в квантификацию допустить
те буквы, которые прежде были лиш ь буквенными схемами, не затрагива­
ющими онтологических обязательств. Так, если мы расширим теорию
истинностных функций введением кванторов '(р)', ‘()’ и ‘(Э/э)’12 Ибо, следуя Тарскому (Tarski [2]), мы можем объяснить
'(/’)( р V и ‘(3 /?)(.../?...)’ (где ‘. ..р ...’ есть любой контекст, содержащий
'р' в качестве компонентного высказывания) как сокращение ‘...S ...’ n
‘ - S ’ соответственно, где 'S' есть сокращение некоторого особого про­
извольно выбранного высказывания. Если мы работаем в экстенсиональ­
ной системе, можно доказать, что этот искусственный способ определе­
ния квантификации по ‘р ’, 'cf и т.д. выполняет все соответствующие зако­
ны То. что казалось кванторным дискурсом о пропозициях или истинно­
стных значениях, тем самым с номиналистской точки зрения узаконива­
ется в качестве ф ш уры речи. То, что казалось дискурсом, в котором выс­
казывания фигурировали как имена, объясняется как живописное пере­
ложение дискурса, в котором именами они не являются.
Но абстракция через связывание буквенных схем не всегда так легко
согласуется с номинализмом. Если мы связываем буквенные схемы тео­
рии квантификации, то приходим к овеществлению универсалий, и для
того, чтобы от них отделаться, приёма, аналогичного приёму Тарского,
нет. Эти универсалии являются сущностями, в качестве имен которых
впредь могут рассматриваться предикаты. Как отмечалось в §2, они мо­
гут рассматриваться как атрибуты или классы, но лучше как классы.
В §3 нашлись весомые причины для утверждения символического
различия между буквенными предикатными схемами, такими как 'F в
'F x'. и связываемыми переменными, используемыми в связи с ‘е ’ дтя
того, чтобы принять классы в качестве значений. Эти причины касались
логической и философской ясности. Теперь по тем же самым причинам,
только увиденным наоборот, мы можем указать на устранение различия в
том случае, если нас интересует генетическая сторона. Онтологически
решающий шаг, постулирующий универсум классов или других абстрак­
тных сущ ностей, будучи по сути представлен как дозволение прежним
буквенным схемам подступиться к кванторам, может показаться шажком,
сделанным довольно естественно. Так было несколько параграфов назад,
когда 'р' без изменений допускалось к кванторам. Сходным образом, в
духе воображаемого воссоздания генезиса теории классов, рассмотрим
теперь в деталях, как теория классов вытекает из теории квантификации
связыванием предикатных букв, бывших прежде буквенными схемами.
|! Об экстенсиональности см выше, с. 35 Обсуждение неэкстенсиональных систсч
см в очерке VIII,

5
Прежде мы должны несколько подробнее рассмотреть теорию кван­
тификации. Кванторные схемы построены из схематических компонент
'р \ V >' Fx', 'Gx', 'G y', 'Fxy' и т д посредством кванторов ‘(дг)’, ‘(у)’, ‘(Зх)’
и т.д. и функционально-истинностных операторов
‘v ’, ‘э ’, ‘а ’11.
Различные систематизации теории квантификации, о которых известно,
являются полными в том смысле, что все общ езначимые схемы являются
теоремами (см. выше, §3). Одна такая система строится с помощью пра­
вил R l, R2, R4 и R5 из предыдущего очерка, если посредством их мы
объясняем 'ф', 'у /,
и 'to' как указание на схемы квантификации. Из
этого очерка необходимо также включить определения D1- 6.
Отличительным принципом теории квантификации является то, что
вместо всех вхождений предикатной буквы, за которой следуют перемен­
ные, мы можем подставить одно любое условие относительно этих пе­
ременных. Вместо 'Fx' мы можем подставить любую схему, например
‘(у)(С.х г> Нух)', при условии, что и вместо 'Fz', ‘Fw' и т.д. мы параллельно
подставляем ‘(y%Gz z> Ну:)', ‘(y)(Gw d Hyw)' и т.д.14. Этот принцип подста­
новки не нужно было предполагать в R l, R2, R4 и R5 просто потому, что его
использование в теории всегда можно обойти следующим образом: напри­
мер, вместо того, чтобы получить теорему у/ подстановкой ‘(y)(Gx з Нху)’
вместо 'Fx' в теореме ф, мы всегда можем получить ц/, повторяя само до­
казательство фс '(y)(Gx о Нух)' на месте ‘Fx'.
Другой отличительный принцип теории квантификации - это прин­
цип экзистенциального обобщения, который ведёт нас от теоремы ф к те­
ореме (Здг)у/, где фво всём подобно ц/, за исключением того, что она со­
держит свободные вхождения 'у' во всех позициях, где (^содержит сво­
бодные вхождения ‘дг’. Например, если исходить из 'Fy = Fy’, экзистенци­
альное обобщение приводит к ‘(Э.г)(Fy = Fx)'. Этот принцип не нужно
было предполагать в R 1, R2, R4 и R5 просто потому, что все то, что мож­
но сделать с его использованием, можно также сделать обходным путём,
применяя R l, R2 и R4 (и D I-6 ).
Нет необходимости предпочитать R l, R2, R4 и R5 в качестве основ­
ных принципов порождения общезначимых кванторных схем. Они ока­
зываются адекватным множеством правил, однако существуют и альтер­
нативные выборки, которые также были бы адекватны ми15; некоторые

11 См выше, с. 82
14 Более cip o ry io формулировку этого правила см, в моей работе [2, §25].
'* См., например, Hilbert and Ackermann, ch 3, §5, Quine [I], p 88, [2], p. 157-161. 191.

такие выборки в качестве основы включают подстановку или экзистен­
циальное обобщ ение, исключая то или иное правило из R l, R2, R4 и R5.
М аневр распространения квантификации на предикатные буквы в
качестве средства расширения теории квантификации до теории классов
может бы ть представлен просто как условие, предусматривающее у пре­
дикатных букв все преимущества переменных ‘х ’, 1у ' и т.д. Посмотрим,
как работает это условие. Начнем с того, что кванторная схема ‘(y)(Gy =
Gy)' очевидно общезначима и поэтому должна быть выводима как теоре­
ма чистой теории квантификации. Наше новое условие, наделяющее ‘F
и ‘О” преимуществами обычных переменных, позволяет нам применить
экзистенциальное обобщение к '{y)(Gy = Gy)' таким способом, чтобы получить '(3F)(y)(Fy = Gy)'. В свою очередь, из этого подстановкой мы по­
лучаем (ВF)(y)(Fy = ф)) где ф - любое желаемой условие относительно у.
Таким образом, 'F , допущенное при кванторах, приобретает статус
переменной, принимающей в качестве своих значений классы, и запись 'Fy'
сводится к обозначению того, что>’ является членом класса F. Поэтому из­
ложенный выше результат (Э/ОО’Х ^ s Ф) опознается как R3 из очерка V16.
Такое расш ирение теории квантификации простым наделением пре­
дикатных переменных всеми преимуществами ‘дг’, ‘у ’ и т.д. показалось
бы вполне естественным способом провозгласить область универсалий
отражающ ейся предикатами или условиями, которые могут быть записа­
ны на этом языке. В действительности, однако, это оборачивается про­
возглашением области классов гораздо более широкой, чем условия, ко­
торые могут быть записаны на этом языке. Возможно, этот результат не­
приятен, ибо интуитивная идея, лежащая в основании постулирования
области универсалий, это просто идея постулирования реальности за пре­
делами лингвистических форм Тем не менее этот результат ожидаем, мы
можем получить его как следствие упомянутой ранее теоремы Кантора11.
Канторовское доказательство можно получить в рамках рассматриваемой
расш иренной теории квантификации, и из его теоремы следует, что дол­
жны быть классы, в частности классы лингвистических форм, не имею­
щие соответствующ их им лингвистических форм.
Но это не имеет отношения к тому, что можно показать в рассматри­
ваемой теории. Ибо мы видели, что эта теория адекватна R 1-5, если вклю­
чить R3; и в очерке V мы видели, что R 1-5 ведут к парадоксу Рассела.
1,1 См с 88 выше Условие относительно R3, а именно, что в ф отсутствует х' (или
теперь F ’), строго необходимо из-за ограничений, которые входят в лю бую строгую формулировку правила подстановки, посредством которого ф как рач и было подставлено вме*
сто ‘G y’.
17 С. 90.

Классическая математика, грубо говоря, имеет вышеизложенную те­
орию в качестве своего основания. Однако это основание подчинено тому
или нному произвольному ограничению такого вида, чтобы восстановить
согласованность, не нарушая канторовского следствия Различные такие
ограничения рассматривались ранее". Между прочим, только что разра­
ботанная форма записи может быть сокращена устранением употребле­
ния многоместных связанных предикатных переменных (таких как 'F в
‘Fxy’), поскольку отношения конструируемы из классов, как в очерке V.
Остальные формы 'Fx', 'F y \ 'Gx' и т.д. со связанными ' F , ‘G' и т.д. могут
быть переписаны как 'х е z’, ‘у е z \ 'х е »v’ и т.д. согласно тому, что
отстаивалось в данном исследовании ранее. Мы выступаем со способом
записи очерка V Но в любом случае предполагается, что универсалии
неустранимы. Универсалии, постулируемые при связывании предикатных
букв, никогда не объяснялись с точки зрения какого-либо простого согла­
шения для сокращения записи, типа того, к которому мы обращ ались в
приведенных ранее более частных примерах абстракции.
Классы, постулируемые таким образом, на самом деле, суть все уни­
версалии, в которых нуждается математика. Числа, как показал Фреге,
определимы как некоторые классы классов. Отношения, как отмечалось,
также определимы как некоторые классы классов. А функции, как под­
черкивал Пеано, есть отношения. Тем не менее классы должны вызывать
достаточное беспокойство, если у нас есть философские опасения в от­
ношении допущения сущностей, отличных от конкретных объектов.
У Рассела (Russell [2], [3], Principia) была теория не-классов. Формы
записи, нацеленные на го, чтобы отсылать к классам, определялись в
контексте так, что все такие указания исчезали в дальнейшем. Этот ре­
зультат приветствовался некоторыми, особенно Гансом Ханом, как осво­
бождающий математику от платонизма и примиряющий ее с исключи­
тельно конкретной онтологией. Но эта интерпретация ошибочна. Метод
Рассела устраняет классы, но только обращ аясь к другой области равным
образом абстрактных или универсальных сущностей - к так называемым
пропозициональным функциям. В Principia Mathemalica фраза ‘пропози­
циональная ф ункция’ употребляется двусмысленно: иногда она подразу­
мевает открытое предложение, а иногда - свойство. Расселовская теория
не-классов использует пропозициональные функции в этом втором смыс­
ле как значения связываемых переменных, поэтому для этой теории нельзя
утверждать ничего, помимо сведения одних универсалий к другим, клас­
сов к свойствам. Такое сведение оказывается достаточно бесполезным,

когда мы осознаём, что лежащую в его основе теорию свойств на всем
протяжении саму можно было бы еще лучш е интерпретировать как тео­
рию классов в соответствии с тактикой отождествления неразличимых.

6
Трактуя предикатные буквы как квантифицируемые переменные, мы
внезапно оказываемся в потоке универсалий, против которого интуиция
бессильна. Далее мы уже не можем видеть ни то, что мы делаем, ни то,
где этот поток нас захватывает. Наши предосторожности против проти­
воречий суть приспособления ad hoc, оправданные только тем или на­
столько, насколько они выглядят работающими.
Есть, однако, более сдержанный способ трактовки предикатных букв
в качестве квантифицируемых переменных; он сохраняет некоторую ви­
димость контроля, некоторый смысл того, куда мы идем. Идея, лежащая в
основе этого более умеренного метода, состоит в том, что классы понятийны по природе и создаются человеком. Первоначально существуют
только конкретные объекты, и они могут мыслиться как значения связан­
ных переменны х неиспорченной теории квантификации. Н азовем их
объектами порядка 0. Сама теория квантификации, дополненная любы­
ми, какими нам угодно, константными внелогическими предикатами, со­
здает язык, на котором говорят о конкретных объектах порядка 0; назо­
вем этот язык L0. Первый шаг в овеществлении классов должен быть ог­
раничен до таких классов, что членство в любом из них эквивалентно
некоторому условию, выразимому в L0, соответственно и для отношений.
Назовем эти классы и отношения объектами порядка 1. Так мы начинаем
связывать предикатные буквы с идеей, что они должны в качестве значе­
ний допускать объекты порядка 1, и, как напоминание об этом ограниче­
нии, мы к таким переменным присоединяем показатель ‘ Г . Язык, обра­
зованный таким расширением L0, будет называться L v он имеет два вида
связываемых переменных, а именно старые индивидные переменные и
переменные с показателем ‘ 1’ Мы можем подходящим образом предста­
вить эти порядки как кумулятивные, предполагая таким образом, что
объекты порядка 0 одновременно являются объектами порядка 1. Это
подразумевает, что значения ‘дг’, ‘у ' и т.д. учитываю тся среди значений
‘Р ' G" и т.д. Произвольно мы можем объяснить 'F x1’ как отождествля­
ющее Я с дг, если Р является индивидом ” .

Следующий шаг состоит в овеществлении всех последующих клас­
сов такого вида, что членство в любом из них эквивалентно некоторому
условию, выразимому в Л,; то же для отношений. Назовем эти классы и
отношения объектами порядка 2. Мы расширяем этот термин, чтобы,
согласно нашему кумулятивному принципу, включить также объекты по­
рядка 1. Так мы начинаем связывать ' Р \ ‘G и т.д. с идеей, что они в
качестве значений должны принимать объекты порядка 2.
Продвигаясь таким способом до Ly Lt и т.д., мы вводим связанные
переменные со все увеличивающимися показателями, по ходу допуская
все более широкие области классов и отношений в качестве значений на­
ших переменных. При такой новой процедуре предел La этих рядов куму­
лятивных языков - или, что сводится к тому же самому, сумма всех этих
языков - есть наша окончательная логика классов и отношений.
То, что мы хотим сделать далее, - это специфицировать теорию (в
результатах во многом ту же самую, что и L J посредством правил, а не
суммированием бесконечных рядов. Для целей общ ей теории в изложен­
ный выше план можно ввести некоторые упрощения На уровне ^ у п о м и ­
налось о некоторой исходной совокупности различных внелогических
предикатов, но выбор таких предикатов уместен только в случае приме­
нения, и в рамках формальной теории может не учитываться в том же
духе, в котором мы пропустили вопрос о специфической природе объек­
тов порядка 0. Кроме того, как отмечалось в другой связи в конце преды­
дущего раздела, мы можем опустить употребление многоместных связы­
ваемых переменных и можем переписать остаточные формы ‘Р х \ '(Р Р '
и т.д., предпочитая запись ‘х 0 € у 3’, 'у3 е г2’ и т.д. Таким образом, запись
становится идентичной записи очерка V, но с показателями, добавленны­
ми ко всем переменным. Здесь нет ограничений, аналогичных ограни­
чениям теории типов: нет требований последовательности, фактически
нет ограничений на осмысленность комбинаций. Такая комбинация, как
У € z2’, может быть сохранена как осмысленная и даже как истинная для
некоторых значений у 3 и zг, несмотря на тот факт, что все члены z2 отно­
сятся к порядку 1; ибо, поскольку порядки кумулятивны, У также может
относиться к порядку 1.
Кроме того, правила R 1-5 из очерка V можно оставить в неприкосно­
венности, за исключением ограничений, необходимых для R 2-3. О грани­
чение относительно R2 состоит в том, что показатель у Р н е должен пре­
вышать показатель у а. Причина очевидна: если а принимает в качестве
значений классы порядка /и, а / ? - классы порядка п, тогда все возможные
значения Р будут заключены среди значений « то л ько , если т > п . О гра­
ничение относительно R3 состоит в том, что ’у ’и ‘х ’должны нести воз­

растающие показатели, а ф не должно содержать показатель выше,
чем показатель 'х ’, и даже ни одного показателя, столь же высокого,
как внутри кванторов. Это ограничение отражает тот факт, что классы
порядка т (- 1 черпаю т свои члены иэ порядка т согласно условиям, фор­
мулируемым в рамках Lm.
PI может быть сохранен, но знаки ‘с ’ и *=’ в нем должны быть пере­
определены с вниманием к показателям следующим образом: ‘дгт с у ’ и
■хт = у ’ для каждой выборки т и п суть сокращения для
( ^ Х ^ е х" z> z*1е у ) , (zk)(xmе zk :э у € zk)
соответственно, где h меньше т - I и п - 1, а к больше т + 1 и п + 1
Такая теория классов близкородственна теории Вейля и сравнима по
силе с так называемой разветвлённой теорией типов Рассела20, которая
последовательно обоснована Фитчем (Fitch [2]), но она гораздо проще по
форме, чем любая из этих систем. Данная теория, как и эти системы, пред­
ставляет позицию концептуализма в противовес платонистическому реа­
лизму’1. Она трактует классы как то, что конструируется, а не как то, что
открывается. Разновидность аргумента, согласно которому она не прием­
лема, - это аргумент, который под именем непредикативного определе­
ния выдвинул Пуанкаре (Ротсагё, р. 43-48), а именно спецификация класса
через апелляцию к области объектов, в которую включен сам этот класс
Вышеуказанное ограничение на R3 как раз и представляет собой форму­
лировку запрета на так называемое непредикативное определение.
Если классы рассматриваются как предсуществующие, очевидно, что
возражение, выбранное из-за характеристики, предполагающей его су­
ществование, снимается; для концептуалиста, с другой стороны, классы
существуют постольку, поскольку они допускают упорядоченное порож­
дение. Этот способ изложения концептуалистской позиции на самом деле
смутен и метафоричен, в кажущемся сплавлении логических законов с
темпоральным процессом он загадочен и вводит в заблуждение. Однако
для строгой формулировки позиции, свободной от метафор, мы можем
указать на саму приведенную выше систему.
П осмотрим, как возникает препятствие для парадокса Рассела. Дока­
зательство парадокса Рассела состояло в том, чтобы принять ф в R3 за
‘-(у е у)' и впоследствии принять у за х. Первый из этих шагов все еще
проходит, несмотря на ограничение относительно R3. Мы получаем
(6)

(ЗлГ 'ХуОЬ" € дс"н = ~ ( у 6 у ) ]

iu Без аксиомы сводимости. См. ниже, с. 122
11 См выше, с 21 Концептуалистскую позицию в основаниях математики иногда
называют интуиционизмом в широком смысле этого термина. При строгом употреблении
термин 'интуиционизм ’ указывает только на особый сорт концептуализма Брауэра и Рей­
тинга, которые отказываю тся от закона исключенного третьего.

для каждого п. Но для второго шаг а, который привел бы к самопрот иворечию:
(7)
(Эх"41) ^ * 1е лг"+| е х "'1)],
возникает препятствие. Ибо вывод (7) из (6) посредством R l, R2, R4 и
R5, выполненный с подробностями, обнаружил бы использование следу­
ющего случая R2:
(у")[у" € дг"’1 в ~(у" е у 1)] э [л"+| € .г"*' в

€ дг1" 1)].

Однако этот случай нарушает ограничение на R2 в том, что п + 1 пре­
вышает п.
Интуитивно ситуация состоит в следующем. (6), которое имеет место,
гарантирует нам для любого п существование класса членов порядка п, не
содержащих самих себя. Но сам этот класс не относится к порядку п, и,
следовательно, вопрос о том, принадлежит ли он сам себе, к парадоксу не
приводит.
Концептуалистская теория классов не требует существования клас­
сов помимо тех, что соответствуют условиям членства, которые можно
выразить. В предыдущем разделе отмечалось, что теорема Кантора выз­
вала бы противоположную ситуацию, однако его теорема здесь не прохо­
дит. Ибо доказательство Кантора апеллировало к классу h тех членов клас­
са к , которые не являются членами подклассов к, с которыми они соотне­
сены” . Но этот способ спецификации h является непредикативным, по­
скольку фактически включает квантификацию по подклассам к, одним из
которых является сам И.
Таким образом, эта теорема классической или околоклассической
математики оказывается за бортом концептуализма. Та же участь пости­
гает канторовское доказательство существования бесконечностей, поми­
мо счётных; на самом деле, эта теорема есть лиш ь следствие теоремы,
рассмотренной выше, и постольку вполне устранима. Но препятствия,
оказывается, возникают и перед доказательством некоторых более тради­
ционных и явно более желательных теорем математики, к примеру, дока­
зательством того, что каждый ограниченный класс действительных чи­
сел имеет наименьш ую границу.
Когда Рассел предложил свою разветвлённую теорию типов, эти огра­
ничения привели его к добавлению “аксиомы сводимости”. Но добавление
этой аксиомы, неоправданное с концептуалистской точки зрения, имеет
своим следствием восстановление всей платонистской логики классов.
Серьёзный концептуалист отвергнет аксиому сводимости как ложную” .

7
Платонист может переварить любой вид противоречия; и когда оно
возникает, он довольствуется его устранением посредством ограничения
ad hoc. Концептуалист более разборчив; он допускает элементарную ариф­
метику и многое другое, но не решается принять теории продвинутых
бесконечностей и разделы продвинутой теории действительных чисел.
Однако в фундаментальном отношении концептуалист и платонист сход­
ны: н тот и другой предполагают универсалии, классы какнеустранимые
значения своих связываемых переменных. Платонистская теория классов
из §5 и концептуалистская теория классов из §6 различаю тся лишь в сле­
дующем. В платонистской теории на универсум классов с неохотой и
минимально накладываются те ограничения, чья единственная цель - из­
бежать парадокса, тогда как в концептуалистской теории с точки зрения
метафоры поступательного творения универсум классов ограничивается
с удовольствием и значительно. Было бы ошибкой предполагать, что эта
метафора действительно объясняет классы или растолковывает их, ибо
нет указания на то, каким образом квантификация по классам у концепту­
алиста может быть перефразирована в какую-либо более базовую и онто­
логически более безвредную запись. Концептуалист действительно име­
ет оправдание чувству, что его основание тверже, чем основание платониста, но его оправдание ограничено двумя следую щими пунктами: уни­
версум классов, который он предполагает, беднее, чем у платониста, а
принцип, посредством которого он его ограничивает, покоится на мета­
форе, имеющей несколько интуитивный характер.
Героическую позицию самопожертвования занимает номиналист, ко­
торый вообще отвергает квантификацию над универсалиями, например
классами Он волен принять логику истинностных функций, квантифика­
ции и тождества, а также любые другие, какие ему угодно, фиксирован­
ные предикаты, которые приложимы к отдельным вещам или неуниверсалиям (как бы они ни объяснялись). Он даже может принять так называ­
емую алгебру классов и отношений в самом узком смысле и наиболее
элементарные фазы арифметики, ибо эти теории могут быть объяснены
просто как варианты записи логики квантификации и тождества21. Он
может принять законы, содержащие переменные для классов, отношений
и чисел, поскольку эти законы утверждаются как имеющие силу для всех
значений данных переменных; ибо он может трактовать такие законы как
схемы, подобно законам истинностных функций и квантификации. Но
связанные переменные для классов, отношений или чисел, если они встре­
чаются под кванторами существования или кванторами всеобщности в
рамках подчинённых выражений, должны быть отвергнуты номиналис!4 См. мою работу [2. р 230, 239]

том во всех контекстах, в которых он не может разъяснить их посред­
ством перефразировки. Он должен отвергнуть их как раз тогда, когда в
них возникает потребность.
Конечно, номиналист мог бы получить полную свободу квантифици­
ровать числа, если бы отождествил их, посредством некоторого произволь­
ного соотнесения, с несколькими отдельными вещами признаваемого им
универсума - скажем, с конкретными индивидами физического мира. Но
этот приём имеет тот недостаток, что он не может гарантировать бесконеч­
ную множественность чисел, которую требует признать классическая ариф­
метика. Номиналист отверг бесконечный универсум универсалий как мир
сновидений; он не стремится приписывать бесконечность своему универ­
суму отдельных вещей, если он не окажется бесконечным как предмет объек­
тивного факта, удостоверенного, скажем, физиком. Действительно, с мате­
матической точки зрения важное противостояние доктрин заключается здесь
как раз в противостоянии готовности и неготовности неконтролируемо по­
лагать бесконечный универсум. Это более ясное деление, чем деление на
номиналистов и остальных, как это обычно понималось, ибо последнее
деление зависит от не слишком ясного различия между тем, что характери­
зовать как отдельные вещи, а что считать универсалиями. В противостоя­
нии концептуалистов и платонистов мы, в свою очередь, имеем противо­
стояние тех, кто признает только одну степень бесконечности, и тех, кто
признает канторовскую иерархию бесконечностей.
Номиналист, или тот, кто сохраняет агностицизм в отношении беско­
нечности сущ ностей, все еще может, некоторым обходным путем, при­
способиться к математике тех, кто выступает приверженцем бесконечно­
сти, - концептуалистам или платонистам. Хоть он и не может поверить в
такую математику, он может сформулировать правила ее выполнения25.
Но ему хотелось бы также показать, что любая служба, которую класси­
ческая математика осущ ествляет для науки, может в теории, хотя и менее
просто, равным образом осуществляться посредством действительно но­
миналистических методов - без помощи бессмысленной математики, чей
синтаксис просто описывается номиналистически. И здесь номиналист
сокращает для себя работу. Он обнаруживает сильнейшее искушение пойти
по более легко проходимому пути концептуалиста, который, приняв соот­
ветствующим способом значительный кусок классической математики,
нуждается только в том, чтобы показать необязательность теории более
высоких бесконечностей и разрядов действительных чисел.
Тактически концептуализм, без сомнения, оказывается самой силь­
ной позицией из трех, ибо утомленный номиналист может снизойти до
концептуализма и всё-таки успокаивать свою пуританскую совесть размыш­
лением, что он ещё не вполне разделяет участь лотофагов с платонистом.

ЗАМЕТКИ ПО ТЕОРИИ РЕФЕРЕНЦИИ
1
Когда расхождению между значением и референцией внимание уде­
ляется надлежащим образом', проблемы того, что называют семантикой
в широком смысле, оказываются разделёнными на две столь фундамен­
тально различные области, что вообще не заслуживают того, чтобы к ним
обращ ались совместно. Эти области могут быть названы теорией значе­
ния и теорией референции. ‘С емантика’ была бы хорошим названием для
теории значения, несмотря на тот факт, что некоторые вещи из лучшей
работы по так называемой семантике, а именно из работы Тарского, при­
надлежат теории референции. Главные понятия теории значения, поми­
мо самого значения, - это синонимия (сходство значения), значимость
[significance] (обладание значением) и аналитичность (истинность по­
средством значения). Ещё одно понятие - это следование, или аналитич­
ность условных высказываний. Главными понятиями теории референ­
ции являются именование, истина, денотация (или истинный для) и объём.
Ещё одно понятие - это понятие значения переменных.
Границы между областями не являются препятствием. При условии,
что заданы какие-то области, вполне возможно, чтобы понятие было со­
ставлено из понятий, относящихся к ним обеим. Но если бы это про­
изошло в случае теории значения и теории референции, то нам, вероятно,
следовало бы отнести гибридное понятие к теории значения - просто пото­
му, что теория значения находится в худшем состоянии, чем теория рефе­
ренции, и, следовательно, из двух предпосылок является более серьёзной.
П рименяемое к дискурсу в эксплицитной кванторной форме языка
понятие онтологического обязательства принадлежит теории референции.
Сказать, что данная экзистенциальная квантификация предполагает объек­
ты данного вида, просто означает, что предложение, попадающ ее в об­
ласть действия квантора, истинно для некоторых объектов этого вида и
ни для одного объекта не этого вида. И с другой стороны, поскольку мы

намереваемся говорить об онтологическом обязательстве со стороны дис­
курса не в эксплицитной кванторной форме языка и основываем наш слу­
чай на предполагаемой синонимии между данными высказываниями и
их переводами в язык квантификации, мы, конечно, затрагиваем теорию
значения.
Если теория задана, один интересный в философском отношении её
аспект, который мы можем исследовать, - это её онтология. Но мы можем
также исследовать её идеологию (придав хороший смысл плохому слову),
те . какие идеи могут быть в ней выражены? Соотношения онтологии те­
ории и её идеологии отнюдь не просты. Так, рассмотрим обычную тео­
рию действительных чисел. Её онтология исчерпывает область действи­
тельных чисел, но её идеология - ряд особо выраженных идей - охваты­
вает отдельные идеи только определённых действительных чисел. Ибо
известно, что нет способа записи, адекватного отличительным характе­
ристикам каждого действительного числа2. С другой стороны, идеология
также вклю чает много идей, таких как сумма, корень, рациональность,
алгебраичность и им подобные, которые не нуждаются в том, чтобы иметь
какое-то онтологическое соответствие в области квантифицированных
переменных данной теории.
Две теории могут иметь одинаковую онтологию и различные идеоло­
гии. Н апример, две теории действительных чисел могут согласовываться
онтологически в том, что каждая предусматривает все действительные
числа и только их в качестве значений своих переменных, но они все же
могут различаться идеологически в том, что одна теория выражена на
языке, в который может быть переведено предложение:
(1) Действительное число х есть целое число,
тогда как другая теория - нет. Заметим важность этого частного примера;
Тарский (Tarski [1]) доказал полноту определённой элементарной теории
Т действительных чисел, но из доказательства Гёделем неполноты тео­
рии целых чисел мы знаем, что достижение Тарского было бы невозмож­
но, если бы (1) переводилось в символику Т.
Поучительно отметить, что онтология теории может охватывать объек­
ты некоторого вида К, даже когда вид К не определим в терминах этой тео­
рии. Например, можно показать, что онтология Т охватывает целые действи­
тельные числа, несмотря на тот факт, что (1) не переводимо в символику Т.
Несколько смутно я описал идеологию теории как вопрос о том, ка­
кие идеи выразимы в языке этой теории. Таким образом идеология при! С м., например, мою работу [1, р 273 и далее]

водит нас к идее идеи. Но эту формулировку, а вместе с ней и термин
‘идеология’ вполне можно опустить. Ибо та значительная работа, кото­
рой следовало бы проходить по линии идеологии, относится как раз к
теории определимости; и эта теория, соверш енно не зависящ ая от идеи
идеи, вполне свободна от теории значения и непосредственно попадает в
рамки теории референции. На самом деле слово ‘определение’ обычно
ассоциировалось с синонимией’, относящейся к теории значения, однако
математическая литература об определимости4 должна иметь с ней дело
только в следующем, более безобидном смысле. Говорится, что общий
термин I определим в какой-то части языка, включающем такое предло­
жение S, которое содержит переменную ‘х \ и выполняется теми и только
теми значениями V , для которых t является истинным. Объяснённая та­
ким образом определимость опирается только на одинаковость референ­
ции - одинаковость объёмов со стороны t и S. О пределимость выражений
других категорий, отличных от общих терминов, может быть объяснена
вполне аналогичным способом. Типичная теорема теории определимос­
ти в этом смысле, а значит, и теории референции состоит в указанном
выше наблюдении, что ‘целое’ не определимо в Т.

2
В очерках II и III мы подробно остановились на жалком состоянии
теории значения. У теории референции, конечно, тоже имелись свои про­
блемы, ибо она является сценой действия так называемых семантических
парадоксов.
Самый известный из этих парадоксов - парадокс Эпименида, с дав­
них пор передаваемый следующим образом: критянин Эпименид гово­
рит, что все критяне лгут; следовательно, его высказывание должно, в
случае истинности, быть ложным. Очевидно, что здесь мы сталкиваемся
не с реальным парадоксом, а только с выводом, что Э пименид лжёт, а
некоторые критяне, иногда, - нет. Но ситуацию можно преобразовать в
парадокс, если принять три исторические предпосылки: не только, что
(а) Эпименид был критянином и что (Ь) Э пименид сказал, что критяне
никогда не говорят правду, но также и то, что (с) все остальные высказы­
вания критян действительно были ложными. В этом случае высказыва­
ние Эпименида становится ложным, если оно истинно, и истинным, если
оно ложно, т.е. ситуация невозможна.
’ См выше, с. 31 и далее
4 Tarski [3]; R obinson; Myhill; C hurch and Quine. См также с. 79 выше

Поучительно сопоставить этот парадокс с загадкой брадобрея. Гово­
рят, что мужчина из Алкалы брил всех и только тех мужчин, кто не брился
сам; и мы обнаруживаем, что он брился сам тогда и только тогда, когда
этого не делал’. Это не реальный парадокс, но только доказательство че­
рез reductio ad absurdum того, что такого мужчины в Алкале не было. С
другой стороны, парадокс Эпименида, как недавно уточнено, так отверг­
нуть нельзя. Ибо, даже если и очевидно, что на парикмахера наложено
самопротиворечивое условие, мы не можем так запросто признать несов­
местимость трех явно независимых условий (а)-(с).
Столь же древним вариантом парадокса Эпименида является его па­
рафраза в Мегарской школе: ‘Я сейчас лгу’. Наиболее простая версия
может быть сформулирована так:
(2) (2) ложно.
Ясно, что (2), прочитанное выше, ложно, если истинно, и истинно,
если ложно.
В усилии избежать затруднения с самопротиворечием, заставляющим
рассматривать (2) и как истинное, и как ложное, можно возразить, что (2)
просто бессмысленно на том основании, что попытка распространить
референцию ‘(2)’ на (2) в виде особой цитации действительного выска­
зывания ведет к бесконечному регрессу. Однако это возражение можно
приглушить, обращ аясь к следующей, более сложной версии:
(3) ‘Не образует истинное высказывание, когда приписано своей соб­
ственной цитации’ образует истинное высказывание, когда приписано
своей собственной цитации.
П риведённое высказывание, как легко видеть, говорит, что его соб­
ственное отрицание является истинным.
Другой так называемый семантический парадокс - это парадокс Греллинга, который заключается в вопросе о том, является ли общий термин
'не истинный сам ’ сам истинным; ясно, что он сам будет истинным, если
и только если он не будет истинным. Третий парадокс - это парадокс Бер­
ри. Возьмём наименьшее число, не записываемое менее, чем в двадцати
семи слогах. Такое число было только что записано в двадцати шести
слогах0.
Эти парадоксы, по-видимому, показывают, что самые характерные для
теории референции термины, а именно ‘истинный’, ‘истинный для’, ‘име­
' В ариант этого парадокса Рассел (Russell [4, р. 354 и далее])приписал отсутствию
знакомства по наименованию
6 См W hitehead and Russell, vol I, p 61

нование’ (или ‘обозначение’), должны быть изгнаны из языка как бес­
смысленные по обвинению в противоречии. Но этот вывод трудно при­
нять, ибо эти три привычных термина обладают особенной ясностью с
точки зрения трёх следующих образцов:
(4)
(5)
(6)

’ истинно, если и только е с л и _______,
‘_____ ’ истинно для каждой______ вещи и ни для чего более.
‘_____ ’ именует _______и ничего более.

(4) имеет силу, когда одно лю бое высказывание записывается на мес­
те двух пробелов; (5) имеет силу, когда один любой общ ий термин (в фор­
ме прилагательного или, если опустить слово ‘вещ ь’, в форме существи­
тельного) записывается на месте двух пробелов, и (6) имеет силу всегда,
когда любое одно имя (которое действительно именует, т.е. чей объект
существует) записывается на месте двух пробелов.
Строго говоря, данные понятия теории референции так же, как и по­
нятия теории значения (если они вообще учитываются), всегда соотнесе­
ны с неким языком; этот язык фигурирует, хотя и молчаливо, как пара­
метр. Так, вспомним, что проблема понимания ‘аналитическое’ осозна­
валась как проблема понимания ‘аналитическое в V для переменной ‘I ’7.
Сходным образом и высказывание, мыслимое как набор букв или звуков,
никогда не является просто истинным, но истинно в языке L при соответ­
ствующем L. Это не философская доктрина о том, что все факты релятивизированы относительно языка; вопрос гораздо более поверхностен. Дело
в том, что данный набор букв или звуков мог однажды составить выска­
зывание на английском и высказывание (отличное по значению, если за­
имствовать фразу) на фризском, и могло бы случиться так, что в своем
английском значении оно - истинно, а в фризском значении - ложно'.
(4 )-(6), собственно говоря, должны выглядеть скорее так:
(7)
‘_____ ’ истинно-в-Z., если и только е с л и _____ .
(8)
’ истинно-в-Z. д л я _____ вещи и ни для чего более.
(9)
‘_____ ’ именует-в-Z._____ и ничего более.
Но теперь становится необходимым, чтобы L и язык, на котором из­
ложены (7 )-(9 ) (а именно русский) были одинаковы или по крайней мере,
чтобы они перекрывались в пределах любых символик, к которым (в роли
‘_____ ’) мы предполагаем применять (7)—(9). В противном случае в каче­
стве примеров (7 )-(9 ) мы могли бы получить даже ложь, как в том редком
’ См выше, с. 39 и далее.
" Необходимость допускать в семантике такие меж лингвистические совпадения в
другой связи была отмечена Черчем (Church [5])

случае совпадения, который мы вообразили между фризским и английс­
ким; но обы чно мы получаем просто бессмыслицу типа:
(10)

*Der Schnee ist w eiss’ истинно в немецком, если и только если
der Schnee ist weiss.

Цитация в начале (10) на самом деле нормальное русское слово', со­
ставляющее имя немецкого высказывания; но окончание (10) есть бес­
смысленная см есь языков.
Однако если бы мы свели воедино немецкий и русский, чтобы обра­
зовать составной немецко-русский язык, то о (10) можно было бы ска­
зать, что оно истинно в немецко-русском языке. В общ ем, если язык L
(например, немецкий) содержится в языке V (например, в немецко-рус­
ском) так, что V есть просто L или же L и плюс некоторый дополнитель­
ный словарь или грамматические конструкции, и если по крайней мере
куски, использующие русский язык, которые фигурируют в (7) (помимо
пробелов) являются частью U, то результат подстановки одного любого
высказывания из L на место пробелов в (7) является истинным в V. Соот­
ветственно для (8); если L содержится в V и постоянное содержание в (8)
есть часть V , то результат подстановки любого одного термина из L на
место пробелов в (8) является истинным в U. Соответственно и для (9).
Итак, оказывается, что упомянутые ранее семантические парадоксы
не возникают, если мы принимаем следующие две предосторожности:
уточняем (4)—(6), как (7)-{9), и изгоняем такие термины, как ‘истинныйв-U, ‘истинный-в-/. для’ и ‘именует-в-1’ из самого язы ка/.. Эти термины,
уместные в теории референции для L, могут продолжать существование в
более обширном языке L', содержащем L, и образцы (7)—(9) могут тогда
продолжать иметь силу в L' без парадокса, поскольку высказывания или
термины, заполняющ ие пробелы, принадлежат не просто L', но особым
образом L.
3
Необходимо заметить, что, строго говоря, ни образцы (4 )-(6 ) не были
определениями глагольных выражений ‘является истинным’, ‘является
истинным д л я’ и ‘именует’, ни образцы (7 )-(9 ) не были определениями
глагольных выражений ‘является истинным-в-Z’, ‘является истинным-в-Z,
для’ и ‘именует-в-Z.’, ибо эти образцы позволяют нам удалить эти глаголь­
ные выражения только из позиций, предваряемых цитациями, а не из по­
зиций, предваряемых, например, местоимениями или переменными кван­
тификации. Тем не менее эти образцы напоминают определения в следу' [Здесь и далее в оригинале речь идет об английском языке. - Прим. перев ]

ющем фундаментальном отношении: они не оставляю т двусмысленнос­
ти относительно объёма, области применимости рассматриваемых гла­
гольных выражений. В случае (7) это видно из следующего. Предполо­
жим две различные интерпретации ‘истинный-в-/,’, совместимые с (7), и
будем различать их, записывая ‘истинны й^в-Z,’ и ‘истинный2-в-/,’, а (7)! и
(7)2 с соответствующими нижними индексами заменят (7). Из (7), и (7)г
логически следует, что
‘_____ ' истинно^в-/., если и только если ‘______’ истинно2-в-Ь,
безразлично, какое высказывание из L мы запишем вместо ‘_____ ’. Та­
ким образом, истинно^в-Z, и истинно2-в-1 совпадают. Сходные аргумен­
ты работают для (8) и (9).
Тарский, размышлениям об истине которого на предыдущих страни­
цах мы по большей части обязаны (Tarski [4], [6]), стремится далее пока­
зать, что ‘истинный-в- I ’ на самом деле фактически определим в V, если
достичь некоторых общих обстоятельств. Предположим, что L - это язык,
общая форма которого описана выше на с. 33, и что весь словарь преди­
катов из L зафиксирован в конечном списке. Допустим далее, что V со­
держит L и в добавок некоторую специфически лингвистическую терми­
нологию, адекватную наименованию каждого индивидуального символа
из L и выражению сцепления символов. Наконец, предположим, что L!
обладает обычным набором логической символики, включая символику
теории классов. Тарский показывает, как в рамках символики i ' сформу­
лировать предложение ‘— х — которое выполняет:
— х — , если и только е с л и ______ ,
всегда, когда высказывание из L подставляется на место ‘_____ а имя
этого высказывания подставляется на место V . Короче, он показывает,
что ‘истинно-в- i ’ в смысле, согласующемся с (7), определимо в V, где
‘определимо’ согласуется со смыслом предыдущих страниц данного очер­
ка9. Мы опускаем здесь действительную конструкцию Тарского.
В некоторых формализованных способах записи, способных говорить
о своей собственной грамматике или о чём-то таком, в чём может быть
сконструирована модель такой грамматики, метод Тарского позволяет нам
вывести форму парадокса Эпименида, равносильную (3). Теорема Гёде­
ля (G odel [2]) о неполноте теории чисел фактически может быть получе­
на по этому типу с помощью reductio ad absurdum ; так я действую в [1,
’ Иногда не обращ ается внимания на то, что нет необходимости требовать, и что Тар­
ский не требовал, чтобы высказывания формы (7) (или (8) и (9)) являлись аналитически­
ми Этот пункт неоднократно исправлялся; см.: Levvy, W hite [1], Thom son.

разд. 7]. В общ ем, если L не должен включать парадокс Эпименида, ‘ис­
тинно-в-Z,’ следует определять только в L', который включает символику
для более сильной логической теории (например, более сильной теории
классов), чем та, что имеется в распоряжении в Z,10.
Построения Тарского относительно истины легко распространить на
другие понятия теории референции. Поразительный факт заключается в
том, что эти понятия, несмотря на парадоксы, которые мы ассоциируем с
ними, являются гораздо менее туманными и загадочными, чем понятия,
относящиеся к теории значения. У нас есть общие образцы (7}-(9), кото­
рые, несмотря на то, что они не являются определениями, все же служат
тому, чтобы наделить в каждой части “истинно-в-Z,’, ‘истинно-в-Z, для’ и
‘именует-в-Z,’ в любом отдельном применении ясностью , используемой
отдельным выражением из L, к которому мы их применяем В частности,
приписывание истины высказыванию ‘Снег бел’, например, в каждом
моменте так же ясно для нас, как и приписывание белизны снегу. Более
того, в технической конструкции Тарского у нас есть явный общий шаб­
лон для определения истинно-в-Z. для индивидуальных языков L, которые
сообразуются с определенным стандартным образцом и вполне опреде­
лимы с точки зрения словаря. На самом деле у нас нез сходного единого
определения ‘истинно-в-Z,’ для переменной ‘Z.’, но то, что мы делаем, до­
статочно для того, чтобы обеспечить ‘истинно-в-Z,’, даже для переменной
‘Z,’, с вполне высокой степенью осмысленности, так что мы, вероятно,
уже не склонны пользоваться этой идиомой. Конечно, ни один термин не
определим без посредства других терминов, и настоятельная потребность
в определении пропорциональна непонятности термина.
Взгляните, насколько непозволительно понятие аналитичности-в-Z.,
характеристику теории значения сравнивать с понятием истинности-в-Д.
Для первого у нас нет ключа, сравнимого с (7). У нас нет какого-либо
системного шаблона для конструирования определений ‘аналитическоев-Z,’, даже для различных индивидуальных случаев Z,; определение ‘аналитическое-в-Z.’ для каждого L, по-видимому, должно быть, скорее, про­
ектом в себе". Н аиболее очевидный принцип объединения, связывающий
аналитичность-в-Z, для одного случая L с аналитичностью -в-Z, для друго­
го случая L , состоит в совместном использовании звуков ‘аналитическое’.

См.: Tarski [4], [5]. [6], а также Quine [8] Но если L в некотором смысле особенно
слаб, это требование исчезает, свидетельство тому система М илля, в которой отсутствует
отрицание
" См. выше, с 3 5 -3 9

РЕФЕРЕНЦИЯ И МОДАЛЬНОСТЬ
I

Одним m фундаментальных принципов, управляющих тождеством,
является принцип подстановочности - или, как его ещё можно было бы
назвать, принцип неразличимости тождественных. Этот принцип обес­
печивает, что если дано истинное высказывание о тождестве, то один из

его двух терминов может быть подставлен на место другого в любом
истинном высказывании и результат будет истинным Легко подыскать
случаи, которые противоречат этому принципу. Например, высказывания:
(1) Джорджоне = Барбарелли,
(2) Джорджоне был назван так из-за своего размера
истинны; однако замещ ение имени ‘Дж ордж оне’ именем ‘Барбарелли’
превращает (2) в ложь:
Барбарелли был назван так из-за своего размера.
К тому же высказывания:
(3) Цицерон = Туллий,
(4) ‘Ц ицерон’ содержит семь букв
истинны, но замещ ение первого имени вторым превращ ает (4) в ложь.
Тем не менее основание принципа подстановочности кажется вполне твер­
дым; все, что можно сказать о человеке Цицероне (или Джорджоне), было
бы в равной степени истинно и для человека Туллия (или Барбарелли),
ибо это один и тот же человек.
В случае (4) этот парадокс разрешается сразу же. (4) является выска­
зыванием не о человеке Цицероне, но просто о слове ‘Ц ицерон’. Прин­
цип подстановочности не должен распространяться на те контексты, в
которых заменяемое имя входит без указания на объект. О шибка при под­
становке обнаруживает просто то, что заменяемое вхождение не является

чисто референциальным ', т. е. высказывание зависит не только от объек­
та, но и от формы имени. Ибо ясно, что все, что утверждается относи­
тельно объекта, остается истинным, когда мы указываем на этот объект с
помощью лю бого другого имени.
Выражение, состоящ ее из другого выражения, взятого в одинарные
кавычки, составляет имя этого выражения; и ясно, что вхождение выра­
жения, или его части, внутрь закавыченного контекста вообще не являет­
ся референциальным. В частности, вхождение собственного имени в за­
кавыченный контекст в (4) не является референциальным и не подчиня­
ется принципу подстановочносги. Собственное имя встречается здесь
просто как фрагмент более длинного имени, которое содержит, помимо
этого фрагмента, две кавычки. Осуществлять подстановку на место соб­
ственного имени в таком контексте оправдано не более, чем подставлять
вместо элемента 'кот' в контексте ‘котел’.
Пример (2) несколько тоньше, ибо это высказывание о человеке, а не
просто о его имени Именно человек, а не его имя был назван так-то и
так-то из-за своего размера. Тем не менее ошибка с подстановочностью
показывает, что вхождение собственного имени в (2) не является чисто
референциальным. На самом деле (2) легко перевести в другое высказы­
вание, которое содержит два вхождения имени, одно чисто реф еренци­
альное, а другое - нет:
(5) Джорджоне был назван ‘Джорджоне’ из-за своего размера.
Первое вхождение является чисто референциальным. Подстановка на ос­
нове (1) преобразует (5) в другое равным образом истинное высказывание:
Барбарелли был назван ‘Джорджоне’ из-за своего размера.
Второе вхождение собственного имени является референциальным
не более чем любое другое вхождение в рамках закавыченного контекста.
Было бы не совсем верно делать отсюда вывод, что вхождение имени
внутрь одинарных кавычек никогда не является референциальным. Рас­
смотрим высказывания:
(6) ‘Джорджоне играл в шахматы’ истинно,
(7) ‘Дж ордж оне’ звали игрока в шахматы.
Каждое из них истинно или ложно, согласно тому, истинно или лож­
но высказывание без кавычек:
(8) Джорджоне играл в шахматы.
1 Ф реге (Frege [3]) говорил о прямом (gerade) и косвенном (ungcrade) вхождениях и
так же, как и мы, использовал подстановочность тождественного в качестве критерия.

Наш критерий референциального вхождения делает вхождение име­
ни ‘Джорджоне’ в (8) референциальным и должен делать референциаль­
ными вхождения ‘Джорджоне’ в (6) и (7) по тем же основаниям, несмотря
на наличие в (6) и (7) одинарных кавычек. Вопрос с кавычками состоит
не в том, что они должны устранять референциальное вхождение, но в
том, что они могут (и обычно это делают) его устранить. Примеры (6) и
(7) необычны тем, что особые предикаты ‘истинно’ и ‘звали’ имеют сво­
им следствием аннулирование одинарных кавычек - как очевидно из срав­
нения (6) и (7) с (8).
Чтобы получить пример другого общего типа высказываний, в кото­
ром имена не встречаются референциально, рассмотрим некоего челове­
ка, который зовется Филиппом и удовлетворяет следующему условию:
(9) Филиппу известно, что Туллий разоблачил Катилину,
или, возможно, условию:
(10) Филипп верит, что Тегусигальпа находится в Никарагуа.
Подстановка, которая на основе (3) трансформирует (9) в высказывание:
(11) Филиппу не известно, что Цицерон разоблачил Катилину,
несомненно, ложна. Подстановка на основе истинного тождества:
Тегусигальпа = столица Гондураса,
также преобразует истинное высказывание (10) в ложь:
(12) Филипп верит, что столица Гондураса находится в Никарагуа.
Таким образом, мы видим, что вхождения имен ‘Туллий’ и ‘Тегуси­
гальпа’ в (9)-(10) не являются чисто референциальными.
В этом отношении между (9) или (10) и
Крас слыш ал, что Туллий обличает Катилину
есть фундаментальное различие.
Это высказывание утверждает отношение между тремя людьми, и эти
люди остаются соотнесенными таким образом, независимо от имен, ко­
торые им приписываются. Но (9) нельзя рассматривать просто как утвер­
ждение об отношении между тремя людьми. Это относится и к (10), кото­
рое не утверждает отношения между человеком, городом и страной - по
крайней мере пока мы интерпретируем наши слова таким образом, чтобы
признать (9) и (10) за истинные, а (11) и ( 1 2 ) - за ложные.
Некоторые читатели могут истолковать незнание и веру как отноше­
ния между людьми и высказываниями, записывая (9) и (10) следующим
образом:

(13) Филиппу не известно, что ‘Туллий разоблачил Катилину’,
(14) Ф илипп верит, что ‘Тегусигальпа находится в Н икарагуа’,
для того, чтобы поместить в контекст одинарных кавычек каждое не чис­
то референциальное вхождение имени. Черч (Church [5]) приводит аргу­
менты против этого. При этом он использует понятие аналитичности, в
отношении которого мы высказывали опасения (с. 2 6 -4 2 выше); и хотя
его аргумент нельзя легко отодвинуть в сторону, нам все равно не требу­
ется останавливаться на этом вопросе. Достаточно сказать, что опреде­
ленно нет нужды переделывать (9 )-(1 0 ) в (13)—(14). Нужно просто заме­
тить. что контексты ‘не известно, ч т о ...’ и ‘верит, ч т о ...’ сходны с контек­
стом одинарных кавычек в следующем отношении: имя может реф ерен­
циально входить в высказывание 5 и, однако, не входить референциально
в более длинное высказывание, образованное помещением S в контекст
‘не известно, ч т о ...’ или ‘верит, ч т о ...’. Если подвести итог, мы можем
говорить о контексте ‘не известно, ч т о ...' и ‘верит, ч т о ...’ как о референ­
циальнонепрозрачных [opaque]2. Тоже самое истинно для контекстов ‘зна­
ет, ч т о ...’, ‘говори т,что...’, ‘сомневается, ч т о ...’, ‘удивляетсятому, ч т о ...’
и т. д. Было бы более аккуратно, хотя и не необходимо, загнать все реф е­
ренциально непрозрачные контексты в закавыченный шаблон; в качестве
альтернативы мы можем признать цитацию одним референциально не­
прозрачным контекстом среди многих.
Ниже будет показано, что референциальная непрозрачность поража­
ет и так называемые модальные контексты ‘Необходимо, ч т о ...’ и ‘В оз­
можно, что ... по крайней мере когда они даны в смысле строгой необхо­
димости и возможности, как в модальной логике Л ью иса1. Согласно стро­
гому смыслу ‘необходимо’ и ‘возможно’, следующие высказывания сле­
дует рассматривать как истинные:
(15) 9 необходимо больше 7,
( 16) Необходимо, что если на Вечерней звезде есть жизнь, то на Ве­
черней звезде есть жизнь,
(17) Число планет, возможно, меньше 7;
а следую щие - как ложные:
(18) Число планет необходимо больше 7,
( 19) Необходимо, если на Вечерней звезде есть жизнь, то на У трен­
ней звезде есть жизнь,
(20) 9, возможно, меньше 7.
! Э тот т е р м н н п р и б л и зи те л ьн о п р о ти в о с т о и т те р м и н у Р а с с е л а п розрачн ы й
[transparent] как он употребляет его в приложении С к Principia, 2d ed , vol 1
’ Lewis, [1, ch. 5], Lewis and Langford, p. 7 8-89, 120-166.

Общая идея строгих модальностей основана на предполагаемом по­
нятии аналитичности следующим образом: высказывание формы ‘Не­
обходимо, ч т о ...’ истинно, если и только если компонентное высказыва­
ние, которое подчинено слову ‘необходимо’, является аналитическим, а
высказывание формы ‘Возможно, ч т о ...’ ложно, если и только если ана­
литическим является отрицание компонентного высказывания, которое
подчинено слову ‘возможно’. Следовательно, (15)—(17) могли бы быть
перефразированы так:
(21) ‘9 > 7 ’ является аналитическим,
(22) ‘ Р.сли на Вечерней звезде есть жизнь, то на Вечерней звезде есть
ж изнь’, является аналитическим,
(23) ‘Число планет не меньше 7 ’ не является аналитическим,
и соответственно для (18)—(20).
То, что контексты ‘Необходимо, ч т о ...’ и 'В озмож но, ч т о ...’ референ­
циально непрозрачны, видно сразу, ибо подстановка на основе истинных
тождеств:
(24) Число планет = 9,
(25) Вечерняя звезда = Утренняя звезда,
превращает истины (15)—(17) в ложные высказывания (18)-(20).
Заметим тот факт, что ( 15)—(17) эквивалентны (21)—(23), и тот факт,
что ‘9 ’, ‘Вечерняя звезда’ и ‘число планет’ взяты в (21)—(23) в кавычки,
сами по себе не оправдывали бы нас в выводе, что ‘9 ’, ‘Вечерняя звезда’и
‘число планет’ входят в (1 5)-( 17) нереференциально. Такая аргументация
была бы подобна ссылке на тождественность (8) с (6) и (7) как на очевид­
ное основание того, что ‘Джорджоне’ входит в (8) нереференциально.
Н ереференциалыю сть вхождений ‘9 ’, ‘Вечерняя звезда’ и ‘число планет’
в (15)—(17) (и в (1 8)-(20)) демонстрирует тот факт, что подстановка с по­
мощью (24)-(25) превращает истинные высказывания (1 5 М 1 7 ) в лож­
ные (а ложные (1 8 М 2 0 ) в истинные).
Отмечалось, что некоторые могут предпочесть рассматривать (9) и
(10) как то, что получает свое более фундаментальное выражение в (13) и
(14). В том же духе многие будут предпочитать рассматривать (15)-(17)
как то, что получает свое более фундаментальное выражение в (21)—(23)J.
Но в этом опять нет никакой необходимости. Мы определенно не считаем
(6) и (7) чем-то более основополагающим, нежели (8), и нет необходимо­
сти в том, чтобы видеть в ( 2 1М 2 3 ) нечто более основополагаю щ ее, чем в
(1 5 )-( 17). Важно лиш ь отдать должное тому, что контексты ‘ Необходимо,
ч т о ...’ и ‘Возможно, ч т о ...’ подобно цитациям и контекстам ‘Не извест­
но, ч т о ...’ и ‘Верит, ч т о ...’ являются референциально непрозрачными.

2
Феномен референциальной непрозрачности только что объяснялся
через обращ ение к поведению единичных терминов. Но единичные тер­
мины, как мы знаем (см. с. 14 и далее, 83, 156 и далее), устранимы с
помощью перефразировки. В конечном счёте объекты, на которые указы­
вается в теории, должны рассматриваться не как вещи, именуемые еди­
ничными терминами, но как значения квантифицированных переменных.
Поэтому, если референциальная непрозрачность - это недуг, о котором
стоит беспокоиться, он должен проявить симптомы в связи с квантифика­
цией так же, как и в связи с единичными терминами'. Обратим тогда наше
внимание на квантификацию.
Связь между именованием и квантификацией подразумевается в опе­
рации, посредством которой из ‘Сократ смертен’ мы выводим ‘(Эх) (дс
смертен)’, т.е. ‘Нечто см ертно’. Это - операция, о которой выше (с. 115)
говорилось как об экзистенциа.чьном обобщении, за исключением того,
что там, где бы ла свободная переменная, здесь у нас есть единичный тер­
мин. Идея, которая стоит за таким выводом, заключается в том, что всё,
что истинно для объекта, именуемого данным единичным термином, ис­
тинно для чего-то, и ясно, что вывод теряет свое оправдание, когда рас­
сматриваемый единичный термин не оказывается именем. Из
Такой вещи, как Пегас, нет
мы, например, не выводим
(Эх) (такой вещи, как х, нет),
т.е. ‘Есть нечто, чего, как такой вещи, нет’ или ‘Есть нечто такое, чего нет’.
Разумеется, этот вывод равным образом не оправдан для случаев не­
референциального вхождения любого существительного. О т (2) экзистен­
циальное обобщ ение привело бы к
(Зх) (х был назван так из-за своего размера),
т.е. к ‘Нечто было названо так из-за своего размера’. Ясно, что это бес­
смысленно, ибо для ‘назван т а к ’ больше нет какой-то подходящей пред­
шествующей части. Заметим для сравнения, что экзистенциальное обоб­
щение в отношении чисто референциального вхождения в (5) даёт здра­
вый вывод:
(З х )

(х был назван ‘Дж ордж оне’ из-за своего размера),

т.е. ‘Нечто было названо ‘Джорджоне’ из-за своего размера’.
s По существу, этот вопрос был решен Черчем (C hurch [3])

Конкретизация универсальности —это логическая операция, посред­
ством которой из ‘Все есть оно сам о’ или символически ‘(л) (дг = л)’ мы
выводим заключение, что ‘Сократ = С ократ’. Эта операция и экзистенци­
альное обобщение представляют собой два аспекта единого принципа;
ибо вместо того, чтобы говорить, что '( х ) (х = х)' влечёт ‘Сократ = Со­
крат’, мы могли бы также сказать, что отрицание ‘Сократ »»Сократ’ вле­
чёт ‘(Ex) (х ' х ) '. Принцип, воплощенный в этих двух операциях, является
связующим звеном между квантификациями и единичными высказыва­
ниями, где последние соотносятся с первыми как примеры. Однако на­
звать это принципом можно только из вежливости. Он имеет силу только
в том случае, когда термин именует и к тому же входит референциально.
Он представляет собой только логическое содержание идеи, что данное
вхождение референциально. По этой причине данный принцип аномален
как придаток к чисто логической теории квантификации. Отсюда логи­
ческая важность того факта, что все единичные термины, помимо пере­
менных, которые служат в качестве существительных в связи с квантора­
ми, необязательны и устранимы с помощью перефразировки6.
Мы только что видели, как референциально непрозрачный контекст
(2) подошел к экзистенциальному обобщению. Рассмотрим, что происхо­
дит с нашими другими референциально непрозрачными контекстами.
Э кзистенциальное обобщение, применяемое к вхождению собственного
имени в (4), привело бы нас к
(26) (Зх) (‘х 'содерж ит семь букв),
т. е. к
(27) Существует нечто такое, что ‘оно’ содержит семь букв,
или, вероятно,
(28) ‘Н ечто’ содержит семь букв.
Само же выражение:
V содержит семь букв
просто подразумевает:
24-я буква алфавита содержит семь буквВ (26) вхождение этой буквы в закавыченный контекст безразлично
для квантора, который ему предшествует, точно так же. как и вхождение
"С м выше с 14 и далее, с 19 и ниже, с. 1 5 6 и д ал е е Заметим, что экзистенциальное
обобщение, как на с. 118, относится к чистой теории квантификации, ибо она должна
иметь дело со свободными переменными, а не с единичными терминами То же самое
истинно для соответствующ его использования конкретизации универсальности, как она
представлена в R2 очерка V

■
[В оригинале речь идет об английском алфавите. Ссылка далее на слово ‘six’ связа­
на с тем, что в английском языке имя ‘Cicero’ содержит шесть букв. - Прим. перев ]

той же буквы в контекст ‘six’. (26) просто-напросто состоит из ложного
высказывания, которому предшествует безразличный квантор. (27) подоб­
но (26); его часть:
'о н о ’ содержит семь букв
ложна, а префикснос выражение ‘существует нечто такое, что’ безразлич­
но. (28) опять же ложно - если под ‘содержит сем ь’ мы подразумеваем
'содержит ровно сем ь’".
Менее очевидно и, соответственно, более важно осознать, что экзис­
тенциальное обобщение не обосновано также в случаях (9) и (10). При­
менённое к (9), приводит к
(Эх) (Филиппу не известно, что х разоблачил Катилину),
т. е. к
(29) Нечто таково, что Филиппу не известно, что оно разоблачило
Катилину.
Что представляет собой тот объект, который разоблачил Катилину, и
Филиппу этот факт остался неизвестным? Туллий, т.е. Цицерон? Но пред­
полагать это - означало бы противоречить тому факту, что (11) ложно.
Заметим, что (29) не должно смешиваться с
Филиппу не известно, что (Зх) (х разоблачил Катилину),
которое, хотя и оказывается ложным, вполне посредственно, и нет опасно­
сти вывести его из (9) посредством экзистенциального обобщения.
Затруднение, затрагиваемое в мнимом выводе (29) из (9), вновь воз­
никает, когда мы пытаемся применить экзистенциальное обобщ ение к
модальным высказываниям Мнимые следствия:
(30) (З а:) ( х необходимо больше 7),
(31) (Зх) (необходимо, что если на Вечерней звезде есть жизнь, то на
х есть жизнь)
из (15) и (16) возникают по тем же проблемам, что и в случае с (29). Что
это за число, которое, согласно (30), необходимо больше 7? Согласно (15),
из которого было выведено (30), это 9, т е . число планет, но предполагать
это - означало бы противоречить тому факту, что (18) ложно. Одним сло­
вом, быть необходимо больше 7 не есть характеристика числа, но зависит
от способа указания на число. Опять же, что представляет собой вещ ьх,
чье существование утверждается в (31)? Согласно (16), из которого было
выведено (31), это - Вечерняя звезда, т.е. Утренняя звезда; но предпола­
гать это - значит противоречить факту, что (19) ложно. Таким образом,
быть необходимым или возможным в общем не характеристика рассмат­
риваемого объекта, но зависит от способа указания на объект.
•

перев. ]

[В оригинале стоит слово som ething-, содержащее большее количество букв - Прим

Заметим, что (30) и (31) не должны смешиваться с
Необходимо, что (Зх) (х > 7),
Необходимо, что (Зх) (если на Вечерней звезде есть жизнь, тогда нах
есть жизнь),
которые не представляют проблемы для интерпретации, сравнимой с про­
блемой, предоставляемой (30) и (31). Различие можно подчеркнуть изме­
нением примера: в игре, не допускающей ничьей, необходимо, чтобы какой-то один из игроков победил, но нет такого игрока, о котором можно
было бы сказать, что он победит с необходимостью.
В предыдущем разделе мы видели, как референциальнаянепрозрач­
ность обнаруживается в связи с единичными терминами; задача, которую
мы затем поставили перед собой в начале данного раздела, заключалась в
том, чтобы увидеть, как референциальная непрозрачность демонстриру­
ет себя в связи с переменными квантификации. Теперь ответ ясен: если к
референциально непрозрачному контексту с переменной мы применяем
квантор с намерением, что он будет управлять данной переменной из-за
пределов референциально непрозрачного контекста, то мы приходим к
ненамеренно осмысленным или бессмысленным выражениям типа (26)(31). Одним словом, мы не можем надлежащим образом квантифициро­
вать референциально непрозрачный контекст.
Закавыченный контекст и последующие контексты ‘...бы л назван так’,
‘Не известно, ч т о ...’, ‘Верит, ч т о ...’, ‘Необходимо, ч т о ...’ и 'Возможно,
ч т о ...’ в предыдущем разделе были найдены референциально непрозрач­
ными с помощью рассмотрения несостоятельности принципа подстанов­
ки тождественного, применяемого к сингулярным терминам. В данном
разделе эти контексты были найдены референциально непрозрачными с
помощью критерия, имеющего дело более не с единичными терминами,
но с ошибкой квантификации. Читателю может показаться, что на самом
деле в данном разделе мы в конечном счёте не избавились от единичных
терминов; ибо дискредитация квантификаций (29) - ( 3 1 ) все еще обраща­
лась к прояснению взаимодействия между единичными терминами ‘Тул­
лий’ и ‘Цицерон’, ‘9 ’ и ‘число планет’, ‘Вечерняя звезда’ и ‘Утренняя звез­
д а’. Однако в действительности возвращение к прежним единичным тер­
минам с целью объяснения устранимо, что можно проиллюстрировать
доказательством бессмысленности (30) другим способом. В се, что боль­
ше 7, является числом, и лю бое данное число х, больш ее чем 7, может
быть однозначно определено любыми из различных условий, отдельные
из которых содерж ат'х > 7 ’ в качестве необходимого следствия, а некото­
рые - нет. Одно и то же число х однозначно определяется условием:

(32) .г =Vx + Vx + Vx * v/х
и условием:
(33) Есть в точности х планет,
но (32) содержит ‘х > 7 ’ в качестве необходимого вывода, а (33) - нет.
Быть с необходимостью больше 7 в применении к числу х оказывается
бессмысленным; необходимость придаётся только связи между ‘х > 7 ’ и
частным методом, посредством которого в (32) специфицируется х в про­
тивоположность такому методу в (33).
Сходным образом (31) было бессмысленным, потому что сорт веши
х, выполняющей условие:
(34) Если на Вечерней звезде есть жизнь, то на х есть жизнь,
а именно физический объект, может быть однозначно определён любыми
из различных условий, не все из которых имеют (34) в качестве необходи­
мого следствия. Необходимая выполнимость (34) не имеет смысла в при­
менении к физическому объекту х; необходимость, в лучшем случае, при­
дается только связи между (34) и тем или иным частным средством спе­
цификации х.
В ажность распознавания референциальной непрозрачности трудно
переоценить. В §1 мы видели, что референциальная непрозрачность пре­
пятствует подстановочности тождественного. Мы видим теперь, что она
также пресекает квантификацию: кванторы, находящиеся вне референ­
циально непрозрачной конструкции, безразличны к переменным, находя­
щимся внутри этой конструкции. Это вновь очевидно в случае кавычек,
как показывает абсурдный пример:
(Зх) ( ‘six’ содержит ‘х ’).

3
Из (30) - (31) мы видим, как квантор, применённый к модальному
предложению, может просто привести к бессмыслице. Ф актически бес­
смыслица - это просто отсутствие смысла, и она всегда может быть ис­
правлена произвольным приписыванием некоторого смысла. Но необхо­
димо отметить важный пункт; даже при условии понимания модальнос­
тей (ради упрощения некритически примем лежащее в основе понятие
аналитичности) и при условии так называемого обычного понимания кван­
тификации мы не достигаем автоматически какого-либо значения для кван­
тифицированных модальных предложений, таких как (30) - (31). Этот
пункт должен приниматься во внимание любым, кто приступает к разра­
ботке законов для квантифицированной модальной логики.

Корень затруднения - в референциальной непрозрачности модальных
контекстов. Но референциальная непрозрачность отчасти зависит от при­
нимаемой онтологии, т.е. от того, какие объекты допустимы в качестве
возможных объектов референции. Наиболее легко это можно видеть, если
вернуться на время к взглядам §1, где референциальная непрозрачность
объяснялась с точки зрения неудачи при взаимозаменимости имён, имену­
ющих один и тот же объект. Предположим теперь, что мы должны были
отвергнуть все объекты, которые подобно 9, планете Венера или Вечерней
звезде именуемы именами, неспособными к взаимозаменимости в модаль­
ных контекстах. Сделать так -о зн ач ал о бы одним махом избавиться от всех
примеров, указывающих на непрозрачность модальных контекстов
Но какие объекты остались бы в очищенном таким образом универ­
суме? Объект х, чтобы сохраниться, должен отвечать следующему усло­
вию: если S - высказывание, содержащее референциальное вхождение
имени х. a S' образовано из S посредством подстановки любого другого
имени х, то S и S' должны быть одинаковы не только в отношении истин­
ностного значения при сложившейся ситуации, но должны оставаться
одинаковыми в отношении истинностного значения даже тогда, когда им
предпосланы ‘необходимо’ или ‘возможно’. Равным образом замена од­
ного имени х другим в любом аналитическом высказывании должно да­
вать аналитическое высказывание. Точно так же лю бые два имени х дол­
жны быть синонимичны7.
Так, планета Венера как материальный объект исключается ввиду того,
что обозначается разными именами ‘Венера’, ‘Вечерняя звезда’, ‘Утрен­
няя звезда’. В соответствии с этими тремя именами нам следует, если
модальные контексты не должны быть референциально непрозрачными,
распознать три объекта, а не один - быть может, понятие о Венере, поня­
тие о Вечерней звезде, понятие об Утренней звезде.
Сходным образом исключается 9, как единственное целое число между
8 и 10, поскольку обладает разными именами ‘9 ’ и ‘число планет’. В соот­
ветствии с этими двумя именами мы обязаны, если модальные контексты
не должны быть референциально непрозрачными, распознать два объек­
та, а не один возможно, понятие о 9 и понятие о числе планет. Эти поня­
тия не являются числами, ибо одно никогда не совпадает с другим и не
меньше и не больше его.
Требование, чтобы любые два имени х были синонимами, можно рас­
сматривать не как ограничение допустимых объектов х, но как ограниче­
ние допустимого словаря единичных терминов. Тем хуже для этого спо-

1
См выше, с. 36. Синонимия имен не подразумевает простого именования одной и
той же вещи; она означает, что высказывание о тождестве, образованное двумя именами,
является аналитическим

соба формулировки требования; здесь мы имеем еще одну демонстрацию
поверхностной трактовки онтологических вопросов с точки зрения еди­
ничных терминов Действительная догадка, которая теперь в опасности
остаться непрояснённой, состояла, скорее, в следующем: необходимость,
собственно говоря, не применима к выполнению условий объектами (та­
кими, как каменный шар, которым является Венера, или число, которым
является число планет), помимо особых способов их специфицирования.
Этот пункт наиболее удобно обнаружить исследованием единичных тер­
минов, но он не отменяется при их удалении. Рассмотрим теперь предмет
с точки зрения квантификации, а не единичных терминов
С точки зрения квантификации реф еренциальная непрозрачность
модальных контекстов отражалась в бессмысленности таких квантифи­
каций, как (30)—(31). Суть затруднений с (30) состоит в том, что число х
может быть однозначно определено любым из двух условий, например
(32) и (33), которые не являются необходимо, т.е. аналитически, эквива­
лентными друг другу. Но предположим теперь, что мы должны были от­
вергнуть все такие объекты и сохранить только те объекты х, которые для

любых двуос условий, однозначно определяющих х, являются аналитичес­
ки эквивалентными Все примеры тина (30)-(31), иллюстрирующие ре­
ференциальную непрозрачность модальных контекстов, следовало бы тог­
да отбросить. Отсюда в общем стало бы осмысленным говорить, что есть
такой объект, который, независимо от любого частного способа его специ­
фицирования, с необходимостью является таким-то и таким-то. Короче го­
воря, квантификация модальных контекстов стала бы узаконенной.
Оговорку, которая выделена курсивом последней, можно представить
формально, без помощи единичных терминов в следующей схеме:
(35) {{y)[Fy = (у = х)} . 0')[С у =(у = х)]} о [необходимо (у) (Fy = Gy)}.
Ибо '(y ^ F y = (у = договорит нам, что условие ‘Fy' однозначно опре­
деляет у какх; и, соответственно, для ‘(у)[(/у = (у = х )]’. В действительно­
сти (35) можно упростить так:
(36) (y)[Fy з (у = х) =з {необходимо (y)[Fy * (у = *)]}.
Ибо (36) легко выводится из (35), если принять 'Gy' за ‘у = х', и, на­
оборот, (35) легко выводится из (36) с помощью очевидной леммы:
{необходимо (у) [Fy * (у = х)]. необходимо (y)[Gy = 0 ' = х)]} о [необ­
ходимо (у) (Fy * Gy)].
(36) оговаривает, что если условие однозначно определяет х, оно необхо­
димо, а не неслучайно. Из (36) мы можем вывести еще более простой и
более примечательный закон, свободный даже от символа ‘Р . Примем

' Fy' в (36) за 'у = х ’ и отметим, что ‘(у)[(у - г)= (у - лг)]’ эквивалентно ‘г = * ’;
как следствие:
(г - х) Z2 [необходимо (г = дг)],
или, при полной квантификации:
(37) (z)(jс) {(г = х) з [необходимо (г = дс)]}
То есть универсум должен состоять из вещей, которые никогда не
бывают тождественными случайно, они необходимо тождественны, если
тождественны вообще.
(35)
или (36), с его следствием (37), предназначались как достаточное
условие разумности квантифиции в модальных контекстах. Но (37), а не­
явно и (36) сами используют квантификацию в модальных контекстах.
Поэтому, скорее, в формулировке (35) или в выделенной курсивом вер­
бальной формулировке того, что ему предшествует, мы должны искать
наше исходное руководство для очищения универсума, чтобы сохранить
модальные контексты для квантификации. Однако мы можем ожидать,
что в квантифицированной модальной логике, путь для которой был рас­
чищен таким образом, (36) и (37) имеют силу.
Теперь обратим внимание на непомерную цену такого очищения уни­
версума. Конкретные объекты изгоняются в пользу того, что Фреге (Frege
[3]) называл смыслами имён, а Карнап (С а т а р [3]) и Чёрч назвали инди­
видными концептами [individual concepts]. Числа изгоняются в пользу
некоторого вида понятий, которые соотносятся с числами много-однозначным способом. Классы выпадают в пользу понятий о классах или ат­
рибутов, если понято, что два открытых предложения, определяющих один
и тот же класс, все равно определяют различные атрибуты, если они анали­
тически не эквивалентны. Неограниченная квантификация в модальных
контекстах оплачивается принятием онтологии исключительно интенси­
онального или идеалистического типа. Злом такой онтологии ни в коем
случае не является то, что принцип индивидуации его сущ ностей непре­
менно основывается на мнимом понятии синонимии или аналитичности.
Впервые я обратил внимание на затруднения с квантификацией мо­
дальных контекстов в 1941 и 1943 годах. Тогда я не указывал, что это
затруднение может встретиться при исключении из универсума интенси­
ональных объектов; это наблюдение было добавлено Чёрчем (Church [4]).
Карнап (С а т а р [3]) ответил подгонкой категорий, ограничивающ ей об­
ласть квантифицируемых переменных в его модальной логике индивид­
ными концептами, атрибутами и видовыми интенсиональными сущнос­
тями. На самом деле он не описывал свою процедуру именно так; он ус­

ложнил ситуацию, предложив любопытное удвоение интерпретации пе­
ременных. Но я показал’, что это усложняющее приспособление, по су­
ществу, не имеет значения и его лучше убрать.
Модальная логика Ф итча (Fitch [ 1]) явно не ограничена в своей онто­
логии интенсиональными сущностями, но вероятно, что на основании
тщательного анализа и при более четкой интерпретации обнаружится, что
она подчиняется этому ограничению. Поэтому вполне естественно было
бы сконструировать эту систему так, чтобы (37) получалось в ней в каче­
стве теоремы. Фитч подходит ближе, доказывая:
(38) (а = Ь)г> [необходимо ( а = 6)]
(у него 23.6), но должно ли это приравниваться к (37), зависит от того,
должны ли 'а' и 'Ь' пониматься как связываемые переменные или же про­
сто как буквенные схемы для подходящих имен. В последнем случае (38)
может отражать лиш ь ограничение на словарь единичных терминов, но
не на область значения переменны х; и на такое намерение у Ф итча
[1, р. 112 и далее] действительно есть намек. В любом случае, если его
система действительно строится в противоречии с (37), то наши преды­
дущие опасения об осмысленности квантифиции в модальных контек­
стах применимы и к его системе.
Как отмечалось ранее, бессмысленность можно всегда восполнить
приписыванием некоторого смысла. Но если это восполнение призвано
исправить двусмысленное употребление квантификации, то остается от­
крытым вопрос, принесет ли результат что-либо значимое для наших
нынешних интересов, помимо случайного сходства способа записи. Наши
нынешние интересы отчасти имеют дело с онтологическими обязатель­
ствами, с так называемыми значениями переменных квантификации, а
отчасти - с допустимостью квантификации в так называемых модальных
контекстах.
Дорогой прием ограничения чьей-либо онтологии интенсиональны­
ми сущ ностями отмечался как достаточное условие допустимости кван­
тификации в модальных контекстах. Отнюдь нельзя сказать, что это усло­
вие необходимо. Вы можете сохранить свои квантифицированные модаль­
ности и свои неинтенсиональные объекты, если вы их разводите, допус­
кая, таким образом, квантификацию в модальных контекстах только тог­
да, когда квантифицированная здесь переменная ограничена интенсио­
нальными объектами. Это последнее составляет необходимое онтологи­
ческое ограничение квантификации в модальных контекстах: не кванти­
фицировать модальный контекст извне, если переменная квантификации
■В критике, которую Карнап великодушно включил в свою работу [3, р 196 и далее]

нс принимает только интенсиональные значения. Поскольку модальная
логика, представленная до сих пор, имеет в общем грамматически про­
стую форму, в которой можно осмысленно приписать модальный опера­
тор любому открытому предложению, а затем осмысленно квантифици­
ровать результат в отношении любой свободной переменной, онтологи­
ческое ограничение до интенсиональных объектов требуется в его абсо­
лютной форме. В частности, квантифицированные модальны е логики
Карнапа, Ф итча и мисс Баркан имеют эту грамматически простую форму.
С другой стороны, Черч (Church [6]) избрал альтернативный путь - путь
явного ограничения сферы индивидных переменных, используемых при
квантификации модальных контекстов. В действительности его ограни­
чение еще строже: переменным, принимающим отличные от интенсио­
нальных значения, свободные они или связанные, в лю бой формуле, уп­
равляемой модальным оператором, не дозволяется встречаться вообще.
Смаллиан выбрал курс скорее на оспаривание доводов, касающихся
онтологических ограничений квантифицированной модальной логики,
которые привели нас к данным выводам. Его доказательство основано на
установлении фундаментального деления имен на имена собственные и
(явные и скрытые) дескрипции; при этом имена собственные, которые
именуют один и тот же объект, всегда синонимичны (ср. с. 42 выше). Он
отмечает, и совершенно справедливо, что если исходить из этих предпо­
сылок, то любые примеры, которые подобно (15 )-(2 0 ) и (24}-(25) демон­
стрируют ош ибочность подстановки тождественного в модальных кон­
текстах. должны использовать некоторые описания, а не собственные
имена. Затем он пытается уточнить предмет рассмотрения, предложив, в
связи с модальными контекстами, внести изменения в известную логику
дескрипций Рассела9. Однако, как подчёркивалось в предыдущем разде­
ле, с референциальной непрозрачностью следует считаться даже тогда,
когда дескрипции и другие единичные термины удалены вообще.

4
Пока главный результат был в том, что допустить неограниченное
использование кванторов относительно модальных предложений - зна­

9
Теория дескрипций Рассела, в ее первоначальной формулировке, вклю чала разли­
чие так называемой 'области действия' Однако изменение области действия было бы без­
различно для истинностного значения любого высказывания, если бы дескрипция не тер­
пела неудачу в именовании. В теории дескрипций Рассела это безразличие было бы важ­
ным для достиж ения ее цели, т е цели разложить или заменить подходящими выражения­
ми единичные описания С другой стороны, Смаллиан допускает различие во влиянии
области действия на истинностное значение даже в случаях, когда описание связано с
успешным наименованием

чит исключить экстенсиональные объекты, например индивиды или клас­
сы как значения соответствующих переменных. Теперь стоит заметить,
что те же самые затруднения, которые таким образом вводились с логи­
ческими модальностями, вводятся также с допущением свойств (в проти­
воположность классам) Идиома ‘быть свойством того-то и того-то’ ре­
ференциально непрозрачна, как можно видеть, например, из того факта,
что истинное высказывание:
(39) Свойство быть больше 9 = свойство быть больше 9
при подстановке согласно истинному тождеству (24) переходит в ложное.
Свойство быть больше числа планет = свойство быть больше 9.
Более того, экзистенциальное обобщение (39) привело бы к
(40) (3 х) (свойство быть больше х = свойство быть больше 9),
которое противится последовательной интерпретации так же, как экзис­
тенциальные обобщения (29)—(31), противятся в отношении (9), (15) и
(16). Квантификация предложения, содержащего переменную квантифи­
кации в рамках контекста формы ‘свойство бы ть’ в точности так же, что и
квантификация модального предложения; и квантификация любого типа,
допускаемая без ограничений, мешает существованию чего-либо отлич­
ного от интенсиональных сущностей в универсуме, по которому пробега­
ют переменные квантификации.
Свойства, как отмечено ранее, индивидуализируются согласно следу­
ющему принципу: два открытых предложения, определяющих один и тот
же класс, не определяют одно и то же свойство, если они не являются ана­
литически эквивалентными. Другим популярным видом интенсиональных
сущностей является пропозиция. Пропозиции рассматриваются в отноше­
нии к предложениям так же, как свойства рассматриваются в отношении к
открытым предложениям: два предложения определяют одну и ту же про­
позицию только в том случае, если они аналитически эквивалентны. Упо­
мянутые выше критические замечания относительно свойств, очевидно,
равным образом применимы и к пропозициям. Истинное высказывание:
(41) П ропозиция, что 9 > 7 = пропозиция, что 9 > 7
становится ложным:
П ропозиция, что число планет > 7 = пропозиция, что 9 > 7

при подстановке, которая соответствует (24). Экзистенциальное обобще­
ние ( 4 1) приводит к результату, сравнимому с (29) ( 3 1) и (40).
И нтенсиональные и экстенсиональные онтологии подобны маслу и
воде. Допущение свойств и пропозиций вместе со свободным использо­
ванием квантификации и других базовых идиом исключает индивиды и
классы. Оба вида сущностей могут быть размещены в одной и той же
логике только с помощью ограничений, таких как у Черча, которые пре­
дотвращаю т их смешивание; а это очень близко к введению двух отдель­
ных логик с особым универсумом для каждой.
Большинство логиков, семантиков и философов-аналитиков, которые
свободно рассуждают о свойствах, пропозициях или логических модаль­
ностях, обманываются в том, что, различая допустимые области кванти­
фикации своих переменных способами, с которыми они сами вряд ли со­
гласились бы, они тем самым ограничивают свои онтологин. Примеча­
тельно, что в Principia Mathematica , где свойства номинально принима­
лись как сущности, все действительные контексты, встречающиеся в ходе
разработки формализма, были таковы, что могли быть вполне выполнены
классами так же, как и свойствами. Все действительные контексты экстен­
сиональны в смы сле с. 33 и выше. Таким образом, авторы Principia
Mathematica соблюли принцип экстенсиональности, который они не под­
держивали в теории. Если бы их практика была другой, мы смогли бы го­
раздо быстрее вынести оценку о крайней необходимости этого принципа.
Мы видели, как модальные предложения, термины свойств и терми­
ны пропозиций конфликтуют с экстенсиональной частью универсума. При
этом необходимо помнить, что такие выражения входят в конфликт толь­
ко тогда, когда они квантифицируются, т.е. тогда, когда они подпадают
под действие квантора и сами содержат квантифицированную перемен­
ную. Но это затруднение не будет возникать до тех пор, пока модальные
предложения, термины свойств и термины пропозиций лиш ены свобод­
ных вхождений квантифицируемых переменных, принимающ их экстен­
сиональные значения. Нам знаком тот факт (проиллю стрированный в (26)
выше), что кавычки не могут содержать действительно свободную пере­
менную, на которую действует внешний квантор. Если мы сохраняем сход­
ную установку в отношении модальностей, терминов свойств и терминов
пропозиций, тогда мы можем использовать их свободно без каких-либо
опасений, на которых только что настаивали.
То, что на этих страницах было сказано о модальности, относится
только к строгой модальности. Для других видов, например для физичес­
кой необходимости и возможности, первейшей проблемой было бы ясно

и отчетливо сформулировать понятия. Далее мы могли бы исследовать,
подвержены ли эти понятия подобно строгим модальностям онтологи­
ческому кризису. Этот вопрос тесно связан с практическим употреблени­
ем языка. Например, он затрагивает употребление контрфактического
условного высказывания в рамках квантификации; ибо резонно предпо­
ложить, что контрфактическое условное высказывание сводится к форме
‘Необходимо, если р, то